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\begin{document}

{\bf Exercice} --- Soit $\X$ un espace affine sur un corps $k$ et soit $f$ un \'el\'ment de $\mathrm{GA}(\X)$. D\'emontrer que les deux conditions suivantes sont \'equivalentes :

\indent (i) $f$ est une homoth\'etie ; \\
\indent (ii) il existe des points $p_1, \ldots, p_n$ dans $\X$ ($n \geq 1$) et des scalaires $\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in k$ tels que, pour tout point $p$ de $\X$, $f(p)$ soit le barycentre de la famille $$(p_1, \alpha_1), \ldots, (p_n, \alpha_n), \left(p, 1 - \sum_{i=1}^{n} \alpha_i\right)$. 

\end{document}