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\begin{document}
\noindent \textbf{G\'eom\'etrie \'el\'ementaire - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
\hrule

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\vspace{0.5cm}

\begin{center}
{\bfseries Espaces et applications affines}
\end{center}

\vspace{0.2cm}
\noindent \emph{Convention : \'etant donn\'e un espace affine $\X$ de direction vectorielle $\V = \overrightarrow{\X}$, les \emph{vecteurs} seront not\'es en gras : $\mathbf{v} \in \V$. Si $p,\ q$ sont deux points de $\X$, on notera ${\bf pq}$ l'unique vecteur de $\V$ tel que $q = p + \mathbf{pq}$.}


\vspace{0.5cm}
\noindent {\bf Exercice 2.} --- \vspace{5cm}

Chaque droite $\D$ de $\R^3$ passant par l'origine et non contenue dans le plan $\rP_0$ coupe le plan $\rP_1$ en un unique point $\pi(\D)$ et l'application $\pi : \mathbf{P^*} \rightarrow \rP_1$ ainsi d\'efinie est manifestement une bijection. Le plan $\rP_1$ est un sous-espace affine de $\R^3$ de direction $\rP_0$ ; la bijection $\pi$ permet d'en d\'eduire une structure d'espace affine sur $\mathbf{P^*}$, que l'on peut d\'ecrire ainsi : si ${\bf v} \in \rP_0$ et si $\D \in \mathbf{P^*}$ est la droite passant par $\rO$ et le point $\M \in \rP_1$, $\D + {\bf v}$ est la droite passant par $\rO$ et le point $\M + {\bf v}$.

\vspace{0.1cm} Soit $\mathrm{S}$ la sph\`ere unit\'e de $\R^3$ et soit $\rP^-$ le point $(0,0,-1)$. L'application associant \`a tout point $\Q$ de $\mathrm{S} - \{\rP_-\}$ l'unique point intersection $p(\Q)$ de la droite $(\rP^- \Q)$ avec $\mathrm{S} - \{\rP^-\}$ r\'ealise une bijection de $\mathrm{S} - \{\rP^-\}$ sur $\rP_1$. L'ensemble $\mathbf{P^*}$ s'identifie donc naturellement au compl\'ementaire d'un point sur la sph\`ere $\mathrm{S}$.
  
\vspace{0.5cm}
\noindent {\bf Exercice 3.} ---

a) Supposons que $f$ admette un point fixe $o \in \X$. Quel que soit le point $p \in \X$, $f(p) = f(o) + \rL_f ({\bf op}) = o + \rL_f ({\bf op})$ et $f(p)=p$ si et seulement si $\rL_f({\bf op}) = {\bf op}$. L'application $$\mathrm{Ker}(\rL_f - \mathrm{id}_{\V}) \rightarrow \X_f, \ \ \ {\bf v} \mapsto o + \mathbf{v}$$ est donc une bijection et $\X_f$ est ainsi un sous-espace affine de $\X$, de direction $\mathrm{Ker}(\rL_f - \mathrm{id}_{\V})$.

\vspace{0.1cm}
b) Soit $\D$ une droite affine et soit $f : \D \rightarrow \D$ une application affine. Si $f$ admet au moins deux points fixes, il d\'ecoule de la question pr\'ec\'edente que le lieu $\D_f$ des points fixes de $f$ est un sous-espace affine de $\D$ de dimension sup\'erieure ou \'egale \`a un ; comme $\D$ est de dimension un, $\D_f = \D$ et $f$ est donc l'identit\'e.

\vspace{0.1cm}
c) \vspace{3cm}

Les vecteurs ${\bf u}$ et ${\bf u'}$ n'\'etant pas colin\'eaires, ils constituent une base de l'espace vectoriel $\V = \overrightarrow{\rP}$ et il existe une unique application lin\'eaire de $\V$ dans $\V$ telle que $\rL({\bf u})={\bf u}$ et $\rL({\bf u'})=0$. L'application $f : \rP \rightarrow \rP$ \'etant d\'efinie par la formule $$f(\M) = \rO + \rL(\mathbf{O M})$$ pour tout point $\M$ de $\X$, il s'agit bien d'une application affine dont $\rL$ est l'application lin\'eaire associ\'ee.

Le noyau de l'application lin\'eaire $\rL$ est la droite vectorielle $\R{\bf u'}$ ; comme $f(\rO) = \rO$, il d\'ecoule de la question a) que l'ensemble des points fixes de $p$ est le sous-espace affine $\rO + \mathbb{R}{\bf u'}$, c'est-\`a-dire la droite affine passant par $\rO$ et de vecteur directeur ${\bf u'}$. On constate sur cet exemple qu'une application affine de $\rP$ dans $\rP$ peut avoir deux points fixes sans pour autant \^etre l'identit\'e ; comme $\rP$ est de dimension \emph{deux}, le crit\`ere devient : une application affine de $\rP$ dans $\rP$ est l'identit\'e si et seulement si elle admet trois points fixes \emph{non align\'es} (c'est-\`a-dire non contenus dans un sous-espace affine strict).

