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\begin{document}
\begin{flushleft}
{\bfseries Universit\'e Claude Bernard - Lyon 1 \\
G\'eom\'etrie \'el\'ementaire (L3) \\
Ann\'ee 2007/2008}
\end{flushleft}

\vspace{0.2cm}
\begin{center}\textbf{Fiche 5}\end{center} 
\vspace{0.3cm}
\noindent \textbf{Exercice 1} (\emph{Sous-groupes finis du groupe orthogonal du plan euclidien.}) --- Soit $E$ un plan euclidien et $O(E)$ le groupe orthogonal.

\vspace{0.1cm} On rappelle que l'application :
$$\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \longrightarrow  O^+(E), \ \overline{\vartheta} \mapsto R_{\overline{\vartheta}}=\left(\begin{array}{ll}\cos(\vartheta)&-\sin(\vartheta)\\ \sin(\vartheta) & \cos(\vartheta)\end{array}\right)$$ 
est un isomorphisme.

\vspace{0.1cm} \noindent 1) Montrer que tout sous-groupe fini $G\subset O^+(E)$ est
un groupe cyclique 
$${\cal C}_n:=\{R_{{\overline{2\pi k/n}}},\, 0\le k\le n\in {\bf N}\}$$ 
{\emph{Indication : consid\'erer le plus petit r\'eel $\vartheta\in ]0,2\pi[$ tel que $R_{\overline{\vartheta}}\in G$
et le plus petit entier naturel $n$ tel que $2\pi\le n\vartheta$}.)

\vspace{0.1cm} \noindent 2) On suppose \`a pr\'esent que le sous-groupe fini $G\subset O(E)$ contient une sym\'etrie
$s$ et on pose $H:=G\cap O^+(E)$.

\indent 2.1. Montrer que $G=H\cup H\circ s.$

\indent 2.2. Montrer que l'application $H \times \{\mathrm{id}_E,s\} \rightarrow G, \ (h,\sigma) \mapsto h \circ \sigma$ est une bijection et d\'ecrire la structure de groupe obtenue sur $H \times \{\mathrm{id}_{E},s\}$.$G$ est le produit semi-direct de $H$ et ${\cal S}= \{1_E,s\}.$ 

\vspace{0.1cm}  \noindent 3) Application : d\'eterminer le sous-groupe de $O(E)$ laissant globalement invariant
l'ensemble des sommets d'un $n-$gone r\'egulier du plan $E$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 2} --- Soit $E$ un espace affine euclidien de dimension $3$ et soit $G\subset GA(E)$ le groupe des {\sl d\'eplacements} de $E$ de dimension $3$.
\vspace{0.1cm}
On rappelle que $G$ est constitu\'e des transformations suivantes
\begin{itemize} \item les rotations ; 
\item les translations ;
\item les produits d'une rotation d'axe $D$ et d'une 
translation de vecteur non nul $\overrightarrow{v} \in \overrightarrow{D}$\end{itemize}
On se propose ici de d\'eterminer le sous- groupe des commutateurs $[G, G]\subset 
G.$

\vspace{0.1cm} \noindent 1) Montrer que toute sym\'etrie orthogonale par rapport \`a une droite $D$ appartient \`a $G$.

\vspace{0.1cm} \noindent 2) 2.1. V\'erifier que le produit de deux sym\'etries orthogonales par rapport 
\`a deux droites parall\`eles $D$ et $D'$ est une translation puis montrer que toute translation $\tau$ peut s'\'ecrire sous la forme
$\sigma'\circ \sigma$ o\`u $\sigma'$ et $\sigma$ sont des sym\'etries
orthogonales par rapport \`a des droites.

\indent 2.2. Montrer que toute translation $\tau$ peut s'\'ecrire $\tau_0^2$ o\`u 
$\tau_0$ est une translation.

\indent 2.3. D\'eduire des deux questions pr\'ec\'edentes que toute translation $\tau$ est un commutateur 
de $G.$

\vspace{0.1cm} \noindent 3) a) Soient $D$ et $D'$ deux droites distinctes de $E$ passant par un point $O$. Soit $\sigma$
la sym\'etrie orthogonale par rapport \`a la droite $D$, $\sigma'$ la 
sym\'etrie orthogonale par rapport \`a $D'.$

\indent 3.1. Montrer que $\sigma'\circ \sigma$ est une rotation d'axe orthogonal au plan
d\'efini par $D$ et $D'.$

\indent 3.2.  Soit $\rho\not= Id$ une rotation appartenant \`a $G.$
En \'ecrivant $\rho$ sous la forme $\rho_0^2$ o\`u 
$\rho_0$ est une rotation, montrer que $\rho$ est un commutateur de $G.$

