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\newcommand{\s}{\sigma }

\begin{document}
\begin{flushleft}\textbf{Universit\'e Claude Bernard - Lyon 1} \\ \textbf{G\'eom\'etrie \'el\'ementaire (L3)} \\ \textbf{Ann\'ee 2007/2008}
\end{flushleft}

\begin{center} \textbf{Fiche 5 : corrig\'e} \end{center}

\emph{Les dessins sont laiss\'es au soin du lecteur...}
\vspace{0.2cm}

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Exercice 1.} 1) Si $G = \{Id_E\}$, alors le r\'esultat est vrai (avec $n = 1$). On peut donc supposer $G \neq \{Id_E\}$ ; $G \setminus \{Id_E\}$ est alors fini, non vide, donc il existe un unique plus petit r\'eel $\vartheta \in ]0,2\pi[$ tel que $R_{\overline \vartheta}\in G$.

Soit $n$ le plus petit entier naturel tel que $2\pi\leq n\vartheta$. On a $0 \leq n\vartheta -2\pi < \vartheta$, et $R_{\overline {n\vartheta -2\pi}} = R_{\overline {n\vartheta}} = (R_{\overline {\vartheta}})^n \in G$, donc $0 = n\vartheta -2\pi$ par choix de $\vartheta$. Donc $\vartheta = \frac{2\pi}{n}$ et ${\cal C}_n = <R_{\overline {\vartheta}}> \subseteq G$.

R\'eciproquement, soit $R_{\overline {\vartheta'}} \in G \setminus \{Id_E\}$, avec $\vartheta' \in ]0,2\pi[$, et soit $p$ le plus grand entier naturel tel que $0 \leq \vartheta' - p\vartheta$. On a $0 \leq \vartheta' - p\vartheta < \vartheta$ et $R_{\overline {\vartheta' - p\vartheta}} = R_{\overline {\vartheta'}}(R_{\overline {\vartheta}})^{-p} \in G$, donc $0 = \vartheta' - p\vartheta$ par choix de $\vartheta$. On en d\'eduit que $R_{\overline {\vartheta'}} = (R_{\overline {\vartheta}})^{p} \in {\cal C}_n$, d'o\`u finalement $G = {\cal C}_n$.

\vspace{0.2cm}
\noindent 2) 2.1. Soit $g \in G$. Si $g \in O^+(E)$, alors $g \in H$. Si $g \in O^-(E)$, alors $g \circ s \in O^+(E)$, donc $g \circ s \in H$ et $g = (g\circ s) \circ s \in H\circ s$.

\indent 2.2. On a $H \cap {\cal S} = \{Id_E\}$. Cette remarque et la question 2.1 montrent que tout \'el\'ement de $g \in G$ s'\'ecrit {\it de mani\`ere unique} comme une compos\'ee $g = h\circ \sigma$, avec $h \in H$ et $\sigma \in {\cal S}$. Les {\it ensembles} $H \times {\cal S}$ et $G$ sont donc en bijection, via $(h,\sigma) \mapsto h\circ \sigma$. De plus il est clair que $H$ est distingu\'e dans $G$ (car $O^+(E)$ est distingu\'e dans $O(E)$). Dans cette situation, on dit que $G$ est le {\it produit semi-direct} de $H$ par $\cal S$.

Si $g = h\circ \sigma$ et $g' = h'\circ \sigma'$ sont deux \'el\'ements de $G$ d\'ecompos\'es comme indiqu\'e, alors la d\'ecomposition de $g\circ g'$ est n\'ecessairement $g\circ g' = (h\circ \sigma \circ h' \circ \sigma) \circ (\sigma \circ \sigma')$, puisque $(h\circ \sigma \circ h' \circ \sigma) \in H$ et $(\sigma \circ \sigma') \in {\cal S}$. Par transport de structure, {\it l'ensemble} $H \times {\cal S}$ acquiert structure de groupe avec la loi de composition interne $(h,\sigma) \cdot (h',\sigma') := (h\circ \sigma \circ h' \circ \sigma,\sigma \circ \sigma')$ (exercice : le v\'erifier directement !), et la bijection $(h,\sigma) \mapsto h\circ \sigma$ devient alors un isomorphisme de groupes.

\medskip 

\noindent 3) Soit $N \ge 3$. On consid\`ere le $N$-gone r\'egulier du plan $E$ (plan qu'on identifie \`a $\mathbb{C}$) de sommets l'ensemble $\mu_N$ des racines $N$-i\`emes de l'unit\'e, et le sous-groupe $G$ de $O(E)$ laissant globalement invariant $\mu_N$.

On a un morphisme de restriction de $G$ dans le groupe des permutations de $\mu_N$, et ce morphisme est injectif puisque $\mu_N$ contient une base affine de $E$. Le groupe $G$ est donc fini, et on peut appliquer les r\'esultats de l'\'etude effectu\'ee ci-dessus. La sym\'etrie $s$ par rapport \`a l'axe des r\'eels (i.e. la conjugaison complexe) appartient clairement \`a $G$, donc on est dans le cas de la question 2), et $G$ est le produit semi-direct de $H = G \cap O^+(E)$ par ${\cal S} = \{Id_E,s\}$. Enfin, on v\'erifie facilement que $H = {\cal C}_N$. 

Le groupe $G$ est le {\it groupe di\'edral} d'ordre $2N$.

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\noindent \textbf{Exercice 2.} 1) La sym\'etrie orthogonale par rapport \`a une droite $D$ est la rotation d'axe $D$ et d'angle $\pi$, c'est donc un \'el\'ement de $G$.

\medskip 

\noindent 2) 2.1. Soient $\s$ et $\s'$ deux sym\'etries orthogonales par rapport \`a des droites parall\`eles $D$ et $D'$. L'application lin\'eaire $L_\s$ associ\'ee \`a $\s$ est la sym\'etrie vectorielle orthogonale par rapport \`a la direction $\overrightarrow{D}$ de $D$, de même $L_{\s'}$ est la sym\'etrie vectorielle orthogonale par rapport \`a la direction $\overrightarrow{D'}$ de $D'$. Comme $D$ et $D'$ sont parall\`eles, on a $\overrightarrow{D} = \overrightarrow{D'}$ et donc $L_\s = L_{\s'}$. On en d\'eduit que $L_{\s\circ \s'} = L_\s \circ L_{\s'} = Id_E$, donc $\s\circ \s'$ est une translation. 

R\'eciproquement, soit $\tau$ une translation de vecteur $\overrightarrow v$. Si $\overrightarrow v = \overrightarrow 0$, alors on a le r\'esultat voulu avec $\s = \s'$. Supposons donc $\overrightarrow v \neq \overrightarrow 0$, et soit $D$ une droite affine de direction $\overrightarrow D$ contenue dans $<\overrightarrow v>^\perp$. Fixons $a \in D$ et consid\'erons le point $a' = a + \frac{1}{2}\overrightarrow v$, la droite $D' = a' + \overrightarrow D$, et les sym\'etries orthogonales $\s$ et $\s'$ par rapport \`a $D$ et $D'$ respectivement. Alors $D$ et $D'$ sont deux droites parall\`eles, donc $\s' \circ \s$ est une translation, et un calcul direct donne $\s' \circ \s(a) = a+\overrightarrow v$, donc $\s' \circ \s = \tau$ (faire un dessin !).

\indent 2.2. Soit $\tau$ une translation de vecteur $\overrightarrow v$. On a $\tau = (\tau_0)^2$ avec $\tau_0$ la translation de vecteur $\frac{1}{2}\overrightarrow v$. 

\indent 2.3. Avec les notations de la question pr\'ec\'edente, soient $\s$ et $\s'$ des sym\'etries orthogonales par rapport \`a des droites telles que $\tau_0 = \s \circ \s'$. On a alors $\tau = (\tau_0)^2 = \s \circ \s' \circ \s \circ \s' = [\s,\s']$ (car $\s = \s^{-1}$ et $\s' = \s'^{-1}$).

\medskip 

\noindent 3) 3.1. La compos\'ee $\s \circ \s'$ est un d\'eplacement qui laisse fixe (point par point) la droite $O + (\overrightarrow D \oplus \overrightarrow{D'})^\perp$, puisque pour tout point $P$ de cette droite, on a $\overrightarrow{OP} \in (\overrightarrow D \oplus \overrightarrow{D'})^\perp = \overrightarrow D^\perp \cap \overrightarrow{D'}^\perp$, donc $L_\s(\overrightarrow{OP}) = L_\s'(\overrightarrow{OP}) = -\overrightarrow{OP}$. Donc $\s \circ \s'$ est une rotation (c.f. le rappel fait en pr\'eambule : les seuls \'el\'ements de $G$ ayant des points fixes sont les rotations).

\indent 3.2. Si $\rho$ est la rotation d'axe $D$, d'angle $\vartheta$, alors $\rho = (\rho_0)^2$ avec $\rho_0$ la rotation d'axe $D$, d'angle $\frac{\vartheta}{2}$.