\vspace{0.1cm}
d) \vspace{3cm}


On v\'erifie imm\'ediatement que $h(\A) = \B$ et $h(\B) = \A$, de sorte que $f(\A)=\A$ et $f(\B)=\B$. Comme $f$ est une application affine, $f$ transforme la droite $(\A\B)$ en la droite $(f(\A)f(\B)) = (\A\B)$ ; la restriction de $f$ \`a la droite $(\A\B)$ est par cons\'equent une application affine de $(\A\B)$ dans $(\A\B)$ et, cette derni\`ere fixant les deux points distincts $\A$ et $\B$, c'est l'identit\'e de $(\A\B)$.

Soit $h'$ la projection sur la droite $(\A\B)$ parall\`element \`a la droite $(\A\C)$. On v\'erifie imm\'ediatement que $h(\C) = \B$ et $f(\C)=\A$, de sorte que $f(\A) = h'(\A)$, $f(\B) = h'(\B)$ et $f(\C) = h'(\C)$. On en conclut tout de suite \`a l'\'egalit\'e $f=h'$ puisque les points non align\'es $\A, \ \B$ et $\C$ constituent une base affine du plan $\rP$.

\vspace{0.5cm}


\noindent {\bf Exercice 4.} ---  Soit $\X$ un espace affine r\'eel de direction $\V$ et soit $\sigma : \X \rightarrow \X$ une application affine.

\vspace{0.1cm}
Les assertions suivantes sont \'equivalentes :
 
(i) $\sigma^2 = \sigma \circ \sigma = \mathrm{id}_{\X}$ ; \\
(ii) $\sigma$ admet un point fixe et $\rL_{\sigma}^2 = \rL_{\sigma} \circ \rL_{\sigma} = \mathrm{id}_{\V}$.

\vspace{0.1cm} L'implication $(ii) \Longrightarrow (i)$ est imm\'ediate : \'etant donn\'e un point $o \in \X$ tel que $\sigma(o)=o$, \begin{eqnarray*} \sigma^2(p) & = & \sigma^2(o) + \rL_{\sigma^2}({\bf op}) \\ & = & o + \rL_{\sigma}^2({\bf op}) \\ & = & o + {\bf op} = p \end{eqnarray*} pour tout point $p$ de $\X$ et donc $\sigma^2 = \mathrm{id}_{\X}$.

R\'eciproquement, si $\sigma^2 = \mathrm{id}_{\X}$, alors $\rL_{\sigma} \circ \rL_{\sigma} = \rL_{\sigma \circ \sigma} = \mathrm{id}_{\V}$ et il reste \`a v\'erifier que $\sigma$ admet un point fixe. \'Etant donn\'e un point $m$ de $\X$, $\sigma$ transforme le segment $[m \sigma(m)]$ en lui-m\^eme puisque $\sigma([m\sigma(m)]) = [\sigma(m) \sigma^2(m)] = [\sigma(m) m] = [m \sigma(m)]$ ; $\sigma$ fixe alors n\'ecessairement le milieu $m'=m + \frac{1}{2}{\bf m \sigma(m)}$ de ce segment car \begin{eqnarray*} \sigma(m') & = & \sigma(m) + \frac{1}{2}\mathbf{\sigma(m)\sigma^2(m)} \\ & = & \sigma(m) + \frac{1}{2} {\bf \sigma(m) m} \\ & = & m + {\bf m\sigma(m)} - \frac{1}{2}{\bf m \sigma(m)} = m + \frac{1}{2}{\bf m \sigma(m)} = m'. \end{eqnarray*}

\vspace{0.1cm} L'\'equivalence des deux conditions qui pr\'ec\`edent ram\`ene la classification des sym\'etries affines $\sigma$ de $\X$ \`a la classification des sym\'etries vectorielles $\rL_{\sigma}$ de $\V$ esquiss\'ee dans l'exercice 6 de la premi\`ere feuille d'exercices : l'espace vectoriel $\V$ est la somme directe de deux sous-espaces $\rL_{\sigma}$-stables $\V_+ = \mathrm{Ker}(\rL_{\sigma} - \mathrm{id}_{\V})$ et $\V_- = \mathrm{Ker}(\rL_{\sigma}+ \mathrm{id}_{\V})$ \footnote{L'existence de cette d\'ecomposition d\'ecoule trivialement de la diagonalisabilit\'e de tout endomorphisme $v$ de $\V$ tel que $v^2 = \mathrm{id}_{\V}$}. Vu la premi\`ere question de l'exercice 3, l'ensemble $\X_{\sigma}$ des points fixes de $\sigma$ est un sous-espace affine de direction $\V_+$, l'application lin\'eaire $\rL_{\sigma}$ associe \`a un vecteur ${\bf v} = {\bf v}_+ + {\bf v}_-$, ${\bf v}_+ \in \V_+, \ {\bf v}_- \in \V-$, le vecteur ${\bf v}_+ - {\bf v}_-$ et $\sigma$ est la sym\'etrie par rapport au sous-espace affine $\X_{\sigma}$ parall\`element \`a $\V_-$ : quel que soit le point $p$ de $\X$, $\sigma(p)$ est le sym\'etrique de $p$ par rapport au point $p_+$, projet\'e de $p$ sur $\X_{\sigma}$ parall\`element \`a $\V_-$ ; de mani\`ere \'equivalente, $\sigma(p)$ est l'unique point de $\X$ satisfaisant aux deux conditions suivantes : \begin{itemize} \item $p + \frac{1}{2} {\bf p \sigma(p)} \in \X_{\sigma}$; \item ${\bf p \sigma(p)} \in \V_-$.\end{itemize}

