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\begin{document}

\noindent \textbf{Cours de l'\'ecole doctorale - Printemps 2008} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}\\
\noindent{\emph{Introduction aux sch\'emas en g\'eom\'etrie alg\'ebrique}
\vspace{0.3cm}
\hrule

\vspace{0.8cm}


\begin{center} {\bfseries \scshape Le foncteur des points d'un sch\'ema \\ Application \`a la construction des grassmanniennes} \end{center}

\vspace{0.3cm}
\begin{center} Amaury Thuillier \end{center}


\vspace{0.5cm}

\begin{center}



{\scshape 1. Le foncteur des points d'un sch\'ema}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\textbf{(1.1)} Pour les notions de base sur les cat\'egories et les foncteurs, voir \cite{MacLane}. 

\vspace{0.2cm}
On rappelle que, si $\mathbf{\C}$ est une cat\'egorie, $\mathbf{\C}^{\mathrm{op}}$ d\'esigne la cat\'egorie \emph{oppos\'ee}, obtenue \`a partir de $\mathbf{\C}$ en inversant le sens des fl\`eches. En d'autres termes : $\mathbf{\C}^{\mathrm{op}}$ a les m\^emes objets que $\mathbf{\C}$ et, pour tous objets $\X, \Y$ de $\C$, l'ensemble $\mathrm{Hom}_{\mathbf{\C}^{\mathrm{op}}}(\X,\Y)$ des fl\`eches de $\X$ vers $\Y$ dans $\mathbf{\C}^{\mathrm{op}}$ est l'ensemble $\mathrm{Hom}_{\mathbf{\C}}(\Y,\X)$ des fl\`eches de $\Y$ vers $\X$ dans $\mathbf{\C}$. Avoir introduit la notion de cat\'egorie oppos\'ee permet de ne consid\'erer que des foncteurs \emph{covariants}, c'est-\`a-dire respectant le sens des fl\`eches.

\vspace{0.2cm} \'Etant donn\'ee une cat\'egorie $\mathbf{C}$, tout objet $\X$ de $\mathbf{\C}$ d\'etermine un foncteur $\h_{\X}$ de la cat\'egorie $\mathbf{\C}^{\mathrm{op}}$ dans la cat\'egorie des ensembles, d\'efini de la mani\`ere suivante :  \begin{itemize} \item pour tout objet $\Sr$ de $\mathbf{\C}$, $\h_{\X}(\Sr)$ est l'ensemble $\mathrm{Hom}_{\mathbf{\C}}(\Sr,\X)$ de toutes les fl\`eches de $\Sr$ vers $\X$ dans la cat\'egorie $\mathbf{\C}$ ; \item pour toute fl\`eche $f : \Sr' \rightarrow \Sr$ dans $\mathbf{\C}$, $\h_{\X}(f)$ est l'application de $\h_{\X}(\Sr)$ dans $\h_{\X}(\Sr')$ d\'efinie par $u \mapsto u \circ f$.\end{itemize}

\vspace{0.2cm}
La correspondance $\X \mapsto \h_{\X}$ est un foncteur de la cat\'egorie $\mathbf{\C}$ dans la cat\'egorie $\mathbf{Ens}^{\mathbf{\C}^{\mathrm{op}}}$ des foncteurs $\mathbf{\C}^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathbf{Ens}$ : si $f : \X \rightarrow \Y$ est une fl\`eche dans $\mathbf{\C}$, alors la collection des applications $$\h_f(\Sr) : \h_{\X}(\Sr) \rightarrow \h_{\Y}(\Sr), \ \ u \mapsto f \circ u$$ est une transformation naturelle entre les foncteurs $\h_{\X}$ et $\h_{\Y}$.

\vspace{0.1cm} Le r\'esultat suivant est fondamental car il garantit que l'on ne perd aucune information en rempla{\c c}ant les objets $\X$ de $\mathbf{\C}$ (resp. les fl\`eches $f$ de $\mathbf{\C}$) par les foncteurs $\h_{\X}$ (resp. par les transformations naturelles $\h_f$). Ceci permet en particulier de traiter les objets de $\mathbf{\C}$ (resp. les fl\`eches de $\mathbf{\C}$) comme des \og familles structur\'ees\fg \ d'\emph{ensembles} (resp. d'applications entre ensembles) index\'ees par $\mathbf{\C}$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Th\'eor\`eme 1} (\emph{Lemme de Yoneda}) --- \emph{Soit $F : \mathbf{C}^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathbf{Ens}$ un foncteur. Pour tout objet $X$ de $\mathbf{C}$, l'application $$\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ens}^{\mathbf{C}^{\mathrm{op}}}}(\h_{X}, F) \rightarrow F(X), \ \ \varphi \mapsto \varphi(X)(\mathrm{id}_{X})$$ est une bijection. \\ \indent En particulier, pour tous objets $X, Y$ de $\mathbf{C}$, l'application $$\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ens}^{\mathbf{C}^{\mathrm{op}}}}(\h_{X}, \h_{Y}) \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(X,Y), \ \ \varphi \mapsto \varphi(X)(\mathrm{id}_{X})$$ est une bijection.}

\vspace{2pt} \noindent \emph{D\'emonstration.} Omise, voir \cite{MacLane}. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Remarque 2.} Bien entendu, on peut tout aussi bien associer \`a un objet $\X$ de $\mathbf{\C}$ (resp. \`a une fl\`eche $f : \X \rightarrow \Y$ dans $\mathbf{\C}$) le foncteur $h^{\X} : \mathbf{\C} \rightarrow \mathbf{Ens}, \ \Sr \mapsto \h^{\X}(\Sr) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{Sch}}(\X,\Sr)$ (resp. la transformation naturelle $h^f : \h^{\Y} \rightarrow \h^{\X}$ telle que, pour tout objet $\Sr$ de $\mathbf{\C}$, $h^f(\Sr) : \h^{\Y}(\Sr) \rightarrow \h^{\X}(\Sr)$ soit l'application $u \mapsto u \circ f$). \'Enonc\'e pour un foncteur $\F : \mathbf{\C} \rightarrow \mathbf{Ens}$, le lemme de Yoneda est \'egalement valable puisque cela revient \`a partir de la cat\'egorie $\mathbf{\C}^{\mathrm{op}}$ en lieu et place de la cat\'egorie $\mathbf{\C}$.

\vspace{0.3cm}
\textbf{(1.2)} On d\'esigne par $\mathbf{Sch}$ la cat\'egorie des sch\'emas. Rappelons qu'un sch\'ema est par d\'efinition un espace localement annel\'e admettant un recouvrement ouvert par des espaces localement annel\'es de la forme $\mathrm{Spec}(\A)$ ($\A$ = anneau, toujours commutatif et unitaire) et un morphisme de sch\'emas est un morphisme d'espaces localement annel\'es.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{D\'efinition 3} --- \emph{\'Etant donn\'e un sch\'ema $X$, le \emph{foncteur des points} de $X$ n'est autre que le foncteur $$\h_{X} : \mathbf{Sch}^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathbf{Ens}.$$ On \'ecrit souvent $X(S)$ en lieu et place de $\h_{X}(S) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{Sch}}(S,X)$ et on parle de l'ensemble des \emph{$S$-points} de $X$, ou encore des \emph{points de $X$ \`a valeurs dans le sch\'ema $S$}.}

\vspace{0.2cm} Cette terminologie est justifi\'ee par l'observation simple suivante : supposons que $\X$ soit le spectre d'une $\mathbb{Z}$-alg\`ebre $\A = \mathbb{Z}[(\T_i)_{i \in \I}]/((\F_j)_{j \in \J})$ (ici, $\I$ et $\J$ sont des ensembles quelconques). Pour tout anneau $\B$, l'ensemble $\h_{\X}(\mathrm{Spec}(\B)) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{Sch}}(\mathrm{Spec}(\B), \mathrm{Spec}(\A))$ s'identifie canoniquement \`a l'ensemble des homomorphismes d'anneaux de $\A$ dans $\B$ via l'application qui associe \`a un morphisme $f : \mathrm{Spec}(\B) \rightarrow \mathrm{Spec}(\A)$ l'homomorphisme induit $$f^{\natural} : \A = \Gamma(\mathrm{Spec}(\A), \mathcal{O}_{\A}) \rightarrow \Gamma(\mathrm{Spec}(\B), \mathcal{O}_{\B}) = \B$$ entre les anneaux de sections globales des faisceaux structuraux. Puisqu'un homomorphisme d'anneaux $\A \rightarrow \B$ est la m\^eme chose qu'une famille $(b_i)_{i \in \I}$ d'\'el\'ements de $\B$ telle que $\F_j((b_i)_{i \in \I}) = 0$ pour tout $j \in \J$, $\h_{\X}(\mathrm{Spec}(\B))$ s'identifie donc canoniquement \`a l'ensemble des \emph{solutions} dans l'anneau $\B$ du syst\`emes d'\'equations polynomiales $\{\F_j((\T_i)_{i \in \I}) = 0 \}_{j \in \J}$. En outre, tout homomorphisme d'anneaux $\varphi : \B \rightarrow \C$ d\'efinit un morphisme de sch\'emas $^{a}\varphi : \mathrm{Spec}(\C) \rightarrow \mathrm{Spec}(\B)$ et on v\'erifie imm\'ediatement que l'application $\h_{\X}(^{a}\varphi) : \h_{\X}(\mathrm{Spec}(\B)) \rightarrow \h_{\X}(\mathrm{Spec}(\C))$ envoie une solution $(b_i)_{i \in \I}$ du syst\`eme dans $\B$ sur la solution $(\varphi(b_i))_{i \in \I}$ dans $\C$. 

\vspace{0.2cm} \emph{Remarque heuristique (avec un grain de sel) : passer d'un sch\'ema $X$ au foncteur $\h_{X}$ revient essentiellement \`a voir $X$ comme un syst\`eme d'\'equations polyn\^omiales implicite que l'on \'etudie \`a travers ses solutions dans tous les anneaux possibles.}

\vspace{0.3cm} \textbf{(1.3)} On ne perd rien si l'on restreint le foncteur des points d'un sch\'ema \`a la sous-cat\'egorie pleine de $\mathbf{Sch}$ constitu\'ee des sch\'emas \emph{affines}. On d\'esigne par $\mathbf{Ann}$ la cat\'egorie des anneaux (toujours commutatifs et unitaires).

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Proposition 4} --- \emph{Soit $X$ un sch\'ema. Le foncteur $\h_{X} : \mathrm{Sch}^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathbf{Ens}$ est uniquement d\'etermin\'e par le foncteur $$\mathbf{Ann} \rightarrow \mathbf{Ens}, \ \ A \mapsto \h_{X}(\mathrm{Spec}(A)) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{Sch}}(\mathrm{Spec}(A), X).$$}

\vspace{1pt} \noindent \emph{D\'emonstration.} Par d\'efinition, un sch\'ema $\Sr$ est un espace localement annel\'e recouvert par des ouverts $\U$ isomorphes \`a des sch\'emas affines. La donn\'ee d'un morphisme de sch\'emas $\Sr \rightarrow \X$ est \'equivalente \`a la donn\'ee, pour chaque ouvert affine $\U$ de $\Sr$, d'un morphisme $f_{\U} : \U \rightarrow \X$, de telle sorte que, pour toute inclusion $\V \subset \U$ entre ouverts affines de $\Sr$, $f_{\V}$ et la restriction de $f_{\U}$ \`a $\V$ co\"{\i}ncident. Ainsi, si l'on d\'esigne par $\mathcal{U}$ l'ensemble des ouverts affines de $\Sr$,  $$\h_{\X}(\Sr) = \left\{(f_{\U})_{\U \in \mathcal{U}} \ \left| \ \begin{array}{l} \textrm{pour tous $\U, \V \in \mathcal{U}$ avec $\V \subset \U$,l'application canonique} \\ \textrm{$\h_{\X}(\U) \rightarrow \h_{\X}(\V)$ envoie $f_{\U}$ sur $f_{\V}$}\end{array} \right\} \right. .$$ En outre, pour tout morphisme de sch\'emas $f : \Sr' \rightarrow \Sr$, il existe des recouvrements $\mathcal{U}'$ et $\mathcal{U}$ de $\Sr'$ et $\Sr$ respectivement par des ouverts affines tels que, pour tout $\U' \in \mathcal{U}'$, $f(\U')$ soit contenu dans l'un des ouverts $\U$ de $\mathcal{U}$. Il d\'ecoule de ces deux observations que le foncteur $\h_{\X} : \mathbf{Sch}^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathbf{Ens}$ est compl\`etement d\'etermin\'e par sa restriction \`a la sous-cat\'egorie pleine des sch\'emas affines. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} Si cela ne pr\^ete pas \`a confusion, nous continuerons de d\'esigner par $\h_{\X}$ le foncteur $$\mathbf{Ann} \rightarrow \mathbf{Ens}, \ \ \A \mapsto \h_{\X}(\mathrm{Spec}(\A)).$$On \'ecrit souvent $\X(\A)$ en lieu et place de $\h_{\X}(A) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{Sch}}(\mathrm{Spec}(\A),\X)$ et on parle de l'ensemble des points du sch\'ema $\X$ \`a valeurs dans l'anneau $\A$.

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\scshape 2. Produits dans la cat\'egorie des sch\'emas}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
Une premi\`ere illustration de la pertinence du foncteur des points d'un sch\'ema est la construction des \emph{produits fibr\'es de sch\'emas} \`a partir de la notion usuelle de produit fibr\'e d'ensembles.
 
\vspace{0.3cm} \textbf{(2.1)} Soient $f : \X \rightarrow \Z$ et $g : \Y \rightarrow \Z$ deux morphismes de sch\'emas. Passant aux foncteurs des points, on obtient deux transformations naturelles $h_f : h_{\X} \rightarrow \h_{\Z}$ , $h_g : h_{\Y} \rightarrow \h_{\Z}$ et on d\'efinit leur \emph{produit} comme \'etant le foncteur $$\h_{\X} \times_{\h_{\Z}} \h_{\Y} : \mathbf{Sch}^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathbf{Ens}$$ envoyant un sch\'ema $\Sr$ (resp. un morphisme de sch\'emas $u : \Sr' \rightarrow \Sr$) sur le produit fibr\'e $$\h_{\X}(\Sr) \times_{\h_{\Z}(\Sr)} \times \h_{\Y}(\Sr) = \{(v,v') \in \h_{\X}(\Sr) \times \h_{\Y}(\Sr) \ | \ \h_f (v) = h_g(v') \ \textrm{dans } \h_{\Z}(\Sr)\}$$ (resp. sur l'application $$\h_{\X}(\Sr) \times_{\h_{\Z}(\Sr)} \times \h_{\Y}(\Sr) \rightarrow \h_{\X}(\Sr') \times_{\h_{\Z}(\Sr')} \times \h_{\Y}(\Sr'), \ \ (v,v') \mapsto (\h_{\X}(v), \h_{\Y}(v')).)$$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Th\'eor\`eme 5} --- \emph{Il existe un sch\'ema not\'e $X \times_{Z} Y$, unique \`a un isomorphisme unique pr\`es, tel que $$h_{X} \times_{h_{Z}} h_{\Y} = h_{X \times_{Z} Y}.$$}

\vspace{1pt} \noindent \emph{D\'emonstration.} Omise, voir \cite{EGA}, Chapitre I, §3, Th\'eor\`eme (3.2.1).