\vspace{0.1cm} \noindent 4) D\'emontrer que $G$ est \'egal \`a son sous-groupe des commutateurs : $[G, G]= G$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 3} --- On consid\`ere $k$ hyperplans $H_1,\cdots ,H_k$ d'un espace euclidien $E$. On note $\sigma_1,
\cdots , \sigma_k$ les r\'eflexions correspondantes et $\{x_1,\cdots, x_k\}$ des
vecteurs unitaires tels que $ H_i^\perp= <x_i> \ (i\in \{1,\cdots ,k\}).$


\vspace{0.1cm}
Soit $G$ le sous-groupe de $O(E)$ dont les \'el\'ements sont les compositions
d'un nombre fini de $\sigma_i,\,i\in \{1,\cdots ,k\}$, c'est-\`a-dire le 
sous-groupe de $O(E)$ \emph{engendr\'e} par les r\'eflexions $\sigma_i.$

\vspace{0.1cm} \noindent 1) D\'eterminer l'ensemble
 $$E^G=\{x\in E, \ | \ \forall g\in G, \ g(x)=x\}$$
des points fixes communs \`a tous les \'el\'ements de $G.$

 En d\'eduire une condition n\'ecessaire
et suffisante portant sur les $x_i$ pour que $E^G=\{0\}.$

(\emph{Indication : Utiliser $(V\cap V')^\perp=V^\perp+V'^\perp$}.)

\vspace{0.1cm} 2) \'Etant donn\'e $x\in E-\{0\}$, on d\'esigne par $\sigma_{<x>^\perp}$ la r\'eflexion d'hyperplan $<x>^\perp.$
On consid\`ere le sous-ensemble  $$\Delta=\{x\in E\mid\,\, \mid\mid x\mid\mid=1, \exists i\in \{1,\cdots,k\},\,\exists g\in G\mid
\sigma_{<x>^\perp}=g^{-1}\circ \sigma_i\circ g\}.$$

Montrer que $\Delta$ est globalement invariant sous l'action de $G$ i.e. que $ g(\Delta)\subset \Delta,\,\,\forall g\in G.$

\vspace{0.1cm} \noindent 3) Montrer que si $\Delta$ est fini et si $E^G=\{0\}$ alors $G$ est fini.
(\emph{Indication : Soit ${\cal S}_\Delta$ le groupe de permutation de $\Delta.$
 Montrer que l'application: $ G\longrightarrow {\cal S}_\Delta: g\mapsto g_{\mid \Delta}$
est injective.})

\vspace{0.1cm} \noindent 4) Soit $E={\bf R}^n,\,\, (e_i)_{1\le i\le n}$ la base canonique et
 $\{H_i={\bf R}e_i^\perp,\,1\le i\le n\}.$
Montrer que $G$ est ab\'elien et d\'eterminer son cardinal. D\'eterminer $\Delta.$

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 4} (\emph{Inversion}) --- Soit $X$ un plan euclidien. \'Etant donn\'es un point $o$ de $X$ et un nombre r\'eel $a$ strictement positif, on appelle \emph{inversion} de p\^ole $o$ et de puissance $a$ l'application $$X - \{a\} \rightarrow X - \{a\}, \ \ \ p \mapsto o + \frac{a}{||\overrightarrow{op}||^2}\overrightarrow{op}.$$
De mani\`ere \'equivalente, les points $o, \ p$ et $\iota(p)$ sont align\'es et $(\overrightarrow{op}|\overrightarrow{o\iota(p)}) = a$.

\vspace{0.1cm} \noindent 1) V\'erifier que $\iota$ est une bijection de $X - \{o\}$ dans lui-m\^eme telle que $\iota^2 = \mathrm{id}_{X - \{o\}}$ et d\'eterminer l'ensemble de ses points fixes.

\vspace{0.1cm} \noindent 2) Les trois questions suivantes sont pr\'eparatoires en vue de la question 3.

\indent 2.1. D\'eterminer $h \circ \iota$ et $\iota \circ h$ pour toute homoth\'etie $h$ de centre $o$.

\indent 2.2. Soit $C \subset X$ un cercle de centre $c$ et de rayon $R > 0$. \'Etant donn\'es un point $p \in X$ et une droite $D$ qui passe par $p$ et coupe $C$ en deux points $x$, $y$ (\'eventuellement confondus, auquel cas $D$ est tangente \`a $C$), d\'emontrer que l'on a $$(\overrightarrow{px}|\overrightarrow{py}) = ||p-c||^2 - R^2.$$
(\emph{Indication : introduire le milieu $\alpha$ du segment $[xy]$ et utiliser le th\'eor\`eme de Pythagore.})
En particulier, ce nombre r\'eel ne d\'epend pas de la droite $D$ consid\'er\'ee mais seulement du point $p$ ; c'est par d\'efinition la \emph{puissance} de $p$ par rapport \`a $C$.