\newpage \ 
\vspace{4cm}

\vspace{0.1cm} \emph{Classification des sym\'etries en dimension $2$}. Supposons que $\X$ soit de dimension $2$ et soit $\sigma$ une sym\'etrie de $\X$. \begin{itemize} \item Si $\X_{\sigma}$ est de dimension $0$, $\X_{\sigma}$ est r\'eduit \`a un point $o$ et $\sigma$ est la sym\'etrie de centre $o$ : $$\sigma(p) = o - {\bf op}.$$ 
\item Si $\X_{\sigma}$ est de dimension $1$, $\D = \X_{\sigma}$ est une droite et $\sigma$ est la sym\'etrie d'axe $\D$ parall\`element \`a la droite vectorielle $\mathrm{Ker}(\rL_{\sigma} + \mathrm{id}_{\V})$.
\item Si $\X_{\sigma}$ est de dimension $2$, $\sigma = \mathrm{id}_{\X}$.
\end{itemize}

\vspace{0.1cm} \emph{Classification des sym\'etries en dimension $3$}. Supposons que $\X$ soit de dimension $3$ et soit $\sigma$ une sym\'etrie de $\X$. 
\begin{itemize} \item Si $\X_{\sigma}$ est de dimension $0$, $\X_{\sigma}$ est r\'eduit \`a un point $o$ et $\sigma$ est la sym\'etrie de centre $o$ : $$\sigma(p) = o - {\bf op}.$$
\item Si $\X_{\sigma}$ est de dimension $1$, $\X_{\sigma}$ est une droite et $\sigma$ est la sym\'etrie d'axe $\X_{\sigma}$ parall\`element au plan vectoriel $\mathrm{Ker}(\rL_{\sigma} + \mathrm{id}_{\V})$.
\item Si $\X_{\sigma}$ est de dimension $2$, $\X_{\sigma}$ est un plan et $\sigma$ est la sym\'etrie par rapport \`a $\X_{\sigma}$ parall\`element \`a la droite vectorielle $\mathrm{Ker}(\rL_{\sigma} + \mathrm{id}_{\V})$.
\item Si $\X_{\sigma}$ est de dimension $3$, $\sigma = \mathrm{id}_{\X}$.
\end{itemize}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 5} --- Soit $\X$ un espace affine r\'eel et soient $p_1, \ldots, p_n$ $n$ points distincts de $\X$. Il s'agit de savoir si l'on peut construire un polygone $(m_1, \ldots, m_n)$ tel que les points $p_1, \ldots, p_n$ soient les milieux de ses c\^ot\'es.

\vspace{0.1cm} Commen{\c c}ons par une observation prolongeant l'exercice pr\'ec\'edent. \emph{Une application affine $\sigma : \X \rightarrow \X$ est une sym\'etrie centrale si et seulement si $\rL_{\sigma} = -\mathrm{id}_{\V}$.}

Si $\sigma$ est une sym\'etrie centrale, $\operatorname{dim} \X_{\sigma} = 0$, la direction $\mathrm{Ker}(\rL_{\sigma} - \mathrm{id}_{\V})$ de $\X_{\sigma}$ est le sous-espace nul de $\V$ et donc $\V = \mathrm{Ker}(\rL_{\sigma} + \mathrm{id}_{\V})$, i.e. $\rL_{\sigma} = - \mathrm{id}_{\V}$. R\'eciproquement, il s'agit de justifier que toute application affine $\sigma$ telle que $\rL_{\sigma} = - \mathrm{id}_{\V}$ admet un point fixe. Quel que soit en effet le point $o$ de $\X$, le milieu $o' = o + \frac{1}{2} \mathbf{o\sigma(o)}$ du segment $[o\sigma(o)]$ est un point fixe de $\sigma$ car $$\sigma(o') = \sigma(o) + \frac{1}{2} \rL_{\sigma}(\mathbf{o\sigma(o)}) = \sigma(o) - \frac{1}{2}\mathbf{o\sigma(o)} = \sigma(o) - \mathbf{o\sigma(o)} + \frac{1}{2}\mathbf{o\sigma(o)} = \sigma(o) + \mathbf{\sigma{o}o} + \frac{1}{2}\mathbf{o \sigma(o)} =  o + \frac{1}{2} \mathbf{o\sigma(o)}.$$

Cons\'equence imm\'ediate : comme $\rL_{f \circ g} = \rL_f \circ \rL_g$ pour toutes applications affines $f, \ g : \X \rightarrow \X$, la compos\'ee d'un nombre \emph{impaire} de sym\'etries centrales est encore une sym\'etrie centrale.  