\vspace{0.2cm}
L'unicit\'e \`a isomorphisme unique pr\`es est une cons\'equence formelle du lemme de Yoneda (Th\'eor\`eme 1). Le point de d\'epart de la d\'emonstration de l'existence du sch\'ema $\X \times_{\Z} \Y$ est la proposition 7 ci-dessous, qui traite le cas de sch\'emas affines. On consid\`ere ensuite le cas de trois sch\'emas $\X, \Y$ et $\Z$ avec $\Z$ affine, et on v\'erifie que, si $\mathcal{U}$ et $\mathcal{V}$ sont des recouvrements de $\X$ et de $\Y$ respectivement par des ouverts affines, alors les sch\'emas affines $\U \times_{\Z} \V$ se recollent en un sch\'ema $\X \times_{\Z} \Y$ ayant les propri\'et\'es souhait\'ees. Enfin, si $\Z$ est quelconque, on le recouvre par des sch\'emas affines $\W$ et on v\'erifie que les sch\'emas $f^{-1}(\W) \times_{\W} g^{-1}(\W)$ se recollent en un sch\'ema $\X \times_{\Z} \Y$ ayant les propri\'et\'es souhait\'ees. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{D\'efinition 6} --- \emph{Le sch\'ema $X \times_{Z} Y$ du th\'eor\`eme pr\'ec\'edent, bien d\'efini \`a isomorphisme unique pr\`es, est le \emph{produit fibr\'e} des sch\'emas $X$ et $Y$ au-dessus de $Z$.}

\vspace{0.2cm} Par d\'efinition, un morphisme d'un sch\'ema $\Sr$ dans le produit fibr\'e $\X \times_{\Z} \Y$ est la donn\'ee de deux morphismes $v : \Sr \rightarrow \X$ et $v' : \Sr \rightarrow \Y$ tels que $f \circ v = g \circ v'$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Remarque 7.} L'anneau $\mathbb{Z}$ est un objet \emph{initial} dans la cat\'egorie des anneaux unitaires : pour tout anneau unitaire $\A$, il existe un unique homomorphisme d'anneaux $\mathbb{Z} \rightarrow \A$. Dualement, on en d\'eduit que le sch\'ema $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ est un objet \emph{final} dans la cat\'egorie des sch\'emas : quel que soit le sch\'ema $\X$, il existe un unique morphisme de sch\'emas $\X \rightarrow \mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$. Par suite, les foncteurs $\h_{\X} \times_{\h_{\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})}} \h_{\Y}$ et $\h_{\Y} \times \h_{\Z}$ sont les m\^emes pour tous sch\'emas $\X$ et $\Y$ et le produit $\X \times \Y$ peut donc se d\'efinir comme le produit fibr\'e $\X \times_{\mathbb{Z}} \Y$ au-dessus de $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Proposition 8} --- \emph{Si $X = \mathrm{Spec}(A)$, $Y = \mathrm{Spec}(B)$ et $Z = \mathrm{Spec}(C)$ sont des sch\'emas affines, $X \times_{Z} Y$ est le sch\'ema affine d'anneau $A \otimes_{C} B$.}

\vspace{1pt} \noindent \emph{D\'emonstration.} Le foncteur $\h_{\X} \times_{\h_{\Z}} \h_{\Y} : \mathbf{Ann} \rightarrow \mathbf{Ens}$ associe \`a un anneau $\R$ l'ensemble \begin{eqnarray*} \h_{\X}(\R) \times_{\h_{\Z}(\R)} \h_{\Y}(\R) & = & \{(v,v') \in \mathrm{Hom}_{\mathbf{Sch}}(\mathrm{Spec}(\R), \mathrm{Spec}(\A)) \times \mathrm{Hom}_{\mathbf{Sch}}(\mathrm{Spec}(\R), \mathrm{Spec}(\B)) \ | \ f \circ v  = g \circ v' \} \\ & = &  \{(\varphi, \varphi') \in \mathrm{Hom}_{\mathbf{Ann}}(\A,\R) \times \mathrm{Hom}_{\mathbf{Ann}}(\B, \R) \ | \ \varphi \circ f^{\natural}  = \varphi' \circ g^{\natural} \ \textrm{dans } \mathrm{Hom}_{\mathbf{Ann}}(\C,\R) \} \\ & = & \mathrm{Hom}_{\mathbf{Ann}}(\A \otimes_{\C} \B, \R) \\ & = & \mathrm{Hom}_{\mathbf{Sch}}(\mathrm{Spec}(\R), \mathrm{Spec}(\A \otimes_{\C} \B)) \\ & = & \h_{\mathrm{Spec}(\A \otimes_{\C} \B)}(\R) \end{eqnarray*} donc $\h_{\X} \times_{\h_{\Z}} \h_{\Y} = \h_{\mathrm{Spec}(\A \otimes_{\C} \B)}.$ \hfill $\Box$


\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\scshape 3. Espaces lin\'eaires relatifs}
\end{center}

\vspace{0.4cm}

\textbf{(3.1)} Soit $\A$ un anneau. \'Etant donn\'es des ensembles finis $\I$, $\J$ et un nombre entier naturel $r$, une matrice $\M \in \M_{\I,\J}(\A)$ est dite \emph{de rang $r$} s'il existe des matrices inversibles $\rP \in \mathrm{GL}_{\I}(\A)$ et $\Q \in \mathrm{GL}_{\J}(\A)$ tels que $$\M = \rP\left(\begin{array}{ll} \I_r & (0) \\ (0) & (0)\end{array} \right)\Q.$$

Remarquons que, pour tout homomorphisme d'anneaux $\varphi : \A \rightarrow \B$, l'homomorphisme induit de $\M_{\I,\J}(\A)$ dans $\M_{\I,\J}(\B)$ transforme une matrice de rang $r$ en une matrice de rang $r$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Remarque 9}. Si $\M \in \M_{\I,\J}(\A)$ est une matrice de rang $r$, alors le $\A$-module quotient $\A^{\mathrm{\J}}/\mathrm{ker}(\M)$ est libre de rang $r$.

\vspace{0.2cm}
\textbf{(3.2)} Soit $\Sr$ un sch\'ema et soient $n$, $r$ deux nombres entiers naturels. On pose $\mathbb{A}^n_{\Sr} = \mathbb{A}^n \times \Sr$ ; c'est l'\emph{espace affine relatif} de dimension $n$ au-dessus de $\Sr$. Si $\Sr$ est un recouvrement par des ouverts affines $\U = \mathrm{Spec}(\A)$, $\mathbb{A}^n \times \Sr$ est recouvert par les ouverts affines $\mathbb{A}^n_{\U} =\mathbb{A}^n \times \U = \mathrm{Spec}(\A[\xi_1, \ldots, \xi_n])$. Les sections globales du faisceau structural de $\mathbb{A}^n_{\Sr}$ sont les polyn\^omes en $n$ ind\'etermin\'ees $\xi_1, \ldots, \xi_n$ \`a coefficient dans l'anneau $\mathcal{O}_{\Sr}(\Sr)$ des sections globales de $\Sr$.
 
\vspace{0.2cm}
\noindent {\bfseries Definition 10} --- \emph{Un \emph{sous-espace lin\'eaire de codimension $r$} de $\mathbb{A}^n_{S}$ est un sous-sch\'ema ferm\'e $X$ de $\mathbb{A}^n_{S}$ satisfaisant \`a la condition suivante : il existe un recouvrement de $S$ par des ouverts affines $U = \mathrm{Spec}(A)$ tels que l'id\'eal de $A[\xi_1, \ldots, \xi_n]$ d\'efinissant le sous-sch\'ema ferm\'e $X \cap \mathbb{A}^n \times U$ de $\mathbb{A}^n \times U = \mathrm{Spec}(A[\xi_1, \ldots, \xi_n])$ soit engendr\'e par une famille finie de formes lin\'eaires $\left(\sum_{1 \leq j \leq n} a_{i,j} \xi_{j}\right)_{i \in I}$, la matrice $(a_{i,j}) \in M_{I,\{1, \ldots, n\}}(A)$ \'etant de rang $r$.}

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Remarque 11}. Dans la d\'efinition pr\'ec\'edente, il est toujours loisible d'imposer $\I = \{1, \ldots, r\}$. En effet, \'etant donn\'es un anneau $\A$ et une matrice $\M = (a_{i,j}) \in \M_{\I,\{1,\ldots, n\}}(\A)$ de rang $r$ \'ecrite sous la forme $\M = \rP \left(\begin{array}{ll} \I_r & (0) \\ (0) & (0)\end{array}\right)\Q$ avec $\rP \in \mathrm{GL}_{\I}(\A)$ et $\Q \in \mathrm{GL}_n(\A)$, $$\left\{\underline{x} \in \C^n \ \bigg| \sum_{1 \leq j \leq n} a_{i,j}x_j=0 \ \ \textrm{pour} \ \ i \in \I \right\} = \left\{\underline{x} \in \C^n \ \bigg| (\Q\underline{x})_i = 0 \ \ \textrm{pour} \ \ 1 \leq i \leq r\right\}$$ pour toute $\A$-alg\`ebre $\C$, de sorte que les familles de formes lin\'eaires $\left(\sum_{1 \leq j \leq n} a_{i,j}\xi_{j}\right)_{i \in \I}$ et $\left((\Q \underline{\xi})_i\right)_{1 \leq i \leq r}$ d\'efinissent le m\^eme sous-sch\'ema ferm\'e de $\mathrm{Spec}(\A[\xi_1, \ldots, \xi_n])$.

\vspace{0.2cm} Si $\Sr$ est un sch\'ema et si $\X \hookrightarrow \Sr$ est un sous-espace lin\'eaire de codimension $r$ de $\mathbb{A}^n \times \Sr$, la projection canonique $\mathbb{A}^n \times \Sr \rightarrow \Sr$ induit un morphisme de sch\'emas $p : \X \rightarrow \Sr$.

\vspace{0.1cm}
\noindent {\bfseries Lemme 12} --- \emph{Soit $f : S' \rightarrow S$ un morphisme de sch\'emas. Si $X \hookrightarrow \mathbb{A}^n \times Sr$ est un sous-espace lin\'eaire de codimension $r$ au-dessus de $Sr$, alors $f^{*}X = X \times_{Sr} Sr' \hookrightarrow \mathbb{A}^n \times Sr'$ est un sous-espace lin\'eaire de codimension $r$ au-dessus de $S'$.}

\vspace{2pt}
\noindent \emph{D\'emonstration.} Consid\'erons un recouvrement de $\Sr$ par des ouverts affines $\U = \mathrm{Spec}(\A)$ de $\Sr$ tels que $\X \cap \mathbb{A}^n \times \U = p^{-1}(\U)$ soit le sous-sch\'ema ferm\'e de $\mathrm{Spec}(\A[\xi_1, \ldots, \xi_n])$ d\'efini par $r$ formes lin\'eaires ind\'ependantes $\sum_{1 \leq j \leq n} a_{ij}\xi_j$, $1 \leq i \leq r$. Pour tout ouvert affine $\U' = \mathrm{Spec}(\B)$ de $\Sr'$ contenu dans $f^{-1}(\U)$, le morphisme $f : \mathrm{Spec}(\B) \rightarrow \mathrm{Spec}(\A)$ provient d'un homomorphisme d'anneaux $f^{\natural} : \A \rightarrow \B$ et $f^{*}\X \cap (\mathbb{A}^n \times \U')$ est le sous-sch\'ema ferm\'e de $\mathrm{Spec}(\B[\xi_1, \ldots, \xi_n])$ d\'efini par les formes lin\'eaires $\sum_{1 \leq j \leq n} f^{\natural}(a_{i,j})\xi_j$, $1 \leq i \leq r$. Comme la matrice $(a_{i,j}) \in \M_{r,n}(\A)$ est de rang $r$, il en est de m\^eme de la matrice $(f^{\natural}(a_{i,j})) \in \M_{r,n}(\B)$. Lorsque $\U$ parcourt un recouvement ouvert de $\Sr$, les ouverts affines de $\Sr'$ contenus dans $f^{-1}(\U)$ recouvrent $\Sr'$ et nous avons finalement d\'emontr\'e que le sous-sch\'ema ferm\'e $f^{*}\X$ de $\mathbb{A}^n \times \Sr'$ est bien un sous-espace lin\'eaire de codimension $r$ au-dessus de $\Sr'$. \hfill $\Box$


\vspace{0.3cm} \textbf{(3.3)} Essayons de motiver la notion d'espace lin\'eaire relatif que l'on vient d'introduire.

\vspace{0.2cm} 1. Si $k$ est un corps et si $\X \hookrightarrow \mathbb{A}^n_k = \mathbb{A}^n \times \mathrm{Spec}(k)$ est un sous-espace lin\'eaire de codimension $r$ au-dessus de $\mathrm{Spec}(k)$, alors l'ensemble $\X(k)$ des $k$-points de $\X$ (cf. partie 1) est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{A}^n(k) = k^n$ de codimension $r$. En effet, comme $\mathrm{Spec}(k)$ est r\'eduit \`a un point, $\X$ est de la forme $\V(\sum_{1 \leq j \leq n} a_{ij}\xi_j \ ; \ 1 \leq i \leq r)$ avec $(a_{ij}) \in \M_{rn}(\A)$ une matrice de rang $r$ et $$\X(k) = \left\{\underline{x} \in k^n \ \left| \ \sum_{1 \leq j \leq n} a_{ij}x_j = 0 \ ; \ 1 \leq i \leq r \right\} \right.$$ est le noyau de cette derni\`ere. R\'eciproquement, si l'on part d'un sous-espace vectoriel $\F$ de $k^n$ de codimension $r$, on d\'efinit un sous-espace lin\'eaire $\X$ de $\mathbb{A}^n_k$ tel que $\X(k)=\F$ en posant $\X = \V\left(\varphi_1, \ldots, \varphi_r\right)$, o\`u $\varphi_1, \ldots, \varphi_r \in k[\xi_1, \ldots, \xi_r]$ sont des formes lin\'eaires engendrant l'annulateur de $\F$.