Il reste \`a voir (cf. la d\'emarche de la question 2) que toute rotation est la compos\'ee de deux sym\'etries orthogonales par rapport \`a des droites. Soit donc $\rho$ une rotation d'axe $D$ et d'angle $\vartheta$, qu'on peut supposer diff\'erent de $0$ modulo $2\pi$. Fixons $O$ un point de $D$ et $\overrightarrow v$, $\overrightarrow{v'}$ deux vecteurs non nuls de $\overrightarrow D^\perp$ formant un angle orient\'e $[\overrightarrow v, \overrightarrow{v'}] = \frac{\vartheta}{2}$. Consid\'erons les sym\'etries orthogonales $\s$ et $\s'$ par rapport aux droites $O+<\overrightarrow v>$ et $O+<\overrightarrow{v'}>$ respectivement. Alors la compos\'ee $\s'\circ \s$ est une rotation d'axe $D$, d'apr\`es la question 3.1, et le calcul de $\s'\circ \s (O+\overrightarrow v) = \s'(O+\overrightarrow v)$ montre que l'angle de cette rotation est $\vartheta$ (l\`a encore, faire un dessin peut aider ...), donc $\s'\circ \s = \rho$.

\medskip 

\noindent 4) D'apr\`es les deux questions pr\'ec\'edentes, le sous-groupe des commutateurs $[G,G]$ de $G$ contient les translations et les rotations. Par composition, il contient donc \'egalement les vissages (produits d'une rotation d'axe $D$ et d'une translation de vecteur non nul $\overrightarrow{v} \in \overrightarrow{D}$) ; le sous-groupe $[G,G]$ contient donc $G$ en entier.

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\noindent \textbf{Exercice 3.} 1) L'ensemble des points fixes de $\s_i$ est l'hyperplan $H_i$. On a clairement $E^G \subseteq H_i$, pour tout $i$, et r\'eciproquement, tout point de $\bigcap_{1\le i\le k}H_i$ est fix\'e par les $\s_i$, $1\le i\le k$, donc par tous les \'el\'ements de $G$. Donc $E^G = \bigcap_{1\le i\le k}H_i$.

On a $E^G = \{0\} \Leftrightarrow (E^G)^\perp = E$. Comme $E^G = \bigcap_{1\le i\le k}H_i$ et comme $H_i^\perp = <x_i>$, on a $(E^G)^\perp = \sum_{1\le i\le k}<~x_i~>$, donc $E^G = \{0\} \Leftrightarrow \sum_{1\le i\le k}<x_i> = E$, c'est-\`a-dire $E^G = \{0\}$ si et seulement si les $x_i$ forment une famille g\'en\'eratrice de $E$.

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\noindent 2) Si $\s$ est la sym\'etrie orthogonale par rapport \`a un sous-espace $A$ de $E$, et si $g \in O(E)$, alors le conjugu\'e $g \circ \s \circ g^{-1}$ est la sym\'etrie orthogonale par rapport au sous-espace $g(A)$ de $E$ (exercice ! \'Ecrire l'action du conjugu\'e relativement \`a la d\'ecomposition $E = g(A)\oplus g(A)^\perp$, et profiter du fait que $g(A)^\perp = g(A^\perp)$ ...).

Consid\'erons alors $x \in \Delta$ et $g \in G$, et montrons que $g(x) \in \Delta$. D'apr\`es la remarque ci-dessus, on a $\s_{<g(x)>^\perp} = g\circ \s_{<x>^\perp} \circ g^{-1}$, mais par hypoth\`ese sur $x$, il existe $g' \in G$ et $1 \le i\le k$ tels que $\s_{<x>^\perp} = g'\circ \s_i \circ g'^{-1}$, on a donc $s_{<g(x)>^\perp} = g\circ g'\circ \s_i \circ g'^{-1} \circ g^{-1} = (gg')\circ \s_i \circ (gg')^{-1}$, donc $g(x) \in \Delta$.

\noindent Rq : En fait, comme $\s_i = \s_{<x_i>^\perp}$, le raisonnement pr\'ec\'edent montre que $\Delta = \{g(x_i) \mid 1\le i \le k, \, g \in G\}$. En particulier, $\Delta$ contient les $x_i$, et les $-x_i = \s_i(x_i)$.

\medskip

\noindent 3) On d\'eduit de la question pr\'ec\'edente que l'on a un morphisme de $G$ dans ${\cal S}_\Delta$, donn\'e par la restriction $g \mapsto g_{|\Delta}$ (le v\'erifier proprement). Si $\Delta$ est fini, alors le groupe ${\cal S}_\Delta$ est fini. Si $E^G = \{0\}$, i.e. si les $x_i$ forment une famille g\'en\'eratrice de $E$, alors tout endomorphisme de $E$ est enti\`erement d\'etermin\'e par son action sur les $x_i$, donc aussi par son action sur l'ensemble $\Delta$ (qui contient les $x_i$), et le morphisme $G\to {\cal S}_\Delta$, $g \mapsto g_{|\Delta}$, est alors injectif. Lorsque les deux conditions sont r\'ealis\'ees, le groupe $G$ s'injecte dans un groupe fini, donc est fini.

\medskip

\noindent 4) On v\'erifie facilement que les $\s_i$ commutent deux \`a deux, et cela implique que le groupe $G$ est ab\'elien. On en d\'eduit imm\'ediatement que $\Delta = \{\pm x_i \mid 1\le i \le k\}$ puisque les seuls vecteurs de norme 1 tels que $\s_{<x>^\perp} = \s_i$ sont $x_i$ et $-x_i$. 

De plus, en profitant des relations de commutation entre les $\s_i$ et du fait que $\s_i^2 = Id_E$, on voit que tout \'el\'ement $g \in G$ peut s'\'ecrire $g = \s_{i_1} \cdots \s_{i_n}$ avec $1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_n \le k$ (en partant d'un produit fini quelconque d'\'el\'ements $\s_i$, regrouper les diff\'erentes occurences d'un même $\s_i$ par commutation, puis simplifier tous les carr\'es apparus) --- on parlera d'une \'ecriture {\it r\'eduite} de $g$. Cela montre d\'ej\`a que $G$ est de cardinal $\le 2^k$. On a en fait \'egalit\'e, pour voir cela, il suffit de montrer que tout \'el\'ement de $g \in G$ poss\`ede en fait une {\it unique} \'ecriture r\'eduite, autrement dit que deux \'ecritures r\'eduites distinctes d\'efinissent deux \'el\'ements distincts de $G$. Mais on v\'erifie facilement, par r\'ecurrence sur $n$, que $\s_{i_1} \cdots \s_{i_n}$ est en fait la sym\'etrie orthogonale par rapport au sous-espace $\bigcap_{1\le j \le n}H_{i_j} = \{x = (x_1,\ldots,x_n) \mid \forall 1 \le j \le n, \, x_{i_j} = 0\}$ de $E$, donc deux \'ecritures r\'eduites distinctes d\'efinissent bien deux sym\'etries distinctes dans $O(E)$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 4} --- 1) Quel que soit le point $p$ de $X - \{o\}$, le point $\iota(p)$ est distinct du point $o$ puisque $||\overrightarrow{o\iota(p)}|| = \frac{a}{||\overrightarrow{op}||^2} ||\overrightarrow{op}|| = \frac{a}{||\overrightarrow{op}||} \neq 0$ et $$\iota(\iota(p)) = o + \frac{a}{||\overrightarrow{o\iota(p)}||^2}\overrightarrow{o\iota(p)} = o + \frac{||\overrightarrow{op}||^2}{a} \overrightarrow{o\iota(p)} = o + \overrightarrow{op} = p.$$ On a donc $\iota^2 = \mathrm{id}_{X - \{o\}}$, ce qui \'etablit en particulier que l'application $\iota$ est une bijection de $X - \{o\}$ dans lui-m\^eme.

Un point $p$ de $X - \{o\}$ est fix\'e par l'inversion $\iota$ si et seulement si $\frac{a}{||\overrightarrow{op}||^2} = 1$, donc si et seulement si $p$ appartient au cercle de centre $o$ et de rayon $\sqrt{a}$.

\vspace{0.1cm}
\noindent \emph{Remarque : on dit \'egalement que l'application $\iota$ est l'inversion par rapport au cercle de centre $o$ et de rayon $\sqrt{a}$.}.

\vspace{0.2cm} 2) 2.1. Soit $h$ l'homoth\'etie de centre $o$ et de rapport $\rho \in \mathbb{R} - \{0\}$. Quel que soit le point $p \in X - \{o\}$, $$(h \circ \iota)(p) = o + \rho\frac{a}{||\overrightarrow{op}||^2}\overrightarrow{op} \ \ \ \textrm{et} \ \ \ (\iota \circ h)(p) = o + \frac{a}{||\overrightarrow{oh(p)}||^2} \overrightarrow{oh(p)} = o + \frac{a \rho}{\rho^2||\overrightarrow{op}||^2} \overrightarrow{op}$$ donc \begin{itemize}\item si $\rho >0$, \begin{description} \item[(i)] $h \circ \iota$ est l'inversion de p\^ole $o$ et de puissance $\rho a$ ; \item[(ii)] $\iota \circ h$ est l'inversion de p\^ole $o$ et de puissance $\rho^{-1}a$ ; \end{description} \item si $\rho<0$, \begin{description} \item[(i)] $h \circ \iota$ est la compos\'ee de l'inversion de p\^ole $o$ et de puissance $a|\rho|$ par la sym\'etrie de centre $o$ ; \item[(ii)] $\iota \circ h$ est la compos\'ee de l'inversion de p\^ole $o$ et de puissance $a|\rho|^{-1}$ par la sym\'etrie de centre $o$.\end{description} \end{itemize}

