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L3 Math\'ematiques 2006/2007

UNIVERSITE LYON 1


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$$\eqalign {& {\hbox {\bf G\'eom\'etrie \'el\'ementaire } }\cr
&\hskip 25 pt{\hbox { \bf Fiche 1}}\cr }$$
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{\bf Groupes.} 
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Un des ingr\'edients de la g\'eom\'etrie \'el\'ementaire est la notion de {\sl groupe}.
\smallskip
Pour rappel: un {\sl groupe} c'est deux choses: 1) un ensemble (non vide) $G$, 2) une loi de composition interne (LCI): 
$$\star: G\times G\rightarrow G: (a,b)\mapsto a\star b$$ avec les propri\'et\'es suivantes:
\smallskip
i) Associativit\'e: $\forall a,b,c\in G,\, (a\star b)\star c= a\star (b\star c),\, $
\smallskip
 ii) neutre: $\exists e\in G\mid x\star e= x= e\star x
,\,\forall x\in G$ 
\smallskip
 iii) r\'eciproques: $\forall x\in G, \exists x^{-1}\in G,\mid x\star x^{-1}= x^{-1}\star x= e.$
\smallskip
Le groupe est dit commutatif ou ab\'elien si $\forall a,b\in G ,\, a\star b= b\star a.$
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Voici un exemple important:
\smallskip
Exo 1. On note $I_n= \{1,2, \dots , n\}$. L'ensemble ${\cal S}_n$ des bijections
$\sigma: I_n\longrightarrow I_n$ est un groupe pour la composition $\circ$ 
des applications. ${\cal S}_n$ est appel\'e groupe des permutations ou groupe sym\'etrique.
 Pour $\sigma\in {\cal S}_n$ on utilise la notation
$$\left(\matrix {1&2&\cdots &n-1&n\cr
\sigma (1)& \sigma (2) & \cdots & \sigma (n-1) & \sigma (n)\cr}\right).$$
Pour $i\not=j\in I_n$, la permutation $t_{ij}$ d\'efinie par
$$t_{ij} (i)= j,\quad t_{ij} (j)= i, \quad t_{ij} (k)= k \,\, \forall k\in 
I_n \setminus \{i,j\}$$
est appel\'ee une {\sl transposition}.   
\smallskip
a - Confirmer que Card $({\cal S}_n)= n!$
\smallskip
b -  Confirmer que la table de composition du groupe ${\cal S}_3$ est
donn\'ee par 
$$\eqalign { \circ & \mid 1\hskip 15 pt c \hskip 15 pt c' \quad t_{12} \quad t_{13} \quad 
t_{23}\cr
1 &\mid 1\hskip 15 pt c \hskip 15 pt c' \quad t_{12} \quad t_{13} \quad t_{23}\cr
c &\mid c \hskip 15 pt c'\hskip 15 pt 1 \quad t_{13} \quad t_{23} \quad t_{12}\cr
c' &\mid c' \hskip 15 pt 1 \hskip 15 pt c \quad t_{23} \quad t_{12} \quad t_{13}\cr
 t_{12} &\mid t_{12} \quad t_{23} \quad t_{13} \quad 1 \quad c' \hskip 15 pt c\cr
t_{13} &\mid t_{13} \quad t_{12} \quad t_{23} \quad c \quad 1\hskip 15 pt c'\cr
t_{23} & \mid t_{23} \quad t_{13} \quad t_{12} \quad c' \quad c \hskip 15 pt 
1\cr}$$
o\`u 
$$1=\left(\matrix {1&2&3\cr
1&2&3\cr}\right), \quad c=\left(\matrix { 1&2&3\cr
2&3&1\cr}\right), \quad c'= \left(\matrix {1&2&3\cr
3&1&2\cr}\right).$$
\smallskip
Observer sur la table de composition que
(i) $S_3$ n'est pas ab\'elien et (ii) la partie ${\cal A}_3=\{1, c, c'\}$
est un sous-groupe de ${\cal S}_3$ appel\'e le groupe altern\'e.
\smallskip   
c - Montrer par une r\'ecurrence sur l'entier $n$ que le groupe 
sym\'etrique ${\cal S}_n$ est {\sl engendr\'e } par les transpositions i.e.
 que toute bijection de $I_n$ s'\'ecrit comme la composition
d'un nombre fini de transposition $t_{ij}, i\not= j \in I_n.$
\smallskip
d - Pour des entiers $1\le i_1, i_2, \dots , i_l\le n$ deux \`a deux 
distincts, on appelle $l-$ cycle de $S_n$ la permutation 