La compos\'ee d'un nombre \emph{pair} de sym\'etries centrales est une application affine d'application lin\'eaire associ\'ee $\mathrm{id}_{\V}$, c'est-\`a-dire une translation.

\vspace{0.1cm} Venons-en au probl\`eme qui nous int\'eresse. Soit $\sigma_i$ la sym\'etrie de centre $p_i$ ($1 \leq i \leq n$). \'Etant donn\'e un point $\pi_1$ dans $\X$, on d\'efinit des points $\pi_2, \ldots, \pi_n$ comme suit : pour tout $i \in \{1, \ldots, n-1\}$, $\pi_{i+1} = \sigma_i (\pi_i)$. Par construction, $p_i$ est le milieu du segment $[\pi_i \pi_{i+1}]$ ($1 \leq i \leq n-1$) et les deux assertions suivantes sont \'equivalentes : \begin{itemize}
\item il existe des points $m_1, \ldots, \ m_n$ tels que $p_i$ soit le milieu de $[m_i m_{i+1}]$ ($1 \leq i \leq n-1$) et $p_n$ soit le milieu du segment $[m_n m_1]$ ;
\item il existe un point $\pi_1 \in \X$ tel que $\sigma_n \circ \ldots \circ \sigma_1 (\pi_1) = \pi_1$.
\end{itemize}
En effet, la seconde condition est \'equivalente au fait que $p_n$ soit le milieu du segment $[\pi_n \pi_1]$.

\vspace{0.1cm} Lorsque $n$ est impair, l'application affine $\sigma_n \circ \ldots \circ \sigma_1$ est une sym\'etrie centrale en vertu de la discussion ci-dessus ; elle admet donc un unique point fixe $m_1$ et les points $m_1, \ \sigma_1(m_1), \ldots, \sigma_{n-1} \circ \ldots \circ \sigma_{1}(m_1)$ constituent l'unique solution au probl\`eme envisag\'e.

\vspace{0.1cm} Lorsque $n$ est pair, l'application affine $\sigma_n  \circ \ldots \circ \sigma_1$ est une translation et elle admet un point fixe si et seulement si c'est l'identit\'e, c'est-\`a-dire si et seulement si $\sigma_n = \sigma_{n-1} \circ \ldots \circ \sigma_1$ (car $\sigma_n^2 = \mathrm{id}_{\X}$). Il en d\'ecoule que le probl\`eme consid\'er\'e admet une solution si et seulement si $\sigma_n = \sigma_{n-1} \circ \ldots \circ \sigma_1$, auquel cas il existe en r\'ealit\'e une infinit\'e de solutions : quel que soit en effet le point $m$ de $\X$, les points $m, \ \sigma_1(m), \ldots, \sigma_{n-1} \circ \ldots \circ \sigma_1 (m)$ d\'efinissent un polygone dont les $p_i$ sont les milieux des c\^ot\'es.

Il convient d'observer que la condition $\sigma_n = \sigma_{n-1} \circ \ldots \circ \sigma_1$ \'equivaut \`a la condition $\sigma_{n-1} \circ \ldots \circ \sigma_1 (p_n) = p_n$. En effet, comme $n$ est pair, $\sigma_{n-1} \circ \ldots \circ \sigma_1$ est une sym\'etrie centrale et il s'agit de $\sigma_n$ si et seulement si le point $p_n$ est fixe. Nous en d\'eduisons une m\'ethode permettant d'obtenir une configuration $\{p_1, \ldots, p_n\}$ pour laquelle le probl\`eme \'etudi\'e ait une solution : il suffit de fixer les points $p_1, \ \ldots, \ p_{n-1}$ et de prendre pour $p_n$ le centre de la sym\'etrie centrale $\sigma_{n-1} \circ \ldots \circ \sigma_1$.

\vspace{0.1cm} \emph{Illustrations.}

\vspace{3cm}

\vspace{0.1cm} \emph{Cas $n = 3$}. Quels que soient les points distincts $p_1, \ p_2, \ p_3$, il existe un unique triangle $(m_1, \ m_2, \ m_3)$ dont $p_1, \ p_2, \ p_3$ soient les milieux des c\^ot\'es. Pour le construire, il suffit de d\'eterminer le centre $m_1$ de la sym\'etrie centrale $\sigma_3 \circ \sigma_2 \circ \sigma_1$ --- qui n'est autre que le milieu du segment $[p_1 \sigma_3 \circ \sigma_2 (p_1)]$ --- et de poser $m_2 = \sigma_1(m_1)$, $m_3 = \sigma_2(m_1)$.

