Académie de Lyon Licence de Mathématiques (L3) Année 2005/2006

Géométrie élémentaire. Fiche 4.

Exo 1. (Extrait de l’examen de Mai 2005) On rappelle que si (G, ⋆) est un groupe, l’ensemble Z = {z ∈ G | z⋆g = g⋆z, ∀g ∈ G}

est appelé le centre de G.

Soient E un espace vectoriel euclidien de dimension n ≥ 2 et (e⃗_{i})_{1≤i≤n} une base orthonormée de E. On désigne par O(E) le groupe orthogonal de E et par O^{±}(E) les composantes O^{±}(E) = {f ∈ O(E) | Det(f) = ±1}.

\underline{Question 1.} Soit f un endomorphisme de E qui commute avec toutes les symétries orthogonales s ∈ O(E) (i.e. quelle que soit la symétrie s ∈ O(E), f ∘ s = s ∘ f).

a) Montrer que la matrice de f dans la base (e⃗_{i})_{1≤i≤n} est diagonale. [Faire commuter f avec des réflexions choisies judicieusement.]

b) Montrer ensuite que l’endomorphisme f est une homothétie. [Utiliser d’autres réflexions.]

c) Déterminer le centre du groupe orthogonal O(E). \underline{Question 2.} Déterminer le centre de O^{+}(E) en dimension n = 2 et n = 3. \underline{Question 3.} Soit E un espace affine euclidien de direction E. On désigne par Is(E) le groupe des

isométries affines de E.

a) Soient O ∈ E, σ : E → E : M ↦ O − \overrightarrow{OM} la symétrie affine de centre O et τ une translation de E.

Montrer que si τ ∘ σ = σ ∘ τ, alors τ = Id_{E}.

b) Déterminer le centre du groupe Is(E). [On pourra commencer par utiliser le cas linéaire et, le cas échéant, un théorème du

cours sur Is(E).]

Exo 2. (Extrait de l’examen de septembre 1997) Soit E un plan affine euclidien de direction E muni d’un repère orthonormé [o; i⃗, j⃗].

On considère les points

a = o + i⃗ + j⃗, b = o − i⃗ + j⃗, c = o − i⃗ − j⃗, d = o + i⃗ − j⃗.

On désigne par G l’ensemble des isométries affines de E laissant globalement invariant l’ensemble {a, b, c, d}. a - Montrer que tout élément de G laisse le point o invariant. b - Montrer que, muni de la composition des applications, G est un groupe isomorphe

à un sous-groupe du groupe orthogonal O(E).

c - Montrer que G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique S_{4}. d - Trouver un sous-groupe cyclique d’ordre 4 de G. e - Trouver tous les éléments de G. f - Dresser la table de G. g - Montrer que G est engendré par deux symétries orthogonales par rapport à des

droites.

Exo 3. (Sous-groupes finis du groupe orthogonal du plan euclidien.) Soit E un plan euclidien et O(E) le groupe orthogonal. a - Pour rappel: on a l’isomorphisme:

\begin{matrix}R/2πZ ⟶ O^{+}(E) \\ θ̂ ↦ Rθ̂ = ( \begin{matrix}cos θ & −sin θ \\ sin θ & cos θ \end{matrix} ) \end{matrix}

Montrer que tout sous-groupe fini G ⊂ O^{+}(E) est un groupe cyclique

C_{n} := {R ˆ 2πk/n, 0 ≤ k ≤ n ∈ N}

[ Indication: considérer le plus petit réel θ ∈]0, 2π[ tel que Rθ̂ ∈ G et le plus petit entier naturel n tel que 2π ≤ nθ.]

On suppose à présent que le sous-groupe fini G ⊂ O(E) contient une symétrie s. b - Soit H := G ∩ O^{+}(E). Montrer que G = H ∪ H ∘ s. c - Montrer que G est le produit semi-direct de H et S = {1_{E}, s}. En déduire une

structure de groupe sur H × S telle que l’application H × S ⟶ G : (h, σ) ↦ h ∘ σ soit un isomorphisme de groupes.

d - Application: déterminer le sous-groupe de O(E) laissant globalement invariant l’ensemble des sommets d’un n−gone régulier du plan E.

Exo 4. Soit G ⊂ GA(E), le groupe des déplacements de l’espace affine euclidien E de dimen-

sion 3.

On rappelle que G est constitué des transformations suivantes

- les rotations d’axe des droites de E

- les translations

- les produits d’une rotation d’axe D et d’une translation de vecteur non nul, vecteur directeur de D On se propose ici de déterminer le sous- groupe des commutateurs [G, G] ⊂ G.

1) Montrer que toute symétrie orthogonale par rapport à une droite D appartient à G.

Montrer que le produit de deux symétries orthogonales par rapport à deux droites parallèles D et D′ est une translation.

2)

a) Montrer que toute translation τ peut s’écrire sous la forme σ′ ∘ σ où σ′ et σ sont des symétries orthogonales par rapport à des droites.

b) Montrer que toute translation τ peut s’écrire τ_{0}^{2} où τ_{0} est une translation.

c) Déduire de a) et b) que toute translation τ est un commutateur de G.

3)

a) Soient D et D′ deux droites concourrantes de E en un point O, non confondues. Soit σ la symétrie orthogonale par rapport à la droite D, σ′ la symétrie orthogonale par rapport à D′.

Montrer que σ′ ∘ σ est une rotation d’axe orthogonal au plan défini par D et D′.

b) Soit ρ ≠ Id une rotation appartenant à G. En écrivant ρ sous la forme ρ_{0}^{2} où ρ_{0} est une rotation, montrer que ρ est un commutateur de G.

4) Montrer que [G, G] = G.

Exo 5. On considère k hyperplans H_{1}, ⋯, H_{k} d’un espace euclidien E. Soient σ_{1}, ⋯, σ_{k} les réflexions correspondantes et {x_{1}, ⋯, x_{k}} des vecteurs unitaires

tels que H_{i}^{⊥} =< x_{i} > ∀i ∈ {1, ⋯, k}.

Soit G le sous-groupe de O(E) dont les éléments sont les compositions d’un nombre fini de σ_{i}, i ∈ {1, ⋯, k}, i.e. G est le sous-groupe engendré par les réflexions σ_{i}.

a - Déterminer l’ensemble

E^{G} = {x ∈ E | g(x) = x, ∀g ∈ G}

des points fixes communs à tous les éléments de G.

En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur les x_{i} pour que E^{G} = {0}. (Indication: Utiliser (V ∩ V′)^{⊥} = V^{⊥} + V^{′⊥}) b - Si x ∈ E − {0} on note σ_{<x>^{⊥}} la réflexion d’hyperplan fixe < x >^{⊥} . On considère

le sous-ensemble

Δ = {x ∈ E | || x ||= 1, ∃i ∈ {1, ⋯, k}, ∃g ∈ G | σ_{<x>^{⊥}} = g^{−1} ∘ σ_{i} ∘ g}.

Montrer que Δ est globalement invariant sous l’action de G i.e. que g(Δ) ⊂ Δ, ∀g ∈ G. c - Montrer que si Δ est fini et si E^{G} = {0} alors G est fini. (Indication: Soit S_{Δ} le groupe de permutation de Δ. Montrer que l’application: G ⟶

S_{Δ} : g ↦ g_{|Δ} est injective.)

d - Soit E = R^{n}, (e_{i})_{1≤i≤n} la base canonique et {H_{i} = Re_{i}^{⊥}, 1 ≤ i ≤ n}. Montrer que G est abélien et déterminer son cardinal. Déterminer Δ.