Corrigé:

Partie A

A 1) Pour commencer (f(D_{1}), f(D_{2}), f(D_{3})) est un triplet de droites puisque (1) toute application affine f transforme sous-espaces en sous-espaces et (2) \overrightarrow{f(D_{i})} = L_{f}(\overrightarrow{D_{i}}) est de dimension 1 puisque f (et donc L_{f}) est bijective. Ensuite c’est un triplexe: en effet, puisque L_{f} est bijective, (L_{f}(u_{i}))_{1≤i≤3} est une base. D’autre part, si f(D_{i}) ∩ f(D_{j}) ≠ ∅ alors f^{−1}(f(D_{i}) ∩ f(D_{j})) = D_{i} ∩ D_{j} ≠ ∅.

A 2) Pour deux points a ∈ A, a′ ∈ A′ on a: A ∩ A′ ≠ ∅ ssi \overrightarrow{aa′} ∈ \overrightarrow{A} + \overrightarrow{A′}.

A 3)

a) Quel que soit α ∈ D_{1} et β ∈ P_{2,3} on a \overrightarrow{αβ} ∈ R^{3} = \overrightarrow{D_{1}} ⊕ \overrightarrow{P_{2,3}} Par A2) D_{1} ∩ P_{2,3} n’est pas vide. C’est un singleton puisque les directions sont supplémentaires. Idem pour les deux autres cas.

Pour la suite je note les directions en caractère gras.

b) On a a_{1} ∈ P_{2,3} = a_{2}+D_{2}+D_{3} donc \overrightarrow{a_{2}a_{1}} ∈ D_{2}+D_{3} De même a_{2} ∈ P_{1,3} = a_{1}+D_{1}+D_{3}, donc \overrightarrow{a_{1}a_{2}} ∈ D_{1} + D_{3} dès lors \overrightarrow{a_{1}a_{2}} = v⃗_{3} ∈ D_{3}. Puisque a_{3} ∈ P_{1,2} = a_{1} + D_{1} + D_{2} on a \overrightarrow{a_{1}a_{3}} ∈ D_{1} + D_{2}. Donc il existe v⃗_{1} ∈ D_{1} et v⃗_{2} ∈ D_{2} tels que \overrightarrow{a_{1}a_{3}} = v⃗_{1} + v⃗_{2}. v⃗_{3} n’est pas nul puisque D_{1} ∩ D_{2} = ∅. Observer ensuite que si v⃗_{2} = 0 alors \overrightarrow{a_{1}a_{3}} ∈ D_{1} et dès lors a_{3} ∈ D_{1} ce qui contredit D_{1} ∩ D_{3} = ∅. Enfin si v⃗_{1} = 0 on a \overrightarrow{a_{1}a_{3}} ∈ D_{2}. Dès lors \overrightarrow{a_{2}a_{3}} = \overrightarrow{a_{2}a_{1}} + \overrightarrow{a_{1}a_{3}} ∈ D_{3} + D_{2} et D_{2} ∩ D_{3} ≠ ∅.

A 4)

a) On a D_{i} ⊂ P_{i,j} donc D′_{i} = f(D_{i}) ⊂ f(P_{i,j}). La direction de f(P_{i,j}) est L_{f}(D_{i}) + L_{f}(D_{j}) = D′_{i} + D′_{j}. Donc f(P_{i,j}) = P′_{i,j} (même direction et une droite commune).

b) a′_{1} = D′_{1} ∩ P′_{2,3} = f(D_{1}) ∩ f(P_{2,3}) = f(a_{1}). Idem pour les autres.

On a déjà f(a_{1}) = a′_{1}. Ensuite v′_{3} = \overrightarrow{a′_{1}a′_{2}} = \overrightarrow{f(a_{1})f(a_{2})} = L_{f}(\overrightarrow{a_{1}a_{2}}) = L_{f}(v⃗_{3}). De même v′_{1} + v′_{2} = \overrightarrow{a′_{1}a′_{3}} = \overrightarrow{f(a_{1})f(a_{3})} = L_{f}(\overrightarrow{a_{1}a_{3}}) = L_{f}(v⃗_{1}) + L_{f}(v⃗_{2}). D‘où L_{f}(v⃗_{1}) = v′_{1} et L_{f}(v⃗_{2}) = v′_{2} du fait de l’unicité des termes dans une décomposition en somme directe.

c) Si f convient elle est unique puisque l’image d’une base affine est spécifiée.