$$(i_1i_2 \dots i_l):=\left(\matrix {i_1&i_2&\cdots &i_{l-1}& i_l\cr
i_2&i_3&\cdots&i_l&i_1\cr}\right).$$
Combien y-a-t-il de $2-$ cycles (i.e. de transpositions), de $l-$cycles dans $S_n?$
\smallskip
Donner une d\'ecomposition d'un $l-$ cycle en transpositions.
\bigskip
Exo 2.
\smallskip
a- Montrer que tout sous-groupe $H$ de {\bf Z} est de la forme $d{\bf Z}$ pour un
entier $d\in {\bf N}.$
\smallskip
{\sl [Utiliser la division euclidienne par le plus petit entier positif de 
$H.$]}
\smallskip
b- Montrer que les racines $n-$i\`emes de l'unit\'e, $n\in {\bf N^\star}$, sont les seuls sous-groupes
finis de ${\bf C}^\star.$
\smallskip
{\sl [Commencer par montrer que tout sous-groupe fini est sur le cercle 
unit\'e. On pourra ensuite utiliser le thm de Lagrange.]}
\bigskip 
{\bf Op\'eration d'un groupe sur un ensemble.}
\smallskip
L'id\'ee est de r\'ealiser un groupe non pas comme une entit\'e abstraite mais comme transformations d'un ensemble.
\smallskip
Voici pour rappel la d\'efinition formelle et quelques notations: Soit $G$ un groupe de neutre $e$  et $X$ un ensemble. On dit que l'application 
$$\varphi:G\times X\longrightarrow X:(g, x)\mapsto \varphi_g (x)$$
 est une op\'eration \`a gauche de $G$
sur $X$ si 
$$\varphi_e (x) = x\quad {\hbox { et }}\quad \varphi_{g\star g'} (x) 
=\varphi_g (\varphi_{g'} (x))\quad\forall g,g'\in G {\hbox { et } }\forall x\in X.$$ 
On notera ${\cal S}(X)$ l'ensemble des bijections de $X.$
\smallskip
$\varphi$ est une op\'eration ssi l'application 
$$G\rightarrow S(X): 
g\mapsto \varphi_g$$
est un morphisme de groupes.
\smallskip
La relation $\sim$ sur $X$ d\'efinie par $x\sim x'$ ssi il existe $g\in G$ tel 
que $x'= \varphi_g (x)$ est une relation d'\'equivalence
dont les classes sont appel\'ees orbites: 
l'orbite du point $x\in X$ est donc $G\cdot x:=\{\varphi_g (x)\mid\, g\in G\}$.
\smallskip
L'ensemble  
$G_x=\{g\in G\mid \varphi_g (x)=x\}$ s'appelle le stabilisateur (ou sous - groupe d'isotropie)  de $x.$
\smallskip
On notera $X^G:=\{ x\in X\mid \varphi_g (x)=x,\,\forall g\in G\}$ l'ensemble des points fixes.
\medskip
L'op\'eration est dite transitive si il n 'y a qu'une seule orbite, en d'autres termes si tous les points de $X$ sont reli\'es par
une transformation de $G$ ce qui formellement s'\'ecrit $\forall x,x'\in X,\, 
\exists g\in G\mid\, x'= \varphi_g (x).$
\smallskip
L'op\'eration est dite simple (ou libre) si le stabilisateur de chaque point est trivial i.e. si $\forall x\in X,\, G_x=\{e\}.$ 
\bigskip
Exo 3. {\sl (Exemples d'op\'erations.)}
\smallskip
a- Le groupe $Gl_2{\bf R}$ des matrices inversibles r\'eelles de type $2\times 
2$ op\`ere sur ${\bf R}^2$ par multiplication matricielle
\`a gauche:
$$\varphi: Gl_2 {\bf R}\times {\bf R}^2\longrightarrow {\bf R}^2:\quad (A, \left(\matrix {x\cr
y\cr}\right))\mapsto A \left(\matrix {x\cr
y\cr}\right). $$ 
Montrer en utilisant un argument 'g\'eom\'etrique' qu'il y a deux 
orbites: le singleton $\{(0,0)\}$ et le plan \'epoint\'e ${\bf 
R}^2\setminus \{(0,0)\}.$
\smallskip
Donner une seconde preuve de ce fait en utilisant un argument plus 'alg\'ebrique'.
\smallskip
D\'eterminer le stabilisateur de $(1,0).$
\smallskip
Qu'en est-il en dimension $n?$
\medskip  
b- le sous-groupe $G=\{\left(\matrix {\delta&0\cr
0&\delta'\cr}\right),\delta,\delta'\in {\bf R}^\star_+\}\subset Gl_2{\bf 
R}$ op\`ere par $\varphi$ sur ${\bf R}^2$.

