Université Claude Bernard - Lyon 1 Géométrie élémentaire (L3) Année 2007/2008

Fiche 5

Exercice 1 (Sous-groupes finis du groupe orthogonal du plan euclidien.) — Soit E un plan euclidien et O(E) le groupe orthogonal.

On rappelle que l’application :

ℝ/2πℤ ⟶ O^{+}(E), \overline{ϑ} ↦ R\overline{ϑ} = ( \begin{matrix}cos(ϑ) & − sin(ϑ) \\ sin(ϑ) & cos(ϑ) \end{matrix} )

est un isomorphisme.

1) Montrer que tout sous-groupe fini G ⊂ O^{+}(E) est un groupe cyclique

C_{n} := \{R\overline{2πk/n}, 0 ≤ k ≤ n ∈ N\}

Indication : considérer le plus petit réel ϑ ∈]0, 2π[ tel que R\overline{ϑ} ∈ G et le plus petit entier naturel n tel que 2π ≤ nϑ.)

2) On suppose à présent que le sous-groupe fini G ⊂ O(E) contient une symétrie s et on pose H := G ∩ O^{+}(E).

2.1. Montrer que G = H ∪ H ∘ s.

2.2. Montrer que l’application H ×{id_{E}, s} → G, (h, σ) ↦ h∘σ est une bijection et décrire la structure de groupe obtenue sur H × {id_{E}, s}.G est le produit semi-direct de H et S = {1_{E}, s}.

3) Application : déterminer le sous-groupe de O(E) laissant globalement invariant l’ensemble des sommets d’un n−gone régulier du plan E.

Exercice 2 — Soit E un espace affine euclidien de dimension 3 et soit G ⊂ GA(E) le groupe des déplacements de E de dimension 3. On rappelle que G est constitué des transformations suivantes

– les rotations ;

– les translations ;

– les produits d’une rotation d’axe D et d’une translation de vecteur non nul \overrightarrow{v} ∈ \overrightarrow{D} On se propose ici de déterminer le sous- groupe des commutateurs [G, G] ⊂ G.

1) Montrer que toute symétrie orthogonale par rapport à une droite D appartient à G.

2) 2.1. Vérifier que le produit de deux symétries orthogonales par rapport à deux droites parallèles D et D′ est une translation puis montrer que toute translation τ peut s’écrire sous la forme σ′ ∘ σ où σ′ et σ sont des symétries orthogonales par rapport à des droites.

2.2. Montrer que toute translation τ peut s’écrire τ_{0}^{2} où τ_{0} est une translation.

2.3. Déduire des deux questions précédentes que toute translation τ est un commutateur de G.

3) a) Soient D et D′ deux droites distinctes de E passant par un point O. Soit σ la symétrie orthogonale par rapport à la droite D, σ′ la symétrie orthogonale par rapport à D′.

3.1. Montrer que σ′ ∘ σ est une rotation d’axe orthogonal au plan défini par D et D′.

3.2. Soit ρ ≠ Id une rotation appartenant à G. En écrivant ρ sous la forme ρ_{0}^{2} où ρ_{0} est une rotation, montrer que ρ est un commutateur de G.

4) Démontrer que G est égal à son sous-groupe des commutateurs : [G, G] = G.

Exercice 3 — On considère k hyperplans H_{1}, ⋯, H_{k} d’un espace euclidien E. On note σ_{1}, ⋯, σ_{k} les réflexions correspondantes et {x_{1}, ⋯, x_{k}} des vecteurs unitaires tels que H_{i}^{⊥} =< x_{i} > (i ∈ {1, ⋯, k}).

Soit G le sous-groupe de O(E) dont les éléments sont les compositions d’un nombre fini de σ_{i}, i ∈ {1, ⋯, k}, c’est-à-dire le sous-groupe de O(E) engendré par les réflexions σ_{i}.

1) Déterminer l’ensemble

E^{G} = {x ∈ E, | ∀g ∈ G, g(x) = x}

des points fixes communs à tous les éléments de G.