\vspace{4cm}
\vspace{0.1cm} \emph{Cas $n = 4$}. Quatre points distincts $p_1, \ p_2, \ p_3$ et $p_4$ sont les milieux des c\^ot\'es d'un quadrilat\`ere si et seulement si $p_4$ est le centre de la sym\'etrie $\sigma_3 \circ \sigma_2 \circ \sigma_1$. Posons $p_1' = \sigma_2(p_1)$ et $p_1'' = \sigma_3(p_1')$ ; le centre de $\sigma_3 \circ \sigma_2 \circ \sigma_1$ est le milieu du segment $[p_1 p_1'']$. Puisque $p_3$ est, par construction, le milieu du segment $[p_1' p_1'']$, les droites $(p_1 p_2)$ et $(p_3p_1'')$ sont parall\`eles en vertu du th\'eor\`eme de Thal\`es. En utilisant le fait que $p_2$ est le milieu du segment $[p_1 p_1']$, il d\'ecoule \'egalement du th\'eor\`eme de Thal\`es que les droites $(p_2 p_3)$ et $(p_1 p_1'')$ sont parall\`eles et nous en concluons que $p_4$ est le centre de la sym\'etrie $\sigma_3 \circ \sigma_2 \circ \sigma_1$ si et seulement si le quadrilat\`ere $(p_1, p_2, p_3, p_4)$ est un parall\'elogramme.

\vspace{3cm}

\vspace{0.5cm} \noindent {\bf Exercice 6.} ---  Soit $\X$ un espace affine r\'eel de dimension finie et soit $\V$ sa direction.

1. Une application affine $f : \X \rightarrow \X$ transforme toute droite en une droite parall\`ele si et seulement si l'application lin\'eaire associ\'ee $\rL_f$ est une \emph{homoth\'etie} de rapport non nul.

\begin{itemize}
\item Supposons $f(\D) \parallel \D$ pour toute droite $\D$ de $\X$. Fixons un point $o$ dans $\X$ et une base ${\bf e}_1, \ \ldots, \ {\bf e}_n$ de $\V$. Comme $f(o + \R {\bf v}) = f(o) + \R\rL_f ({\bf v})$ pour tout vecteur non nul ${\bf v} \in \V$, il existe des nombres r\'eels non nuls $\rho_1, \ldots, \rho_n$ et $\rho$ tels que $$\rL_f({\bf e}_1) = \rho_1 {\bf e}_1, \ \ldots, \ \rL_f({\bf e}_n) = \rho_n {\bf e}_n, \ \rL_f ({\bf e}_1 + \ldots + {\bf e}_n) = \rho ({\bf e}_1 + \ldots + {\bf e}_n) \ ;$$ on a alors $$\rho_1 {\bf e}_1 + \ldots + \rho_n {\bf e}_n = \rho ({\bf e}_1 + \ldots + {\bf e}_n),$$ donc $\rho_1 = \ldots = \rho_n = \rho$ et finalement $\rL_f = \rho \mathrm{id}_{\V}$.
\item Supposons r\'eciproquement que $\rL_f = \rho \mathrm{id}_{\V}$ soit une homoth\'etie de rapport $\rho \neq 0$. Toute droite $\D$ de $\X$ est de la forme $\D = o + \mathbb{R}{\bf v}$ avec $o \in \X$, ${\bf v} \in \V$ et $f(\D) = f(o) + \R \rL_f({\bf v}) = f(o) + \R \rho {\bf v} = f(o) + \R {\bf v}$ est une droite parall\`ele \`a $\D$.
\end{itemize}

\emph{Remarque : l'argument utilis\'e dans la premi\`ere partie de la d\'emonstration ci-dessus prouve qu'une bijection affine $f : \X \rightarrow \X$ transforme toute droite en une droite parall\`ele si et seulement s'il existe une base affine $\{p_0, \ldots, p_n\}$ de $\X$ telle que $f(p_i p_j) \parallel (p_i p_j)$ pour tous $i \neq j$.}

\vspace{0.1cm}
2. L'ensemble $\mathcal{H}$ des bijections affines $f$ de $\X$ telles que $\rL_f$ soit une homoth\'etie de rapport non nul est un sous-groupe du groupe affine $\mathrm{GA}(\X)$ car $\rL_{f \circ g} = \rL_f \circ \rL_g$ et $\rL_f^{-1} = \rL_{f^{-1}}$ pour tous $f, \ g \in \mathrm{GA}(\X)$. Noter que $\mathcal{H}$ contient les translations, qui sont les bijections affines $f$ telles que $\rL_f = \mathrm{id}_{\V}$.

\vspace{0.1cm}
3. Supposons que $\X$ soit de dimension $1$ ; comme tout automorphisme d'un espace vectoriel de dimension $1$ est une homoth\'etie, $\mathcal{H} = \mathrm{GA}(\X)$. 

