\documentclass[11pt, francais]{smfart}
\usepackage{amsfonts, amssymb, amsmath, latexsym}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{textcomp}


\input xy
\xyoption{all}

\pagestyle{empty}

\addtolength{\hoffset}{-25mm}
%\addtolength{\voffset}{-5mm}
\addtolength{\topmargin}{-40mm} \addtolength{\headsep}{5mm}
\addtolength{\textwidth}{50mm} \addtolength{\textheight}{60mm}

\begin{document}
\noindent \textbf{G\'eom\'etrie \'el\'ementaire - Automne 2007} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\thispagestyle{empty}

\newcommand{\A}{\mathrm{A}}
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\K}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\T}{\mathrm{T}}
\newcommand{\B}{\mathrm{B}}
\newcommand{\M}{\mathrm{M}}
\newcommand{\V}{\mathrm{V}}
\newcommand{\F}{\mathrm{F}}
\newcommand{\N}{\mathrm{N}}
\newcommand{\Q}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\U}{\mathrm{U}}
\newcommand{\Ir}{\mathrm{I}}
\newcommand{\Sr}{\mathrm{S}}
\newcommand{\C}{\mathrm{C}}
\newcommand{\X}{\mathrm{X}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\Lr}{\mathrm{L}}

\vspace{0.5cm}

\begin{center} {\bfseries \scshape Compl\'ement \`a la fiche 3} \end{center}

\vspace{0.1cm}

\noindent {\bf I. Les sym\'etries affines du cube}

\vspace{0.2cm} Soit $\C$ un cube dans $\mathbb{R}^3$ et soit $\Sr_{\C}$ l'ensemble de ses sommets. L'objet de cet exercice est la d\'emonstration du fait suivant : une bijection affine $f$ de $\mathbb{R}^3$ pr\'eserve $\C$ --- c'est-\`a-dire $f(\C)=\C$ --- si et seulement si elle transforme chaque sommet de $\C$ en un sommet de $\C$ --- c'est-\`a-dire $f(\Sr_{\C}) = \Sr_{\C}$.

\vspace{0.2cm} Dans tout ce qui suit, $f$ d\'esigne une bijection affine de $\mathbb{R}^3$.

\vspace{0.2cm} \noindent {\bf 1.} D\'emontrer que, si $f(\Sr_{\C}) = \Sr_{\C}$, alors $f(\C)=\C$.

\vspace{0.3cm} \noindent {\bf 2.} Nous allons maintenant \'etablir l'implication r\'eciproque : si $f(\C)=\C$, alors $f(\Sr_{\C})=\Sr_{\C}$. Pour cela, on commence par mettre en \'evidence une caract\'erisation des sommets du cube $\C$.

\indent {\bf 2.1.} En d\'ecomposant le cube en une r\'eunion de cinq t\'etra\`edres, d\'emontrer le fait suivant : quel que soit le point $p$ de $\C$, il existe une base affine $\{p_0, \ldots, p_3\}$ de $\mathbb{R}^3$ form\'ee de sommets de $\C$ telle que $p$ appartienne \`a $\mathrm{EnvConv}(p_0, \ldots, p_3)$.

\vspace{0.2cm}
\indent {\bf 2.2.} Soit $\varphi$ une application affine de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}$ ayant les propri\'et\'es suivantes :\begin{itemize} \item $\varphi_{|\C} \geq 0$ ($\varphi$ est positive sur $\C$) ; \item $\C \cap \{x \in \mathbb{R}^3 \ | \ \varphi(x) = 0\} = \{p\}$ (il existe un unique point $p$ de $\C$ tel que $\varphi(p)=0$).
\end{itemize}
Quelle est la traduction g\'eom\'etrique de ces conditions?

En utilisant la question 2.1, d\'emontrer que le point $p$ est n\'ecessairement un sommet de $\C$. (\emph{Indication : utiliser les coordonn\'ees barycentriques de $p$ dans une base affine de $\mathbb{R}^3$ form\'ee de sommets $p_0, \ p_1, \ p_2, \ p_3$ de $\C$ et porter son attention sur les nombres r\'eels $\varphi(p), \ \varphi(p_0), \ldots, \varphi(p_3)$}.)