A 5)

a) La simplicité résulte de l’unicité. Pour la transitivité, définir f en demandant

f(R_{(D_{1},D_{2},D_{3})}) = R_{(D′_{1},D′_{2},D′_{3})}

et montrer qu’elle convient. Puisqu’on a déjà L_{f}(D_{i}) = D_{i}′, il suffit pour cela de montrer que f(a_{i}) = a′_{i}. b) Oui par transport affine: tout espace affine réel X de dim 3 est isomorphe à R^{3} en tant qu’espace affine.

Explicitement: Soient (D, D′, D′′), (Δ, Δ′, Δ′′) deux triplexes de X et τ : X → R^{3} une bijection affine (i.e. une vectorialisation de X). Les triplets (τ(D), τ(D′), τ(D′′)), (τ(Δ), τ(Δ′), τ(Δ′′)) sont des triplexes (argument identique à celui de la question 1)). Par ce qui précède il existe une unique bijection affine f de R^{3} telle que (f ∘τ(D), f ∘τ(D′), f ∘τ(D′′)) = (τΔ), τ(Δ′), τ(Δ′′)). Dès lors f_{τ} = τ^{−1} ∘f ∘τ convient. L’unicité de f_{τ} résulte de celle de f.

Partie B

B 1) la figure est laissée au lecteur

B 2)

a) L’identité est dans G_{T} . Si f, f′ ∈ G_{T} on a f ∘ f′(T) = f(T) = T. Enfin f(T) = T ⇔ T = f^{−1}(T).

b) On a f(D_{i}) ⊂ D_{1} ∪ D_{2} ∪ D_{3}. La droite réelle f(D_{i}) contient au moins quatre points disctincts. Elle a donc au moins deux points en commun avec l’une des trois droites, disons D_{j}. Dès lors f(D_{i}) = D_{j}.

c) Soit f ∈ G_{T} . On a i ≠ j ⇒ f(D_{i}) ≠ f(D_{j}). Par b) il existe donc une permutation σ de {1, 2, 3} telle que f(D_{i}) = D_{σ(i)}, 1 ≤ i ≤ 3. On a donc une application

G_{T} → Bij{1, 2, 3} : f ↦ σ.

Cette application est un morphisme de groupe. Elle est bijective: en effet, la question 5 de la Partie A implique que pour toute permutation σ des 3 droites il existe une et une seule bijection affine f telle que f(D_{i}) = D_{σ(i)}.

On vient donc de trouver une réalisation géométrique quelque peu exotique du groupe S_{3}.

Hors-Barème

H-B 3)

a) Les bijections f, h sont données par f(x, y, z) = (1 − y, 1 − x, 1 − z), h(x, y, z) = (1 − x, 1 − z, 1 − y).

Les 8 sommets du cube C sont de la forme (a, b, c) avec a, b, c ∈ {0, 1}. f et h permutent 1 et 0. Elles stabilisent donc l’ensemble des sommets.

b) f correspond à la transposition t_{1,2} et h à t_{2,3}. Or, toute permutation de S_{3} est une composée de t_{1,2} et t_{2,3}. Dès lors toute permutation stabilise l’ensemble des sommets.

Enfin, l’isobarycentre des sommets est le point fixe a^{⋆} recherché.

H-B 4)

La question pour un triplexe (D, D′, D′′) arbitraire se ramène au cas du cube C par bijection affine: Soit (D_{1}, D_{2}, D_{3}) le triplexe de référence et soit σ l’unique bijection affine telle que (σ(D_{1}), σ(D_{2}), σ(D_{3})) = (D, D′, D′′). L’application

G_{D∪D′∪D′′} → G_{D_{1}∪D_{2}∪D_{3}} : f ↦ σ^{−1} ∘ f ∘ σ

est un isomorphisme de groupes. Conclusion: le groupe G_{D∪D′∪D′′} est isomorphe au groupe des permutations S_{3} et il existe un point fixe commun aux éléments de ce groupe donné par σ(a^{⋆}).