Description explicite : si $o$ est un point de $\X$ et ${\bf e}$ est un vecteur non nul de $\V$, tout point $p$ de $\X$ s'\'ecrit d'une mani\`ere et d'une seule sous la forme $p = o + \lambda {\bf e}$ avec $\lambda \in \R$ et $$f(p)=f(o) + \rho \lambda {\bf e} = o + (\lambda_0 + \rho \lambda) {\bf e}$$ pour toute bijection affine $f \in \mathcal{H}$ telle que $\rL_f = \rho \mathrm{id}_{\V}$, $\rho \in \R_{>0}$.

\vspace{0.1cm}
4. Soit $h \in \mathcal{H} - \{\mathrm{id}_{\X}\}$ et soit $\rho \in \R - \{0\}$ tel que $\rL_h = \rho \mathrm{id}_{\V}$. \'Etant donn\'e un point $o$ dans $\X$ tel que $h(o) \neq o$, $h$ admet un point fixe si et seulement s'il existe un vecteur ${\bf v} \in \V$ tel que $h(o+{\bf v}) = o + {\bf v}$, c'est-\`a-dire tel que $$h(o) + \rho {\bf v} = o + {\bf v}.$$ \'Ecrivant $h(o)$ sous la forme $o + {\bf o h(o)}$, cette derni\`ere condition est \'equivalente \`a la suivante : $$(1- \rho) {\bf v} = {\bf oh(o)}.$$ Comme ${\bf o h(o)} \neq {\bf 0}$ par hypoth\`ese, il existe un tel vecteur ${\bf v}$ si et seulement si $\rho \neq 1$, et ce vecteur est alors unique. Nous en concluons que $h$ admet un point fixe si et seulement si $\rho \neq 1$ ; en outre, si $\rho \neq 1$, $h$ poss\`ede un \emph{unique} point fixe : c'est le point $$o + \frac{1}{1 - \rho} {\bf oh(o)},$$ $o$ d\'esignant un point quelconque de $\X$.

Notons la cons\'equence suivante : un \'el\'ement $h$ de $\mathcal{H}$ est 
\begin{itemize}
\item soit l'identit\'e $\mathrm{id}_{\X}$, 
\item soit une translation de vecteur non-nul, si $\rL_h = \mathrm{id}_{\V}$ et $h \neq \mathrm{id}_{\X}$,
\item soit une homoth\'etie de rapport $\neq 1$, si $\rL_h = \rho\mathrm{id}_{\V}$ avec $\rho \neq 1$.
\end{itemize}
Ces trois cas peuvent se distinguer en termes de l'ensemble $\X_h$ des points fixes de $h$ : $\X_h = \X$ dans le premier cas, $\X_h = \emptyset$ dans le deuxi\`eme et $\X_f$ est r\'eduit \`a un point (le \emph{centre} de $h$) dans le dernier cas.

\vspace{0.1cm} 5. Il est clair que les translations (resp. les homoth\'eties de m\^eme centre) commutent entre elles et nous allons voir que ce sont les seuls cas. Vu la classification des \'el\'ements de $\mathcal{H}$ que l'on vient de d\'ecrire, il suffit de v\'erifier qu'une translation $t$ de vecteur non-nul ${\bf v}$ et une homoth\'etie $h$ de centre $o$ et de rapport $\rho \neq 1$ ne commutent pas. On a $t \circ h(o) = t(o) = o + {\bf v}$ tandis que $h \circ t (o) = h(o + {\bf v}) = h(o) + \rL_h ({\bf v}) = o + \rho {\bf v}$ ; comme ${\bf v} \neq 0$ et $\rho \neq 1$, $\rho {\bf v} \neq {\bf v}$ et donc $t \circ h (o) \neq h \circ t (o)$.

\vspace{0.1cm} 6. Soient $\A, \B$ et $\C$ trois points align\'es distincts. Il existe un scalaire $\lambda \in \R - \{0,1\}$ tel que ${\bf AC} = \lambda {\bf AB}$ et l'homoth\'etie $h$ de centre $\A$ et de rapport $\lambda$ est telle que $h(\A) =\A$, $h(\B) = \C$. L'unicit\'e de $h$ est imm\'ediate : si $h'$ est un autre \'el\'ement $\mathcal{H}$ tel que $h'(\A) =\A$ et $h'(\B) = \C$, alors $h^{-1} \circ h'$ est un \'el\'ement de $\mathcal{H}$ fixant $\A$ et $\B$, ce qui implique $h^{-1} \circ h' = \mathrm{id}_{\X}$ et donc $h'= h$.

\vspace{0.6cm} 7. Pour cette question, nous nous pla{\c c}ons dans le plan : $\mathrm{dim} (\X) = 2$. Les points $\A, \ \B, \ \C$ d'une part et $\A',\ \B', \ \C'$ d'autre part n'\'etant pas align\'es, $(\A,\B, \C)$ et $(\A',\B',\C')$ sont deux bases affines de $\X$ et il existe une unique bijection affine $h : \X \rightarrow \X$ telle que $h(\A) =\A'$, $h(\B) = \B'$ et $h(\C)=\C'$. Comme $(\A'\B')\parallel (\A\B)$, $(\A'\C') \parallel (\A\C)$ et $(\B'\C') \parallel (\B\C)$ par hypoth\`ese, $h$ transforme toute droite de $\X$ en une droite parall\`ele (voir la remarque concluant la question 1) et donc $h$ est soit une translation, soit une homoth\'etie (le cas $h = \mathrm{id}_{\X}$ est exclu par l'hypoth\`ese que les triangles $(\A\B\C)$ et $(\A'\B'\C')$ n'aient pas de sommet commun.)