En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur les x_{i} pour que E^{G} = {0}.

(Indication : Utiliser (V ∩ V′)^{⊥} = V^{⊥} + V^{′⊥}.)

2) Étant donné x ∈ E − {0}, on désigne par σ_{<x>^{⊥}} la réflexion d’hyperplan < x >^{⊥} . On considère le sous-ensemble

Δ = {x ∈ E | || x ||= 1, ∃i ∈ {1, ⋯, k}, ∃g ∈ G | σ_{<x>^{⊥}} = g^{−1} ∘ σ_{i} ∘ g}.

Montrer que Δ est globalement invariant sous l’action de G i.e. que g(Δ) ⊂ Δ, ∀g ∈ G.

3) Montrer que si Δ est fini et si E^{G} = {0} alors G est fini. (Indication : Soit S_{Δ} le groupe de permutation de Δ. Montrer que l’application : G ⟶ S_{Δ} : g ↦ g_{|Δ} est injective.)

4) Soit E = R^{n}, (e_{i})_{1≤i≤n} la base canonique et {H_{i} = Re_{i}^{⊥}, 1 ≤ i ≤ n}. Montrer que G est abélien et déterminer son cardinal. Déterminer Δ.

Exercice 4 (Inversion) — Soit X un plan euclidien. Étant donnés un point o de X et un nombre réel a strictement positif, on appelle inversion de pôle o et de puissance a l’application

X − \{a\} → X − \{a\}, p ↦ o + \frac{a}{||\overrightarrow{op}||^{2}} \overrightarrow{op}.

De manière équivalente, les points o, p et ι(p) sont alignés et (\overrightarrow{op}|\overrightarrow{oι(p)}) = a.

1) Vérifier que ι est une bijection de X −{o} dans lui-même telle que ι^{2} = id_{X−{o}} et déterminer l’ensemble de ses points fixes.

2) Les trois questions suivantes sont préparatoires en vue de la question 3.

2.1. Déterminer h ∘ ι et ι ∘ h pour toute homothétie h de centre o.

2.2. Soit C ⊂ X un cercle de centre c et de rayon R > 0. Étant donnés un point p ∈ X et une droite D qui passe par p et coupe C en deux points x, y (éventuellement confondus, auquel cas D est tangente à C), démontrer que l’on a

(\overrightarrow{px}|\overrightarrow{py}) = ||p − c||^{2} − R^{2}.

(Indication : introduire le milieu α du segment [xy] et utiliser le théorème de Pythagore.) En particulier, ce nombre réel ne dépend pas de la droite D considérée mais seulement du point p; c’est par définition la puissance de p par rapport à C.

2.3. Soient C un cercle, p, p′ deux points diamétralement opposés de C et Δ la tangente à C en p′. Toute droite D passant par p et non parallèle à Δ coupe C en un second point x ≠ p. Notant x′ le point d’intersection de D et Δ, démontrer que l’on a

(\overrightarrow{px}|\overrightarrow{px}′) = ||pp′||^{2}.

3) La propriété fondamentale des inversions est qu’elles transforment un cercle (resp. une droite) en un cercle ou une droite. En utilisant la question 2, établir plus précisément les quatre assertions suivantes :

(i) si D est une droite passant par o, ι(D − {o}) ∪ {o} = D;

(ii) si C est un cercle ne contenant pas o, ι(C) est un cercle ;

(iii) si D est une droite ne passant pas par o, ι(D) ∪ {o} est un cercle ;

(iv) si C est un cercle contenant o, ι(C − {o}) est une droite.

4) Soit (o, \overrightarrow{e}_{1}, \overrightarrow{e}_{2}) un repère orthonormal. Déterminer les coordonnées du point ι(p) en fonction de celles du point p et retrouver les résultats de la question précédente.

5) Vérifier que les images par ι de deux cercles tangents (resp. d’un cercle et d’une droite tangents ; resp. de deux droites parallèles) sont deux cercles tangents, un cercle et une droite tangents ou deux droites parallèles. (Indication : deux cercles sont tangents si et seulement si leur intersection est réduite à un point...)