\indent 2.3. Soient $C$ un cercle, $p, \ p'$ deux points diam\'etralement oppos\'es de $C$ et $\Delta$ la tangente \`a $C$ en $p'$. Toute droite $D$ passant par $p$ et non parall\`ele \`a $\Delta$ coupe $C$ en un second point $x \neq p$. Notant $x'$ le point d'intersection de $D$ et $\Delta$, d\'emontrer que l'on a $$(\overrightarrow{px}|\overrightarrow{px}') = ||pp'||^2.$$

\vspace{0.1cm} \noindent 3) La propri\'et\'e fondamentale des inversions est qu'elles transforment un cercle (resp. une droite) en un cercle ou une droite. En utilisant la question 2, \'etablir plus pr\'ecis\'ement les quatre assertions suivantes :

\indent (i) si $D$ est une droite passant par $o$, $\iota(D - \{o\}) \cup \{o\} = D$ ;

\indent (ii) si $C$ est un cercle ne contenant pas $o$, $\iota(C)$ est un cercle ;

\indent (iii) si $D$ est une droite ne passant pas par $o$, $\iota(D) \cup \{o\}$ est un cercle ;

\indent (iv) si $C$ est un cercle contenant $o$, $\iota(C - \{o\})$ est une droite.

\vspace{0.1cm} \noindent 4) Soit $(o, \overrightarrow{e}_1, \overrightarrow{e}_2)$ un rep\`ere orthonormal. D\'eterminer les coordonn\'ees du point $\iota(p)$ en fonction de celles du point $p$ et retrouver les r\'esultats de la question pr\'ec\'edente.

\vspace{0.1cm} \noindent 5) V\'erifier que les images par $\iota$ de deux cercles tangents (resp. d'un cercle et d'une droite tangents ; resp. de deux droites parall\`eles) sont deux cercles tangents, un cercle et une droite tangents ou deux droites parall\`eles. (\emph{Indication : deux cercles sont tangents si et seulement si leur intersection est r\'eduite \`a un point...})

\vspace{0.1cm} \noindent 6) Soient $C$ et $C'$ deux cercles tels que $C \cap C' \neq \emptyset$. On d\'esigne par $c$ et $c'$ leurs centres respectifs. 

\indent 6.1. D\'esignant par $p$ et $p'$ les points d'intersection de $C$ et $C'$, v\'erifier que les angles orient\'es $[\overrightarrow{pc}, \overrightarrow{pc'}]$ et $[\overrightarrow{pc}, \overrightarrow{pc'}]$ sont oppos\'es. Les cercles $C$ et $C'$ sont dits \emph{orthogonaux} si ces angles sont droits.

\indent 6.2. Soit $D$ une droite intersectant $C$ en des points $p, p'$. V\'erifier que $D$ est orthogonale \`a la tangente \`a $C$ \`a $p$ si et seulement si $D$ passe par le centre $c$ de $C$.

\indent 6.3. D\'emontrer que les images par l'inversion $\iota$ de deux droites orthogonales sont orthogonales.

\indent 6.4. D\'emontrer que les images par l'inversion $\iota$ de deux cercles orthogonaux (resp. d'un cercle et d'une droite orthogonaux) sont orthogonales. (\emph{Indication : introduire les tangentes convenables puis utiliser les questions 5 et 6.3}.)


\vspace{0.5cm} \textbf{Exercice 5} (\emph{Familles lin\'eaires de cercles}) --- Soit $X$ un plan euclidien et soient $C, \ C' \subset X$ deux cercles, de centres respectifs $c$ et $c'$.

\vspace{0.1cm} \noindent 1) Si $C \cap C' \neq \emptyset$, d\'emontrer qu'il existe une inversion transformant $C$ et $C'$ en deux droites s\'ecantes ou parall\`eles.

\vspace{0.1cm} \noindent 2) Si $C \cap C' = \emptyset$, nous allons d\'emontrer qu'il existe une inversion transformant $C$ et $C'$ en deux cercles \emph{concentriques}.

\indent 2.1. \'Etant donn\'es un cercle $C''$ de centre $c''$ et une droite $D$ disjointe de $C''$, d\'emontrer qu'il existe un cercle orthogonal \`a $C''$ et \`a $D$ qui coupe la perpendiculaire \`a $D$ passant par $c''$ en deux points distincts.