Dans le premier cas, le centre de $h$ appartient \`a chacune des droites $(\A\A'), \ (\B\B')$ et $(\C\C')$ ; elles sont donc concourantes.

Dans le second cas, si $h$ est une translation de vecteur ${\bf v}$ (non-nul puisque $h \neq \mathrm{id}_{\X}$), $\R {\bf v}$ est la direction commune des droites $(\A\A'), \ (\B\B')$ et $(\C\C')$ ; elles sont donc parall\`eles.

\vspace{4cm}

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Exercice 7.} --- 1) Quel que soit le point $m$ de $\mathcal{E}$, les points $\Ir, \ m, \ h(m)$ sont align\'es en vertu de l'identit\'e $$h(m) = \Ir + \rho \mathbf{Im}.$$

\vspace{0.1cm} Si le produit $\rho \rho'$ des rapports des deux homoth\'eties $h$ et $h'$ est distinct de $1$, $h \circ h'$ est une homoth\'etie puisque c'est un \'el\'ement de $\mathcal{H}$ d'application lin\'eaire associ\'ee $\rho \rho' \mathrm{id}_{\V}$. Son centre $\Ir''$ est caract\'eris\'e par la condition \begin{eqnarray*} \Ir'' & = & h \circ h' (\Ir'') \\ & = & h(\Ir' + \rho' \mathbf{I'I''}) \\ & = & h(\Ir') + \rho\rho' \mathbf{I'I''} \\ & = & \Ir + \rho \mathbf{II'} + \rho\rho' \mathbf{I'I''} ;\end{eqnarray*} en \'ecrivant $\Ir''$ sous la forme $\Ir'' = \Ir + \mathbf{II''}$, cette condition est \'equivalente \`a l'\'egalit\'e vectorielle $$(1- \rho\rho')\mathbf{II'} = \rho(1 - \rho')\mathbf{II'},$$ laquelle d\'etermine compl\`etement le point $\Ir''$ puisque $\rho \rho ' \neq 1$ :
$$\Ir'' = \Ir + \frac{\rho(1 - \rho')}{1 - \rho\rho'} \mathbf{II'}.$$

\vspace{0.1cm} \emph{Construction de $\Ir''$} : 
\vspace{3cm}

\vspace{0.1cm} 2)  Quel que soit le point $m$ appartenant au cercle $\mathcal{C}$ de centre $c$ et de rayon $\mathrm{R}$, $$({\bf h(c)h(m)} | {\bf h(c)h(m)}) = (\rho {\bf cm} | \rho {\bf cm}) = \rho^2 ({\bf cm} | {\bf cm}) = \rho^2 \mathrm{R}^2$$ et le point $h(m)$ appartient donc au cercle $\mathcal{C}'$ de centre $h(c)$ et de rayon $|\rho|\mathrm{R}$ : $h(\mathcal{C}) \subset \mathcal{C}'$. Appliquant le m\^eme raisonnement \`a l'homoth\'etie $h^{-1}$, il vient $h^{-1}(\mathcal{C}') \subset \mathcal{C}$ et donc $\mathcal{C}' = h(h^{-1}(\mathcal{C}')) \subset h(\mathcal{C})$, d'o\`u $h(\mathcal{C}) = \mathcal{C}'$.

\vspace{0.1cm} Soient $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$ deux cercles de centres $c$, $c'$ et de rayons distincts $\mathrm{R}$, $\mathrm{R}'$. Une homoth\'etie $h$ de rapport $\rho$ transforme $\mathcal{C}$ en $\mathcal{C}'$ si et seulement si $h(c)=c'$ et $|\rho|\mathrm{R} = \mathrm{R'}$ ; comme $\mathrm{R} \neq \mathrm{R'}$, il existe exactement deux telles homoth\'eties : $h^+$, de rapport $\frac{\mathrm{R'}}{\mathrm{R}}$, et $h^-$, de rapport $-\frac{\mathrm{R'}}{\mathrm{R}}$.

\vspace{0.1cm} Il est ais\'e de construire les centres $\Ir^+$ et $\Ir^-$ de ces homoth\'eties une fois que l'on a observ\'e que les points $c$ et $c'$ se trouvent du m\^eme c\^ot\'e de $\Ir^+$ sur la droite reliant $c, c', \Ir^+$ et $\Ir^-$ tandis qu'ils sont de part et d'autre du point $\Ir^-$.