La correspondance $\X \mapsto \X(k)$ \'etablit une bijection entre l'ensemble des sous-espaces lin\'eaires de codimension $r$ de $\mathbb{A}^n_k$ et l'ensemble des sous-espace vectoriels de codimension $r$ de $k^n$. Passer d'un sous-espace vectoriel $\F$ de $k^n$ au sous-espace lin\'eaire $\X$ de $\mathbb{A}^n_k$ tel que $\X(k) = \F$ revient fondamentalement \`a remplacer $\F$ par son annulateur, qui fournit les \emph{\'equations} d\'efinissant $\F$.

\vspace{0.2cm} 2. Si $k$ est un corps \emph{alg\'ebriquement clos}, on peut renforcer ce qui pr\'ec\`ede : un sous-espace lin\'eaire de codimension $r$ de $\mathbb{A}^n_k$ n'est pas autre chose qu'un sous-sch\'ema ferm\'e r\'eduit $\X$ de $\mathbb{A}^n_k$ dont l'ensemble $\X(k)$ des $k$-points est un sous-espace vectoriel de codimension $r$ de $\mathbb{A}^n(k)=k^n$. Consid\'erons en effet un sous-sch\'ema ferm\'e r\'eduit $\X$ de $\mathbb{A}^n_k$ tel que $\X(k)$ soit un sous-espace vectoriel de codimension $r$ de $k^n$ et choisissons $r$ formes lin\'eaires $\varphi_1 = \sum_{1 \leq j \leq n} a_{1j}\xi_j, \ \ldots, \ \varphi_r = \sum_{1 \leq j \leq n} a_{rj} \xi_j$ engendrant l'annulateur de $\X(k)$. Comme $\X$ est r\'eduit, il d\'ecoule du \emph{Nullstellensatz} de Hilbert que l'id\'eal $\mathfrak{I}$ de $\X$ est constitu\'e des polyn\^omes $\F \in k[\xi_1, \ldots, \xi_n]$ tels que $\F(\underline{x}) = 0$ pour tout $\underline{x} \in \X(k)$. Un changement de variables lin\'eaire convenable permet de supposer $\varphi_1 = \xi_1, \ldots, \varphi_r = \xi_r$, auquel cas $\mathfrak{I}$ est l'id\'eal des polyn\^omes $\F \in k[\xi_1, \ldots, \xi_n]$ tels que $\F(0, \ldots, 0, x_{r+1}, \ldots, x_n) = 0$ pour tous $x_{r+1}, \ldots, x_n \in k$ ; on a donc $\mathfrak{I} = (\xi_1, \ldots, \xi_r) = (\varphi_1, \ldots, \varphi_r)$ puisque le corps $k$ est infini, et $\X$ est bien un sous-espace lin\'eaire de codimension $r$ de $\mathbb{A}^n_k$.

Notons qu'il ne suffit \emph{pas} de supposer que le corps $k$ soit infini pour que tout sous-sch\'ema ferm\'e de $\mathbb{A}^n_k$ dont l'ensemble des $k$-points est un sous-espace vectoriel de $k^n$ soit un sous-espace lin\'eaire de $\mathbb{A}^n_k$. Par exemple, l'ensemble des points r\'eels du sous-sch\'ema ferm\'e $\X  = \V(\xi_1(\xi_2^2+1))$ de $\mathbb{A}^2_{\mathbb{R}}$ est le sous-espace vectoriel $\{0\} \times \mathbb{R}$ de $\mathbb{R}^2$ mais $\X$ n'est pas un sous-espace lin\'eaire de $\mathbb{A}^2_{\mathbb{R}}$ puisque $\mathbb{X}(\mathbb{C}) = \{0\} \times \mathbb{C} \cup \mathbb{C} \times \{\pm i\}$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb{C}^2$.

\vspace{0.2cm} 3. Quel que soit le corps $k$, on peut caract\'eriser comme suit les sous-espaces lin\'eaires parmi tous les sous-sch\'emas ferm\'es de $\mathbb{A}^n_{k}$.

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{Proposition 13} --- \emph{Soit $\overline{k}$ une cl\^oture alg\'ebrique de $k$. Les conditions suivantes sont \'equivalentes pour tout sous-sch\'ema ferm\'e $\X$ de $\mathbb{A}^n$ : \\
\indent (i) $\X$ est un sous-espace lin\'eaire de codimension $r$ ; \\
\indent (ii) $\X$ est \emph{g\'eom\'etriquement r\'eduit}, i.e. le sch\'ema $\X \otimes_k \overline{k}$ est r\'eduit, et $\X(\overline{k})$ est un sous-espace vectoriel de codimension $r$ de $\mathbb{A}^n(\overline{k}) = \overline{k}^n$.}

\vspace{2pt}
\noindent \emph{D\'emonstration.} Vu la discussion du point 2, l'assertion (ii) \'equivaut \`a dire que $\X \otimes_k \overline{k}$ est un sous-espace lin\'eaire de codimension $r$ de $\mathbb{A}^n_{\overline{k}}$ et l'implication (i) $\Rightarrow$ (ii) d\'ecoule donc imm\'ediatement du lemme 12.

Soit $\mathfrak{I}$ l'id\'eal de $k[\xi_1, \ldots, \xi_n]$ d\'efinissant $\X$. \'Etablir l'implication (ii) $\Rightarrow$ (i) revient \`a prouver le fait suivant : si l'id\'eal $\mathfrak{I} \otimes_k \overline{k}$ de $\overline{k}[\xi_1, \ldots, \xi_n]$ est engendr\'e par $r$ formes lin\'eaires ind\'ependantes, il en est de m\^eme pour l'id\'eal $\mathfrak{I}$.

Convenons de d\'esigner par $f^{(d)}$ la partie homog\`ene de degr\'e $d$ d'un polyn\^ome $f \in k[\xi_1, \ldots, \xi_n]$. L'ensemble $\F = \{f^{(1)}, \ f \in \mathfrak{I}\}$ est un sous-$k$-espace vectoriel de $\bigoplus_{i=1}^n k\xi_i$ et on v\'erifie que $\F \otimes_k \overline{k}$ est le sous-$\overline{k}$-espace vectoriel de $\bigoplus_{i=1}^n \overline{k}\xi_i$ constitu\'e des formes lin\'eaires $f^{(1)}$, $f \in \mathfrak{I} \otimes_k \overline{k}$. Par hypoth\`ese, l'id\'eal $\mathfrak{I} \otimes_k \overline{k}$ est engendr\'e par $r$ formes lin\'eaires ind\'ependantes $\varphi_1, \ldots, \varphi_r \in \overline{k}[\xi_1, \ldots, \xi_n]$. On voit ais\'ement que ces formes lin\'eaires constituent une base de $\F \otimes_k \overline{k}$, d'o\`u il d\'ecoule que $\F \otimes_k \overline{k}$ est contenu dans $\mathfrak{I} \otimes_k \overline{k}$ puis, en consid\'erant une base de $\F$, que l'id\'eal $\mathfrak{I} \otimes_k \overline{k}$ est engendr\'e par $r$ formes lin\'eaires ind\'ependantes $\psi_1, \ldots, \psi_r \in k[\xi_1, \ldots, \xi_n]$.

Nous sommes maintenant en mesure de conclure. D\'esignant par $\Y$ le sous-sch\'ema ferm\'e $\V(\psi_1, \ldots, \psi_r)$ de $\mathbb{A}^n_k$, $\X(\overline{k}) = \Y(\overline{k})$ et donc $\X$ et $\Y$ ont les m\^emes points ferm\'es en vertu du \emph{Nullstellensatz} de Hilbert. Puisque les points ferm\'es de $\mathbb{A}^n_k$ constituent un sous-ensemble partout dense, $\X$ et $\Y$ ont le m\^eme ensemble sous-jacent. Enfin, ces deux sch\'emas \'etant r\'eduits, $\X = \Y$ en tant que sous-sch\'emas ferm\'es de $\mathbb{A}^n_k$ et $\X$ est donc bien un sous-espace lin\'eaire de codimension $r$. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} 4. Soit $\Sr$ un sch\'ema et soit $$\xymatrix{\X \ar@{^{(}-}[r] \ar@{->}[d]_{p} & \mathbb{A}^n \times \Sr \ar@{->}[ld]^{\mathrm{pr}_2} \\ \Sr & }$$ un sous-espace lin\'eaire de codimension $r$ (le morphisme $p$ est la restriction \`a $\X$ de la seconde projection $\mathrm{pr}_2$). Pour tout point $z$ de $\Sr$, la fibre $p^{-1}(z)$ de $p$ au-dessus de $z$ est le sous-sch\'ema ferm\'e $\X \times_{\Sr} \mathrm{Spec}(\kappa(z))$ de $\mathbb{A}^n_{\kappa(z)}$ et il s'agit d'un sous-espace lin\'eaire de codimension $r$ de $\mathbb{A}^n_{\kappa(z)}$ en vertu du lemme 12. L'assertion r\'eciproque est fausse : un sous-sch\'ema ferm\'e $\X$ de $\mathbb{A}^n_{\Sr}$ tel que, pour tout point $z \in \X$, $p^{-1}(z)$ soit un sous-espace lin\'eaire de $\mathbb{A}^n_{\kappa(z)}$ de codimension $r$, n'est en g\'en\'eral \emph{pas} un sous-espace lin\'eaire de codimension $r$.

Voici un contre-exemple : \'etant donn\'e un corps $k$, $\Sr = \mathrm{Spec}(\A)$ est le spectre de l'anneau $\A = k[\varepsilon] = k[t]/(t^2)$ des nombres duaux et $\X$ est le sous-sch\'ema ferm\'e de $\mathbb{A}^2_{\A}$ d\'efini par l'id\'eal $(\xi_1, \varepsilon \xi_2)$. Le sch\'ema $\Sr$ est r\'eduit \`a un point $z$, correspondant \`a l'unique id\'eal maximal $\varepsilon \A$ de $\A$ ; l'homomorphisme canonique $\A \rightarrow \kappa(z) = k$ envoie $\varepsilon$ sur $0$ et donc $p^{-1}(z) = \V(\xi_1)$ est un sous-espace lin\'eaire de codimension $1$ de $\mathbb{A}^2_{\kappa(z)}$. Observons toutefois que $\X$ n'est pas un sous-espace lin\'eaire de $\mathbb{A}^2_{\A}$ : si tel \'etait le cas, $\X(\A)$ serait en effet le noyau d'une matrice de rang $r \geq 0$ et le $\A$-module $\A^2/\X(\A)$ serait alors libre de rang $r$ (cf. remarque 11) ; or $\X(\A) = \A(1,0) \oplus \A(0,\varepsilon)$ et $\A^2/\X(\A) \simeq \A/\A \varepsilon \simeq k$ n'est pas un $\A$-module libre.

\vspace{0.2cm} 5. Si l'on veut caract\'eriser les sous-espaces lin\'eaires au-dessus d'un sch\'ema $\Sr$ parmi tous les sous-sch\'emas ferm\'es de $\mathbb{A}^n \times \Sr$, il ne suffit pas d'imposer que la fibre au-dessus de chaque point $z$ de $\Sr$ soit un sous-espace lin\'eaire au-dessus du corps r\'esiduel $\kappa(z)$ ; il faut en plus imposer que le morphisme $p : \X \rightarrow \Sr$ induit par la seconde projection soit \emph{plat}.

\vspace{0.1cm} \emph{Rappel du cours de St\'ephane} : \'etant donn\'e un anneau $\A$, un $\A$-module $\M$ est dit \emph{plat} si le foncteur $\M \otimes_{\A} \cdot$ de la cat\'egorie des $\A$-modules dans elle-m\^eme est \emph{exact}, i.e. transforme une suite exacte en une suite exacte. Un morphisme de sch\'emas $f : \X \rightarrow \Y$ est plat si, pour tout point $x \in \X$, l'homomorphisme d'anneaux $f_x^{\natural} : \mathcal{O}_{Y,f(x)} \rightarrow \mathcal{O}_{\X,x}$ fait de $\mathcal{O}_{\X,x}$ un $\mathcal{O}_{\Y,f(x)}$-module plat.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Proposition 14} --- \emph{Soit $Sr$ un sch\'ema et soit $X$ un sous-sch\'ema ferm\'e de $\mathbb{A}^n \times Sr$. On d\'esigne par $p : X \rightarrow Sr$ le morphisme induit par la seconde projection et on suppose que ce morphisme est localement de pr\'esentation finie, i.e. que $X$ est localement d\'efini par un id\'eal de type fini. \\
\indent Les propri\'et\'es suivantes sont \'equivalentes : \\
\indent \emph{(i)} $X$ est un sous-espace lin\'eaire de codimension $r$ ; \\
\indent \emph{(ii)} le morphisme $p$ est \emph{plat} et, pour tout point $z \in S$, la fibre $p^{-1}(z)$ est un sous-espace lin\'eaire de codimension $r$ de $\mathbb{A}^n_{\kappa(z)}$ ; \\
\indent \emph{(iii)} le morphisme $p$ est \emph{plat} \`a fibres \emph{g\'eom\'etriquement r\'eduites} et, pour tout corps alg\'ebriquement clos $k$ et tout morphisme $f : \mathrm{Spec}(k) \rightarrow X$, $$(f^{*}\X)(k) = \{u \in X(k) \ | \ p(u) = f\}$$ est un sous-espace vectoriel de codimension $r$ de $f^{*}(\mathbb{A}^n \times S)(k) = \mathbb{A}^n_k(k) = k^n$.}

\vspace{2pt}
\noindent \emph{D\'emonstration.} Les assertions (ii) et (iii) sont \'equivalentes d'apr\`es la proposition 13.

L'implication $(i) \Longrightarrow (ii)$ est facile. Si $\X$ est un sous-espace lin\'eaire de $\mathbb{A}^n \times \Sr$, alors la fibre de $p$ au-dessus d'un point $z$ de $\Sr$ est un sous-espace lin\'eaire de $\mathbb{A}^n_{\kappa(z)}$ (lemme 12). On peut recouvrir $\Sr$ par des ouverts affines $\U = \mathrm{Spec}(\A)$ tels que $\X \cap \mathbb{A}^n \times \U$ s'\'ecrive sous la forme $\V(\M \underline{\xi})$ avec $\M \in \M_{rn}(\A)$ de rang $r$. Si $\rP \in \mathrm{GL}_r(\A)$ et $\Q \in \mathrm{GL}_n(\A)$ sont des matrices telle que $\M = \rP\big(\I_r  | (*)\big)\Q$, $\Q$ d\'etermine un automorphisme $\varphi$ de $\mathbb{A}^n_{\A}$ tel que le morphisme $\mathbb{A}^n_{\A} \rightarrow \mathbb{A}^{n-r}_{\A}$, compos\'e de $\varphi$ par la projection $\mathbb{A}^n_{\A} \rightarrow \mathbb{A}^{n-r}_{\A}$ d\'efinie en oubliant les $r$ premi\`eres coordonn\'ees, induise un isomorphisme de $\X \cap \mathbb{A}^n_{\A}$ sur $\mathbb{A}^{n-r}_{\A}$ compatible avec les projections vers $\mathrm{Spec}(\A)$ ; le morphisme canonique $\mathbb{A}^{n-r}_{\A} \rightarrow \mathrm{Spec}(\A)$ est plat car l'anneau $\A[\xi_{1}, \ldots, \xi_{n-r}]$ est un $\A$-module libre, donc  plat ; il en d\'ecoule que le morphisme $p : \X \rightarrow \Sr$ est plat au-dessus d'ouverts recouvrant $\Sr$ et, puisque la platitude est de nature locale, $p$ est plat.