\indent 2.2. D\'eduire de la question pr\'ec\'edente qu'il existe un cercle $\Gamma$ orthogonal \`a $C$ et $C'$ qui coupe la droite $(cc')$ en deux points distincts, not\'es $x$ et $y$. (\emph{Indication : par une inversion bien choisie, transformer $C'$ et $(cc')$ en deux droites orthogonales}.)

\indent 2.3. D\'emontrer qu'une inversion $\iota$ de centre $x$ transforme $C$ et $C'$ en deux cercles concentriques de centre $\iota(y)$.

\vspace{0.1cm} \noindent 3) Soient $C$ et $C'$ deux cercles disjoints tels que $C'$ soit int\'erieur \`a $C$. On s'int\'eresse aux suites de cercles $(\Gamma_n)$ satisfaisant aux conditions suivantes : \begin{itemize} \item $\Gamma_0$ est tangent \`a $C$ et $C'$ ; \item pour tout $n \geq 0$, $\Gamma_{n+1} \neq \Gamma_n$ et $\Gamma_{n+1}$ est tangent \`a $C$, $C'$ et $\Gamma_{n}$. \end{itemize}
D\'emontrer l'\emph{alternative de Steiner} :
\begin{itemize} \item ou bien \emph{toutes} ces suites sont p\'eriodiques (c'est-\`a-dire qu'il existe $n \geq 2$ tel que $\Gamma_n = \Gamma_0$) ;
\item ou bien \emph{aucune} de ces suite n'est p\'eriodique. \end{itemize}

Pour ce faire, on commencera par se ramener au cas o\`u les cercles $C$ et $C'$ sont concentriques puis on prouvera directement le r\'esultat dans cette situation.

\vspace{0.1cm} \noindent 4) Soit $\mathcal{E}$ l'ensemble des droites et des cercles du plan et soient $C$, $C'$ deux \'el\'ements distincts de $C$ ; d'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede, une inversion $\iota$ permet de se ramener \`a l'une des trois situations suivantes :
\begin{itemize} \item $C$ et $C'$ sont deux droites s\'ecantes ; \item $C$ et $C'$ sont deux droites parall\`eles ; \item $C$ et $C'$ sont deux cercles concentriques.
\end{itemize}

\vspace{0.1cm} Soit $\mathcal{F}$ l'ensemble des \'el\'ements $\Gamma$ de $\mathcal{E}$ orthogonaux \`a $C$ et $C'$. 

\indent 4.1. Si $C$ et $C'$ sont deux cercles disjoints non concentriques, d\'emontrer qu'il existe deux points distincts $x, y \in X$ tels que $\mathcal{F}$ soit l'ensembles des \'el\'ements $\Gamma$ de $\mathcal{E}$ passant par $x$ et $y$.

\indent 4.2. Si $C$ et $C'$ sont deux cercles tangents en un point $p$, d\'emontrer que $\mathcal{F}$ est l'ensemble de \'el\'ements $\Gamma$ de $\mathcal{E}$ passant par $p$ et orthogonaux \`a la tangente de $C$ en $p$.

\indent 4.3. Si $C$ et $C'$ sont deux cercles s\'ecants et non tangents, d\'emontrer que deux \'el\'ements quelconques de $\mathcal{F}$ sont disjoints.

\indent 4.4. Repr\'esenter graphiquement chacune des situations pr\'ec\'edentes.

\vspace{0.5cm} \textbf{Exercice 6} (\emph{L'espace des cercles et des droites du plan}) --- On travaille dans $\mathbb{R}^2$ muni de sa structure euclidienne usuelle et on d\'esigne par \begin{itemize} \item $\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)$ l'ensemble des parties de $\mathbb{R}^2$, \item $\mathcal{E} \subset \mathcal{P}(\mathbb{R}^2)$ l'ensemble de tous les cercles et de toutes les droites. \end{itemize} On identifie $\mathbb{R}^2$ au sous-ensemble de $\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)$ form\'e des singletons et on note $\infty$ l'\'el\'ement $\emptyset$ de $\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)$.

\vspace{0.1cm} \noindent 1) D\'eterminer la nature de l'ensemble $$\Gamma_{\mathbf{a}} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ a_0 (x^2 + y^2) + a_1x + a_2 y +a_3 = 0\}$$ en fonction du quadruplet $\mathbf{a} = (a_0, \ldots, a_3) \in \mathbb{R}^4$.