 D\'eterminer les orbites et les stabilisateurs $G_{(x,y)}$.
\smallskip
c- M\^emes questions pour le sous-groupe $G'=\{\left(\matrix {\delta&0\cr
0&\delta\cr}\right),\delta\in R^\star_+\}.$ 
\smallskip
d- M\^emes questions pour le groupe des rotations du plan $O_2^+:=\{\left(\matrix 
{cos\theta&-sin \theta\cr
sin \theta&cos\theta\cr}\right),\,\theta\in R\}.$

{\sl (Indication: Commencer par l'orbite du point $(r,0),\,\,r\in {\bf R}_+.$)}
\smallskip
e- M\^emes questions pour le sous-groupe $H=\{\left(\matrix {cosh\omega&sinh \omega\cr
sinh \omega&cosh\omega\cr}\right),\,\omega\in R\}.$ 
\medskip
f- Soit $V\subset {\bf R}^3$ un sous-espace vectoriel (donc en particulier un sous-groupe additif
de ${\bf R}^3$). Confirmer que l'application 

$$ V\times {\bf R}^3\longrightarrow {\bf R}^3:(\vec v , \vec x)\mapsto \vec x+ \vec v$$ est une
 op\'eration simple (i.e. $V_{\vec x}=\{\vec 0\},\,\forall  \vec x\in {\bf R}^3)$ 
de $V$. Est-elle transitive?
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Exo 4. (Op\'erations et matrices.)
\smallskip
Soit $Gl_2 {\bf C}\subset M_2{\bf C}$ l'ensemble des matrices $2\times 2$ inversibles \`a coefficients complexes.
\smallskip
a - Montrer que l'application 
$$\varphi: Gl_2{\bf C}\times M_2{\bf C}\longrightarrow M_2{\bf C}: (W,A)\mapsto WAW^{-1}$$
est une op\'eration.
 Montrer qu'elle n'est ni transitive ni simple. 
\smallskip
 Soient $z,z'\in {\bf C}.$
D\'ecrire l'orbite de $\left(\matrix{z&0\cr
0&z'\cr}\right)$ lorsque $z\not=z'.$ 
\smallskip
Une matrice $A$ dont le spectre est $\{z\}$ est - elle
n\'ecessairement dans l'orbite de $\left(\matrix {z&0\cr
0&z\cr}\right)?$
\smallskip
b - On consid\`ere le groupe $Gl_2 {\bf C} \times Gl_2 {\bf C}$ pour la 
loi de composition $(P,Q)\star (P', Q')= (PP', QQ').$
\smallskip
Montrer que l'application
$$\varphi:\, (Gl_2 {\bf C} \times Gl_2 {\bf C})\times M_2 {\bf C} \rightarrow 
M_2 {\bf C}: \big( (P,Q), A \big)\mapsto P A Q^{-1}$$
est une op\'eration.
\smallskip
Montrer qu'il y a 3 orbites distinctes, $O (\left(\matrix {0&0\cr 
0&0\cr}\right) ), O (\left(\matrix {1&0\cr
0&0}\right) )$ et $ O (\left(\matrix {1&0\cr
0&1\cr}\right) ).$
\smallskip
{\sl [Penser aux transformations \'el\'ementaires sur les lignes et les 
colonnes de la matrice $A.$]}  
\bigskip 
Exo 5. 
\smallskip
 On consid\`ere ${\bf R}^3$ muni du produit scalaire $(\vec x, \vec y)= 
x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3.$ Soit 
$$S_2= \{\vec x\mid (\vec x, \vec x)=1\} \subset {\bf R}^3$$
 la sph\`ere
unit\'e de centre $(0,0,0)$.
On consid\`ere l'op\'eration
$$O_2^+\times S_2 \rightarrow S_2$$
par rotation autour de l'axe $<(0,0,1)>.$
\smallskip
Ecrire cette action matriciellement. Quelles sont les orbites? Quels sont les points fixes?
\bigskip
Exo 6. (Permutations et sym\'etries)
\smallskip
a - Soit $V$ un espace vectoriel r\'eel. Une application lin\'eaire $s: 
V\rightarrow V$ est appel\'ee une sym\'etrie (ou involution) si $s\circ s= 
id_V.$ Montrer que $V$ est somme directe de deux sous-espaces  
$V_+$ et $V_-$ stables pour $s.$
\smallskip
b - Donner un exemple (i.e. faire une figure) de sym\'etrie lorsque $V= {\bf R}^2$ et dim $ V_+=$ 
dim $V_- = 1.$
\smallskip
 On consid\`ere \`a pr\'esent le triangle \'equilat\'eral trac\'e sur le cercle 
unit\'e de ${\bf R}^2$ de sommets $P=\{x_1=(1,0), x_2, x_3\}$.
\smallskip
On se propose de d\'eterminer le sous- groupe $G$ des bijections lin\'eaires 
du plan qui 
stabilisent l'ensemble des sommets $P.$
\smallskip
c- Donner six bijections lin\'eaires $f$ telles $f(P)=P$ et \'ecrire leurs 
matrices dans la base canonique.
\smallskip
d - Soient $f,f'$ deux bijections lin\'eaires de ${\bf R}^2.$
Montrer que si $f_{\mid_P}= f'_{\mid_P}$ alors $f=f'.$
\smallskip
e - Conclure que le groupe $G$ est isomorphe au groupe des permutations 
$S_3.$
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Exo 7.{\sl (Un autre exemple d'op\'eration de groupe.)}