\vspace{0.1cm} 2.2. Soit $\alpha$ le milieu du segment $[xy]$ ; le vecteur $\overrightarrow{c\alpha}$ est orthogonal \`a la droite $D$.  On a \begin{eqnarray*} (\overrightarrow{px}|\overrightarrow{py}) & = & (\overrightarrow{p\alpha} + \overrightarrow{\alpha x}|\overrightarrow{p \alpha} + \overrightarrow{\alpha y}) \\ & = & (\overrightarrow{p\alpha}|\overrightarrow{p\alpha}) + (\overrightarrow{p\alpha}|\overrightarrow{\alpha x}) + (\overrightarrow{p\alpha}|\overrightarrow{\alpha y}) + (\overrightarrow{\alpha x}|\overrightarrow{\alpha y}) \\ & = & ||p-\alpha||^2 + (\overrightarrow{\alpha x}|\overrightarrow{\alpha y}) \end{eqnarray*} car $\overrightarrow{\alpha x} + \overrightarrow{\alpha y} = 0$, donc \begin{eqnarray*} (\overrightarrow{px}|\overrightarrow{py}) & = & ||p - \alpha||^2 - ||\alpha - x||^2 \\ & = & ||p-c||^2 - R^2 \end{eqnarray*} puisque $||p - \alpha||^2  = ||p-c||^2 - ||\alpha - c||^2 $ et $R^2 = ||x - c||^2 = ||\alpha - c||^2 + ||\alpha - x||^2.$

\vspace{0.1cm} 2.3. Les triangles $(p, p', x)$ et $(p, p', x')$ \'etant respectivement rectangles en $x$ et en $p'$, \begin{eqnarray*} (\overrightarrow{px}|\overrightarrow{px'}) & = & (\overrightarrow{pp'}|\overrightarrow{px'}) + (\overrightarrow{p'x}|\overrightarrow{px'}) \\ & = & (\overrightarrow{pp'}|\overrightarrow{px'}) \\ & = & (\overrightarrow{pp'}|\overrightarrow{pp'}) + (\overrightarrow{pp'}|\overrightarrow{p'x'}) \\ & = & (\overrightarrow{pp'}|\overrightarrow{pp'}).\end{eqnarray*}

\vspace{0.2cm} 3) \begin{description} \item[(i)] Soit $D$ une droite passant par le point $o$. \'Etant donn\'e un point $p \in D - \{o\}$, $\iota(p) \in (o p) = D$ puisque les points $o, \ p$ et $\iota(p)$ sont align\'es ; on a ainsi $\iota(D - \{o\}) \subset D - \{o\}$. En appliquant $\iota$ \`a cette inclusion, on obtient $\iota^2(D - \{o\}) \subset \iota(D - \{o\})$ et donc $D - \{o\} \subset \iota(D - \{o\}) \subset D - \{o\}$ puisque $\iota^2 (D - \{o\}) = D - \{o\}$ en vertu de la premi\`ere question. Nous avons ainsi prouv\'e l'\'egalit\'e $\iota(D - \{o\}) = D - \{o\}$, soit encore $\iota(D - \{o\}) \cup \{o\} = D$.
\item[(ii)] Soit $C \subset X$ un cercle de centre $c$ et de rayon $R$ ne passant par $o$. En vertu de la question 2.2, la \emph{puissance} du point $o$ par rapport au cercle $C$ est le nombre r\'eel non nul $$||c-o||^2 - R^2  = (\overrightarrow{ox}|\overrightarrow{oy}),$$ o\`u $x$ et $y$ sont n'importe quels points de $C$ tels que $o, x$ et $y$ soient align\'es. \begin{itemize} \item Si $||c-o||^2 - R^2 >0$, cette identit\'e signifie pr\'ecis\'ement que le point $y$ est l'image du point $x$ par l'inversion $\iota'$ de p\^ole $o$ et de puissance $b = ||c-o||^2 - R^2$ ; on a donc $\iota'(C)=C$. Il reste \`a appliquer la question 2.1 pour conclure : si $h$ est l'homoth\'etie de centre $o$ et de rapport $b^{-1}a$, $\iota = h \circ \iota'$ et donc $\iota(C) = h(\iota'(C)) = h(C)$ est l'image d'un cercle par une homoth\'etie, c'est-\`a-dire un cercle. \item Soit $\sigma$ la sym\'etrie de centre $o$. Si $||c-o||^2 < R^2$, l'identit\'e pr\'ec\'edente signifie pr\'ecis\'ement que le point $\sigma(y)$ est l'image du point $x$ par l'inversion $\iota'$ de p\^ole $o$ et de puissance $b = R^2 - ||oc-||^2$ ; on a donc $\iota'(C) = \sigma(C)$. Il reste \`a appliquer la question 2.1 pour conclure : si $h$ est l'homoth\'etie de centre $o$ et de rapport $b^{-1}a$, $\iota = h \circ \iota'$ et donc $\iota(C) = h(\iota'(C)) = h(\sigma(C)) = (h \circ \sigma)(C)$ est l'image d'un cercle par une homoth\'etie, c'est-\`a-dire un cercle.\end{itemize}
    \item[(iii)] Soit $D$ une droite ne passant pas par $o$. Notant $o'$ le projet\'e orthogonal du point $o$ sur la droite $D$ et d\'esignant par $C$ le cercle de diam\`etre $[oo']$, nous avons \'etabli \`a la question 2.3 l'identit\'e $$(\overrightarrow{ox}|\overrightarrow{ox'}) = ||\overrightarrow{oo'}||^2$$ pour tous points $x \in D$ et $x' \in C - \{o\}$ tels que les points $o,x$ et $x'$ soient align\'es. Ceci signifie pr\'ecis\'ement que le point $x'$ est l'image du point $x$ par l'inversion $\iota'$ de p\^ole $o$ et de puissance $b=||\overrightarrow{oo'}||^2$, de sorte que $\iota'(D) = C - \{o\}$. Il reste \`a appliquer la question 2.1 pour conclure : si $h$ est l'homoth\'etie de centre $o$ et de rapport $b^{-1}a$, $\iota = h \circ \iota'$ et donc $$\iota(D) \cup \{o\} = h(\iota'(D)) \cup \{o\} = h(C - \{o\}) \cup \{o\} = h(C)$$ est un cercle passant par $o$.
        \item[(iv)] Soit $C$ un cercle passant par $o$ et soit $o$' le point diam\'etralement oppos\'e sur $C$. Ce que l'on vient de dire en (iii) \'etablit que $D$ est l'image de $C - \{o\}$ par l'inversion de p\^ole $o$ et de puissance $b = ||\overrightarrow{oo'}||^2$ et il suffit d'appliquer la question 2.1 pour conclure : si $h$ est l'homoth\'etie de centre $o$ et de rapport $b^{-1}a$, $\iota = h \circ \iota'$ et donc $$\iota(C - \{o\}) = h(D)$$ est une droite ne passant pas par $o$.
    \end{description}

\vspace{0.2cm} 4) Il suffit de traduire la d\'efinition de l'application $\iota$ : l'image du point $p \in X - \{o\}$ de coordonn\'ees $(x,y)$ est le point de $X - \{o\}$ de coordonn\'ees $(x',y') = \left(\frac{ax}{x^2+y^2},\frac{ay}{x^2+y^2}\right)$.

\begin{description} \item[(i)] Une droite $D$ passant par $o$ a une \'equation de la forme $ux+vy = 0$ ; $\iota(D - \{o\})$ est alors le sous-ensemble de $X - \{o\}$ d\'efini par l'\'equation $au x'+ avy'=0$ et donc $\iota(D - \{o\}) = D - \{o\}.$ \item[(ii)] Un cercle $C$ ne passant par $o$ a une \'equation de la forme $x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0$ avec $\gamma \neq 0$ et $\alpha^2 + \beta^2 -4\gamma~>0$ ; $\iota(C)$ est alors le sous-ensemble de $X-\{o\}$ d\'efini par l'\'equation $$\frac{a}{{x'}^2 + {y'}^2} + a \alpha \frac{x'}{{x'}^2+{y'}^2} + a \beta \frac{y'}{{x'}^2+{y'}^2} + \gamma = 0,$$ soit encore $$\gamma({x'}^2 + {y'}^2) + a\alpha x' + a\beta y' + a = 0.$$ Comme $\gamma \neq 0$ et $$\left(\frac{a\alpha}{a\gamma}\right)^2 + \left(\frac{a\beta}{a\gamma}\right)^2 - 4\frac{a}{a\gamma} = \frac{\alpha^2+\beta^2 - 4\gamma}{\gamma^2} >0,$$ il s'agit d'un cercle (ne passant pas par $o$ puisque $a \neq 0$).
\item[(iii)] Une droite $D$ ne passant par $o$ a une \'equation de la forme $ux+vy+w = 0$ avec $w \neq 0$ et $u^2 + v^2 >0$ ; $\iota(D)$ est alors le sous-ensemble de $X - \{o\}$ d\'efini par l'\'equation $aux' + avy' + w({x'}^2 + {y'}^2) = 0$, c'est-\`a-dire un cercle passant par le point $o$.\item[(iv)] Enfin, un cercle $C$ passant par $o$ a une \'equation de la forme $x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y = 0$ avec $\alpha^2 + \beta^2 >0$ ; $\iota(C - \{o\})$ est alors le sous-ensemble de $X - \{o\}$ d'\'equation $$\frac{a^2}{{x'}^2 + {y'}^2} + a\alpha\frac{x'}{{x'}^2 + {y'}^2} + a\beta \frac{y'}{{x'}^2+{y'}^2} = 0,$$ soit encore $$\alpha x' + \beta y' + a = 0,$$ et $\iota(C - \{o\})$ est donc une droite (ne passant pas par le point $o$).\end{description}

