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\begin{document}


{\bf Exercice 1} --- Soit $\X$ un espace affine sur un corps $k$. D\'emontrer que les deux conditions suivantes sont \'equivalentes pour tout \'el\'ement $f$ de $\mathrm{GA}(\X)$ :

\indent (i) $f$ est une homoth\'etie ; \\
\indent (ii) il existe des points $p_1, \ldots, p_n$ dans $\X$ ($n \geq 1$) et des scalaires $\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in k$ tels que, pour tout point $p$ de $\X$, $f(p)$ soit le barycentre de la famille $$\left\{(p_1, \alpha_1), \ldots, (p_n, \alpha_n), \left(p, 1 - \sum_{i=1}^{n} \alpha_i\right)\right\}.$$ 

\vspace{1cm} 
{\bf Exercice 2} --- Soient $\A, \ \B, \ \C$ trois points non align\'es dans un plan affine r\'eel $\X$ et soient $a, \ b$ et $c$ les milieux respectifs des segments $[\B,\C]$, $[\A,\C]$ et $[\A,\B]$. On d\'esigne respectivement par $s_a, \ s_b$ et $s_c$ les sym\'etries de centres $a, \ b$ et $c$.

D\'ecrire explicitement l'automorphisme affine $s_a \circ s_b \circ s_c$ de $\X$.
 
\end{document}