\vspace{2pt} On admet l'implication (ii) $\Longrightarrow$ (i), qui ne sera pas utilis\'ee dans ce qui suit. \hfill $\Box$

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\scshape 4. Le foncteur des points de la droite projective}
\end{center}

\vspace{0.4cm}

Rappelons que $\mathbb{P}^1$ est par d\'efinition le sch\'ema obtenu en recollant deux copies $\U_t = \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[t])$ et $\U_s = \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[s])$ du plan affine $\mathbb{A}^2$ le long des ouverts $\U'_t = \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[t,t^{-1}])$ et $\U'_s = \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[s,s^{-1}])$, via l'identitification induite par l'isomorphisme $\mathbb{Z}[t,t^{-1}] \tilde{\rightarrow} \mathbb{Z}[s,s^{-1}]$ envoyant $t$ sur $s^{-1}$.

Nous sommes d\'esormais en mesure de d\'ecrire le foncteur des points du sch\'ema $\mathbb{P}^1 = \mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}$ : quel que soit le sch\'ema $\Sr$, $\h_{\mathbb{P}^1}(\Sr) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{Sch}}(\Sr, \mathbb{P}^1)$ s'identifie canoniquement \`a l'ensemble des \emph{droites} (= sous-espaces lin\'eaires de codimension un) de $\mathbb{A}^2 \times \Sr$.

\vspace{0.3cm} \textbf{(4.1)} Nous commen{\c c}ons par d\'efinir la \emph{droite universelle} $\Lr^u$ dans $\mathbb{A}^2 \times \mathbb{P}^1$.

\vspace{0.1cm}
Le sch\'ema $\mathbb{A}^2 \times \mathbb{P}^1$ est recouvert par les deux ouverts affines $\mathbb{A}^2 \times \U_t = \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[t,\xi_1, \xi_2])$ et $\mathbb{A}^2 \times \U_s = \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[s,\xi_1, \xi_2])$, identifi\'es le long des ouverts $\mathbb{A}^2 \times \U'_t = \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[t,t^{-1}, \xi_1, \xi_2])$ et $\mathbb{A}^2 \times \U'_s = \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[s,s^{-1}, \xi_1, \xi_2])$ via l'isomorphisme $\chi$ de $\mathbb{Z}[t, t^{-1}, \xi_1, \xi_2]$ sur $\mathbb{Z}[s, s^{-1}, \xi_1, \xi_2]$ envoyant $t$ sur $s^{-1}$ et $\xi_i$ sur $\xi_i$ ($1 \leq i \leq 2$).

\vspace{0.1cm} Vu l'identit\'e $\chi(t\xi_1 + \xi_2) = s^{-1}\xi_1 + \xi_2 = s^{-1}(\xi_1 + s \xi_2)$, l'isomorphisme de recollement entre $\mathbb{A}^2 \times \U'_t$ et $\mathbb{A}^2 \times \U'_s$ identifie les sous-sch\'emas ferm\'es $\V(t\xi_1 + \xi_2)$ et $\V(\xi_1 + s\xi_2)$. Ceci permet de donner un sens \`a la d\'efinition suivante.

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{D\'efinition 14.} --- \emph{La \emph{droite universelle} au-dessus de $\mathbb{P}^1$ est l'unique sous-sch\'ema ferm\'e $\Lr^u$ de $\mathbb{A}^2 \times \mathbb{P}^1$ tel que $$\Lr^u \cap \mathbb{A}^2 \times \U_t = \V(t\xi_1 + \xi_2) \ \ \ \textrm{et} \ \ \ \Lr^u \cap \mathbb{A}^2 \cap \mathbb{A}^2 \times \U_s = \V(\xi_1 + s\xi_2).$$}

\vspace{0.1cm} Observons que le sous-sch\'ema ferm\'e $\Lr^u$ de $\mathbb{A}^2 \times \mathbb{P}^1$ est bien une droite au-dessus de $\mathbb{P}^1$ au sens de la d\'efinition  car les matrices $$(t \ \ 1) \in \M_{12}(\mathbb{Z}[t]) \ \ \ \textrm{ et } \ \ \ \ (1 \ \ s) \in \M_{12}(\mathbb{Z}[s])$$ sont toutes deux de rang un.

\vspace{0.3cm} \textbf{(4.2)} Quels que soient le sch\'ema $\Sr$ et le morphisme $f : \Sr \rightarrow \mathbb{P}^1$, le sous-sch\'ema ferm\'e $f^*\Lr^u$ de $$f^*(\mathbb{A}^2 \times \mathbb{P}^1) = (\mathbb{A}^2 \times \mathbb{P}^1) \times_{\mathbb{P}^1} \times \Sr = \mathbb{A}^2 \times \Sr$$ est une droite de $\mathbb{A}^2_{\Sr}$.

\vspace{0.1cm}
\noindent \textbf{Th\'eor\`eme 14} --- \emph{Pour tout sch\'ema $\Sr$, l'application $$\h_{\mathbb{P}^1}(\Sr) = \mathrm{Hom}_{\mathrm{Sch}}(\Sr, \mathbb{P}^1) \rightarrow \{\textrm{droites de } \mathbb{A}^2 \times \Sr\},$$  $$f \mapsto f^{*}\Lr^u$$ est bijective.}

\vspace{0.1cm} Le point-clef permettant de d\'emontrer ce th\'eor\`eme est le fait suivant.

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{Lemme 16} --- \emph{Soit $\A$ un anneau. Deux matrices de rang un $(a_1 \ \ a_2), \ (a_1' \ \ a_2') \in \M_{12}(\A)$ d\'efinissent le m\^eme sous-sch\'ema ferm\'e de $\mathbb{A}^2_{\A} = \mathrm{Spec}(\A[\xi_1, \xi_2])$ si et seulement si $a_1a_2' = a_1'a_2$. \\
\indent En outre, si $a_1$ (resp. $a_2$) est inversible, alors $a_1'$ (resp. $a_2'$) est inversible.}

\vspace{2pt}
\noindent \emph{D\'emonstration.} Les sous-sch\'emas ferm\'es $\X = \V(a_1\xi_1+a_2\xi_2)$ et $\X' = \V(a_1'\xi_1+a_2'\xi_2)$ de $\mathbb{A}^2_{\A}$ sont les m\^emes si et seulement si les sous-ensembles $\X(\B)$ et $\X'(\B)$ de $\mathbb{A}^2_{\A}(\B) = \B^2$ co\"{\i}ncident pour toute $\A$-alg\`ebre $\B$, donc si et seulement si $$\{(x_1, x_2) \in \B^2 \ | \ a_1x_1 + a_2x_2 = 0\} = \{(x_1,x_2) \in \B^2 \ | \ a'_1x_1 + a'_2x_2 = 0\}$$ pour toute $\A$-alg\`ebre $\B$.

La condition $a_1a_2'= a_1'a_2$ est clairement n\'ecessaire : il suffit d'observer que le couple $(a_2,-a_1) \in \A^2$ appartient \`a $\X(\A)$ tandis qu'il appartient \`a $\X'(\A)$ si et seulement si $a_1a_2' = a_1'a_2$.

\vspace{0.1cm}
Supposons r\'eciproquement que l'on ait $a_1a_2' = a_1'a_2$ et consid\'erons une $\A$-alg\`ebre $\B$ ainsi qu'un couple $(x_1,x_2) \in \B^2$ appartenant \`a $\X(\B)$. La matrice $(a_1' \ \ a_2')$ \'etant de rang un, il existe un couple $(u_1,u_2) \in \A^2$ tel que $a_1'u_1 + a_2'u_2 = 1$ (c'est \'equivalent) et les deux ouverts principaux $\D(a_1'), \ \D(a_2')$ constituent donc un recouvement ouvert de $\mathrm{Spec}(\A)$ et de $\mathrm{Spec}(\B)$ (on omet d'\'ecrire l'homomorphisme structural $\A \rightarrow \B$ faisant de l'anneau $\B$ une $\A$-alg\`ebre). On justifie de mani\`ere similaire que les ouverts principaux $\D(a_1)$ et $\D(a_2)$ recouvrent $\mathrm{Spec}(\A)$ et $\mathrm{Spec}(\B)$.

L'\'el\'ement $a_1'x_1 + a_2'x_2$ de $\B$ est d'image nulle dans chacun des anneaux $\B[{a_1}^{-1}]$ et $\B[{a_2}^{-1}]$ : en effet, \begin{eqnarray*} a_1(a_1'x_1 + a_2'x_2) & = & a_1'(a_1x_1 + a_2x_2) \\ & = & 0 \end{eqnarray*} car $a_1a_2'=a_1'a_2$ et $(x_1,x_2) \in \X(\B)$ ; pour les m\^emes raisons,  \begin{eqnarray*} a_2(a_1'x_1 + a_2'x_2) & = & a_2'(a_1x_1 + a_2x_2) \\ & = & 0. \end{eqnarray*}. Un \'el\'ement de $\B$ \'etant nul si et seulement si ses images dans $\B[{a_1}^{-1}]$ et dans $\B[{a_2}^{-1}]$ le sont, nous en concluons \`a la nullit\'e de $a_1'x_1 + a_2'x_2 = 0$ dans $\B$.

Nous avons ainsi \'etabli l'inclusion $\X'(\B) \subset \X(\B)$. L'inclusion r\'eciproque s'obtient de la m\^eme mani\`ere, donc $\X(\B) = \X'(\B)$ pour toute $\A$-alg\`ebre $\B$ et finalement $\X = \X'$.

\vspace{0.1cm} D\'emontrons maintenant la seconde assertion. Si $a_1$ est inversible, $a_2' = a_1^{-1} a_1'a_2$ et donc, en posant $a = a_1^{-1}a_2$, $$\X(\B) = \{(x_1,x_2)  \in \B^2 \ | \ x_1 + ax_2 = 0\}, \ \ \ \X'(\B) = \{(x_1,x_2) \in \B^2 \ | \ a_1'(x_1 + ax_2) = 0 \}$$ pour toute $\A$-alg\`ebre $\B$. Comme $(1,0) \notin \X(\B)$, l'identit\'e $\X(\B) = \X'(\B)$ implique $a'_1 \neq 0$ dans $\B$ pour toute $\A$-alg\`ebre $\B$ ; en particulier, $a'_1 \neq 0$ dans $\kappa(\mathfrak{p})$ pour tout id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$. L'\'el\'ement $a_1'$ n'est par cons\'equent contenu dans aucun id\'eal premier de $\A$, ce qui signifie qu'il est inversible. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \emph{D\'emonstration du th\'eor\`eme 17}. Nous allons proc\'eder en trois \'etape.

\emph{Premi\`ere \'etape} -- Soit $f : \Sr \rightarrow \mathbb{P}^1$ un morphisme de sch\'emas et soit $\Lr = f^*\Lr^u$. Les ouverts $f^{-1}(\U_t)$ et $f^{-1}(\U_s)$ recouvrant $\Sr$, tout point $z$ de $\Sr$ appartient \`a l'un ou l'autre. Si $z \in f^{-1}(\U_t)$, le morphisme $\mathrm{Spec}(\kappa(z)) \rightarrow \U_t$ provient d'un homomorphisme $f^{\natural} : \mathbb{Z}[t] \rightarrow \kappa(z)$ et $\Lr_z = \V(f^{\natural}(t)\xi_1 + \xi_2)$. Si $z \in f^{-1}(\U_s)$, le morphisme naturel provient d'un homomorphisme $f^{\natural} : \mathbb{Z}[s] \rightarrow \kappa(z)$ et $\Lr_z = \V(\xi_1 + f^{\natural}(s)\xi_2)$ ; en outre, $z$ appartient alors \`a l'intersection $f^{-1}(\U_t) \cap f^{-1}(\U_s) = f^{-1}(\U_t \cap \U_s)$ si et seulement si l'homomorphisme $f^{\natural} : \mathbb{Z}[s] \rightarrow \kappa(z)$ se factorise par $\mathbb{Z}[s,s^{-1}]$, donc si et seulement si $f^{\natural}(s)$ est un \'el\'ement inversible de $\kappa(s)$, auquel cas $\Lr_z = \V(f^{\natural}(s)^{-1}\xi_1 + \xi_2)$. Vu la seconde assertion du lemme pr\'ec\'edent, cette discussion prouve que l'ouvert $f^{-1}(\U_t)$ de $\Sr$ est constitu\'e des points $z$ tels que $\Lr_z$ admette une \'equation de la forme $a\xi_1 + \xi_2$ avec $a \in \kappa(z)$.

Enfin, \'etant donn\'es un point $z \in f^{-1}(\U_t)$ et un ouvert affine $\U = \mathrm{Spec}(\A)$ de $\Sr$ contenant $z$ et tel que $\Lr \cap \mathbb{A}^2 \times \U = \V(a_1\xi_1 + a_2\xi_2)$ avec $(a_1 \ \ a_2) \in \M_{12}(\A)$ de rang un, l'image $a_2(z)$ de $a_2$ dans le corps r\'esiduel $\kappa(z)$ est inversible en vertu de l'identit\'e $\V(f^{\natural}(t)\xi_1 + \xi_2) = \V(a_1(z)\xi_1 + a_2(z)\xi_2)$ et de la seconde assertion du lemme pr\'ec\'edente. Le point $z$ appartient par suite \`a l'ouvert $\D(a_2) = \mathrm{Spec}(\A[a_2^{-1}])$ de $\U$ et, vu la caract\'erisation de l'ouvert $f^{-1}(\U_t)$, $\D(a_2) \subset f^{-1}(\U_t)$. Nous avons ainsi \'etabli l'identit\'e $$f^{-1}(\U_t) = \left\{z \in \Sr \ \left| \begin{array}{l} \textrm{z poss\`ede un voisinage affine } \mathrm{Spec}(\A) \ \textrm{tel que } \\ \Lr \cap \mathbb{A}^2_{\A} = \V(a_1\xi_1+a_2\xi_2) \ \textrm{ avec } a_2 \in \A^{\times} \end{array} \right\} \right. .$$
On \'etablit de m\^eme une caract\'erisation analogue de $f^{-1}(\U_s)$.