\vspace{0.2cm} 5) Il est commode de d\'esigner par $\mathcal{E}$ l'ensemble des droites et des cercles du plan $X$. On observera que deux cercles (resp. une cercle et une droite) sont tangents si et seulement si leur intersection est r\'eduite \`a un point.

\begin{itemize} \item Soient $C$ et $C'$ deux cercles tangents en un point $p \neq o$ ; en vertu de la question 3, $\iota(C - \{o\})$ est un cercle ne passant pas par $o$ ou une droite ne passant pas par $o$. Comme $\iota$ est une bijection de $X - \{o\}$ dans lui-m\^eme, $\iota(C - \{o\}) \cap \iota(C' - \{o\}) = \iota(C \cap C') = \{\iota(p)\}$ et les \'el\'ements $\iota(C - \{o\})$ et $\iota(C - \{o\})$ de $\mathcal{E}$ sont donc tangents au point $\iota(p)$.
\item Si $C$ et $C'$ deux cercles tangents au point $o$, $\iota(C - \{o\})$ et $\iota(C' - \{o\})$ sont deux droites en vertu de la question 3 (iv) ; ces deux droites sont en outre parall\`eles car toutes deux sont perpendiculaires \`a la droite portant les diam\`etres de $C$ et $C'$ qui passe par $o$.
\item Soient $C$ un cercle et $D$ une droite tangents en un point $p \neq o$ ; en vertu de la question 3, $\iota(C)$ est un \'el\'ement de $\mathcal{E}$ ne passant pas par $o$ tandis que $\iota(D - \{o\}) \cup \{o\}$ est un \'el\'ement de $\mathcal{E}$ passant par $o$. L'application $\iota$ \'etant une bijection de $X - \{o\}$, $\iota(C - \{o\}) \cap \iota(D - \{o\}) = \iota(C \cap D) = \{\iota(p)\}$ et donc $$\iota(C - \{o\}) \cap (\iota(D-\{o\}) \cup \{o\}) = \iota(C - \{o\}) \cap \iota(D - \{o\}) = \{\iota(p)\}$$ puisque $o \notin \iota(C - \{o\})$. On en d\'eduit que $\iota(C - \{o\})$ et $\iota(D - \{o\}) \cup \{o\}$ sont tangents au point $\iota(p)$.
\item Soient $D$ et $D'$ deux droites parall\`eles distinctes ; l'une d'entre-elles au moins, disons $D$, ne passe pas par le point $o$ et, en vertu de la question 3, $\iota(D) \cup \{o\}$ est alors un cercle passant par $o$ tandis que $\iota(D' - \{o\}) \cup \{o\}$ est un cercle passant par $o$ ou une droite passant par $o$ selon que $o \notin D'$ ou $o \in D'$. On a $$\iota(D - \{o\}) \cap \iota(D' -\{o\}) = \iota((D - \{o\}) \cap (D' - \{o\})) = \emptyset$$ et donc $$(\iota(D - \{o\}) \cup \{o\}) \cap (\iota(D' - \{o\}) \cup \{o\}) = (\iota(D - \{o\}) \cap \iota(D' - \{o\})) \cup \{o\} = \{o\},$$ ce qui prouve que les \'el\'ements $\iota(D - \{o\}) \cup \{o\}$ et $\iota(D' - \{o\}) \cup \{o\}$ de $\mathcal{E}$ sont tangents au point $o$.
\end{itemize}

\vspace{0.2cm} 6) Soient $C$ et $C'$ deux cercles distincts de centres respectifs $c$ et $c'$ ; on suppose $C \cap C' \neq \emptyset$.

6.1. On observe sur un dessin et on v\'erifie imm\'ediatement que l'on a $$\overrightarrow{pc'} = ||\overrightarrow{pc'}||\frac{\overrightarrow{cp'}}{||\overrightarrow{cp'}||} \ \ \ \textrm{et} \ \ \ \overrightarrow{pc} = ||\overrightarrow{pc}||\frac{\overrightarrow{c'p'}}{||\overrightarrow{c'p'}||},$$ d'o\`u \begin{eqnarray*}[\overrightarrow{pc},\overrightarrow{pc'}] & = & \left[||\overrightarrow{pc}||\frac{\overrightarrow{c'p'}}{||\overrightarrow{c'p'}||}, ||\overrightarrow{pc'}||\frac{\overrightarrow{cp'}}{||\overrightarrow{cp'}||}\right] = [\overrightarrow{c'p'}, \overrightarrow{cp'}] \\ & = & - [\overrightarrow{cp'}, \overrightarrow{c'p'}] = -[\overrightarrow{p'c}, \overrightarrow{p'c'}]. \end{eqnarray*}

\vspace{0.1cm} 6.2. La tangente au cercle $C$ en un point $p$ est la droite perpendiculaire \`a $(cp)$ passant par le point $p$ ; de mani\`ere \'equivalente, la droite passant par $p$ et perpendiculaire \`a la tangente \`a $C$ en $p$ est la droite $(cp)$.

\vspace{0.1cm} 6.3. Soient $D$ et $D'$ deux droites perpendiculaires en un point $p$. \begin{itemize}
\item Si $p = o$, $\iota(D - \{o\}) \cup \{o\} = D$ et $\iota(D - \{o\}) \cup \{o\} = D'$ sont deux droites orthogonales.
\item Si $o \notin D \cup D'$, $C = \iota(D - \{o\}) \cup \{o\}$ et $C' = \iota(D - \{o\})$ sont deux cercles passant par le point $o$. Notant $c$ et $c'$ leurs centres respectifs, les droites $(oc)$ et $(oc')$ sont respectivement perpendiculaires aux droites $D$ et $D'$ ; comme $D$ et $D'$ sont perpendiculaires, $(oc)$ et $(oc')$ sont perpendiculaires et donc $(oc')$ (resp. $(oc)$) est la tangente \`a $C$ (resp. \`a $C'$) au point $o$. Les cercles $C$ et $C'$ ont ainsi des tangentes perpendiculaires au point $o$, ce qui signifie qu'ils sont orthogonaux.
\item Enfin, si $o \in D$ et $o \notin D'$, $C' = \iota(D' - \{o\}) \cup \{o\}$ est un cercle passant par le point $o$ dont la tangente au point $o$ est la parall\`ele \`a $D'$ passant par $o$ ; comme les droites $D$ et $D'$ sont perpendiculaires, $D$ est perpendiculaire \`a la tangente \`a $C'$ en $o$ et donc $\iota(D - \{o\}) \cup \{o\}$ et $\iota(D' - \{o\}) \cup \{o\}$ sont orthogonaux.
\end{itemize}
\vspace{0.1cm}
Nous avons finalement v\'erifi\'e que l'inversion $\iota$ transformait deux \'el\'ements orthogonaux de $\mathcal{E}$ en des \'el\'ements de $\mathcal{E}$ orthogonaux.

\vspace{0.1cm} 6.4. Soient $C$ et $C'$ deux cercles orthogonaux en un point $p$ et soient $T_p C$ et $T_p C'$ les tangentes respectives \`a $C$ et $C'$ au point $p$. D'apr\`es la question pr\'ec\'edente, les images par $\iota$ des droites $T_p C$ et $T_p C'$ sont des \'el\'ements de $\mathcal{E}$ orthogonaux. D'autre part, d'apr\`es la question 5, $\iota$ transforme $C$ et $T_p C$ d'une part, $C'$ et $T_p C'$ d'autre part, en des \'el\'ements de $\mathcal{E}$ tangents. Il en d\'ecoule que les tangentes \`a $\iota(C)$ et $\iota(C')$ au point $\iota(p)$ co\"{\i}ncident avec celles \`a $\iota(T_p C - \{o\}) \cup \{o\}$ et $\iota(T_p C' - \{o\}) \cup \{o\}$ en ce point, donc sont perpendiculaires, ce qui prouve que les \'el\'ements $\iota(C)$ et $\iota(C')$ de $\mathcal{E}$ sont orthogonaux.

Un raisonnement parfaitement analogue \'etablit que l'inversion $\iota$ transforme un cercle et une droite orthogonaux en des \'el\'ements de $\mathcal{E}$ orthogonaux.


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 5} --- 1) Soit $o$ un point dans $C \cap C'$. Toute inversion de p\^ole $o$ transforme $C$ et $C'$ en des droites, lesquelles sont parall\`eles ou s\'ecantes selon que $C$ et $C'$ sont ou ne sont pas tangents.