6) Soient C et C′ deux cercles tels que C ∩ C′ ≠ ∅. On désigne par c et c′ leurs centres respectifs.

6.1. Désignant par p et p′ les points d’intersection de C et C′, vérifier que les angles orientés [\overrightarrow{pc}, \overrightarrow{pc′}] et [\overrightarrow{pc}, \overrightarrow{pc′}] sont opposés. Les cercles C et C′ sont dits orthogonaux si ces angles sont droits.

6.2. Soit D une droite intersectant C en des points p, p′. Vérifier que D est orthogonale à la tangente à C à p si et seulement si D passe par le centre c de C.

6.3. Démontrer que les images par l’inversion ι de deux droites orthogonales sont orthogonales.

6.4. Démontrer que les images par l’inversion ι de deux cercles orthogonaux (resp. d’un cercle et d’une droite orthogonaux) sont orthogonales. (Indication : introduire les tangentes convenables puis utiliser les questions 5 et 6.3.)

Exercice 5 (Familles linéaires de cercles) — Soit X un plan euclidien et soient C, C′ ⊂ X deux cercles, de centres respectifs c et c′.

1) Si C ∩ C′ ≠ ∅, démontrer qu’il existe une inversion transformant C et C′ en deux droites sécantes ou parallèles.

2) Si C ∩ C′ = ∅, nous allons démontrer qu’il existe une inversion transformant C et C′ en deux cercles concentriques.

2.1. Étant donnés un cercle C′′ de centre c′′ et une droite D disjointe de C′′, démontrer qu’il existe un cercle orthogonal à C′′ et à D qui coupe la perpendiculaire à D passant par c′′ en deux points distincts.

2.2. Déduire de la question précédente qu’il existe un cercle Γ orthogonal à C et C′ qui coupe la droite (cc′) en deux points distincts, notés x et y. (Indication : par une inversion bien choisie, transformer C′ et (cc′) en deux droites orthogonales.)

2.3. Démontrer qu’une inversion ι de centre x transforme C et C′ en deux cercles concentriques de centre ι(y).

3) Soient C et C′ deux cercles disjoints tels que C′ soit intérieur à C. On s’intéresse aux suites de cercles (Γ_{n}) satisfaisant aux conditions suivantes :

– Γ_{0} est tangent à C et C′;

– pour tout n ≥ 0, Γ_{n+1} ≠ Γ_{n} et Γ_{n+1} est tangent à C, C′ et Γ_{n}. Démontrer l’alternative de Steiner :

– ou bien toutes ces suites sont périodiques (c’est-à-dire qu’il existe n ≥ 2 tel que Γ_{n} = Γ_{0}) ;

– ou bien aucune de ces suite n’est périodique.

Pour ce faire, on commencera par se ramener au cas où les cercles C et C′ sont concentriques puis on prouvera directement le résultat dans cette situation.

4) Soit E l’ensemble des droites et des cercles du plan et soient C, C′ deux éléments distincts de C; d’après ce qui précède, une inversion ι permet de se ramener à l’une des trois situations suivantes :

– C et C′ sont deux droites sécantes ;

– C et C′ sont deux droites parallèles ;

– C et C′ sont deux cercles concentriques.

Soit F l’ensemble des éléments Γ de E orthogonaux à C et C′.

4.1. Si C et C′ sont deux cercles disjoints non concentriques, démontrer qu’il existe deux points distincts x, y ∈ X tels que F soit l’ensembles des éléments Γ de E passant par x et y.

4.2. Si C et C′ sont deux cercles tangents en un point p, démontrer que F est l’ensemble de éléments Γ de E passant par p et orthogonaux à la tangente de C en p.