\vspace{0.1cm} \emph{Deuxi\`eme \'etape} -- Soient $f, g : \Sr \rightarrow \mathbb{P}^1$ deux morphismes tels que $f^*\Lr^u = g^*\Lr^u$. D'apr\`es la premi\`ere \'etape, $f^{-1}(\U_t) = g^{-1}(\U_t)$ et $f^{-1}(\U_s) = g^{-1}(\U_s)$. Pour tout ouvert affine $\U = \mathrm{Spec}(\A)$ contenu dans $f^{-1}(\U_t) = g^{-1}(\U_t)$, les morphismes $f, g : \U \rightarrow \U_t$ correspondent \`a des homomorphismes $f^{\natural}, g^{\natural} : \mathbb{Z}[t] \rightarrow \A$ et $$\V(f^{\natural}(t)\xi_1 + \xi_2) = f^{*}\Lr^u \cap \mathbb{A}^2_{\A} = g^{*} \Lr^u \cap \mathbb{A}^2_{\A} = \V(g^{\natural}(t)\xi_1 + \xi_2).$$ En vertu du lemme pr\'ec\'edent, il en d\'ecoule $f^{\natural}(t) = g^{\natural}(t)$ et donc $f_{|\U} = g_{|\U}$.

Ceci \'etablit l'injectivit\'e de l'application $\h_{\mathbb{P}^1}(\Sr) \rightarrow \{\textrm{droites dans } \mathbb{A}^2 \times \Sr\}, \ f \mapsto f^{*}\Lr^u$.

\vspace{0.1cm} \emph{Troisi\`eme \'etape} -- Soit finalement $$\xymatrix{\Lr \ar@{^{(}->}[r] \ar@{->}[d] & \mathbb{A}^2 \times \Sr \ar@{->}[ld]^{\mathrm{pr}_2} \\ \Sr & }$$ une droite au-dessus de $\Sr$. Il existe par hypoth\`ese un recouvrement $\mathcal{U}$ de $\Sr$ par des ouverts affines $\U = \mathrm{Spec}(\A)$ tels que $\Lr \cap \mathbb{A}^2 \times \U$ soit le sous-sch\'ema ferm\'e $\V(a_1 \xi_1 + a_2 \xi_2)$ de $\mathrm{Spec}(\A[\xi_1,\xi_2])$ d\'efini par une matrice de rang un $(a_1 \ \ a_2) \in \M_{12}(\A)$. Les ouverts principaux $\D(a_1)$ et $\D(a_2)$ recouvrant $\mathrm{Spec}(\A)$, un raffinement convenable de notre recouvement initial nous permet de supposer \`a chaque fois que l'un des deux \'el\'ements $a_1$, $a_2$ est inversible dans $\A$.

Consid\'erons un ouvert $\U = \mathrm{Spec}(\A)$ dans $\mathcal{U}$ et choisissons une matrice de rang un $(a_1 \ \ a_2) \in \M_{12}(\A)$ d\'efinissant $\Lr \cap \mathbb{A}^2 \times \U$ avec $a_1 \in \A^{\times}$ ou $a_2 \in \mathbb{A}^{\times}$. Si $a_1 \in \A^{\times}$, on d\'efinit un morphisme $f_1 : \mathrm{U} \rightarrow \U_s \subset \mathbb{P}^1$ en consid\'erant l'unique homomorphisme d'anneaux $f_1^{\natural} : \mathbb{Z}[s] \rightarrow \A$ envoyant $s$ sur $a_1^{-1}a_2$ ; on a alors $$f_1^*\Lr^u = f_1^*\V(\xi_1 + s\xi_2) = \V(\xi_1 + a_1^{-1}a_2 \xi_2) = \V(a_1\xi_1 + a_2 \xi_2) = \Lr \cap \mathbb{A}^2 \times \U.$$ Si $a_2 \in \A^{\times}$, on d\'efinit un morphisme $f_2 : \mathrm{U} \rightarrow \U_t \subset \mathbb{P}^1$ en consid\'erant l'unique homomorphisme d'anneaux $f_2^{\natural} : \mathbb{Z}[t] \rightarrow \A$ envoyant $t$ sur $a_1a_2^{-1}$ ; on a $$f_2^*\Lr^u = f^*\V(t\xi_1 + \xi_2) = \V(a_2^{-1}a_1\xi_1+\xi_2) = \V(a_1\xi_1 + a_2 \xi_2) = \Lr \cap \mathbb{A}^2 \times \U.$$ Si $a_1$ et $a_2$ sont tous deux inversibles dans $\A^{\times}$, les deux morphismes $f_1, \ f_2 : \U \rightarrow \mathbb{P}^1$ co\"{\i}ncident vu les conditions de recollement de $\U_t$ et $\U_s$ dans $\mathbb{P}^1$. Nous avons ainsi d\'efini un morphisme $f : \U \rightarrow \mathbb{P}^1$ tel que $\Lr = f^{*}\Lr^u$.

D'apr\`es le r\'esultat de l'\'etape pr\'ec\'edente, ce morphisme ne d\'epend que de la droite $\Lr \hookrightarrow \mathbb{A}^2 \times \U$ et non du choix de la matrice $(a_1 \ \ a_2)$ la d\'efinissant. Le m\^eme argument garantit que les morphismes d\'efinis sur deux ouverts $\U, \V \in \mathcal{U}$ co\"{\i}ncident sur chaque ouvert affine de $\U \cap \V$, donc sur $\U \cap \V$ ; ces morphismes se recollent par cons\'equent en un morphisme $f : \Sr \rightarrow \mathbb{P}^1$. Enfin, $f^*\Lr^u = \Lr$ car cette identit\'e est vraie au-dessus de chaque ouvert $\U \in \mathcal{U}$ par d\'efinition m\^eme du morphisme $f$. \hfill $\Box$

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\scshape 5. Les grassmanniennes}
\end{center}

\vspace{0.3cm}

Ayant d\'ecrit le foncteur des points du sch\'ema $\mathbb{P}^1$ en \'etablissant que le couple $(\mathbb{P}^1, \Lr^u)$ repr\'esente le foncteur $$\mathbf{Sch} \rightarrow \mathbf{Ens}, \ \ \Sr \mapsto \{\textrm{droites dans } \mathbb{A}^2 \times \Sr\},$$ nous allons maintenant prendre le point de vue oppos\'e et d\'emontrer le th\'eor\`eme suivant.

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{Th\'eor\`eme 17} --- \emph{Pour tous entiers naturels $n, r$ avec $1 \leq r \leq n$, le foncteur $$\G_{n,r} : \mathbf{Sch} \rightarrow \mathbf{Ens}, \ \ \Sr \mapsto \{\textrm{sous-espaces lin\'eaires de codimension } r \textrm{ de } \mathbb{A}^n \times \Sr\}$$ est repr\'esent\'e par un couple $(\mathrm{Grass}_{n,r}, \Lr_{n,r}^u)$ form\'e d'un sch\'ema $\mathrm{Grass}_{n,r}$ et d'un sous-espace lin\'eaire $\Lr_{n,r}$ de codimension $r$ de $\mathbb{A}^n \times \mathrm{Grass}_{n,r}$. \\
\indent Le couple ($\mathrm{Grass}_{n,r}, \Lr_{n,r}$) est unique \`a isomorphisme unique pr\`es et le sch\'ema $\mathrm{Grass}_{n,r}$ est la \emph{grassmannienne des sous-espaces lin\'eaires de codimension $r$ de $\mathbb{A}^n$}.}

\vspace{0.3cm} \textbf{(5.1)} La d\'emonstration du th\'eor\`eme repose fondamentalement sur les m\^emes arguments que ceux utilis\'es dans la section pr\'ec\'edente pour d\'ecrire le foncteur des points de $\mathbb{P}^1$. En voici le canevas.

1. Nous allons commencer par mettre en \'evidence certains sous-foncteurs du foncteur $\G_{n,r} : \mathbf{Sch} \rightarrow \mathbf{Ens}$ et v\'erifier qu'ils sont repr\'esentables par des espaces affines ; ce seront des g\'en\'eralisations des ouverts $\U_t$ et $\U_s$ de $\mathbb{P}^1$.

2. Nous observerons alors que ces sous-foncteurs fournissent naturellement une condition de recollement pour les espaces affines les repr\'esentant.

3. Nous v\'erifierons enfin que le sch\'ema obtenu par recollement de ces espaces affines (naturellement \'equip\'e d'un espace lin\'eaire relatif) repr\'esente le foncteur $\G_{n,r}$.

\vspace{0.1cm} Les principaux \'enonc\'es techniques sont rassembl\'es dans le lemme ci-dessous.

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{D\'efinition 18} --- \emph{Soit $\A$ un anneau. Pour toute une matrice $\M = (a_{ij}) \in \M_{r,n}(\A)$ et toute partie $\I$ de $\{1, \ldots, n\}$ \`a $r$ \'el\'ements, on d\'esigne par $\M_{\I}$ la matrice carr\'ee de taille $r$ d\'eduite de $\M$ en retirant les colonnes dont l'indice n'appartient pas \`a $\I$ et on pose $\delta_{\I}(\M) = \det(\M_{\I})$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{Lemme 19} --- \emph{Soit $\A$ un anneau et soit $\M = (a_{ij}) \in \M_{rn}(\A)$ une matrice de rang $r$. Le sch\'ema $\mathrm{Spec}(\A)$ est recouvert par les ouverts principaux $\D(\delta_{\I})$, $\I$ parcourant l'ensemble des parties \`a $r$ \'el\'ements de $\{1, \ldots, n\}$.}

\noindent \emph{D\'emonstration.} [...] \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Lemme 20} --- \emph{Soit $\A$ un anneau et soient $\M = (a_{ij}), \ \M' = (a_{ij}') \in \M_{r,n}(\A)$ deux matrices de rang $r$. On pose $$\Lr = \V\left(\sum_{1 \leq j \leq n} a_{ij} \xi_j \ ; \ 1 \leq i \leq r \right) \ \ \textrm{ et } \ \ \Lr' = \V\left(\sum_{1 \leq j \leq n} a'_{ij} \xi_j \ ; \ 1 \leq i \leq r \right).$$ \\
\indent \emph{(i)}  Le sch\'ema $\mathrm{Spec}(\A)$ est recouvert par les ouverts principaux $\D(\delta_{\I})$, $\I$ parcourant l'ensemble des parties \`a $r$ \'el\'ements de $\{1, \ldots, n\}$.\\
\indent \emph{(ii)} Si $\Lr = \Lr'$, alors $$\delta_{\I}(\M) \in \A^{\times} \  \ \Longleftrightarrow  \delta_{\I}(\M') \in \A^{\times}$$ pour toute partie \`a $r$ \'el\'ements $\I$ de $\{1, \ldots,n\}$. \\
\indent \emph{(iii)} Soit $\I$ une partie \`a $r$ \'el\'ements de $\{1, \ldots, n\}$. Si $\delta_{\I}(\M)$ et $\delta_{\I}(\M')$ sont inversibles dans $\A$, alors $\Lr = \Lr'$ si et seulement si $\M_{\I}^{-1}\M = {\M'_{\I}}^{-1}\M'$.}

\vspace{2pt}
\noindent \emph{D\'emonstration.} (i) Consid\'erons un point $z$ de $\mathrm{Spec}(\A)$ et convenons de noter $a \mapsto a(z)$ l'homomorphisme canonique $\A \rightarrow \kappa(z)$. La fibre $\Lr_z$ de $\Lr$ au-dessus du point $z$ est le sous-espace lin\'eaire de $\mathbb{A}^n_{\kappa(z)}$ d\'efini par la matrice $\M(z) = (a_{ij}(z))$ de $\M_{rn}(\kappa(z))$, image de $\M$ par l'homomorphisme canonique $\M_{rn}(\A) \rightarrow \M_{rn}(\kappa(z))$. Comme $\M(z)$ est par hypoth\`ese de rang $r$, il existe une partie $\I$ de $\{1, \ldots, n\}$ \`a $r$ \'el\'ements telle que le mineur $\delta_{I}(\M)(z) = \delta_{\I}(\M(z))$ soit un \'el\'ement inversible de $\kappa(z)$ et le point  $z$ appartient donc \`a l'ouvert principal $\D(\delta_{\I}(\M))$.

\vspace{0.1cm} (ii) Supposons que les sous-sch\'emas ferm\'es $\Lr$ et $\Lr'$ de $\mathbb{A}^n_{\A}$ co\"{\i}ncident et que $\delta_{\I}(\M)$ soit inversible dans $\A$. Pour toute $\A$-alg\`ebre $\B$, les matrices $\M'$ et $\M_{\I}^{-1}\M$ ont le m\^eme noyau dans $\B^n$ ; en particulier, pour tout vecteur $\underline{x} \in \B^n$ tel que $\M'\underline{x} = 0$, $\underline{x} = 0$ si $x_i = 0$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\} - \I$. Appliquant ceci au cas o\`u $\B$ est le corps r\'esdiduel d'un point de $\mathrm{Spec}(\A)$, nous en d\'eduisons que la matrice $\M'_{\I}$ est d'image inversible dans $\M_{rn}(\kappa(z))$ pour tout pour tout $z \in \mathrm{Spec}(\A)$ ; on a donc $\delta_{\I}(\M)(z) \neq 0$ pour tout $z$, d'o\`u $\delta_{\I}(\M) \in \A^{\times}$, et la matrice $\M_I$ est ainsi inversible dans $\M_{rn}(\A)$.

\vspace{0.1cm} (iii) Supposons qu'il existe une partie $\I$ de $\{1, \ldots, n\}$ \`a $r$ \'el\'ements telle que $\delta_{\I}(\M)$ et $\delta_{\I}(\M')$ soient inversibles dans $\A$. Pour simplifier les notations, $\I = \{1, \ldots, r\}$ dans ce qui suit.

Si $\Lr = \Lr'$, les matrices $\N = \M_{\I}^{-1}\M$ et $\N'={\M'_{\I}}^{-1}\M$ ont le m\^eme noyau dans $\A^n$. Pour tout indice $j \in \{1, \ldots, n\}  - \I$ et tout $r$-uplet $\underline{x} \in \A^r$, $$\N\left(\sum_{1 \leq i \leq r} x_{i} e_{i}  - e_j\right) = \sum_{1 \leq \ell \leq r} x_{\ell} - \sum_{1 \leq i \leq r} n_{i, j}e_{j},$$ o\`u $(e_1, \ldots, e_r)$ d\'esigne la base canonique de $\A^n$. On dispose d'identit\'es analogues pour la matrice $\N'$ et on en conclut \`a l'\'egalit\'e colonne par colonne des matrices $\N$ et $\N'$.