\vspace{0.2cm} 2) 2.1. Soit $L$ la droite parall\`ele \`a $D$ passant par le point $c''$ ; $L$ coupe le cercle $C''$ en deux points diam\'etralement oppos\'es $x$ et $y$. On d\'esigne par $L'$ la droite perpendiculaire \`a $L$ passant par $x$ et par $x'$ le point d'intersection des droites $L'$ et $D$. Le cercle $\Gamma$ de centre $x'$ passant par $x$ satisfait aux conditions requises : \begin{itemize} \item $\Gamma$ et $D$ sont orthogonaux puisque le centre de $\Gamma$ appartient \`a $D$ (cf. la question 6.2 de l'exercice pr\'ec\'edent) ; \item les cercles $\Gamma$ et $C''$ sont orthogonaux puisque leurs tangentes respectives au point $x$ sont les droites perpendiculaires $L$ et $L'$ ; \item le cercle $\Gamma$ et la droite $L''$, perpendiculaire \`a $D$ passant par $c''$, ont deux points d'intersection distincts car la distance du centre $x'$ de $\Gamma$ \`a la droite $L''$ est strictement inf\'erieure au rayon de $\Gamma$ : en effet, $$\mathrm{dist}(x',L'') = \mathrm{dist}(x,c'')  < \mathrm{dist}(c'', D) = \mathrm{dist}(x,x')$$ puisque le cercle $C''$ est disjoint de la droite $D$ (observer ces distances sur un dessin).\end{itemize}

\vspace{0.1cm} 2.2. Soit $o$ l'un des deux points du cercle $C'$ appartenant \`a la droite $L = (cc')$ et soit $\iota$ une inversion de p\^ole $o$. Comme on l'a \'etabli au cours de l'exercice pr\'ec\'edent, $\iota(C)$ est un cercle, $\iota(C' - \{o\})$ est une droite disjointe de $\iota(C)$ et $\iota$ transforme la droite $L$ en elle-m\^eme. D'apr\`es la question pr\'ec\'edente, il existe un cercle $\Gamma'$ orthogonal \`a $\iota(C)$ et $\iota(C')$ coupant $L$ en deux points distincts ; $\Gamma =\iota(\Gamma' - \{o\})$ est alors un cercle ou une droite, orthogonal aux cercles $C$ et $C'$ en vertu de la question 6 de l'exercice pr\'ec\'edent. La seule droite orthogonale \`a $C$ et $C'$ \'etant $L$, $\iota(\Gamma' - \{o\})$ est un cercle puisque $\Gamma' \neq L$ et nous avons donc \'etabli l'existence d'un cercle $\Gamma$ orthogonal \`a $C$ et $C'$ qui coupe la droite $L$ en deux points distincts, not\'es $x$ et $y$.

\vspace{0.1cm} 2.3. Le cercle $\Gamma$ \'etant orthogonal aux cercles $C$ et $C'$, ses points d'intersection $x$ et $y$ avec la droite $(cc')$ ne sont pas situ\'es sur $C \cup C'$.

Une inversion $\iota$ de p\^ole $x$ transforme les cercles $C$ et $C'$ en des cercles puisque $x \notin C \cup C'$. Elle transforme la droite $L = (cc')$ en elle-m\^eme puisque $x \in (cc')$ et elle transforme le cercle $\Gamma$ en une droite puisque $x \in \Gamma$. Les droites $\iota(L - \{x\}) \cup \{x\}$ et $\iota(\Gamma - \{x\})$ sont en outre s\'ecantes au point $\iota(y)$ puisque $y \in \Gamma \cap L$. Nous savons par ailleurs que ces droites sont orthogonales aux cercles $\iota(C)$ et $\iota(C')$ car la droite $L$ et le cercle $\Gamma$ sont tous deux orthogonaux aux cercles $C$ et $C'$ (appliquer la question 6 de l'exercice pr\'ec\'edent).

Toute droite orthogonale \`a un cercle passe par le centre d'icelui (question 6 de l'exercice pr\'ec\'edent). Cela a pour cons\'equence que les cercles $\iota(C)$ et $\iota(C')$ sont centr\'es au point d'intersection $\iota(y)$ des droites $\iota(L - \{o\}) \cup \{o\}$ et $\iota(\Gamma - \{o\})$ et nous avons finalement \'etabli le r\'esultat suivant : deux cercles disjoints peuvent \^etre transform\'es, par une inversion convenable, en deux cercles concentriques.

\vspace{0.2cm} 3) Soient $C$ et $C'$ deux cercles disjoints tels que $C'$ soit int\'erieur \`a $C$ et soit $(\Gamma_n)$ une suite de cercles telle que \begin{itemize} \item $\Gamma_0$ soit tangent \`a $C$ et $C'$ ; \item $\Gamma_1$ soit distinct de $\Gamma_0$ et tangent \`a $C, \ C'$ et $\Gamma_0$;  \item pour tout $n \geq 1$,  $\Gamma_{n+1}$ soit distinct de $\Gamma_{n}$ et $\Gamma_{n-1}$ et tangent \`a $C$, $C'$ et $\Gamma_n$. \end{itemize}

\vspace{0.1cm} Supposons tout d'abord que les cercles $C$ et $C'$ soient concentriques et soit $C''$ le cercle \'equidistant de $C$ et $C'$. Un cercle est tangent \`a $C$ et $C'$ si et seulement s'il est centr\'e sur $C''$ et de diam\`etre $R_C - R_C'$. La suite $(\gamma_n)$ des centres des cercles $\Gamma_n$ est une suite de points de $C''$ tels que $\mathrm{dist}(\gamma_{n+1},\gamma_n) = \mathrm{dist}(\gamma_1, \gamma_0) = R_C - R_C'$ pour tout $n$. La suite $(\Gamma_n)$ est p\'eriodique (i.e. il existe un entier $n_0$ tel que $\Gamma_{n_0} = \Gamma_0$) si et seulement si la suite $(\gamma_n)$ est p\'eriodique, donc si et seulement si l'angle $\vartheta = [\overrightarrow{c\gamma_0},\overrightarrow{c\gamma_1}]$ est de la forme $\frac{2\pi}{N}$ avec $N \in \mathbb{N} - \{0\}$. Comme $\cos(\vartheta) = 1 - \frac{2(R_C - R_C')^2}{(R_C + R_C')^2}$ (le v\'erifier sur un dessin), la p\'eriodicit\'e de la suite $(\Gamma_n)$ ne d\'epend que de la position relative des cercles $C$ et $C'$, non pas du choix du cercle initial $\Gamma_0$.

\vspace{0.1cm} Consid\'erons maintenant deux cercles disjoints $C$ et $C'$ tels que $C'$ soit int\'erieur \`a $C$ et soit $(\Gamma_n)$ une suite de cercles v\'erifiant les m\^emes conditions que pr\'ec\'edemment. Comme on l'a \'etabli, il existe une inversion $\iota$ telle que $\iota(C)$ et $\iota(C')$ soient deux cercles concentriques ; $(\iota(\Gamma_n))$ est alors une suite de cercles satisfaisant aux conditions ci-dessus (cf. exercice pr\'ec\'edent, question 4), qui est p\'eriodique si et seulement si tel est le cas pour la suite $(\Gamma_n)$. Nous en d\'eduisons que cette derni\`ere propri\'et\'e ne d\'epend que des cercles $C$ et $C'$ et non pas de la suite $(\Gamma_n)$ elle-m\^eme.

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{Remarque : on trouvera des dessins dans le livre \emph{G\'eom\'etrie} de Marcel Berger (\'editions Nathan), \`a la page 363 du tome 1 (chapitre 10, section 10.10.3)}.

\vspace{0.2cm} 4) 4.1. Soient $C$ et $C'$ deux cercles disjoints non concentriques. On sait qu'il existe une inversion $\iota$ telle que $\iota(C)$ et $\iota(C')$ soient deux cercles concentriques. Comme $\iota$ pr\'eserve l'orthogonalit\'e, $\iota(\mathcal{F})$ est l'ensemble des \'el\'ements de $\mathcal{E}$ orthogonaux \`a $\iota(C)$ et $\iota(C')$, c'est-\`a-dire l'ensemble des droites passant par le centre commun $o$ des cercles $\iota(C)$ et $\iota(C')$ ; il en d\'ecoule que $\mathcal{F}$ est l'image par un inversion de l'ensemble des droites passant par $o$. Comme les cercles $C$ et $C'$ ne sont pas concentriques, seule la droite reliant les centres leur est orthogonale et le p\^ole de l'inversion $\iota$ est par cons\'equent distinct de $o$ ; il en d\'ecoule que $\mathcal{F}$ est l'ensemble des cercles et droites passant par les deux points distincts que sont $\iota(o)$ et le centre de $\iota$.

\vspace{0.1cm} 4.2. Soient $C$ et $C'$ deux cercles tangents en un point $p$. Une inversion $\iota$ de p\^ole $p$ transforme $C$ et $C'$ en des droites parall\`eles, de sorte que $\iota(\mathcal{F})$ soit l'ensemble des droites perpendiculaires \`a $\iota(C - \{o\})$ ; $\mathcal{F}$ est par cons\'equent l'ensemble des \'el\'ements de $\mathcal{E}$ passant par $o$ et orthogonaux \`a la tangente commune aux cercles $C$ et $C'$ au point $p$.

\vspace{0.1cm} 4.3. Soient $C$ et $C'$ deux cercles s\'ecants et non tangents. Une inversion de p\^ole $p \in C \cap C'$ transforme $C$ et $C'$ en deux droites s\'ecantes en $p$, de sorte que $\iota(\mathcal{F})$ soit l'ensemble des cercles concentriques de centre $p$. Il en d\'ecoule que deux \'el\'ements distincts de $\mathcal{F}$ sont disjoints.

\vspace{0.1cm} 4.4. On trouvera des dessins dans le livre \emph{G\'eom\'etrie} de Marcel Berger (\'editions Nathan), aux pages 360 et 361 du tome 1 (chapitre 10, section 10.10.1).