\vspace{0.1cm} On consid\`ere la forme quadratique $q$ sur $\mathbb{R}^4$ d\'efinie par $q(\mathbf{a}) = a_1^2 +a_2^2 - 4a_0a_3$ et on pose $$Q = \{\mathbf{a} \in \mathbb{R}^4 \ | \ q(\mathbf{a})=0\}, \ \ \Omega^+ = \{\mathbf{a} \in \mathbb{R}^4 \ | \ q(\mathbf{a})>0\}, \ \ \Omega^- = \{\mathbf{a} \in \mathbb{R}^4 \ | \ q(\mathbf{a})<0\}.$$ On d\'esigne enfin par $\overline{\mathcal{C}}$ l'ensemble de toutes les droites $D$ de $\mathbb{R}^4$ passant par l'origine et telles que la restriction de $q$ \`a $D$ soit positive (ce qui revient \`a dire que $D$ est contenue dans $\Omega^+ \cup Q$) et par $\mathcal{C}$ le sous-ensemble de $\overline{\mathcal{C}}$ form\'e des droites $D$ telles que la restriction de $q$ \`a $D$ soit \emph{strictement} positive en dehors de l'origine (ce qui revient \`a dire que $D$ rencontre $\Omega^+$). 

\vspace{0.1cm} \noindent 2)  D\'emontrer que l'application $$\gamma : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathcal{P}(\mathbb{R}^2), \ \ \mathbf{a} \mapsto \Gamma_{\mathbf{a}}$$ r\'ealise une bijection (encore not\'ee $\gamma$) entre l'ensemble $\overline{\mathcal{C}}$ et $\mathbb{R}^2 \cup \{\infty\} \cup \mathcal{E}$. 

\vspace{0.1cm} \noindent 3) Soit $D$ une droite dans $\overline{\mathcal{C}}$. 

\indent 3.1. V\'erifier que : 
\begin{itemize} \item $\gamma(D)$ appartient \`a $\mathbb{R}^2 \cup \{\infty\}$ si et seulement si $D$ est contenue dans la quadrique $Q$ ;
\item$\gamma(D)$ est une droite si et seulement si $D \in \mathcal{C}$ et $D \subset H_0$ ;
\item$\gamma(D)$ est un cercle si et seulement si $D \in \mathcal{C}$ et $D \nsubseteq H_0$.
\end{itemize}

\indent 3.2. Supposons que $D$ appartienne \`a $\mathcal{C}$ et soit $\mathbf{a}$ un point de $D$ distinct de l'origine. V\'erifier que $a_0 \neq 0$ et que le rayon du cercle $\gamma(D)$ est $\frac{1}{4a_0^2}q(\mathbf{a})$.

\vspace{0.1cm} On d\'esigne par $R$ la forme polaire de la forme quadratique $q$ : $$R(\mathbf{a}, \mathbf{a}') = a_1 a_1' + a_2a_2' - 2(a_0a_3' + a_0'a_3).$$ 
\'Etant donn\'ees deux droites $D, \ D' \in \mathcal{C}$, le nombre r\'eel positif $$\frac{|R(\mathbf{a},\mathbf{a}')|}{\sqrt{q(\mathbf{a})q(\mathbf{a}')}}$$ ne d\'epend pas du choix de $\mathbf{a} \in D - \{\mathbf{0}\}$ et $\mathbf{a}' \in D' - \{\mathbf{0}\}$ ; on le note $[D,D']$.

\vspace{0.1cm} \noindent 4) Soit $p = (x_0,y_0)$ un point de $\mathbb{R}^2$.

\indent 4.1. D\'eterminer explicitement l'unique droite $D_p \in \overline{\mathcal{C}}$ telle que $p = \gamma(D_p)$.

\indent 4.2. \'Etant donn\'ee une droite $D \in \mathcal{C}$, v\'erifier que $p$ appartient au cercle ou \`a la droite $\gamma(D)$ si et seulement si les droites $D$ et $D_p$ sont orthogonales relativement \`a la forme bilin\'eaire $R$ (i.e. $R(\mathbf{a},\mathbf{a}')=0$ si $\mathbf{a} \in D$ et $\mathbf{a'} \in D_p$).

\indent 4.3. Soit $D_{\infty} \in \overline{\mathcal{C}}$ la droite telle que $\gamma(D_{\infty}) = \infty$. V\'erifier que $D_{\infty}$ est orthogonale \`a une droite $D \in \mathcal{C}$ si et seulement si $D$ est contenue dans $H_0$. 