\vspace{2pt} R\'eciproquement, si $\M_{\I}^{-1}\M = {\M_{\I}'}^{-1}\M'$, alors $\Lr = \Lr'$ car $$\Lr = \V(\M\underline{\xi}) = \V\left(\M_{\I}^{-1}\M \underline{\xi}\right) \ \ \textrm{ et } \ \  \Lr' = \V(\M'\underline{\xi})=\V\left({\M'_{\I}}^{-1}\M' \underline{\xi}\right).$$

\hfill $\Box$


\vspace{0.3cm} \textbf{(5.2)} Passons maintenant \`a la d\'emonstration du th\'eor\`eme 17.

\vspace{2pt} \emph{Notations} --- Nous allons consid\'erer l'espace affine de dimension $rn$ $\mathbb{V}$ muni des coordonn\'ees $t_{ij}$, $1 \leq i \leq r$, $1 \leq j \leq n$ : $\mathbb{V} = \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[\xi_{ij} \ ; \ 1 \leq i \leq r, \ 1 \leq j \leq n])$. Pour toute partie $\I$ de $\{1, \ldots, n\}$ \`a $r$ \'el\'ements, nous d\'esignerons par $\mathbb{V}_{\I}$ le sous-sch\'ema derm\'e de $\mathbb{V}$ d\'efini par les $r^2$ \'equations $$t_{ij} = \delta_{ij}, \ \ \ 1 \leq i \leq r, \ \ j \in \I \ ;$$ il est canoniquement isomorphe \`a l'espace affine $r(n-r)$-dimensionel $\mathrm{Spec}([\mathbb{Z}[t_{ij} \ ; \  1 \leq i \leq r \ , \ j \in \{1, \ldots, n\} - \I])$.

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{D\'efinition 21} --- \emph{\'Etant donn\'ee une partie $\I$ de $\{1, \ldots, n\}$ \`a $r$ \'el\'ements, on d\'esigne par $\G_{r,n}^{\I}$ le sous-foncteur de $\G_{r,n}$ d\'efini comme suit : pour tout sch\'ema $\Sr$,  $\G_{r,n}^{\I}(\Sr)$ est l'ensemble des sous-espaces lin\'eaires $\Lr \hookrightarrow \mathbb{A}^n \times \Sr$ de codimension $r$ tels que, pour tout point $z$ de $\Sr$, le sous-espace lin\'eaire $\Lr_z$ de $\mathbb{A}^n_{\kappa(z)}$ soit d\'efini par une matrice $\M \in \M_{rn}(\kappa(z))$ avec $\delta_{\I}(\M) \neq 0$.}

\vspace{2pt} De mani\`ere \'equivalente, $\G_{r,n}^{\I}(\Sr)$ est l'ensemble des sous-espaces lin\'eaires $\Lr \hookrightarrow \mathbb{A}^n \times \Sr$ de codimension $r$ qui, localement au-dessus de $\Sr$, sont d\'efinis par des matrices $\M \in \M_{rn}(\A)$ telles que $\delta_{\I}(\M) \in \A^{\times}$.

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{Premi\`ere \'etape : repr\'esentabilit\'e des foncteurs $\G_{r,n}^{\I}$.} --- Fixons une partie $\I$ de $\{1, \ldots, n\}$ \`a $r$ \'el\'ements. Le sous-sch\'ema ferm\'e $\Lr_\I^u$ de $\mathbb{A}^n \times \mathbb{V}_{\I}$ d\'efini par les \'equations $\sum_{1 \leq j \leq n} t_{ij}\xi_j$, $1 \leq i \leq r$ est manifestement un sous-espace lin\'eaire de codimension $r$ au-dessus de $\mathbb{V}_{\I}$ et $\Lr_{\I}^u$ est un \'el\'ement de $\G_{r,n}^{\I}(\mathbb{V}_{\I})$ puisque $\delta_{\I}(t_{ij}) = 1$.

Quel que soit le sch\'ema $\Sr$, l'application $$\h_{\mathbb{V}_{\I}}(\Sr) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{Sch}}(\Sr,\mathbb{V}_{\I}) \rightarrow \mathrm{Gr}_{r,n}^{\I}(\Sr), \ \ \ f \mapsto f^{*}\Lr_{\I}^u$$ est \emph{bijective}.

- \emph{Injectivit\'e}. Puisque deux morphismes $f, g : \Sr \rightarrow \mathbb{V}_{\I}$ sont \'egaux si et seulement s'ils co\"{\i}ncident sur chaque ouvert affine de $\Sr$, il est loisible de supposer que $\Sr$ est affine. Un morphisme $f : \mathrm{Spec}(\A) \rightarrow \mathbb{V}_{\I}$ est la m\^eme chose qu'un homomorphisme d'anneaux $f^{\natural} : \mathbb{Z}[t_{ij} \ ; \ 1 \leq i \leq r, \ j \in \{1, \ldots, n\} - \I] \rightarrow \A$ et $f^{*}\Lr_{\I}^u$ est le sous-espace lin\'eaire de $\mathbb{A}^{n}_{\A}$ d\'efini par la matrice $(f^{\natural}(t_{ij})) \in \M_{rn}(\A)$ ; si deux morphismes $f, g : \Sr \rightarrow \mathbb{V}_{\I}$ sont tels que $f^{*}\Lr_{\I}^u = g^{*}\Lr_{\I}^u$, alors $(f^{\natural}(t_{ij})) = (g^{\natural}(t_{ij})$ dans $\M_{rn}(\A)$ en vertu du point (iii) du lemme pr\'ec\'edent et donc $f = g$.

- \emph{Surjectivit\'e}. Soit $\Lr \in \G_{r,n}^{\I}$. Le sch\'ema $\Sr$ est recouvert par des ouverts affines $\U = \mathrm{Spec}(\A)$ tels que $\Lr \cap \mathbb{A}^n \times \U = \V(\M\underline{\xi})$ avec $\M \in \M_{rn}(\A)$ et $\delta_{\I}(\M) \in \A^{\times}$. Dans ces conditions, $\Lr \cap \mathbb{A}^n \times \U = \V(\M_{\I}^{-1}\M \underline{\xi})$ et donc $\Lr \cap \mathbb{A}^n \times \U = f_{\U}^{*}\Lr_{\I}^u$, o\`u $f_{\U} : \U \rightarrow \mathbb{V}_{\I}$ est le morphisme tel que $f^{\natural} : \mathbb{Z}[t_{ij} \ ; \ 1 \leq i \leq r, \ j \in \{1, \ldots, n\}- \I] \rightarrow \A$ soit l'homomorphisme d\'efini par $$f^{\natural}(t_{ij}) = \big(\M_{I}^{-1}\M\big)_{ij}$$ pour tous $i, j$. Vu l'injectivit\'e des applications $\h_{\mathbb{V}_{\I}}(\cdot) \rightarrow \G_{r,n}^{\I}(\cdot),$ les diff\'erents morphismes $f_{\U} : \U \rightarrow \mathbb{V}_{\I}$ que l'on vient de d\'efinir se recollent en un morphisme $f : \Sr \rightarrow \mathbb{V}_{\I}$ tel que $\Lr = f^{*}\Lr_{\I}^u$.

\vspace{2pt} Nous venons d'\'etablir que le foncteur $\mathrm{Gr}_{r,n}^{\I}$ est repr\'esent\'e par le sch\'ema $\mathbb{V}_{\I}$ -- isomorphe \`a l'espace affine standard $\mathbb{A}^{r(n-r)}$ -- muni du sous-espace lin\'eaire relatif $\Lr_{\I}^u \hookrightarrow \mathbb{A}^n \times \mathbb{V}_{\I}$.

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{Deuxi\`eme \'etape : condition de recollement des foncteurs $\G_{r,n}^{\I}$.} Soient $\I$ et $\J$ deux parties de $\{1, \ldots, n\}$ \`a $r$ \'el\'ements. Le produit fibr\'e $\G_{r,n}^{\I,\J} = \G_{r,n}^\I \times_{\G_{r,n}} \G_{r,n}^{\J}$ est par d\'efinition le foncteur $$\mathbf{Sch} \rightarrow \mathbf{Ens},  \ \ \Sr \mapsto \{(\Lr,\Lr') \in \G_{r,n}^{\I}(\Sr) \times \G_{r,n}^{\J}(\Sr) \ | \ Lr = \Lr' \in \G_{r,n}(\Sr)\} = \G_{r,n}^{\I}(\Sr) \cap \G_{r,n}^{\J}(\Sr).$$ Le sous-foncteur $\G_{r,n}^{\I,\J}$ de $\G_{r,n}^{\I}$ est repr\'esent\'e par le sous-sch\'ema ouvert $\mathbb{V}_{\I}^{\J} = \mathbb{V}_{\I} \cap \D(\delta_{\J}(t_{ij}))$ de $\mathbb{V}_{\I}$ : en effet, un morphisme $f : \Sr \rightarrow \mathbb{V}_{\I}$ se factorise \`a travers l'immersion ouverte $\mathbb{V}_{\I}^{\J} \hookrightarrow \mathbb{V}_{\I}$ si et seulement si, localement sur $\Sr$, $f^{*}\Lr_{\I}^u$ est d\'efini par une matrice $\M \in \M_{r,n}(\A)$ telle que $\delta_{\J}(\M) \in \A^{\times}$. De m\^eme, le sous-foncteur $\G_{r,n}^{\I,\J}$ de $\G_{r,n}^{\J}$ est repr\'esent\'e par le sous-sch\'ema ouvert $\mathbb{V}_{\J}^{\I} = \mathbb{V}_{\J} \cap \D(\delta_{\I})$ de $\mathbb{V}_{\J}$. Dans ces conditions, il existe un et un seul isomorphisme $\varphi_{\I \J} : \mathbb{V}_{\I}^{\J} \rightarrow \mathbb{V}_{\J}^{\I}$ tel que $\varphi_{\I \J}^{*}\Lr_{\J}^u = \Lr_{\I}^u$.

Quelles que soient $\I, \J, \K$ des parties de $\{1, \ldots, n \}$ \`a $r$ \'el\'ements, $$(\varphi_{\J\K} \circ \varphi_{\I\J})^{*}\Lr_{\K}^u = \varphi_{\I \J}^{*}\big(\varphi_{\J\K}^{*}\Lr_{\K}^u\big) = \varphi_{\I\J}^{*}\Lr_{\J}^u = \Lr_{\I}^u = \varphi_{\I\K}^{*}\Lr_{\K}^u$$ et donc $\varphi_{\I\K} = \varphi_{\J\K} \circ \varphi_{\I \J}$.

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{Troisi\`eme \'etape : repr\'esentabilit\'e du foncteur $\G_{r,n}$.} Les conditions de recollement mises en \'evidence \`a l'\'etape pr\'ec\'edente garantissent l'existence d'un sch\'ema $\mathrm{Grass}_{r,n}$, d'un recouvement d'icelui par des ouverts $\U_{\I}$, ainsi que de morphismes $\varphi_{\I} : \mathbb{V}_{\I} \rightarrow \mathrm{Grass}_{r,n}$  ($\I \subset \{1, \ldots, n\}$ et $\mathrm{Card}(\I) = r$) qui satisfont aux deux conditions suivantes :
\begin{itemize}
\item  pour toute partie $\I$ de $\{1, \ldots, n\}$ \`a $r$ \'el\'ements, $\varphi_{\I}$ est un isomorphisme sur $\U_{\I}$ ;
\item pour toutes parties $\I, \J$ de $\{1, \ldots, n\}$ \`a $r$ \'el\'ements, $\varphi_{\I \J} = \varphi_{\J}\varphi_{\I}^{-1}$.
\end{itemize}

En outre, comme $\varphi_{\I\J}^{*}\Lr_{\J}^u = \Lr_{\I}^u$, il existe un unique sous-sch\'ema ferm\'e $\Lr^u$ de $\mathbb{A}^n \times \mathrm{Grass}_{r,n}$ tel que $\varphi_{\I}^*\Lr^u = \Lr_{\I}^u$ pour toute partie $\I$ de $\{1,\ldots, n\}$ \`a $r$ \'el\'ements. Ce sous-sch\'ema ferm\'e de $\mathbb{A}^n \times \mathrm{Grass}_{r,n}$ est manifestement un sous-espace lin\'eaire de codimension $r$ puisque tel est par construction le cas au-dessus de chacun des ouverts $\U_{\I}$ de $\mathrm{Grass}_{r,n}$.

\vspace{0.1cm} Quel que soit le sch\'ema $\Sr$, l'application $$\h_{\mathrm{Grass}_{r,n}}(\Sr) \rightarrow \G_{r,n}, \ \ f \mapsto f^{*}\Lr^u$$ est \emph{bijective}.

- \emph{Injectivit\'e.} \'Etant donn\'e un morphisme $f : \Sr \rightarrow \mathrm{Grass}_{r,n}$, les ouverts $f^{-1}(\U_{\I})$ forment un recouvrement de $\Sr$. Un point de $z$ de $\Sr$ appartient \`a $f^{-1}\U_{\I}$ si et seulement si l'image du morphisme $f_{z} : \mathrm{Spec}(\kappa(z)) \rightarrow \mathrm{Grass}_{r,n}$, obtenu en composant par $f$ le morphisme canonique $\mathrm{Spec}(\kappa(z)) \rightarrow \Sr$, est contenue dans $\U_{\I}$, donc si et seulement si le sous-esapce lin\'eaire $f_z^{*}\Lr^u$ de $\mathbb{A}^n_{\kappa(z)}$ appartient au sous-ensemble $\G_{r,n}^{\I}(\kappa(z))$ en vertu de la premi\`ere \'etape. Comme $f_z^{*}\Lr^u$ n'est autre que la fibre du sous-espace lin\'eaire $f^*\Lr^u \hookrightarrow \mathbb{A}^n \times \Sr$ au-dessus du point $z$ de $\Sr$, nous en d\'eduisons que les ouverts $f^{-1}\U_{\I}$ de $\Sr$ ne d\'ependent du morphisme $f$ que par l'interm\'ediaire du sous-espace lin\'eaire $f^*\Lr^u \in \G_{r,n}(\Sr)$. En particulier, si deux morphismes $f, \ g : \Sr \rightarrow \mathrm{Grass}_{r,n}$ sont tels que $f^* \Lr^u = g^* \Lr^u$, alors $f^{-1}\U_{\I} = g^{-1}\U_{\I}$ pour toute partie $\I$ de $\{1, \ldots, n\}$ \`a $r$ \'el\'ements ; vu le r\'esultat de la premi\`ere \'etape, $f$ et $g$ ont la m\^eme restriction \`a chacun des ouverts $f^{-1}\U_{\I} = g^{-1}\U_{\I}$ et donc $f = g$.