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 6} --- 1) L'ensemble $\Gamma_{\mathbf{a}}$ est \begin{itemize} \item $\mathbb{R}^2$ si $a_0 = a_1 = a_2 = a_3 = 0$;  \item vide si $a_0 = a_1 = a_2 = 0$ et $a_3 \neq 0$ ; \item une droite si $a_0 = 0$ et $a_1 \neq 0$ ou $a_2 \neq 0$ ; \item vide si $a_0 \neq 0$ et $a_1^2 + a_2^2 - 4a_3a_0 < 0$ (cette \'equation d\'efinit un cercle de centre $(-\frac{a_1}{2a_0}, -\frac{a_2}{2a_0})$ et de rayon \og imaginaire pur \fg) ; \item un point si $a_0 \neq 0$ et $a_1^2+a_2^2 - 4a_0a_3 = 0$ (cette \'equation d\'efinit un cercle de centre $(-\frac{a_1}{2a_0}, -\frac{a_2}{2a_0})$ de rayon nul) ; \item un cercle si $a_0 \neq 0$ et $a_1^2 + a_2^2 - 4a_0a_3 > 0$ (cette \'equation d\'efinit un cercle de centre $(\frac{a_1}{2a_0}, \frac{a_2}{2a_0})$ et de rayon $\frac{\sqrt{a_1^2+a_2^2 - 4a_0 a_3}}{2|a_0|}$.) \end{itemize}

\vspace{0.2cm} 2) Vu la question 1, l'image de l'application $\gamma : \{\mathbf{a} \in \mathbb{R}^4 \ | \ q(\mathbf{a}) \geq 0\} \rightarrow \mathcal{P}(\mathbb{R}^2)$ est effectivement le sous-ensemble $\mathbb{R}^2 \cup \{\infty\} \cup \mathcal{E}$ de $\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)$.

Soient $\mathbf{a}, \mathbf{a'} \in \mathbb{R}^4 - \{\mathbf{0}\}$ deux quadruplets tels que $q(\mathbf{a}), q(\mathbf{a}') \geq 0$ et $\Gamma_{\mathbf{a}} = \Gamma_{\mathbf{a}'}$.
\begin{itemize} \item Si $\Gamma_{\mathbf{a}} = \Gamma_{\mathbf{a}'} = \emptyset$, $\mathbf{a}$ et $\mathbf{a}'$ sont tous deux proportionnels \`a $(0,0,0,1)$.
\item Si $\Gamma_{\mathbf{a}} = \Gamma_{\mathbf{a}'}$ est un point ou un cercle, alors $a_0, a_0' \neq 0$, $\mathbf{a} = a_0(1,\frac{a_1}{a_0}, \frac{a_2}{a_0}, \frac{a_3}{a_0})$ et $\mathbf{a}' = a'_0(1,\frac{a'_1}{a'_0}, \frac{a'_2}{a'_0}, \frac{a'_3}{a'_0})$ ; on voit finalement en consid\'erant le centre et le rayon (\'eventuellement nul) du cercle $\Gamma_{\mathbf{a}} = \Gamma_{\mathbf{a}'}$ que $\mathbf{a}' = \frac{a_0'}{a_0} \mathbf{a}$.
    \item Enfin, si $\Gamma_{\mathbf{a}} = \Gamma_{\mathbf{a}'}$ est une droite, $a_0=a_0'= 0$ et on voit que les quadruplets $\mathbf{a}$ et $\mathbf{a}'$ sont proportionnels en condi\'erant un vecteur normal et un point de cette droite.
\end{itemize}

Nous avons v\'erifi\'e que l'application $\gamma$ induit une bijection de $\overline{\mathcal{C}}$ sur $\mathbb{R}^2 \cup \{\infty\} \cup \mathcal{E}$.

\vspace{0.2cm} 3) Soit $D \in \mathcal{C}$ et soit $\mathbf{a} \in D - \{\mathbf{0}\}$. On d\'esigne par $H_0 \subset \mathbb{R}^4$ l'hyperplan d'\'equation $a_0 = 0$.

3.1. Vu la question 1, \begin{itemize} \item $\gamma(D) \in \mathbb{R}^2 \cup \{\infty\}$ si et seulement si $a_0 \neq 0$ et $q(\mathbf{a})=0$ ou si $\mathbf{a} = (0,0,0,1)$ ; comme $Q \cap H_0 = \{(0,0,0,1)\}$, la premi\`ere condition \'equivaut bien \`a $D \subset Q$ ; \item $\gamma(D)$ est une droite si et seulement si $a_0 = 0$ et $a_1^2 + a_2^2 > 0$, donc si et seulement si $D \in \mathcal{C}$ et $D \subset H_0$ ; \item $\gamma(D)$ est un cercle si et seulement si $a_0 \neq 0$ et $q(\mathbf{a}) >0$, donc si et seulement si $D \in \mathcal{C}$ et $D \nsubseteq H_0$. \end{itemize}

\vspace{0.1cm} 3.2. Si $D \in \mathcal{C}$, $q(\mathbf{a}) = a_1^2 + a_2^2 - 4a_0a_3 >0$ et donc $a_0$ ne peut s'annuler. L'\'equation de $\Gamma_{\mathbf{a}}$ s'\'ecrit alors sous la forme $$0=a_0(x^2+y^2) + a_1x+a_2y+a_3 = a_0\left\{\left(x+\frac{a_1}{2a_0}\right)^2 + \left(y+\frac{a_2}{2a_0}\right)^2 - \frac{q(\mathbf{a})}{4a_0^2}\right\}$$ et il s'agit donc du cercle de centre $(-\frac{a_1}{2a_0},-\frac{a_2}{2a_0})$ et de rayon $\frac{\sqrt{q(\mathbf{a})}}{2|a_0|}$.

\vspace{0.2cm} 4. 4.1. Vu la question 1, l'unique droite dans $\overline{\mathcal{C}}$ d'image $p$ est $D_p = \mathbb{R}(1,-2x_0,-2y_0,x_0^2+y_0^2)$.

4.2. \'Etant donn\'e un point $p = (x_0,y_0) \in \mathbb{R}^2$, $$R(\mathbf{a},(1,-2x_0,-2y_0,x_0^2+y_0^2)) = -2a_1x_0 - 2a_2y_0 - 2(a_3 + a_0(x_0^2+y_0^2)) = -2\left(a_0(x_0^2+y_0^2) + a_1x_0 + a_2y_0 + a_3\right)$$ s'annule si et seulement si le point $p$ appartient \`a $\Gamma_{\mathbf{a}}$.

4.3. Les droites $D$ et $D_{\infty}$ sont orthogonales si et seulement si $0 = R(\mathbf{a},(0,0,0,1)) = -4a_0$, donc si et seulement si $D \subset H_0$.

4.4. Soient $D, D' \in \mathcal{C}$ deux droites distinctes contenues dans $H_0$. Les droites $\gamma(D)$ et $\gamma(D')$ dans $\mathbb{R}^2$ sont parall\`eles si et seulement si les vecteurs $(a_1, a_2)$ et $(a_1', a_2')$ sont proportionnels, ce qui est le cas si et seulement si $|a_1a_1' + a_2a_2'| = \sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{{a_1'}^2+{a_2'}^2}$ (cas d'\'egalit\'e de l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz). D'autre part, une droite de $\overline{\mathcal{C}}$ contenue dans $Q$ est soit $D_{\infty}$, soit de la forme $D_p$ avec $p \in \mathbb{R}^2$ ; comme $D_p$ et $D$ sont orthogonales si et seulement si le point $p$ appartient \`a $\gamma(D)$, les droites $\gamma(D)$ et $\gamma(D')$ sont orthogonales si et seulement si $D_{\infty}$ est l'unique droite de $\overline{\mathcal{C}}$ contenue dans $Q$ qui soit simultan\'ement orthogonale \`a $D$ et $D'$.

\vspace{0.2cm} 5) Soient $D, D' \in \mathcal{C}$ deux droites et $\mathbf{a} \in D - \{\mathbf{0}\}, \mathbf{a}' \in D' - \{\mathbf{0}\}$. La restriction de la forme quadratique $q$ au plan $\{t\mathbf{a} + s\mathbf{a}', \ (s,t) \in \mathbb{R}^2\}$ de $\mathbb{R}^4$ engendr\'e par $D$ et $D'$ est positive (resp. d\'efinie positive) si et seulement si $q(t\mathbf{a}+s\mathbf{a}') \geq 0$ pour tout couple $(s,t) \in \mathbb{R}^2$ (resp. $>0$ pour tout couple $(s,t) \neq (0,0)$). Comme $$q(t\mathbf{a}+s\mathbf{a}') = q(\mathbf{a})t^2 + q(\mathbf{a}')s^2 + 2R(\mathbf{a}, \mathbf{a}')st$$ et $q(\mathbf{a}), q(\mathbf{a}') >0$, tel est le cas si et seulement si le discriminant de ce trin\^ome est n\'egatif (resp. strictement n\'egatif) : $$R(\mathbf{a},\mathbf{a}')^2 - q(\mathbf{a})q(\mathbf{a}') \leq 0 \ \ \ (\textrm{resp.} \ \ < 0)$$ ou, de mani\`ere \'equivalente, $$[D,D'] = \frac{|R(\mathbf{a},\mathbf{a}')}{\sqrt{q(\mathbf{a})q(\mathbf{a'})}} \leq 1 \ \ \ (\textrm{resp.} <1).$$ Il revient au m\^eme de dire que ce plan a au plus une droite en commun avec la quadrique $Q$.

