\magnification = 1200
Acad\'emie de Lyon
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Licence de Math\'ematiques (L3)
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Ann\'ee 2005/2006
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$${\hbox {\sl G\'eom\'etrie \'el\'ementaire. Fiche 4.}}$$
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Exo 1. (Extrait de l'examen de Mai 2005)
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On rappelle que si $(G, \star)$ est un groupe, l'ensemble
$Z=\{z\in G \, \mid \, z\star g= g\star z, \, \forall g\in G\}$
est appel\'e le centre de $G.$  
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Soient $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n\ge 2$ et $(\vec 
e_i)_{1\le i\le n}$ une base orthonorm\'ee de $E.$ 
On d\'esigne par $O(E)$ le groupe orthogonal de $E$ et par $O^\pm (E)$ les
composantes $O^\pm (E)=\{f\in O(E)\, \mid \, Det (f)= \pm 1\}.$
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$\underline {\hbox {\bf Question 1.}}$  Soit $f$ un endomorphisme de $E$ qui commute avec toutes les sym\'etries
orthogonales $s\in O(E)$ (i.e. quelle que soit la sym\'etrie $s\in O(E)$, $f\circ s= s\circ f$). 
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a) Montrer que la matrice de $f$ dans la base $(\vec e_i)_{1\le i\le n}$ 
est diagonale. 

{\sl [Faire  commuter $f$ avec des r\'eflexions
choisies judicieusement.]}
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b) Montrer ensuite que l'endomorphisme $f$ est une homoth\'etie.


{\sl [Utiliser d'autres r\'eflexions.]}

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c) D\'eterminer le centre du groupe orthogonal $O(E).$
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$\underline {\hbox {\bf Question 2.}}$
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 D\'eterminer le centre de $O^+ (E)$ en dimension $n= 2$ et $n=3.$ 
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$\underline {\hbox {\bf Question 3.}}$
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Soit $\cal E$ un espace affine euclidien de direction $E.$ On d\'esigne 
par $Is ({\cal E})$ le groupe des isom\'etries affines de $\cal E$.
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a) Soient $O\in {\cal E}$, $\sigma: {\cal E}\rightarrow {\cal E}: 
M\mapsto O-{\overrightarrow {OM}}$ la sym\'etrie affine de centre $O$ et
$\tau$ une translation de $\cal E$.
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 Montrer que si $\tau \circ \sigma= \sigma \circ \tau$, alors $\tau= 
Id_{\cal E}.$
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b) D\'eterminer le centre du groupe $Is ({\cal E}).$

{\sl [On pourra commencer par utiliser le cas lin\'eaire et, le cas 
\'ech\'eant, un th\'eor\`eme du cours sur $Is({\cal E}).$]}
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Exo 2. (Extrait de l'examen de septembre 1997)
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Soit $\cal E$ un plan affine euclidien de direction $E$ muni d'un rep\`ere orthonorm\'e $[o;\vec i,\vec j].$
On consid\`ere les points 
$$a=o+\vec i+\vec j,\quad b=o-\vec i+\vec j,\quad c=o-\vec i-\vec j,\quad d=o+\vec i-\vec j.$$
On d\'esigne par $G$ l'ensemble des isom\'etries affines de $\cal E$ laissant
globalement invariant l'ensemble $\{a,b,c,d\}.$
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a - Montrer que tout \'el\'ement de $G$ laisse le point $o$ invariant.
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b - Montrer que, muni de la composition des applications, $G$ est un groupe isomorphe \`a un sous-groupe
 du groupe orthogonal $O(E).$
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c - Montrer que $G$ est isomorphe \`a un sous-groupe du groupe sym\'etrique $S_4.$
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d - Trouver un sous-groupe cyclique d'ordre 4 de $G.$
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e - Trouver tous les \'el\'ements de $G.$
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f - Dresser la table de $G.$
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g - Montrer que $G$ est engendr\'e par deux sym\'etries orthogonales par rapport \`a des  droites.
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Exo 3. ({\sl Sous-groupes finis du groupe orthogonal du plan euclidien.})
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Soit $E$ un plan euclidien et $O(E)$ le groupe orthogonal.