\indent 4.4. Soient $D, \ D' \in \mathcal{C}$ deux droites contenues dans $H_0$. D\'emontrer que les conditions suivantes sont \'equivalentes : \begin{itemize} \item les droites $\gamma(D)$ et $\gamma(D')$ sont parall\`eles ; \item $[D,D'] = 1$ ; \item $D_{\infty}$ est l'unique de $\overline{\mathcal{C}}$ contenue dans $Q$ qui soit simultan\'ement orthogonale \`a $D$ et $D'$.\end{itemize}

\vspace{0.1cm} \emph{Interpr\'etation : si l'on adjoint le point $\infty$ au plan $\mathbb{R}^2$, toutes les droites de $\mathbb{R}^2$ passent par ce point et deux droites sont parall\`eles si et seulement si $\infty$ est leur seul point d'intersection.}

\vspace{0.1cm} \noindent 5) Soient $D, D'$ deux droites dans $\mathcal{C}$. D\'emontrer que les conditions suivantes sont \'equivalentes :
\begin{itemize} \item $[D,D'] \leq 1$ ;
\item la restriction de la forme quadratique $q$ au plan de $\mathbb{R}^4$ engendr\'e par $D$ et $D'$ est positive ;
\item le plan de $\mathbb{R}^4$ engendr\'e par $D$ et $D'$ rencontre la quadrique $Q$ selon au plus une droite.
\end{itemize}
(\emph{Indication : choisir $\mathbf{a} \in D - \{\mathbf{0}\}$, $\mathbf{a}' \in D' - \{\mathbf{0}\}$ et \'etudier \`a quelle condition l'\'equation $q(t\mathbf{a} + s \mathbf{a}') = 0$ admet une solution $(t,s) \in \mathbb{R}^2 - \{(0,0)\}$...})

\vspace{0.1cm} \noindent 6) Soient $D, \ D' \in \mathcal{C}$ deux droites contenues dans $H_0$.

\indent 6.1. V\'erifier que $[D,D'] \leq 1$ et qu'il y a \'egalit\'e si et seulement si les droites $\gamma(D)$ et $\gamma(D')$ sont parall\`eles.

\indent 6.2. Si les droites $\gamma(D)$ et $\gamma(D')$ sont concourantes, v\'erifier que leur angle est l'unique \'el\'ement $\vartheta$ de $]0,\frac{\pi}{2}]$ tel que $$\cos(\vartheta) = [D,D'].$$


\vspace{0.1cm} \noindent 7) Soient $D, \ D' \in \mathcal{C}$ deux droites non contenues dans $H_0$.

\indent 7.1. D\'emontrer que la distance entre les centres des cercles $\gamma(D)$ et $\gamma(D')$ est $$\frac{1}{4a_0^2}q(\mathbf{a}) + \frac{1}{4{a_0'}^2}q(\mathbf{a'}) - \frac{2}{a_0 a_0'}R(\mathbf{a}, \mathbf{a}'),$$ o\`u $\mathbf{a}$ et $\mathbf{a}'$ sont des points de $D$ et $D'$ distincts de l'origine.

\indent 7.2. En d\'eduire que $\gamma(D)$ et $\gamma(D')$ sont s\'ecants si et seulement si $$[D,D'] \leq 1,$$ auquel cas l'angle entre leurs tangentes en un point d'intersection est l'unique nombre r\'eel $\vartheta \in [0,\pi/2]$ tel que $$\cos(\vartheta) = [D,D'].$$

\vspace{0.1cm} \noindent 8) Soient $D, \ D' \in \mathcal{C}$ deux droites telles que $D \nsubseteq H_0$ et $D' \subset H_0$.

D\'emontrer que le cercle $\gamma(D)$ et la droite $\gamma(D')$ sont s\'ecants si et seulement si $$[D,D'] \leq 1,$$ auquel cas cette quantit\'e est le cosinus de l'angle que forme $\gamma(D')$ avec la tangente \`a $\gamma(D)$ en un point d'intersection.

\vspace{0.1cm} \noindent 9) Soient $D, \ D'$ deux droites dans $\mathcal{C}$ et soit $P$ le plan de $\mathbb{R}^4$ qu'elles engendrent. En faisant le bilan des questions pr\'ec\'edentes, montrer que :
\begin{itemize}
\item $\gamma(D)$ et $\gamma(D')$ sont disjoints si et seulement si $[D,D] > 1$, ce qui \'equivaut \`a dire que la restriction de la forme quadratique $q$ au plan $P$ est de signature $(1,1)$ ou encore que $P \cap Q$ contient deux droites distinctes ;
 
\item $\gamma(D)$ et $\gamma(D')$ sont tangents dans $\mathbb{R}^2$ si et seulement si $[D,D] = 1$, ce qui \'equivaut \`a dire que la restriction de $q$ au plan $P$ est de signature $(1,0)$ ou encore que $P \cap Q$ est une droite ;

\item $\gamma(D)$ et $\gamma(D')$ sont s\'ecants et non tangents si et seulement si $[D,D']< 1$, ce qui \'equivaut \`a dire que la restriction de la forme quadratique $q$ au plan $P$ est de signature $(2,0)$ ou encore que $P \cap Q = \{\mathbf{0}\}$ ;
\item $\gamma(D)$ et $\gamma(D')$ sont orthogonaux si et seulement si $[D,D']=0$, c'est-\`a-dire si et seulement si les droites $D$ et $D'$ sont orthogonales relativement \`a la forme bilin\'eaire $R$.
\end{itemize}

\vspace{0.1cm} \noindent 10) Soient $D, \ D' \in \mathcal{C}$ deux droites distinctes non contenues dans $H_0$ et soit $P$ le plan de $\mathbb{R}^4$ qu'elles engendrent.