- \emph{Surjectivit\'e.} Soit $\Lr \in \G_{r,n}(\Sr)$ un sous-espace lin\'eaire de $\mathbb{A}^n \times \Sr$ de codimension $r$ et soit $\U = \mathrm{Spec}(\A)$ un ouvert affine de $\Sr$ tel que $\Lr \cap \mathbb{A}^n \times \U$ soit d\'efini par une matrice $\M \in \M_{r,n}(\A)$ de rang $r$. En vertu du point (i) du lemme , $\U$ est recouvert par les ouverts principaux $\D(\delta_{\I}(\M))$, $\I \subset \{1,\ldots, n\}$ avec $\mathrm{Card}(\I)=r$. Vu la premi\`ere \'etape et la d\'efinition du sch\'ema $\mathrm{Grass}_{r,n}$, il existe un unique morphisme $f_{\U,\I} : \D(\delta_{\I}(\M)) \rightarrow \mathrm{Grass}_{r,n}$ tel que $f_{\U,\I}^{*}\Lr^u = \Lr \cap \mathbb{A}^n \times \D(\delta_{\I}(\M))$. Les morphismes $f_{\U,\I} : \D(\delta_{\I}(\M)) \rightarrow \mathrm{Grass}_{r,n}$ se recollent en un morphisme $f : \Sr \rightarrow \mathrm{Grass}_{r,n}$ tel que $\Lr = f^{*}\Lr^u$ en vertu de l'injectivit\'e des applications canoniques $\h_{\mathrm{Grass}_{r,n}}(\cdot) \rightarrow \G_{r,n}(\cdot)$.

\vspace{0.5cm} \textbf{(5.3)} Explicitons compl\`etement la construction pr\'ec\'edente dans le cas particulier $r = 1, n = \N+1$ avec $\N \in \mathbb{N}$. On consid\`ere l'ensemble \`a $n$ \'el\'ements $\{0, \ldots, \N\}$ en lieu et place de l'ensemble $\{1,\ldots, n\}$, de sorte que $\mathbb{V}$ est l'espace affine $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[t_0 \ldots, t_{\N}])$ et, pour tout \'el\'ement $i$ de $\{0, \ldots, \N\}$, $\mathbb{V}_i$ est le sous-sch\'ema ferm\'e d\'efini par l'\'equation $t_i = 1$. Pour faciliter l'explicitation des conditions de recollement des sch\'emas $\mathbb{V}_i$, il y a int\'er\^et \`a mettre en \'evidence l'indice $i$ sur les coordonn\'ees ; nous \'ecrirons donc $\mathbb{V}_i = \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[t_{0}^i, \ldots, t_{\N}^i]/(t_i^i - 1))$. Le sous-espace lin\'eaire $\Lr_i^u$ de $\mathbb{A}^{\N+1} \times \mathbb{V}_i$ est le sous-sch\'ema ferm\'e d\'efini par l'\'equation $t_{0}^i \xi_i + \ldots + t_{\N}^i \xi_{\N} = 0$.

Quels que soient $i, j \in \{0, \ldots, \N\}$, $\mathbb{V}_i^j$ est l'ouvert principal $\D(t_i^j)$ de $\mathbb{V}_i$. L'isomorphisme $\varphi_{ij} : \mathbb{V}_{i}^{j} \rightarrow \mathbb{V}_{j}^i$ provient de l'identification des sous-espaces lin\'eaires $\Lr_i^u = \V(t_0^i \xi_0 + \ldots + t_{\N}^i \xi_{\N})$ et $\varphi_{ij}^{*}\Lr_j^u = \V(\varphi_{ij}^{\natural}(t_0^j) \xi_0 + \ldots + \varphi_{ij}^{\natural}(t_{\N}^j) \xi_{\N})$ de $\mathbb{A}^{\N+1} \times \mathbb{V}_{i}^j$. Par construction, les matrices $(t_0^i \ \ \ldots \ \  t_{\N}^i)$ et $(\varphi_{ij}^{\natural}(t_0^j) \ \ \ldots \ \ \varphi_{ij}^{\natural}(t_{\N}^0))$ sont normalis\'ees de telle sorte que $t_i^i = \varphi_{ij}^{\natural}(t_j^j) = 1$. L'\'egalit\'e des sous-espaces lin\'eaires \'equivaut par suite \`a l'identit\'e matricielle $$ (\varphi_{ij}^{\natural}(t_{0}^j) \ \ \ldots \ \ \varphi_{ij}^{\natural}(t_{\N}^j)) = ((t_j^i)^{-1}t_0^i \ \ \ldots \ \ (t_{j}^i)^{-1}t_{\N}^i)$$ et donc $\varphi_{ij}$ est l'isomorphisme d\'efini par les conditions suivantes : $$\varphi_{ij}^{\natural}(t_{\alpha}^j) = (t_{j}^{i})^{-1}t_{\alpha}^i \ \ \ \ \textrm{ pour tout } \alpha \in \{0, \ldots, \N\}.$$

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{D\'efinition 22} --- \emph{Quel que soit le nombre entier naturel $\N$, le sch\'ema $\mathrm{Grass}_{1,\N+1}$ est l'\emph{espace projectif} de dimension $\N$, usuellement not\'e $\mathbb{P}^{\N}$.}

\vspace{0.1cm} Quels que soient le corps $k$, les \emph{coordonn\'ees homog\`enes} d'un point $z$ de $\mathbb{P}^n(k)$ sont les matrices $(t_0 \ \ \ldots \ \ t_{\N}) \in \M_{1,\N+1}(k)$ de rang un (c'est-\`a-dire non identiquement nulles) d\'efinissant le sous-espace lin\'eaire $\Lr_{z}$ de $\mathbb{A}^{\N+1}_k$.

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{Remarque 23.} En vertu de la discussion du point (3.3), 1, l'ensemble $\mathbb{P}^{\N}(k)$ des points de l'espace projectif $\mathbb{P}^{\N}$ \`a valeurs dans un corps $k$ s'identifient naturellement aux \emph{hyperplans} vectoriel de $k^{\N+1}$.

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\scshape 6. Compl\'ements}
\end{center}

\vspace{0.3cm}
\textbf{(6.1)} \'Etant donn\'e un sch\'ema $\Sr$, les \emph{sections} de la seconde projection $\mathbb{A}^n \times \Sr \rightarrow \Sr$ correspondent biunivoquement aux morphismes de $\Sr$ dans $\mathbb{A}^n$, c'est-\`a-dire aux $n$-uplets d'\'el\'ements de $\Gamma(\Sr, \mathcal{O}_{\Sr})$. Si $\Lr \hookrightarrow \mathbb{A}^n \times \Sr$ est un sous-espace lin\'eaire, on convient de d\'esigner par $\Lr_{\sigma}(\Sr)$ l'ensemble des sections du morphisme $p : \Lr \rightarrow \Sr$ induit par la seconde projection $\mathbb{A}^n \times \Sr \rightarrow \Sr$ ; c'est naturellement un sous-ensemble de $\Gamma(\Sr, \mathcal{O}_{\Sr})^n$.

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{Remarque 24.} La notation $\Lr_{\sigma}(\Sr)$ signale que l'on ne consid\`ere que les sections du morphisme $p : \Lr \rightarrow \Sr$, c'est-\`a-dire les morphismes $s : \Sr \rightarrow \Lr$ tels que $p \circ s = \mathrm{id}_{\Sr}$, et non tous les morphismes de $\Sr$ dans $\Lr$.

\vspace{0.1cm}
\noindent \textbf{Lemme 25} --- \emph{Soit $\A$ un anneau et soit  $\Lr \hookrightarrow \mathbb{A}^n_{\A}$ un sous-espace lin\'eaire de codimension $r$. \\
\indent 1. L'ensemble $\Lr_{\sigma}(\A)$ est un sous-$\A$-module de $\A^n$ et, pour tout $f \in \A$, l'application canonique $\Lr_{\sigma}(\A) \rightarrow \Lr_{\sigma}(\A[f^{-1}])$ induit un isomorphisme de $\A[f^{-1}]$-modules entre $\Lr_{\sigma}(\A)[f^{-1}]$ et $\Lr_{\sigma}(\A[f^{-1}])$.\\
\indent 2. Les $\A$-modules $\Lr_{\sigma}(\A)$ et $\A^n/\Lr_{\sigma}(\A)$ sont localement libres de rangs respectifs $n-r$ et $r$. \\
\indent 2. \'Etant donn\'es deux sous-espaces lin\'eaires $\Lr, \ \Lr'$ de $\mathbb{A}^n_{\A}$, $\Lr = \Lr'$ si et seulement si $\Lr(\A) = \Lr(\A')$.}

\vspace{2pt} \noindent \emph{D\'emonstration.} 1. Il s'agit tout d'abord de v\'erifier que, pour toutes sections $s, s' \in \Lr_{\sigma}(\A)$ et tout \'el\'ement $a$ de $\A$, la section $s + a s'$ de $\mathbb{A}^n_{\A}$ se factorise \`a travers l'immersion ferm\'ee $\Lr \hookrightarrow \mathbb{A}^n_{\A}$. Cette question est de nature locale sur $\mathrm{Spec}(\A)$ : il suffit en effet de prouver que ceci est vrai au-dessus de chacun des ouverts d'un recouvement de $\mathrm{Spec}(\A)$. En se localisant sur $\mathrm{Spec}(\A)$, nous pouvons supposer que $\Lr$ est d\'efini par une matrice $\M \in \M_{r,n}(\A)$ de rang $r$ : $\Lr = \V(\M \underline{\xi})$, auquel cas $$\Lr_{\sigma}(\A) = \{(x_1, \ldots, x_{n}) \in \A^n \ | \ \M\underline{x}=0\}$$ est manifestement un sous-$\A$-module de $\A^{n}$.


\vspace{1pt} Soit $f \in \A$. L'homomorphisme de restriction $\Lr_{\sigma}(\A) \rightarrow \Lr_{\sigma}(\A[f^{-1}])$ est $\A$-lin\'eaire et induit donc un $\A[f^{-1}]$-homomorphisme $\Lr_{\sigma}(\A)[f^{-1}] \rightarrow \Lr_{\sigma}(\A[f^{-1}])$. L'injectivit\'e est imm\'ediate : si deux sections $s, s' \in \Lr_{\sigma}(\A)$ co\"{\i}ncident au-dessus de l'ouvert $\D(f)$ de $\mathrm{Spec}(\A)$, elles co\"{\i}ncident en tant que sections de $\mathbb{A}^n_{\A}$ au-dessus de $\D(f)$ ; $s$ et $s'$ correspondent ainsi \`a deux \'el\'ements de $\A^n$ ayant la m\^eme image dans $\A[f^{-1}]^n$, ce qui signifie qu'il existe $m \in \mathbb{N}$ tel que $f^{m}s = f^{m} s'$ et donc $s = s'$ dans $\Lr_{\sigma}(\A)[f^{-1}])$. Pour \'etablir la surjectivit\'e, il faut v\'erifier que toute section $s \in \Lr_{\sigma}(\A[f^{-1}])$ s'\'ecrit sous la forme $f^{-m}\tilde{s}$ avec $\tilde{s} \in \Lr_{\sigma}(\A)$ et $m \in \mathbb{N}$ ou, ce qui revient au m\^eme, qu'il existe $m \in \mathbb{N}$ tel que $f^m s$ se prolonge en une section de $\Lr$ au-dessus de $\mathrm{Spec}(\A)$. Comme $\mathrm{Spec}(\A)$ est quasi-compact, il suffit de v\'erifier que l'on peut recouvrir $\mathrm{Spec}(\A)$ par des ouverts $\U$ tels que la section $f^ms$ de $\Lr$ au-dessus de $\U \cap \D(f)$ se prolonge en une section de $\Lr$ au-dessus de $\U$ pour un certain entier $m \in \mathbb{N}$ d\'ependant de $\U$. En vertu de cette observation, nous pouvons donc supposer que l'on a $\Lr = \V(\M \underline{\xi})$ avec $\M \in \M_{rn}(\A)$, auquel cas la section $s$ correspond \`a un \'el\'ement $\underline{x}$ de $\A[f^{-1}]^n$ tel que $\M\underline{x} = 0$. Il existe un entier $m \in \mathbb{N}$ tel que $f^m \underline{x} \in \A^n$ et, comme $\M(f^m\underline{x}) = f^m \M \underline{x} = 0$ dans $\A[f^{-1}]$, il existe \'egalement un entier $m' \in \mathbb{N}$ tel que $\M(f^{m+m'}\underline{x}) = f^{m+m'}\M\underline{x} = 0$ dans $\A$, ce qui signifie pr\'ecis\'ement $f^{m+m'}s$ se prolonge en une section de $\Lr$ au-dessus de $\mathrm{Spec}(\A)$.

\vspace{1pt} 2. Si $\Lr = \V(\M\underline{\xi})$ avec $\M \in \M_{rn}(\A)$ de rang $r$, alors $\Lr_{\sigma}(\A)$ (resp. $\A^n/\Lr_{\sigma}(\A)$) est le noyau (resp. l'image) de l'application lin\'eaire $\M : \A^n \rightarrow \A^r$. Il existe par d\'efinition des matrices $\rP \in \mathrm{GL}_r(\A)$ et $\Q \in \mathrm{GL}_n(\A)$ telles que $\rP \M \Q = \left(\I_r | (0)\right)$ ; on a donc $\A^n/\Lr_{\sigma}(\A) = \A^r$ et $\Lr_{\sigma}(\A) = \Q(\{0\} \times \A^{n-r})$, ce qui prouve que ces deux $\A$-modules sont libres, de rangs respectifs $r$ et $n-r$.

En g\'en\'eral, on peut recouvrir $\mathrm{Spec}(\A)$ par des ouverts principaux $\D(f)$ tels que $\Lr \cap \mathbb{A}^n \times \D(f)$ soit d\'efini par une matrice de rang $r$ dans $\M_{rn}(\A[f^{-1}])$. Comme $\Lr_{\sigma}(\A[f^{-1}]) = \Lr_{\sigma}(\A)[f^{-1}]$, les $\A[f^{-1}]$-modules localis\'es $\Lr_{\sigma}(\A)[f^{-1}]$ et $\big(\A^n/\Lr_{\sigma}(\A)\big)[f^{-1}] = \A[f^{-1}]^n / \Lr_{\sigma}(\A)[f^{-1}]$ sont libres en vertu de ce que l'on vient de voir ; les $\A$-modules $\Lr_{\sigma}(\A)$ et $\A^n/\Lr_{\sigma}(\A)$ sont donc localement libres, de rangs respectifs $n-r$ et $r$.

\vspace{1pt} 3. Soient $\Lr$ et $\Lr'$ deux sous-espaces lin\'eaires de $\mathbb{A}^n_{\A}$ de codimension $r$ tels que $\Lr_{\sigma}(\A) = \Lr'_{\sigma}(\A)$.