4.3. Si C et C′ sont deux cercles sécants et non tangents, démontrer que deux éléments quelconques de F sont disjoints.

4.4. Représenter graphiquement chacune des situations précédentes.

Exercice 6 (L’espace des cercles et des droites du plan) — On travaille dans ℝ^{2} muni de sa structure euclidienne usuelle et on désigne par

– P(ℝ^{2}) l’ensemble des parties de ℝ^{2},

– E ⊂ P(ℝ^{2}) l’ensemble de tous les cercles et de toutes les droites. On identifie ℝ^{2} au sous-ensemble de P(ℝ^{2}) formé des singletons et on note ∞ l’élément ∅ de P(ℝ^{2}).

1) Déterminer la nature de l’ensemble

Γ_{a} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | a_{0}(x^{2} + y^{2}) + a_{1}x + a_{2}y + a_{3} = 0}

en fonction du quadruplet a = (a_{0}, …, a_{3}) ∈ ℝ^{4}.

On considère la forme quadratique q sur ℝ^{4} définie par q(a) = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} − 4a_{0}a_{3} et on pose

Q = {a ∈ ℝ^{4} | q(a) = 0}, Ω^{+} = {a ∈ ℝ^{4} | q(a) > 0}, Ω^{−} = {a ∈ ℝ^{4} | q(a) < 0}.

On désigne enfin par \overline{C} l’ensemble de toutes les droites D de ℝ^{4} passant par l’origine et telles que la restriction de q à D soit positive (ce qui revient à dire que D est contenue dans Ω^{+} ∪ Q) et par C le sous-ensemble de \overline{C} formé des droites D telles que la restriction de q à D soit strictement positive en dehors de l’origine (ce qui revient à dire que D rencontre Ω^{+}).

2) Démontrer que l’application

γ : ℝ^{4} → P(ℝ^{2}), a ↦ Γ_{a}

réalise une bijection (encore notée γ) entre l’ensemble \overline{C} et ℝ^{2} ∪ \{∞\} ∪ E.

3) Soit D une droite dans \overline{C}.

3.1. Vérifier que :

– γ(D) appartient à ℝ^{2} ∪ {∞} si et seulement si D est contenue dans la quadrique Q;

– γ(D) est une droite si et seulement si D ∈ C et D ⊂ H_{0} ;

– γ(D) est un cercle si et seulement si D ∈ C et D ⊈ H_{0}.

3.2. Supposons que D appartienne à C et soit a un point de D distinct de l’origine. Vérifier que a_{0} ≠ 0 et que le rayon du cercle γ(D) est \frac{1}{4a_{0}^{2}} q(a).

On désigne par R la forme polaire de la forme quadratique q :

R(a, a′) = a_{1}a′_{1} + a_{2}a′_{2} − 2(a_{0}a′_{3} + a′_{0}a_{3}).

Étant données deux droites D, D′ ∈ C, le nombre réel positif

\frac{|R(a, a′)|}{\sqrt{q(a)q(a′)}}

ne dépend pas du choix de a ∈ D − {0} et a′ ∈ D′ − {0}; on le note [D, D′].

4) Soit p = (x_{0}, y_{0}) un point de ℝ^{2}.

4.1. Déterminer explicitement l’unique droite D_{p} ∈ \overline{C} telle que p = γ(D_{p}).

4.2. Étant donnée une droite D ∈ C, vérifier que p appartient au cercle ou à la droite γ(D) si et seulement si les droites D et D_{p} sont orthogonales relativement à la forme bilinéaire R (i.e. R(a, a′) = 0 si a ∈ D et a′ ∈ D_{p}).

4.3. Soit D_{∞} ∈ \overline{C} la droite telle que γ(D_{∞}) = ∞. Vérifier que D_{∞} est orthogonale à une droite D ∈ C si et seulement si D est contenue dans H_{0}.

4.4. Soient D, D′ ∈ C deux droites contenues dans H_{0}. Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

– les droites γ(D) et γ(D′) sont parallèles ;

– [D, D′] = 1 ;

– D_{∞} est l’unique de \overline{C} contenue dans Q qui soit simultanément orthogonale à D et D′.

Interprétation : si l’on adjoint le point ∞ au plan ℝ^{2}, toutes les droites de ℝ^{2} passent par ce point et deux droites sont parallèles si et seulement si ∞ est leur seul point d’intersection.