Soit ${\cal S}_3$ le groupe des permutations de 3 \'el\'ements. On consid\`ere l'application
$$ \eqalign {&\quad\quad\quad\varphi: {\cal S}_3\times {\bf R}^3\longrightarrow {\bf R}^3\cr
&(\sigma, (x_1,x_2,x_3))\mapsto 
(x_{\sigma^{-1}(1)},x_{\sigma^{-1}(2)}, x_{\sigma^{-1}(3)})\cr}$$
a - Montrer que $\varphi$ est une op\'eration fid\`ele. Peut-elle \^etre transitive?
\smallskip
{\sl [ Une action est dite fid\`ele si l'application $G\rightarrow S(X):g\mapsto 
\varphi_g$ est injective.]}

b - Donner l'ensemble $V$ des points fixes de ${\bf R}^3.$

c - D\'eterminer le groupe d'isotropie des points de ${\bf R}^3$ et le cardinal des orbites.

d -
Soit $\{e_1,e_2,e_3\}$ la base canonique de ${\bf R}^3.$ V\'erifier que 
$R=\{e_i-e_j, 1\le i\not= j\le 3\}$ est globalement ${\cal S}_3 -$ invariant et
que ${\cal S }_3$ op\`ere transitivement sur $R.$

e - Soit $W$ l'hyperplan d'\'equation $x_1+x_2+x_3=0.$ V\'erifier que ${\bf R}^3= V\oplus W$
et d\'eduire que $V$ et $W$ sont 
les seuls sous-espaces propres ${\cal S}_3-$invariants de ${\bf R}^3.$

{\sl (On pourra montrer que tout sous-espace invariant $U$ non inclus dans $V$ contient
n\'ecessairement $R.$)}
\bigskip
{\bf Questions diverses.} 
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Q1. (Les ponts de K\"onigsberg.)
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Soit $K$ le graphe
\vskip 60 pt
Peut-on trouver un chemin passant une seule fois par chacune des ar\^etes 
de $K?$
\bigskip
Q2. (Nombres constructibles.)
\smallskip
Montrer que l'ensemble $C$ des r\'eels qui sont constructibles \`a la 
r\`egle et au compas est un sous-corps de ${\bf R}$, stable par 
racine carr\'ee (i.e. $\forall c\in C, {\sqrt c}\in C).$
\bigskip 
Q3. (Le nombre d'or.)
\smallskip
On consid\`ere un rectangle de longueur $L$ et de largeur $l,\, l<L<2l.$
Le nombre d'or est le rapport $\tau={L\over l}$ tel que 
$${L\over l}= {l\over L-l}.$$
- Donner une construction de $\tau$ \`a la r\`egle et au compas en partant de 
deux points $0$ et $I$ du plan.
\smallskip
- It\'eration: \`a partir d'un rectangle de rapport ${L_0\over l_0}=\tau$
on cr\'ee une suite de rectangles de longueur $L_n$ et de largeur $l_n$
en posant $L_{n+1}= l_n$ et $l_{n+1}=L_n -l_n.$ 
\smallskip
Faire une figure. Quel est le rapport ${L_n\over l_n}?$
\bigskip
Q4. (Une suite remarquable: les nombres de Fibonacci.)
\smallskip
On consid\`ere la suite d'entiers $(f_n)_{n\in {\bf N}}$ d\'efinie par
$$f_0= 1,\quad f_1=1,\quad f_{n+2}=f_{n+1} + f_n.$$
En voici une repr\'esentation g\'eom\'etrique:
\vskip 100 pt
D\'eterminer $f_n$  et montrer que $\lim_{n\to \infty} \, {f_{n+1} \over f_n} = \tau.$  

\end