Si $\Lr$ et $\Lr'$ sont d\'efinis par des matrices $\M, \M' \in \M_{rn}(\A)$ de rang $r$, il existe en vertu du point pr\'ec\'edent une matrice $\Q \in \mathrm{GL}_n(\A)$ telle que $\Lr_{\sigma}(\A) = \Lr'_{\sigma}(\A) = \Q(\{0\} \times \A^{n-r})$, de sorte que les matrices $\M\Q$ et $\M'\Q$ aient le m\^eme noyau $\{0\} \times \A^{n-r}$. Dans ces conditions, $\M\Q = \rP \big(\I_r | (0)\big)$ et $\M'\Q = \rP' \big(\I_r | (0)\big)$ avec $\rP, \rP' \in \mathrm{GL}_r(\A)$ convenables et donc $\rP\M = \rP'\M'$. Les matrices $\M$ et $\rP\M$ (resp. $\M'$ et $\rP'\M'$) d\'efinissant les m\^emes sous-espaces lin\'eaires de $\mathbb{A}^{n}_{\A}$, $\Lr = \Lr'$.

En g\'en\'eral, l'existence de telles matrices n'est garantie qu'apr\`es localisation sur $\mathrm{Spec}(\A)$. Toutefois, vu l'assertion 2, l'\'egalit\'e $\Lr_{\sigma}(\A) = \Lr_{\sigma}(\A')$ implique $\Lr_{\sigma}(\A[f^{-1}]) = \Lr'_{\sigma}(\A[f^{-1}])$ pour tout \'el\'ement $f$ de $\A$ donc $\Lr = \Lr'$ au-dessus de chaque ouvert d'un recouvrement convenable de $\mathrm{Spec}(\A)$ ; comme deux sous-sch\'emas ferm\'es de $\mathbb{A}^n_{\A} = \mathbb{A}^n \times \mathrm{Spec}(\A)$ co\"{\i}ncident si et seulement s'ils co\"{\i}ncident localement sur $\mathrm{Spec}(\A)$, nous pouvons en conclure \`a l'\'egalit\'e $\Lr = \Lr'$. \hfill $\Box$

\vspace{0.1cm} Pour tout anneau $\A$, $\mathrm{Loc}_{r,n}$ d\'esigne le foncteur $$\mathbf{Sch} \rightarrow \mathbf{Ens},  \ \ \A \mapsto \left\{(\Q,q) \ \left| \ \begin{array}{l} \Q \ \textrm{est un $\A$-module localement libre de rang $r$} \\ \textrm{et } q : \A^n \rightarrow \Q \textrm{ est un $\A$-\'epimorphisme}\end{array} \right\} \right.\bigg/ \textrm{isom.},$$ o\`u $(\Q,q)$ et $(\Q',q')$ sont dits isomorphes s'il existe un isomorphisme $\A$-lin\'eaire $\varphi : \Q' \rightarrow \Q$ tel que $q' = q \circ \varphi.$

\vspace{0.1cm}
\noindent \textbf{Proposition 26} --- \emph{Le morphisme de foncteurs $\lambda : \G_{r,n} \rightarrow \mathrm{Loc}_{r,n}$ d\'efini pour tout anneau $\A$ par $$\lambda(\A) : \G_{r,n}(\A) \rightarrow \mathrm{Loc}_{r,n}(\A), \ \ \ \Lr \mapsto \A^n /\Lr_{\sigma}(\A),$$ est un isomorphisme.}

\vspace{2pt} \noindent \emph{D\'emonstration.} Il faut v\'erifier que, pour tout anneau $\A$, l'application $\lambda(\A)$ est bijective.

Si $\Lr$ et $\Lr'$ sont deux sous-espaces lin\'eaires de $\mathbb{A}^n_{\A}$ tels que les $\A$-modules $\A^n/\Lr_{\sigma}(\A)$ et $\A^n/\Lr'_{\sigma}(\A)$ soient isomorphes en tant que quotients de $\A^n$, alors $\Lr_{\sigma}(\A) = \Lr'_{\sigma}(\A)$ et donc $\Lr = \Lr'$ d'apr\`es l'assertion 3 du lemme pr\'ec\'edent. L'application $\lambda(\A)$ est donc injective.

Soit $\Q$ un $\A$-module libre de rang $r$ et soit $q : \A^n \rightarrow \Q$ un $\A$-\'epimorphisme. Ayant choisi un isomorphisme $\A$-lin\'eaire $\varphi : \Q \simeq \A^r$, on obtient donc une application $\A$-lin\'eaire surjective $\M = \varphi \circ q : \A^n \rightarrow \A^r$. La matrice $\M$ est de rang $r$ : il existe en effet une matrice $\rP \in \mathrm{GL}_r(\A)$ telle que $\rP \M = \big(\I_r | (*)\big)$ puis le pivot de Gauss sur les colonnes de $\M$ fournit alors une matrice $\Q \in \mathrm{GL}_n(\A)$  telle que $\rP \M \Q = \big(\I_r | (0)\big)$. Enfin, le sous-espace lin\'eaire $\Lr = \V(\M\underline{\xi})$ de $\mathbb{A}^n_{\A}$ est envoy\'e sur $(\Q,q)$ par l'application $\lambda(\A)$ puisque $\Lr_{\sigma}(\A) = \mathrm{ker}(q)$.

Consid\'erons finalement un $\A$-module localement libre de rang $r$ et un $\A$-\'epimorphisme $q : \A^n \rightarrow \Q$. Pour tout $f \in \A$ tel que $\Q \otimes_{\A} \A[f^{-1}] = \Q[f^{-1}]$ soit un $\A[f^{-1}]$-module libre, il existe un unique sous-espace lin\'eaire $\Lr_f$ de $\mathbb{A}^n \times \D(f)$ tel que $\Lr_{f,\sigma}(\A[f^{-1}]) = \mathrm{ker}(q)[f^{-1}]$. Fixons un recouvrement de $\mathrm{Spec}(\A)$ par des ouverts principaux $\D(f)$, $f \in \mathcal{F}$, tels que $\Q[f^{-1}]$ soit un $\A[f^{-1}]$-module libre. Les sous-espaces lin\'eaires $\L_f$ de $\mathbb{A}^n \times \D(f)$ se recollent en un sous-espace lin\'eaire $\Lr$ de $\mathbb{A}^n \times \mathrm{Spec}(\A)$ tel que $\Lr_{\sigma}(\A)[f^{-1}] = \Lr_{\sigma}(\A[f^{-1}]) = \mathrm{ker}(q)[f^{-1}]$ pour tout $f \in \mathcal{F}$, donc tel que $\Lr_{\sigma}(\A) = \mathrm{ker}(q)$ ; finalement, $q : \A^n \rightarrow \Q$ induit un isomorphisme $\A^n/\Lr_{\sigma}(\A) \tilde{\rightarrow} \Q$ et $(\Q,q)$ est donc l'image de $\Lr$ par $\lambda(\A)$. Ceci ach\`eve la d\'emonstration de la proposition. \hfill $\Box$


\vspace{0.3cm} \textbf{(6.2)} \'Etant donn\'e un sch\'ema $\Sr$, nous avons d\'efini les sous-espaces lin\'eaires de codimension $r$ de $\mathbb{A}^n \times \Sr$ comme les sous-sch\'emas ferm\'es de $\mathbb{A}^n \times \Sr$ que l'on peut, \emph{localement} sur $\Sr$, d\'efinir par $r$ formes lin\'eaires ind\'ependantes. M\^eme lorsque $\Sr = \mathrm{Spec}(\A)$ est un sch\'ema affine, il n'est en g\'en\'eral pas possible d'exiger qu'un sous-espace lin\'eaire soit globalement d\'efini par $r$ formes lin\'eaires ind\'ependantes et il est n\'ecessaire d'autoriser \`a se localiser sur $\mathrm{Spec}(\A)$ ; c'est ce que nous allons voir maintenant.

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{Proposition 27} --- \emph{Soit $\A$ un anneau. Les deux conditions suivantes sont \'equivalentes pour tout sous-espace lin\'eaire $\Lr$ de $\mathbb{A}^n_{\A}$ de codimension $r$ :  \\
\indent 1. il existe une matrice $\M \in \M_{r,n}(\A)$ de rang $r$ d\'efinissant $\Lr$, i.e. telle que $\Lr = \V(\M\underline{\xi})$ ; \\
\indent 2. le $\A$-module $\A^n/\Lr_{\sigma}(\A)$ est libre.}

\vspace{2pt}
\noindent \emph{D\'emonstration}. Si le $\A$-module $\A^n/\Lr_{\sigma}(\A)$ est libre, $\Lr = \V(\M\underline{\xi})$ avec $\M \in \M_{rn}(\A)$ la matrice de rang $r$ associ\'ee au choix d'un isomorphisme $\A$-lin\'eaire $\A^n/\Lr_{\sigma}(\A) \simeq \A^r$ (cf. la d\'emonstration de la proposition pr\'ec\'edente).

R\'eciproquement, si $\Lr = \V(\M\underline{\xi})$ avec $\M \in \M_{rn}(\A)$ de rang $r$, alors l'application $\A$-lin\'eaire $\M : \A^n \rightarrow \A^r$ induit un isomorphisme $\A$-lin\'eaire $\A^n/\Lr_{\sigma}(\A) \simeq \A^r$ et le $\A$-module $\A^n/\Lr_{\sigma}(\A)$ est donc libre. \hfill $\Box$

\vspace{0.1cm} Il est maintenant ais\'e de donner un exemple d'anneau $\A$ et de sous-espace lin\'eaire $\Lr$ de $\mathbb{A}^n_{\A}$ ne pouvant s'\'ecrire sous la forme $\V(\M\underline{\xi})$ avec une matrice $\M \in \M_{r,n}(\A)$ de rang $r$ : il suffit d'exhiber un anneau $\A$ et un quotient localement libre mais non libre de rang $r$ du $\A$-module $\A^n$.


\vspace{2pt} Voici un exemple avec $n=2$ et $r=1$. On d\'esigne par $\vartheta$ une racine carr\'ee de $-5$ et on pose $\A = \mathbb{Z}[\vartheta]$ ; on rappelle que la norme d'un \'el\'ement $a = u+\vartheta v$ de $\A$ est le nombre entier naturel $\N(a) = u^2 + 5v^2$. L'id\'eal $\mathfrak{a}$ de $\A$ engendr\'e par $2$ et $1 + \vartheta$ n'est pas principal car il existerait sinon un \'el\'ement $a+b\vartheta$ de $\A$ de norme $\N(\mathfrak{a}) = \mathrm{pgcd}(\N(2), \N(1+\vartheta)) = \mathrm{pgcd}(4,6) = 2$, ce qui n'est manifestement pas le cas. On a \'evidemment $\mathfrak{a}[2^{-1}] = \A[2^{-1}]$ et, en vertu de la relation $2.3 = (1+\vartheta)(1-\vartheta)$, $\mathfrak{a}[3^{-1}] = (1+\vartheta)\A[3^{-1}]$ ; comme les ouverts principaux $\D(2)$ et $\D(3)$ recouvrent $\mathrm{Spec}(\A)$, ceci montre que le $\A$-module $\mathfrak{a}$ est localement libre de rang un. Par d\'efinition, $\mathfrak{a}$ est l'image de l'application $\A$-lin\'eaire $\A^2 \rightarrow \A, \ (\xi_1, \xi_2) \mapsto 2\xi_1 + (1+\vartheta)\xi_2$. Le sous-sch\'ema ferm\'e $\Lr_{\sigma} = \V(2\xi_1 + (1+\vartheta)\xi_2, 3\xi_1 + (1-\vartheta) \xi_2)$ de $\mathbb{A}^2_{\A}$ est un sous-espace lin\'eaire de codimension $1$ tel que $\A^2/\Lr_{\sigma}(\A) \simeq \mathfrak{a}$ ; en vertu de la proposition pr\'ec\'edente, il ne peut donc pas se d\'efinir par une seule \'equation lin\'eaire.


\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{Remarques 28.} 1. Si $\A$ est un anneau \emph{principal}, tout $\A$-module localement libre de type fini est libre. Il en d\'ecoule que l'ensemble $\G_{r,n}(\A)$ des $\A$-points du sch\'ema $\mathrm{Grass}_{r,n}$ s'identifie naturellement aux quotients libres de rang $r$ du $\A$-module $\A^n$ modulo isomorphisme, c'est-\`a-dire au quotient de l'ensemble des matrices $\M \in \M_{r,n}(\A)$ de rang $r$ par l'action naturelle du groupe $\mathrm{GL}_r(\A)$. En particulier : une matrice de rang un $\M \in \M_{1,\N+1}(\A)$ est la m\^eme chose qu'un $(\N+1)$-uplet d'\'el\'ements de $\A$ engendrant $\A$ et l'application $\A^{\N+1} \rightarrow \G_{r,n}(\A), \ (a_0, \ldots, a_{\N}) \mapsto \V(a_0\xi_0 + \ldots + a_{\N}\xi_{\N})$ induit donc une bijection $$\E_{\N}(\A)/\A^{\times} \tilde{\rightarrow} \mathbb{P}^{\N}(\A),$$ o\`u $\E_{\N}(\A)$ d\'esigne l'ensemble des $(\N+1)$-uplets d'\'el\'ements de $\A$ engendrant $\A$.

\emph{Exemple} : $\mathbb{P}^{\N}(\mathbb{Z})$ est le quotient de l'ensemble des $(\N+1)$-uplets d'entiers premier entre eux par l'action diagonale de $\mathbb{Z}^{\times} = \{\pm 1\}$.

2. Mentionnons \'egalement le fait suivant : quels que soient le corps $k$ et l'entier naturel $n \geq 0$, tout module localement libre de type fini sur l'anneau de polyn\^omes $k[t_1, \ldots, t_n]$ est libre (Th\'eor\`eme de Quillen-Suslin, 1976).

\vspace{0.3cm}
\textbf{(6.2)} Le morphisme de Pl\"ucker [...].

\begin{thebibliography}{EGA}
\bibitem[EGA]{EGA} A.~\textsc{Grothendieck}, \textit{\'El\'ements de G\'eom\'etrie alg\'ebrique}, Chapitres I-IV, r\'edig\'es avec la collaboration de J.~\textsc{Dieudonn\'e}, Publ. Math. Inst. Hautes \'Etudes Scientifiques, 1960-1967 \\
\bibitem[EGAb]{EGAb} A.~\textsc{Grothendieck}, J.~\textsc{Dieudonn\'e},  \textit{\'El\'ements de G\'eom\'etrie Alg\'ebrique I}, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen Band 166, Springer-Verlag (1971) \\
\bibitem{MacLane} S.~\textsc{MacLane}, \textit{Categories for the Working Mathematician}, Graduate Texts in Mathematics 5, Springer-Verlag (1971)    
\end{thebibliography}

\end{document} 