Géométrie élémentaire - Automne 2007 Université Claude Bernard Lyon 1

Complément à la fiche 3

I. Les symétries affines du cube

Soit C un cube dans ℝ^{3} et soit S_{C} l’ensemble de ses sommets. L’objet de cet exercice est la démonstration du fait suivant : une bijection affine f de ℝ^{3} préserve C — c’est-à-dire f(C) = C — si et seulement si elle transforme chaque sommet de C en un sommet de C — c’est-à-dire f(S_{C}) = S_{C}.

Dans tout ce qui suit, f désigne une bijection affine de ℝ^{3}.

1. Démontrer que, si f(S_{C}) = S_{C}, alors f(C) = C.

2. Nous allons maintenant établir l’implication réciproque : si f(C) = C, alors f(S_{C}) = S_{C}. Pour cela, on commence par mettre en évidence une caractérisation des sommets du cube C.

2.1. En décomposant le cube en une réunion de cinq tétraèdres, démontrer le fait suivant : quel que soit le point p de C, il existe une base affine {p_{0},...,p_{3}} de ℝ^{3} formée de sommets de C telle que p appartienne à EnvConv(p_{0},...,p_{3}).

2.2. Soit φ une application affine de ℝ^{3} dans ℝ ayant les propriétés suivantes :

– φ_{|C} ≥ 0 (φ est positive sur C) ;

– C ∩ {x ∈ ℝ^{3} | φ(x) = 0} = {p} (il existe un unique point p de C tel que φ(p) = 0). Quelle est la traduction géométrique de ces conditions ?

En utilisant la question 2.1, démontrer que le point p est nécessairement un sommet de C. (Indication : utiliser les coordonnées barycentriques de p dans une base affine de ℝ^{3} formée de sommets p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3} de C et porter son attention sur les nombres réels φ(p), φ(p_{0}),...,φ(p_{3}).)

2.3. Établir finalement la caractérisation suivante des sommets de C : un point p de C est un sommet si et seulement s’il existe une application affine φ : ℝ^{3} → ℝ telle que

– C soit contenu dans le demi-espace {x ∈ ℝ^{3} | φ(x) ≥ 0};

– C ne rencontre le plan {x ∈ ℝ^{3} | φ(x) = 0} qu’au point p.

Faire un dessin.

3. Démontrer maintenant que, si f(C) = C, alors f(S_{C}) = S_{C}.

4. En s’inspirant de ce qui précède, démontrer le résultat plus précis suivant : toute bijection affine de ℝ^{3} préservant le cube C transforme un sommet (resp. une arête ; resp. une face) de C en un sommet (resp. une arête ; resp. une face) de C.

II. Le théorème de Hahn-Banach

Soit X un espace affine réel de dimension finie. L’objet de cet exercice est de démontrer le théorème de Hahn-Banach : étant donnés une partie convexe fermée^{(1)} C ⊂ X et un point p de X n’appartenant pas à C, il existe un hyperplan Π

de X contenant p et ne rencontrant pas C

puis d’en déduire quelques conséquences.

Pour simplifier, on fera l’hypothèse additionnelle que C est borné (c’est-à-dire compact). Le cas général d’un convexe fermé C quelconque peut se déduire facilement de ce cas particulier en écrivant C comme la réunion d’une suite de convexes fermés et bornés.

1. Soit C une partie convexe et fermée de ℝ^{2} ne contenant pas l’origine o. On va démontrer qu’il existe une droite contenant o et ne rencontrant pas C. L’idée essentielle est d’étudier l’ensemble des demi-droites (fermées) issues de o et rencontrant C.

1.1. Justifier que, pour toute droite D passant par o, l’une au moins des deux demi-droites (fermées) issues de o dans D ne rencontre pas C.

(1)Ayant choisi une norme ||.|| sur l’espace vectoriel V = \overrightarrow{X}, on définit une distance d sur X en posant d(p,q) = ||\overrightarrow{pq}|| et on dit qu’une partie C de X est fermée si, pour toute suite (x_{n}) de points de C convergeant dans X, lim_{n}x_{n} ∈ C. Cette notion ne dépend du choix de la norme sur V en vertu de l’équivalence des normes sur un espace vectoriel réel de dimension finie.