\indent 10.1. V\'erifier que $P \cap H_0$ est une droite et que $P \cap Q$ est soit r\'eduit \`a $\mathbf{0}$, soit une droite, soit la r\'eunion de deux droites distinctes.

\indent 10.2. V\'erifier que les cercles $\gamma(D)$ et $\gamma(D')$ sont concentriques si et seulement si $P \cap H_0 = D_{\infty}$, auquel cas $P \cap Q = \{D_{\infty}, D_c\}$ o\`u $D_c$ est la droite telle que $\gamma(D_c)$ soit le centre commun de $\gamma(D)$ et $\gamma(D')$.

\indent 10.3. D\'ecrire les cercles ou droites $\gamma(D'')$, $D'' \in \mathcal{C}$ et $D'' \subset P$, en fonction de la position de $P$ par rapport \`a $H_0$ et $Q$ ; il y a quatre cas de figure possibles : 
\begin{itemize}
\item $P \cap H_0 = D_{\infty}$ ;
\item $P \cap H_0 \neq D_{\infty}$ et $P \cap Q = \{\mathbf{0}\}$ ;
\item $P \cap H_0 \neq D_{\infty}$ et $P \cap Q$ est une droite ;
\item $P \cap H_0 \neq D_{\infty}$ et $P \cap Q$ est la r\'eunion de deux droites distinctes.
\end{itemize}

\indent 10.4. Reprendre la question 4 de l'exercice 5 du point de vue adopt\'e dans cet exercice.

\vspace{0.5cm} \textbf{Exercice 7} (\emph{Projection st\'er\'eographique}) --- Soit $S$ la sph\`ere unit\'e de $\mathbb{R}^3$, soit $\xi$ le point $(0,0,1)$ et soit $\Pi$ le plan d'\'equation $z=0$. On pose \'egalement $o = (0,0,0)$.
 
La \emph{projection st\'er\'eographique} de $S$ sur $\Pi$ de p\^ole $\xi$ est l'application $\pi : S - \{\xi\} \rightarrow \Pi$ envoyant un point $p$ sur l'unique point d'intersection de la droite $(\xi p)$ et du plan $\Pi$.

\vspace{0.1cm} \noindent 1) Faire un dessin.

\vspace{0.1cm} \noindent 2) V\'erifier que $\pi$ est une bijection et d\'eterminer les coordonn\'ees du point $\pi(p)$ (resp. du point $\pi^{-1}(q)$) en fonction des coordonn\'ees du point $p \in S - \{\xi\}$ (resp. du point $q \in \Pi$).

\vspace{0.1cm} \noindent 3) Un \emph{cercle} trac\'e sur la sph\`ere $S$ est par d\'efinition une partie de $S$ de la forme $S \cap P$, o\`u $P$ est un plan de $\mathbb{R}^3$ tel que $\mathrm{dist}(o,P) < 1$ (cette condition garantit que l'intersection $S \cap P$ n'est ni vide, ni r\'eduite \`a un point) ; on parle de \emph{grand cercle} lorsque $P$ est un plan passant par l'origine $o$. 

Soit $C \subset S$ un cercle trac\'e sur $S$. D\'emontrer que $\pi(C - \{\xi\})$ est \begin{itemize}
\item un cercle si $\xi \notin C$; 
\item une droite si $\xi \in C$
\end{itemize} et v\'erifier que tout cercle (resp. toute droite) de $\Pi$ est de cette forme. (\emph{Indication : utiliser les expressions de $\pi$ et $\pi^{-1}$ en termes de coordonn\'ees obtenues \`a la question pr\'ec\'edente.})
 
\vspace{0.1cm} \noindent 4) Soit $s$ la sym\'etrie orthogonale par rapport au plan $\Pi$. V\'erifier que l'application $\pi \circ s \circ \pi^{-1} : \Pi - \{o\} \rightarrow \Pi- \{o\}$ est l'inversion de p\^ole $o$ et de puissance $1$ (c'est-\`a-dire l'inversion par rapport au cercle $S \cap \Pi$). 