\vspace{0.2cm} 6) 6.1. Soient $D,D' \in \mathcal{C}$ deux droites contenues dans $H_0$ et soient $\mathbf{a} \in D - \{\mathbf{0}\}, \mathbf{a}' \in D' - \{\mathbf{0}\}$. On a $$|R(\mathbf{a},\mathbf{a}')| = |a_1a_1' + a_2a_2'| \leq \sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{{a_1'}^2+{a_2'}^2} = \sqrt{q(\mathbf{a})q(\mathbf{a}')}$$ (c'est l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz), donc $[D,D'] \leq 1$,  et il y a \'egalit\'e si et seulement si les vecteurs $(a_1,a_2)$ et $(a_1', a_2')$ sont proportionnels, donc si et seulement si les droites $\gamma(D)$ et $\gamma(D')$ de $\mathbb{R}^2$ sont parall\`eles.

6.2. Si les droites $D$ et $D'$ sont concourantes, leur angle est l'unique \'el\'ement $\vartheta$ de $[0,\frac{\pi}{2}]$ tel que $\cos(\vartheta) = \frac{|a_1a_1'+a_2a_2'|}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{{a_1'}^2+{a_2'}^2}} = [D,D']$.

\vspace{0.2cm} 7)  Soient $D, D' \in \mathcal{C}$ deux droites et $\mathbf{a} \in D - \{\mathbf{0}\}, \mathbf{a}' \in D' - \{\mathbf{0}\}$. On suppose que ni $D$ ni $D'$ n'est contenue dans $H_0$, de sorte que $\gamma(D)$ et $\gamma(D')$ sont deux cercles.

7.1. On a d\'ej\`a v\'erifi\'e que $\Gamma_{\mathbf{a}}$ et $\Gamma_{\mathbf{a}'}$ \'etaient les cercles de centres et de rayons respectifs $c = (-\frac{a_1}{2a_0},-\frac{a_2}{2a_0}), \ r = \frac{\sqrt{q(\mathbf{a})}}{2|a_0|}$ et $c' = (-\frac{a'_1}{2a'_0},-\frac{a'_2}{2a'_0}), \ r' = \frac{\sqrt{q(\mathbf{a}')}}{2|a'_0|}$. On a donc $$\mathrm{dist}(c,c')^2 = \left(\frac{a_1}{2a_0} - \frac{a_1'}{2a_0'}\right)^2 + \left(\frac{a_2}{2a_0} - \frac{a_2'}{2a_0'}\right)^2 = \frac{q(\mathbf{a})}{4a_0^2} + \frac{q(\mathbf{a}')}{4a_0'} - \frac{R(\mathbf{a}, \mathbf{a}')}{2a_0a_0'}.$$

7.2. Les cercles $\gamma(D)$ et $\gamma(D')$ sont s\'ecants si et seulement si $\mathrm{dist}(c,c') \leq r + {r'}$, donc si et seulement si $$\mathrm{dist}(c,c')^2 \leq (r+r')^2 = \frac{q(\mathbf{a})}{4a_0^2} + \frac{q(\mathbf{a}')}{4{a_0}'^2} + 2\frac{\sqrt{q(\mathbf{a})}\sqrt{q(\mathbf{a}')}}{4|a_0a_0'|},$$ c'est-\`a-dire si et seulement si $$- \frac{R(\mathbf{a},\mathbf{a}')}{2a_0a_0'} \leq \frac{\sqrt{q(\mathbf{a})q(\mathbf{a}')}}{2|a_0a_0'|}$$ ou, de mani\`ere \'equivalente $$[D,D'] = \frac{|R(\mathbf{a},\mathbf{a}')|}{\sqrt{q(\mathbf{a})q(\mathbf{a}')}} \leq 1.$$

Soit $p \in \gamma(D) \cap \gamma(D')$. L'angle $\vartheta$ entre les tangentes aux cercles $\gamma(D)$ et $\gamma(D')$ au point $p$ est compl\`etement d\'etermin\'e par l'identit\'e $$|\mathrm{dist}(c,c')^2 - (r^2 + r^2)|= 2rr' |\mathrm{cos}(\vartheta)|$$ (consid\'erer le triangle $(c,p,c')$) et l'on obtient bien $$|\cos(\vartheta)| = \frac{|R(\mathbf{a},\mathbf{a}')|}{\sqrt{q(\mathbf{a})q(\mathbf{a}')}} = [D,D'].$$

\vspace{0.2cm} 8) Soient $D, D' \in \mathcal{C}$ deux droites et $\mathbf{a} \in D - \{\mathbf{0}\}, \mathbf{a}' \in D' - \{\mathbf{0}\}$ ; on suppose $D \subset H_0$ et $D' \nsubseteq H_0$. La distance du centre $c = (-\frac{a_1'}{2a_0'},-\frac{a_2'}{2a_0'})$ du cercle $\gamma(D')$ \`a la droite $\gamma(D)$ est $$\frac{|-a_1\frac{a_1'}{2a_0'} - a_2 \frac{a_2'}{2a_0'} + a_3|}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} = \frac{|R(\mathbf{a},\mathbf{a}')|}{2\sqrt{q(\mathbf{a})}|a0'|}$$ et $\gamma(D) \cap \gamma(D') \neq \emptyset$ si et seulement si cette distance est inf\'erieure au rayon du cercle $\gamma(D)$ : $$\frac{|R(\mathbf{a},\mathbf{a}')|}{2\sqrt{q(\mathbf{a})}|a_0'|} \leq \frac{\sqrt{q(\mathbf{a}')}}{2|a_0'|}, $$ soit $$[D,D'] \leq 1.$$ On d\'emontre comme dans la question pr\'ec\'edente que le cosinus de l'angle form\'e par $\gamma(D)$ et la tangente \`a $\gamma(D')$ en un point de $\gamma(D) \cap \gamma(D')$ est pr\'ecis\'ement \'egal \`a $[D,D']$.

\vspace{0.2cm} 9) Toutes les assertions d\'ecoulent imm\'ediatement de ce qui a \'et\'e \'etabli jusqu'ici.

\vspace{0.2cm} 10) Soient $D, D' \in \mathcal{C}$ deux droites distinctes non contenues dans $H_0$ et soient $P$ le plan de $\mathbb{R}^4$ qu'elles engendrent.

10.1. Le plan $P$ n'\'etant pas contenu dans l'hyperplan $H_0$, $P \cap H_0$ est une droite vectorielle. D'autre part, la restriction de la forme quadratique $q$ au plan $P$ est de signature $(2,0)$, $(1,0)$ ou $(1,1)$ ; le premier cas \'equivaut \`a la condition $q >0$ sur $P - \{\mathbf{0}\}$ --- c'est-\`a-dire $Q \cap P = \{\mathbf{0}\}$ --- le troisi\`eme \'equivaut \`a l'existence d'une base $(\mathbf{e},\mathbf{e}')$ de $P$ telle que $q(x\mathbf{e}+x'\mathbf{e}') = x^2 - {x'}^2$, auquel cas $Q \cap P$ est la r\'eunion des deux droites $\mathbb{R}(\mathbf{e}+\mathbf{e}')$ et $\mathbb{R}(\mathbf{e} - \mathbf{e}')$, et le deuxi\`eme \`a l'existence d'une base $(\mathbf{e},\mathbf{e}')$ de $P$ telle que $q(x\mathbf{e}+x'\mathbf{e}') = x^2$, auquel cas $Q \cap P$ est la droite $\mathbb{R}\mathbf{e}'$.

10.2. Les cercles $\gamma(D)$ et $\gamma(D')$ sont concentriques si et seulement si $D = \mathbb{R}(1, a_1, a_2, a_3)$ et $D'=\mathbb{R}(1,a_1',a_2', a_3')$ avec $a_1' = a_1$ et $a_2' = a_2$. D'un autre c\^ot\'e, $$P \cap H_0 = \{t(1,a_1, a_2, a_3)+s(1,a'_1, a'_2,a'_3) \ | \ s,t \in \mathbb{R} \ \textrm{et} \ s+t = 0\} = \mathbb{R}(0, a'_1 - a_1, a_2'-a_2, a_3'-a_3)$$ est r\'eduit \`a la droite $D_{\infty}$ si et seulement si $a_1 - a_1'= a_2 - a_2' =0$ ; on a donc bien le r\'esultat annonc\'e. Enfin, comme $$R((1, -2a_1, -2a_2, a_1^2+a_2^2),(1,a_1,a_2,a_3)) = R((1, -2a_1, -2a_2, a_1^2+a_2^2),(1,a_1,a_2,a'_3)) = -2( a_1^2 + a_2^2 - (a_1^2+a_2^2)) = 0,$$ la droite $D_c$ associ\'ee au centre des cercle $\gamma(D)$ et $\gamma(D')$ appartient \`a $P \cap Q$ ; puisque tel est \'egalement le cas de la droite $D_{\infty}$, nous avons finalement bien $Q \cap P = D_{\infty} \cup D_c$.

10.3. Un plan $P$ de $\mathbb{R}^4$ peut \^etre contenu dans l'hyperplan $H_0$ ou le rencontrer selon une droite, laquelle peut \^etre ou non la droite $D_{\infty}$ ; par ailleurs, l'intersection du plan $P$ et de la quadrique $Q$ peut \^etre r\'eduite \`a $\mathbf{0}$, une droite ou la r\'eunion de deux droites distinctes. Si l'on exclu le cas d'un plan contenu dans $H_0$ --- ce qui est le cas ici puisque les droites dans $P$ ne correspondent pas uniquement \`a des droites de $\mathbb{R}^2$ ---, il n'y a que les quatre configurations envisag\'ees dans l'\'enonc\'e car, si $P \cap H_0 = D_{\infty}$, alors $P$ rencontre n\'ecessairement la quadrique $Q$ selon la r\'eunion de deux droites (cf. question pr\'ec\'edente).