\vspace{0.2cm}
\indent {\bf 2.3.} \'Etablir finalement la caract\'erisation suivante des sommets de $\C$ : un point $p$ de $\C$ est un sommet si et seulement s'il existe une application affine $\varphi : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$ telle que \begin{itemize} \item $\C$ soit contenu dans le demi-espace $\{x \in \mathbb{R}^3 \ | \ \varphi(x) \geq 0\}$ ; \item $\C$ ne rencontre le plan $\{x \in \mathbb{R}^3 \ | \ \varphi(x) = 0\}$ qu'au point $p$. \end{itemize}

Faire un dessin.

\vspace{0.3cm} \noindent {\bf 3.} D\'emontrer maintenant que, si $f(\C)=\C$, alors $f(\Sr_{\C})=\Sr_{\C}$.

\vspace{0.3cm} \noindent {\bf 4.} En s'inspirant de ce qui pr\'ec\`ede, d\'emontrer le r\'esultat plus pr\'ecis suivant : toute bijection affine de $\mathbb{R}^3$ pr\'eservant le cube $\C$ transforme un sommet (resp. une ar\^ete ; resp. une face) de $\C$ en un sommet (resp. une ar\^ete ; resp. une face) de $\C$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{II. Le th\'eor\`eme de Hahn-Banach} 

\vspace{0.3cm} Soit $\X$ un espace affine r\'eel de dimension finie. L'objet de cet exercice est de d\'emontrer le \emph{th\'eor\`eme de Hahn-Banach} : \begin{center}
\emph{\'etant donn\'es une partie convexe ferm\'ee \footnote{Ayant choisi une norme $||.||$ sur l'espace vectoriel $\V = \overrightarrow{\X}$, on d\'efinit une distance $\mathrm{d}$ sur $\X$ en posant $\mathrm{d}(p,q) = ||\overrightarrow{pq}||$ et on dit qu'une partie $\C$ de $\X$ est ferm\'ee si, pour toute suite $(x_n)$ de points de $\C$ convergeant dans $\X$, $\lim_{n} x_n \in \C$. Cette notion ne d\'epend du choix de la norme sur $\V$ en vertu de l'\'equivalence des normes sur un espace vectoriel r\'eel de dimension finie.} $\C \subset \X$ et un point $p$ de $\X$ n'appartenant pas \`a $\C$, il existe un hyperplan $\Pi$ de $\X$ contenant $p$ et ne rencontrant pas $\C$} \end{center} puis d'en d\'eduire quelques cons\'equences.

\vspace{0.1cm} Pour simplifier, on fera l'hypoth\`ese additionnelle que $\C$ est \emph{born\'e} (c'est-\`a-dire \emph{compact}). Le cas g\'en\'eral d'un convexe ferm\'e $\C$ quelconque peut se d\'eduire facilement de ce cas particulier en \'ecrivant $\C$ comme la r\'eunion d'une suite de convexes ferm\'es et born\'es.

\vspace{0.2cm} \noindent {\bf 1.} Soit $\C$ une partie convexe et ferm\'ee de $\mathbb{R}^2$ ne contenant pas l'origine $o$. On va d\'emontrer qu'il existe une droite contenant $o$ et ne rencontrant pas $\C$. L'id\'ee essentielle est d'\'etudier l'ensemble des demi-droites (ferm\'ees) issues de $o$ et rencontrant $\C$.

\vspace{0.1cm} \indent {\bf 1.1.} Justifier que, pour toute droite $\D$ passant par $o$, l'une au moins des deux demi-droites (ferm\'ees) issues de $o$ dans $\D$ ne rencontre pas $\C$.