5) Soient D, D′ deux droites dans C. Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

– [D, D′] ≤ 1 ;

– la restriction de la forme quadratique q au plan de ℝ^{4} engendré par D et D′ est positive ;

– le plan de ℝ^{4} engendré par D et D′ rencontre la quadrique Q selon au plus une droite. (Indication : choisir a ∈ D − {0}, a′ ∈ D′ − {0} et étudier à quelle condition l’équation q(ta + sa′) = 0 admet une solution (t, s) ∈ ℝ^{2} − {(0, 0)}...)

6) Soient D, D′ ∈ C deux droites contenues dans H_{0}.

6.1. Vérifier que [D, D′] ≤ 1 et qu’il y a égalité si et seulement si les droites γ(D) et γ(D′) sont parallèles.

6.2. Si les droites γ(D) et γ(D′) sont concourantes, vérifier que leur angle est l’unique élément ϑ de ]0, \frac{π}{2} ] tel que

cos(ϑ) = [D, D′].

7) Soient D, D′ ∈ C deux droites non contenues dans H_{0}.

7.1. Démontrer que la distance entre les centres des cercles γ(D) et γ(D′) est

\frac{1}{4a_{0}^{2}} q(a) + \frac{1}{4a′_{0}^{2}} q(a′) − \frac{2}{a_{0}a′_{0}} R(a, a′),

où a et a′ sont des points de D et D′ distincts de l’origine.

7.2. En déduire que γ(D) et γ(D′) sont sécants si et seulement si

[D, D′] ≤ 1,

auquel cas l’angle entre leurs tangentes en un point d’intersection est l’unique nombre réel ϑ ∈ [0, π/2] tel que

cos(ϑ) = [D, D′].

8) Soient D, D′ ∈ C deux droites telles que D ⊈ H_{0} et D′ ⊂ H_{0}.

Démontrer que le cercle γ(D) et la droite γ(D′) sont sécants si et seulement si

[D, D′] ≤ 1,

auquel cas cette quantité est le cosinus de l’angle que forme γ(D′) avec la tangente à γ(D) en un point d’intersection.

9) Soient D, D′ deux droites dans C et soit P le plan de ℝ^{4} qu’elles engendrent. En faisant le bilan des questions précédentes, montrer que :

– γ(D) et γ(D′) sont disjoints si et seulement si [D, D] > 1, ce qui équivaut à dire que la restriction de la forme quadratique q au plan P est de signature (1, 1) ou encore que P ∩ Q contient deux droites distinctes ;

– γ(D) et γ(D′) sont tangents dans ℝ^{2} si et seulement si [D, D] = 1, ce qui équivaut à dire que la restriction de q au plan P est de signature (1, 0) ou encore que P ∩ Q est une droite ;

– γ(D) et γ(D′) sont sécants et non tangents si et seulement si [D, D′] < 1, ce qui équivaut à dire que la restriction de la forme quadratique q au plan P est de signature (2, 0) ou encore que P ∩Q = {0};

– γ(D) et γ(D′) sont orthogonaux si et seulement si [D, D′] = 0, c’est-à-dire si et seulement si les

droites D et D′ sont orthogonales relativement à la forme bilinéaire R.

10) Soient D, D′ ∈ C deux droites distinctes non contenues dans H_{0} et soit P le plan de ℝ^{4} qu’elles engendrent.

10.1. Vérifier que P ∩ H_{0} est une droite et que P ∩ Q est soit réduit à 0, soit une droite, soit la réunion de deux droites distinctes.

10.2. Vérifier que les cercles γ(D) et γ(D′) sont concentriques si et seulement si P ∩ H_{0} = D_{∞}, auquel cas P ∩ Q = {D_{∞}, D_{c}} où D_{c} est la droite telle que γ(D_{c}) soit le centre commun de γ(D) et γ(D′).