\vspace{0.1cm}
\noindent \emph{Remarque : les inversions dans le plan ne sont donc que des r\'eflexions dans $\mathbb{R}^3$ vues \`a travers une projection st\'er\'eographique...}

\vspace{0.1cm} \noindent 5) Soit $p$ un point de $S$. Le \emph{plan tangent} \`a $S$ en $p$ est le plan orthogonal au vecteur $\overrightarrow{op}$ passant par $p$ ; on le note $T_p S$. 

Toute droite $D \subset T_p S$ passant par $p$ d\'etermine un unique grand cercle $\Gamma(D)$ passant par $p$, intersection de $S$ et du plan $P(D) = o + \mathbb{R}\overrightarrow{op} \oplus \overrightarrow{D}$. 

\indent 5.1. Faire un dessin et v\'erifier que tout grand cercle passant par $p$ est de la forme $\Gamma(D)$, o\`u $D \subset T_p S$ est une droite passant par $p$ uniquement d\'etermin\'ee.

\indent 5.2. Soient $D, D'$ deux droites dans $T_p S$ passant par $p$. Par d\'efinition, l'\emph{angle} entre deux grands cercles $\Gamma(D)$ et $\Gamma(D')$ est l'angle entre les droites $D$ et $D'$ dans le plan $T_p S$, c'est-\`a-dire l'unique \'el\'ement $\varphi$ de $[0,\frac{\pi}{2}]$ tel que $$\mathrm{cos}(\varphi) = \frac{|(\overrightarrow{t}|\overrightarrow{t'})|}{||\overrightarrow{t}||.||\overrightarrow{t'}||},$$ o\`u $\overrightarrow{t}$ (resp. $\overrightarrow{t'}$) est un vecteur non nul de $\overrightarrow{D}$ (resp. de $\overrightarrow{D'}$). D\'emontrer que cet angle est \'egalement celui entre les normales aux plans $P(D)$ et $P(D)$.

\indent 5.3. Supposons $p \neq \xi$ et soient $D$ et $D'$ deux droites de $T_p S$ passant par $p$. D\'emontrer que l'angle entre les cercles ou droites $\pi(\Gamma(D))$ et $\pi(\Gamma(D'))$ est \'egal \`a l'angle entre les grand cercles $\Gamma(D)$ et $\Gamma(D')$. (\emph{Indication : utiliser la question 7.2 de l'exercice pr\'ec\'edent pour calculer l'angle entre $\pi(\Gamma(D))$ et $\pi(\Gamma(D'))$ \`a partir d'\'equations des plans $P(D)$ et $P(D')$ puis conclure gr\^ace \`a la question pr\'ec\'edente.}) 
 
%\vspace{0.1cm} \noindent 6)^*  On peut \^etre plus pr\'ecis et consid\'erer les% angles (non orient\'es) de demi-grand cercles. 

%Un vecteur tangent non nul $\overrightarrow{t} \in T_p S$ d\'etermine un unique% demi-grand cercle $\Gamma^+(\overrightarrow{t})$ issu de $p$ sur $S$, intersec%tion du grand cercle $\Gamma(\mathbb{R}\overrightarrow{t})$ et de l'h\'emisph\`%ere $\{q \in S \ | \ (\overrightarrow{oq}|\overrightarrow{t}) \geq 0\}$. Par d\%'efinition, l'angle de deux demi-grand cercles $\Gamma^+(\overrightarrow{t})$ e%t $\Gamma(\overrightarrow{t'})$ est l'angle des demi-droites $\mathbb{R}_{\geq %0} \overrightarrow{t},\mathbb{R}_{\geq 0} \overrightarrow{t'})$ dans le plan $T%_p S$, c'est-\`a-dire l'unique nombre r\'eel $\vartheta \in [0,\frac{\pi}{2}]$ %tel que $$\cos(\vartheta) = \frac{(\overrightarrow{t}|\overrightarrow{t'})}{||\%overrightarrow{t}||.||\overrightarrow{t'}||}.$$

%\vspace{0.1cm} Supposons $p \neq \xi$. L'image du demi-grand cercle $\Gamma^+(\%overrightarrow{t})$ par la projection st\'er\'eographique $\pi$ est une demi-dr%oite issue de $\pi(p)$ ou un arc de cercle issu de $p$ selon que $\Gamma^+(\ove%rrightarrow{t})$ contient ou non $\overrightarrow{t}$ ; dans chaque cas, la \em%ph{demi-tangente} \`a $\pi(\Gamma^+(\overrightarrow{t}))$ est bien d\'efinie.




\end{document}