Exercice 1 — Soit X un espace affine sur un corps k. Démontrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes pour tout élément f de GA(X) :

(i) f est une homothétie ; (ii) il existe des points p_{1},...,p_{n} dans X (n ≥ 1) et des scalaires α_{1},...,α_{n} ∈ k tels que, pour tout point p de

X, f(p) soit le barycentre de la famille

{ (p_{1},α_{1}),...,(p_{n},α_{n}),( p,1 − ∑_{i=1}^{n} α_{i}) } .

Exercice 2 — Soient A, B, C trois points non alignés dans un plan affine réel X et soient a, b et c les milieux respectifs des segments [B,C], [A,C] et [A,B]. On désigne respectivement par s_{a}, s_{b} et s_{c} les symétries de centres a, b et c.

Décrire explicitement l’automorphisme affine s_{a}∘ s_{b}∘ s_{c} de X.