10.3. Décrire les cercles ou droites γ(D′′), D′′ ∈ C et D′′ ⊂ P, en fonction de la position de P par rapport à H_{0} et Q; il y a quatre cas de figure possibles :

– P ∩ H_{0} = D_{∞};

– P ∩ H_{0} ≠ D_{∞} et P ∩ Q = {0}; – P ∩ H_{0} ≠ D_{∞} et P ∩ Q est une droite ;

– P ∩ H_{0} ≠ D_{∞} et P ∩ Q est la réunion de deux droites distinctes.

10.4. Reprendre la question 4 de l’exercice 5 du point de vue adopté dans cet exercice.

Exercice 7 (Projection stéréographique) — Soit S la sphère unité de ℝ^{3}, soit ξ le point (0, 0, 1) et soit Π le plan d’équation z = 0. On pose également o = (0, 0, 0).

La projection stéréographique de S sur Π de pôle ξ est l’application π : S − {ξ} → Π envoyant un point p sur l’unique point d’intersection de la droite (ξp) et du plan Π.

1) Faire un dessin.

2) Vérifier que π est une bijection et déterminer les coordonnées du point π(p) (resp. du point π^{−1}(q)) en fonction des coordonnées du point p ∈ S − {ξ} (resp. du point q ∈ Π).

3) Un cercle tracé sur la sphère S est par définition une partie de S de la forme S ∩ P, où P est un plan de ℝ^{3} tel que dist(o, P) < 1 (cette condition garantit que l’intersection S ∩ P n’est ni vide, ni réduite à un point) ; on parle de grand cercle lorsque P est un plan passant par l’origine o.

Soit C ⊂ S un cercle tracé sur S. Démontrer que π(C − {ξ}) est

– un cercle si ξ ∉ C;

– une droite si ξ ∈ C et vérifier que tout cercle (resp. toute droite) de Π est de cette forme. (Indication : utiliser les expressions de π et π^{−1} en termes de coordonnées obtenues à la question précédente.)

4) Soit s la symétrie orthogonale par rapport au plan Π. Vérifier que l’application π ∘ s ∘ π^{−1} : Π − {o} → Π − {o} est l’inversion de pôle o et de puissance 1 (c’est-à-dire l’inversion par rapport au cercle S ∩ Π).

Remarque : les inversions dans le plan ne sont donc que des réflexions dans ℝ^{3} vues à travers une projection stéréographique...

5) Soit p un point de S. Le plan tangent à S en p est le plan orthogonal au vecteur \overrightarrow{op} passant par p; on le note T_{p}S.

Toute droite D ⊂ T_{p}S passant par p détermine un unique grand cercle Γ(D) passant par p, intersection de S et du plan P (D) = o + ℝ\overrightarrow{op} ⊕ \overrightarrow{D}.

5.1. Faire un dessin et vérifier que tout grand cercle passant par p est de la forme Γ(D), où D ⊂ T_{p}S est une droite passant par p uniquement déterminée.

5.2. Soient D, D′ deux droites dans T_{p}S passant par p. Par définition, l’angle entre deux grands cercles Γ(D) et Γ(D′) est l’angle entre les droites D et D′ dans le plan T_{p}S, c’est-à-dire l’unique élément φ de [0, \frac{π}{2} ] tel que

cos(φ) = \frac{|(\overrightarrow{t}|\overrightarrow{t′})|}{||\overrightarrow{t}||.||\overrightarrow{t′}||},

où \overrightarrow{t} (resp. \overrightarrow{t′}) est un vecteur non nul de \overrightarrow{D} (resp. de \overrightarrow{D′}). Démontrer que cet angle est également celui entre les normales aux plans P (D) et P (D).

5.3. Supposons p ≠ ξ et soient D et D′ deux droites de T_{p}S passant par p. Démontrer que l’angle entre les cercles ou droites π(Γ(D)) et π(Γ(D′)) est égal à l’angle entre les grand cercles Γ(D) et Γ(D′). (Indication : utiliser la question 7.2 de l’exercice précédent pour calculer l’angle entre π(Γ(D)) et π(Γ(D′)) à partir d’équations des plans P (D) et P (D′) puis conclure grâce à la question précédente.)