\vspace{3cm}

\vspace{0.1cm} 3) \vspace{6cm}

L'application lin\'eaire associ\'ee \`a la bijection affine $h = h_2^+ \circ h_1^- \circ h_3^-$ est $\frac{\mathrm{R}_1}{\mathrm{R}_3}\mathrm{id}_{\V} \circ \left(-\frac{\mathrm{R}_{3}}{\mathrm{R}_2} \mathrm{id}_{\V}\right) \circ \left(-\frac{\mathrm{R}_{2}}{\mathrm{R}_1} \mathrm{id}_{\V} \right) = \mathrm{id}_{\V}$ ; il s'agit donc d'une translation. Comme, en outre, $h$ applique le cercle $\C_1$ sur lui-m\^eme, le centre $c_1$ de $\C_1$ est un point fixe de $h$ et donc $h = \mathrm{id}_{\X}$. On en d\'eduit l'identit\'e $h_1^- \circ h_3^- = (h_2^+)^{-1}$, qui montre que le membre de gauche est une homoth\'etie de centre $\Ir_2^{+}$ et il d\'ecoule alors de la question 1) que le point $\Ir_2^+$ est align\'es avec les centres $\Ir_1^-$ et $\Ir_3^-$ des homoth\'eties $h_1^{-}$ et $h_3^{-}$.

\vspace{0.1cm} Un raisonnement analogue \`a partir de la bijection affine $h_2^{+} \circ h_1^{+} \circ h_3^{+}$ permet d'\'etablir que les points $\Ir_1^+$, $\Ir_2^+$ et $\Ir_3^+$ sont align\'es.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 8.} --- \vspace{6cm}

\noindent \emph{Premi\`ere \'etape.} -- Puisque $\J$ est le milieu des segments $[\B\D]$ et $[\A \beta]$, $\B$ (resp. $\beta$) est l'image de $\D$ (resp. $\A$) par l'homoth\'etie de centre $\J$ et de rapport $-1$ et les droites $(\B \beta)$, $(\A \D)$ sont donc parall\`eles (c'est le th\'eor\`eme de Thal\`es...). De m\^eme, puisque $\K$ est le milieu des segments $[\C \F]$ et $[\A \alpha]$, les droites $(\A \F)$ et $(\alpha \C)$ sont parall\`eles et,comme $(\A \D) = (\A \F)$, les droites $(\B \beta)$, $(\alpha \C)$ et $(\A \D)$ sont donc parall\`eles. 

On d\'emontre de m\^eme que les droites $(\alpha \F)$, $(\beta \D)$ et $(\A \C)$ sont parall\`eles. 

\vspace{0.1cm} \emph{Deuxi\`eme \'etape.} --  Comme $h_2 (\C) = \D$, $h_2(\alpha \C)$ est la droite parall\`ele \`a $(\alpha \C)$ passant par $\D$, soit $(\A \D) = (\A \F)$ ; comme $h_1(\F) = \B$, $h_1(\A \D)$ est la droite parall\`ele \`a $(\A \C)$ passant par $\B$, soit $(\beta \B)$. Nous obtenons ainsi que l'homoth\'etie $h_1 \circ h_2$ transforme la droite $(\alpha \C)$ en la droite $(\beta \B)$.

Par un raisonnement analogue, on v\'erifie que l'homoth\'etie $h_2 \circ h_1$ transforme la droite $(\alpha \F)$ en la droite $(\beta \D)$.

\vspace{0.1cm} \emph{Troisi\`eme et derni\`ere \'etape.} -- Puisque $h_1$ et $h_2$ sont deux homoth\'eties de m\^eme centre $\E$, elles commutent : $h_1 \circ h_2 = h_2 \circ h_1$. Posant $h'=h_1 \circ h_2 = h_2 \circ h_1$, nous avons prouv\'e : $h'(\alpha \C) = (\beta \B)$ et $h'(\alpha \F) = (\beta \D)$. 

Observons que les points $\alpha, \ \C$ et $\F$ ne sont pas align\'es : le milieu $\K$ de $[\C \F]$ appartiendrait sinon \`a $(\C \F)$, puis $\A \in (\C \F)$ puisque $\K$ est \'egalement le milieu de $[\A \alpha]$, et il en d\'ecoulerait que les quatre points $\A, \ \C,\ \D$ et $\F$ seraient align\'es, en contradiction avec les hypoth\`eses de l'\'enonc\'e. Le point $\alpha$ est par cons\'equent l'unique point d'intersection des droites $(\alpha \C)$ et $(\alpha \F)$, ce qui entra\^ine que $h'(\alpha)$ est l'unique point d'intersection des droites $(\beta \B)$ et $(\beta \D)$ ; on a donc $h'(\alpha)=\beta$. L'homoth\'etie $h'$ \'etant centr\'ee au point $\E$, cela \'etablit que les points $\E, \ \alpha$ et $\beta$ sont align\'es.

Nous pouvons maintenant conclure. Par hypoth\`ese, $\E = h(\Ir)$, $\beta = h(\J)$ et $\alpha = h(\K)$ ; les points $\E, \ \alpha$ et $\beta$ \'etant align\'es, il en est de m\^eme des points $\Ir, \ \J$ et $\K$.
\end{document}