\vspace{0.2cm} Soit $\mathcal{E}$ l'ensemble des demi-droites (ferm\'ees) issues de $o$ et soit $\mathcal{C}$ le sous-ensemble de $\mathcal{E}$ constitu\'e des demi-droites rencontrant $\C$. Soit $\Lr$ la droite d'\'equation $x_1=0$ et soient $\Lr^+ = \{x_1 = 0, \ x_2 \geq 0\}$, $\Lr^{-} = \{x_1=0, \ x_2 \leq 0\}$ les deux demi-droites correspondantes ; on a $$\mathcal{E} - \{\Lr^-, \Lr^+\} = \mathcal{E}_{\Lr}^- \cup \mathcal{E}_{\Lr}^+,$$ o\`u $\mathcal{E}_{\Lr}^-$ est l'ensemble des demi-droites issues de $o$ rencontrant le demi-plan ouvert $\{x_1 < 0\}$ et $\mathcal{E}_{\Lr}^+$ est l'ensemble des demi-droites issues de $o$ rencontrant le demi-plan ouvert $\{x_1 > 0\}$. En utilisant les bijections $$\{x_1=-1 \} \rightarrow \mathcal{E}_{\Lr}^-, \ p \mapsto [op) \ \ \ \textrm{et} \ \ \ \{x_1 = 1\} \rightarrow \mathcal{E}_{\Lr}^+, \ p \mapsto [op),$$ on munit chacun de ces deux ensembles d'une structure d'espace affine r\'eel de dimension un. (Faire un dessin.)

\vspace{0.1cm} \indent {\bf 1.2.} D\'emontrer que $\mathcal{E}_{\Lr}^- \cap \mathcal{C}$ (resp. $\mathcal{E}_{\Lr}^+ \cap \mathcal{C}$) est une partie convexe de $\mathcal{E}_{\Lr}^-$ (resp. $\mathcal{E}_{\Lr}^+$).

\vspace{0.2cm} \`A partir de maintenant, on raisonne par l'absurde : on suppose que toute droite passant par $o$ rencontre $\C$ et on va aboutir \`a une contradiction. On rappelle que les parties convexes de $\mathbb{R}$ sont les intervalles (ouverts, ferm\'es ou semi-ouverts), les demi-droites (ouvertes ou ferm\'ees) et $\mathbb{R}$.

\vspace{0.1cm} {\bf 1.3.} En analysant les diff\'erentes possibilit\'es pour l'ensemble $\mathcal{C} \cap \mathcal{E}_{\Lr}^-$, d\'emontrer qu'il existe une suite de demi-droites $\D_n \in \mathcal{E}$ satisfaisant aux conditions suivantes :
\begin{itemize}
\item la suite $(\D_n)$ converge vers une demi-droite $\D \in \mathcal{E}$ ;
\item toutes les demi-droites $\D_n$ sont contenues dans l'un des deux demi-plans ouverts $\mathbb{R}^2 - (-\D \cup \D)$ ;
\item pour tout $n$, $\D_{n+1}$ est contenue entre $\D_n$ et $\D$ ;
\item la demi-droite $-\D$ rencontre $\C$ ; 
\end{itemize}
(\emph{Indication} : si $\mathcal{E}_{\Lr}^+ \cap \mathcal{C} = \emptyset$ ou $\mathcal{E}_{\Lr}^- \cap \mathcal{C} = \emptyset$, v\'erifier que l'on peut prendre pour $\D$ l'une des demi-droites $\Lr^-$, $\Lr^+$ ; sinon, consid\'erer un point ad\'equat au bord de l'un des convexes $\mathcal{E}_{\Lr}^- \cap \mathcal{C}$, $\mathcal{E}_{\Lr}^+ \cap \mathcal{C}$.)

\vspace{0.2cm} Nous allons maintenant obtenir la contradiction annonc\'ee en construisant une suite de points de $\C$ convergeant vers $x$ gr\^ace \`a la question pr\'ec\'edente. Pour tout entier $n$, on choisit un point $y_n$ dans $\D_n \cap \C$.