Soit E l’ensemble des demi-droites (fermées) issues de o et soit C le sous-ensemble de E constitué des demidroites rencontrant C. Soit L la droite d’équation x_{1} = 0 et soient L^{+} = {x_{1} = 0, x_{2} ≥ 0}, L^{−} = {x_{1} = 0, x_{2} ≤ 0} les deux demi-droites correspondantes ; on a

E − {L^{−} ,L^{+} } = E_{L}^{−} ∪ E_{L}^{+} ,

où E_{L}^{−} est l’ensemble des demi-droites issues de o rencontrant le demi-plan ouvert {x_{1} < 0} et E_{L}^{+} est l’ensemble des demi-droites issues de o rencontrant le demi-plan ouvert {x_{1} > 0}. En utilisant les bijections

{x_{1} = −1} → E_{L}^{−} , p ↦ [op) et {x_{1} = 1} → E_{L}^{+} , p ↦ [op),

on munit chacun de ces deux ensembles d’une structure d’espace affine réel de dimension un. (Faire un dessin.) 1.2. Démontrer que E_{L}^{−} ∩ C (resp. E_{L}^{+} ∩ C) est une partie convexe de E_{L}^{−} (resp. E_{L}^{+} ).

À partir de maintenant, on raisonne par l’absurde : on suppose que toute droite passant par o rencontre C et on va aboutir à une contradiction. On rappelle que les parties convexes de ℝ sont les intervalles (ouverts, fermés ou semi-ouverts), les demi-droites (ouvertes ou fermées) et ℝ.

1.3. En analysant les différentes possibilités pour l’ensemble C ∩ E_{L}^{−}, démontrer qu’il existe une suite de demidroites D_{n} ∈ E satisfaisant aux conditions suivantes :

– la suite (D_{n}) converge vers une demi-droite D ∈ E ;

– toutes les demi-droites D_{n} sont contenues dans l’un des deux demi-plans ouverts ℝ^{2}− (−D ∪ D) ;

– pour tout n, D_{n+1} est contenue entre D_{n} et D ;

– la demi-droite −D rencontre C ; (Indication : si E_{L}^{+} ∩ C = ∅ ou E_{L}^{−} ∩ C = ∅, vérifier que l’on peut prendre pour D l’une des demi-droites L^{−}, L^{+} ; sinon, considérer un point adéquat au bord de l’un des convexes E_{L}^{−} ∩ C, E_{L}^{+} ∩ C.)

Nous allons maintenant obtenir la contradiction annoncée en construisant une suite de points de C convergeant vers x grâce à la question précédente. Pour tout entier n, on choisit un point y_{n} dans D_{n}∩ C.

1.4. Soit x un point dans (−D) ∩ C. Justifier que la droite (xy_{n}) rencontre la demi-droite D_{0} en un unique point x_{n} et démontrer que la suite (x_{n}) converge vers x. (Indication : faire un dessin...)

1.5. Conclure.

2. Soient X un espace affine réel de dimension finie, C une partie convexe de X et p un point de X n’appartenant pas à C. En raisonnant par récurrence sur d, on va démontrer qu’il existe un hyperplan P de X passant par p et ne rencontrant pas C (théorème de Hahn-Banach).

2.1. Prouver le théorème de Hahn-Banach lorsque dim(X) ≤ 2.

Soit d ≥ 3 et supposons que le théorème soit établi pour tout espace affine réel de dimension ≤ d − 1.

2.2. Démontrer qu’il existe une droite D ⊂ X passant par p et ne rencontrant pas C (Indication : raisonner dans un plan passant par p) ; choisir alors un hyperplan Π ne contenant pas D et passant par p, puis considérer la projection π sur Π parallèlement à D (Indication : observer que π(C) est compact (c’est l’image d’un compact par une application continue) et appliquer le théorème dans Π).

2.3. Déduire du théorème de Hahn-Banach que toute partie convexe fermée de X est l’intersection des demi-espaces la contenant.

3. Soient X un espace affine réel de dimension finie et soient p_{0}, p_{1},...,p_{n} des points de X, dont on note C l’enveloppe convexe. Par définition, un point p de C est un sommets’il existe un hyperplan P ⊂ X tel que P∩C = {p}; on désigne par S_{C} l’ensemble des sommets de C.

3.1. Soit p un sommet de C. Étant donné i ∈ {0,...,n}, justifier qu’il existe un point s_{i} dans l’enveloppe convexe de {p_{0},...,p_{n}} − {p_{i}} tel que p ∈ [p_{i}s_{i}] puis que l’on a p = p_{i} ou p = s_{i}. En raisonnant par récurrence sur n, en déduire que l’ensemble des sommets de C est contenu dans l’ensemble {p_{0},...,p_{n}}.

3.2. Démontrer que, si le point p_{i} n’est pas un sommet de C, alors p_{i} appartient à l’enveloppe convexe de {p_{0},...,p_{n}} − {p_{i}}. (Indication : prouver l’assertion contraposée en utilisant le théorème de Hahn-Banach.

3.3. Déduire de ce qui précède que C est l’enveloppe convexe de ses sommets et démontrer qu’une bijection affine f ∈ GA(X) préserve C si et seulement si f(S_{C}) = S_{C}.