Soit $P^{\perp}$ l'orthogonal de $P$ dans $\mathbb{R}^4$ relativement \`a la forme bilin\'eaire $R$ (c'est-\`a-dire l'ensemble des points $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^4$ tels que $R(\mathbf{x},\mathbf{y})=0$ pour tout $\mathbf{y} \in P$) ; $P^{\perp}$ est \'egalement un plan puisque la forme bilin\'eaire $R$ est non d\'eg\'en\'er\'ee.
\begin{itemize}
\item Si $P \cap H_0 = D_{\infty}$, il existe un unique point $c$ de $\mathbb{R}^2$ tel que $P \cap Q = D_c \cup D_{\infty}$ et $P$ est l'ensemble des cercles concentriques de centre $c$ en vertu de la question 10.2.
\item Si $P \cap H_0 \neq D_{\infty}$ et $P \cap Q = \{\mathbf{0}\}$, alors $P$ est l'ensemble des cercles et droites du plan passant par deux points fixes. En effet, puisque $P \cap Q = 0$, $\mathbb{R}^4 = P \oplus P^{\perp}$ et la restriction de $q$ \`a $P^{\perp}$ est n\'ecessairement de signature $(1,1)$ ($q$ serait sinon de signature $(4,0)$ ou $(3,0)$). Les deux droites de $P \cap Q$ correspondent \`a des points $x, y$ de $\mathbb{R}^2$ appartenant \`a chaque $\gamma(D'')$, $D'' \in P$, en vertu de la question 4.2 et, r\'eciproquement, toute droite $D'' \in \mathcal{C}$ telle que $\gamma(D'')$ contienne $x$ et $y$ est orthogonale \`a $P^{\perp}$ et est donc contenue dans $P$. En particulier, $P \cap H_0$ d\'efinit la droite reliant les points $x$ et $y$.
\item Si $P \cap H_0 \neq D_{\infty}$ et si $P \cap Q$ est une droite, alors $P$ est l'ensemble des cercles et droites de $\mathbb{R}^2$ passant par le point $\gamma(P \cap Q)$ et tangents \`a la droite $\gamma(P \cap H_0)$. En effet, tout couple de droites distinctes dans $P$ correspond via $\gamma$ \`a un couple de cercles ou droites tangents en un point ; en outre, comme la droite $Q \cap P$ est contenue dans $P^{\perp}$, elle correspond \`a un point de $\mathbb{R}^2$ appartenant \`a tous les $\gamma(D'')$, $D'' \in P$.
\item Si enfin $P \cap H_0 \neq D_{\infty}$ et si $P \cap Q$ est la r\'eunion de deux droites, le plan $P^{\perp}$ est tel que $P^{\perp} \cap H_0 \neq D_{\infty}$ et $P^{\perp} \cap Q = \{\mathbf{0}\}$ ; $P^{\perp}$ est alors l'ensemble des cercles et droites du plan passant par deux points distincts et $P$ est dont l'ensemble des cercles et droites orthogonaux aux cercles et droites passant par ces points.
\end{itemize}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 7} --- 2) L'application $\pi$ est une bijection dont la r\'eciproque est l'application de $\Pi$ dans $S - \{\xi\}$ qui envoie un point $q \in \Pi$ sur l'unique point d'intersection de $S - \{\xi\}$ avec la droite $(\xi q)$.

Pour d\'eterminer les coordonn\'ees du point $\pi(p)$ \`a partir des coordonn\'ees $(x,y,z)$ du point $p$, on cherche pour quelle valeur du param\`etre $t$ le point $(1-t)(0,0,1) + t(x,y,z) = (tx,ty,1+t(z-1))$ de la droite $(\xi q)$ appartient au plan $\Pi$ ; on obtient imm\'ediatement $t = \frac{1}{1-z}$ et $\pi(p)$ est donc le point de $\Pi$ de coordonn\'ees $$\left(\frac{x}{1-z}, \frac{y}{1-z}, 0\right).$$ R\'eciproquement, l'application $\pi^{-1}$ associe au point $q$ de $\Pi$ de coordonn\'ees $(x',y',0)$ le point de $S - \{\xi\}$ de coordonn\'ees $$\left(\frac{2x'}{{x'}^2+{y'}^2+1}, \frac{2y'}{{x'}^2+{y'}^2+1}, \frac{{x'}^2+{y'}^2 - 1}{{x'}^2+{y'}^2+1}\right).$$

\vspace{0.2cm} 3) Un cercle $C$ trac\'e sur la sph\`ere $S$ est l'intersection de $S$ et d'un plan (affine) $P$ tel que la distance de l'origine \`a $P$ soit strictement inf\'erieure \`a $1$. Si $P$ a pour \'equation $ux+vy+wz +t = 0$, on v\'erifie imm\'ediatement que $\pi(C)$ est d\'efini par l'\'equation $(w+t)({x'}^2 + {y'}^2) + 2ux'+2vy' + (t-w) = 0$ ; il s'agit d'un cercle si $w+t \neq 0$ --- c'est-\`a-dire si $\xi \notin C$ --- et d'une droite si $w+t= 0$, c'est-\`a-dire si $\xi \in C$.

On v\'erifie de la m\^eme mani\`ere que l'application $\pi^{-1}$ transforme toute droite et tout cercle de $\Pi$ en un cercle sur $S$.

\vspace{0.2cm} 4) Quel que soit le point $q$ de $\Pi - \{o\}$ de coordonn\'ees $(x,y,0)$, on v\'erifie sans difficult\'e que les coordonn\'ees du point $\pi \circ s \circ \pi^{-1}$ de $\Pi$ sont $$\left(\frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2},0\right)$$ et donc que l'application $\pi \circ s \circ \pi^{-1}$ de $\Pi - \{o\}$ dans lui-m\^eme est l'inversion de p\^ole $o$ et de puissance $1$.

\vspace{0.2cm} 5) 5.1. Par d\'efinition, un grand cercle est l'intersection de la sph\`ere $S$ avec un plan $P$ passant par le centre de $S$. \'Etant donn\'es un tel grand cercle $\Gamma$ et un point $p$ de $\Gamma$, l'intersection du plan $P$ et du plan tangent $T_p S = p + (\mathbb{R}\overrightarrow{op})^{\perp}$ est une droite $T_p \Gamma$ de $T_p S$ passant par $D$ ; r\'eciproquement, une telle droite $D$ d\'etermine un unique grand cercle $\Gamma(D)$ sur $S$ passant par $p$, \`a savoir l'intersection de $S$ et du plan $o+\mathbb{R}\overrightarrow{op} \oplus \overrightarrow{D}.$

\vspace{0.1cm} 5.2. Soient $D$ et $D'$ deux droites dans $T_p S$ passant par le point $p$. Le plan tangent $T_p S$ \'etant orthogonal \`a la droite $(op)$, la perpendiculaire \`a $D$ (resp. $D'$) dans $T_p S$ passant par $p$ est orthogonale au plan $P(D)$ du grand cercle $\Gamma(D)$ (resp. au plan $P(D')$ du grand cercle $\Gamma(D')$) et donc est parall\`ele \`a la normale \`a $P(D)$ passant par l'origine. Il en d\'ecoule que l'angle entre les droites $D$ et $D'$, qui est le m\^eme que l'angle entre leurs perpendiculaires passant par $p$, est \'egalement l'angle entre les normales aux plans $P(D)$ et $P(D')$ \`a l'origine.

\vspace{0.1cm} 5.3. Consid\'erons des \'equations $ux+vy+wz = 0$ et $u'x+v'y+w'z=0$ des plans $P(D)$ et $P(D')$ (ces plans passent par l'origine!). D'apr\`es ce que l'on vient de dire, l'angle entre les droites $D$ et $D'$ au point $p$ est l'unique \'el\'ement $\vartheta$ de $[0,\frac{\pi}{2}]$ tel que $$\cos(\vartheta) = \frac{|uu'+vv'+ww'|}{\sqrt{(u^2 +v^2 +w^2)}\sqrt{({u'}^2+{v'}^2+{w'}^2)}}.$$ Les images de $\Gamma(D)$ et $\Gamma(D')$ sont les cercles ou droites d'\'equations respectives $$w(x^2+y^2) + 2ux+2vy-w = 0 \ \ \ \textrm{et} \ \ \ \ w'(x^2+y^2) + 2u'x + 2v'y - w' = 0.$$ En vertu de l'exercice 7, l'angle entre ceux-ci au point $\pi(p)$ est l'unique \'el\'ement $\alpha$ de $[0,\frac{\pi}{2}]$ tel que $$\cos(\alpha) = \frac{|R((w,2u,2v,-w), (w',2u', 2v', -w'))|}{\sqrt{q(w,2u,2v, -w)q(w',2u',2v',-w')}}.$$ Comme $R((w,2u,2v,-w), (w',2u', 2v', -w')) = 4uu'+4vv'+ 4ww'$, $q(w,2u,2v, -w) = 4(u^2+v^2+w^2)$ et donc $\cos(\alpha) = \cos(\vartheta)$ ; les angles consid\'er\'es sont donc les m\^emes et nous avons prouv\'e que la projection st\'er\'eographique pr\'eserve les angles.

\end{document} 