\vspace{0.1cm} {\bf 1.4.} Soit $x$ un point dans $(-\D) \cap \C$. Justifier que la droite $(xy_n)$ rencontre la demi-droite $\D_0$ en un unique point $x_n$ et d\'emontrer que la suite $(x_n)$ converge vers $x$. (\emph{Indication : faire un dessin...})

\vspace{0.1cm} {\bf 1.5.} Conclure.

\vspace{0.2cm} \noindent {\bf 2.} Soient $\X$ un espace affine r\'eel de dimension finie, $\C$ une partie convexe de $\X$ et $p$ un point de $\X$ n'appartenant pas \`a $\C$. En raisonnant par r\'ecurrence sur $d$, on va d\'emontrer qu'il existe un hyperplan $\rP$ de $\X$ passant par $p$ et ne rencontrant pas $\C$ (\emph{th\'eor\`eme de Hahn-Banach}).

\vspace{0.1cm} {\bf 2.1.} Prouver le th\'eor\`eme de Hahn-Banach lorsque $\operatorname{dim}(\X) \leq 2$.

\vspace{0.2cm} Soit $d \geq 3$ et supposons que le th\'eor\`eme soit \'etabli pour tout espace affine r\'eel de dimension $\leq d - 1$. 

\vspace{0.1cm} {\bf 2.2.} D\'emontrer qu'il existe une droite $\D \subset \X$ passant par $p$ et ne rencontrant pas $\C$ (\emph{Indication : raisonner dans un plan passant par $p$}) ; choisir alors un hyperplan $\Pi$ ne contenant pas $\D$
et passant par $p$, puis consid\'erer la projection $\pi$ sur $\Pi$ parall\`element \`a $\D$ (\emph{Indication : observer que $\pi(\C)$ est compact (c'est l'image d'un compact par une application continue) et appliquer le th\'eor\`eme dans $\Pi$}).

\vspace{0.1cm} {\bf 2.3.} D\'eduire du th\'eor\`eme de Hahn-Banach que toute partie convexe ferm\'ee de $\X$ est l'intersection des demi-espaces la contenant.

\vspace{0.2cm} \noindent {\bf 3.} Soient $\X$ un espace affine r\'eel de dimension finie et soient $p_0, \ p_1, \ldots, p_n$ des points de $\X$, dont on note $\C$ l'enveloppe convexe. Par d\'efinition, un point $p$ de $\C$ est un \emph{sommet}s'il existe un hyperplan $\rP \subset \X$ tel que $\rP \cap \C = \{p\}$ ; on d\'esigne par $\Sr_{\C}$ l'ensemble des sommets de $\C$.

\vspace{0.1cm} {\bf 3.1.} Soit $p$ un sommet de $\C$. \'Etant donn\'e $i \in \{0, \ldots, n\}$, justifier qu'il existe un point $s_i$ dans l'enveloppe convexe de $\{p_0, \ldots, p_n\} - \{p_i\}$ tel que $p \in [p_i s_i]$ puis que l'on a $p=p_i$ ou $p = s_i$. En raisonnant par r\'ecurrence sur $n$, en d\'eduire que l'ensemble des sommets de $\C$ est contenu dans l'ensemble $\{p_0, \ldots, p_n\}$.

\vspace{0.1cm} {\bf 3.2.} D\'emontrer que, si le point $p_i$ n'est pas un sommet de $\C$, alors $p_i$ appartient \`a l'enveloppe convexe de $\{p_0, \ldots, p_n\} - \{p_i\}$. (\emph{Indication : prouver l'assertion contrapos\'ee en utilisant le th\'eor\`eme de Hahn-Banach}.

\vspace{0.1cm} {\bf 3.3.} D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que $\C$ est l'enveloppe convexe de ses sommets et d\'emontrer qu'une bijection affine $f \in \mathrm{GA}(\X)$ pr\'eserve $\C$ si et seulement si $f(\Sr_{\C}) = \Sr_{\C}$.

\end{document}