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a - Pour rappel: on a l'isomorphisme:
$$\eqalign {& {\bf R}/2\pi {\bf Z}\longrightarrow O^+(E)\cr
& {\hat \theta}\mapsto
R_{\hat \theta}=\left(\matrix{cos\,\theta&-sin\,\theta\cr
sin\,\theta&cos\,\theta\cr}\right)}$$ 

Montrer que tout sous-groupe fini $G\subset O^+(E)$ est
un groupe cyclique 
$${\cal C}_n:=\{R_{{\hat {2\pi k/n}}},\, 0\le k\le n\in {\bf N}\}$$ 
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{\sl [ Indication: consid\'erer le plus petit r\'eel $\theta\in ]0,2\pi[$ tel que $R_{\hat \theta}\in G$
et le plus petit entier naturel $n$ tel que $2\pi\le n\theta.$]}
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 On suppose \`a pr\'esent que le sous-groupe fini $G\subset O(E)$ contient une sym\'etrie
$s.$ 
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b - Soit $H:=G\cap O^+(E).$ Montrer que $G=H\cup H\circ s.$
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c - Montrer que $G$ est le produit semi-direct de $H$ et ${\cal S}= \{1_E,s\}.$ En d\'eduire
une structure de groupe sur $H\times {\cal S}$ telle que l'application $H\times {\cal S}\longrightarrow
G: (h,\sigma)\mapsto h\circ \sigma$ soit un isomorphisme de groupes.
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d - {\sl Application}: d\'eterminer le sous-groupe de $O(E)$ laissant globalement invariant
l'ensemble des sommets d'un $n-$gone r\'egulier du plan $E$.
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Exo 4.
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Soit $G\subset GA({\cal E})$, le groupe des {\sl d\'eplacements} de 
l'espace affine euclidien $\cal E$ de dimension $3.$
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On rappelle que $G$ est constitu\'e des transformations suivantes
$$\eqalign {&{\hbox { - les rotations d'axe des droites de }} {\cal E}\cr
&{\hbox { - les translations }}\cr
&{\hbox { - les produits d'une rotation d'axe }} D {\hbox { et d'une 
translation }}\cr
&\hskip 20 pt {\hbox { de vecteur non nul, vecteur directeur de }} D\cr}$$
On se propose ici de d\'eterminer le sous- groupe des commutateurs $[G, G]\subset 
G.$
\vskip 5 pt
1) Montrer que toute sym\'etrie orthogonale par rapport \`a une droite $D$ 
appartient \`a $G.$
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Montrer que le produit de deux sym\'etries orthogonales par rapport 
\`a deux droites parall\`eles $D$ et $D'$ est une translation.
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2) 
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a) Montrer que toute translation $\tau$ peut s'\'ecrire sous la forme
$\sigma'\circ \sigma$ o\`u $\sigma'$ et $\sigma$ sont des sym\'etries
orthogonales par rapport \`a des droites.
\smallskip
b) Montrer que toute translation $\tau$ peut s'\'ecrire $\tau_0^2$ o\`u 
$\tau_0$ est une translation.
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c) D\'eduire de a) et b) que toute translation $\tau$ est un commutateur 
de $G.$
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3) 
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a) Soient $D$ et $D'$ deux droites concourrantes de $\cal E$ en un point 
$O$, non confondues. Soit $\sigma$
la sym\'etrie orthogonale par rapport \`a la droite $D$, $\sigma'$ la 
sym\'etrie orthogonale par rapport \`a $D'.$
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Montrer que $\sigma'\circ \sigma$ est une rotation d'axe orthogonal au plan
d\'efini par $D$ et $D'.$
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b) Soit $\rho\not= Id$ une rotation appartenant \`a $G.$
En \'ecrivant $\rho$ sous la forme $\rho_0^2$ o\`u 
$\rho_0$ est une rotation, montrer que $\rho$ est un commutateur de $G.$
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4) Montrer que $[G, G]= G.$
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Exo 5. 
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On consid\`ere $k$ hyperplans $H_1,\cdots ,H_k$ d'un espace euclidien $E.$ 

Soient $\sigma_1,
\cdots , \sigma_k$ les r\'eflexions correspondantes et $\{x_1,\cdots, x_k\}$ des
vecteurs unitaires tels que $ H_i^\perp= <x_i>\,\,\forall i\in \{1,\cdots ,k\}.$


Soit $G$ le sous-groupe de $O(E)$ dont les \'el\'ements sont les compositions
d'un nombre fini de $\sigma_i,\,i\in \{1,\cdots ,k\}$, i.e. $G$ est le 
sous-groupe {\sl engendr\'e} par les r\'eflexions $\sigma_i.$
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a - D\'eterminer l'ensemble
 $$E^G=\{x\in E\mid g(x)=x,\,\forall g\in G\}$$
des points fixes communs \`a tous les \'el\'ements de $G.$

 En d\'eduire une condition n\'ecessaire
et suffisante portant sur les $x_i$ pour que $E^G=\{0\}.$
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({\sl Indication: Utiliser $(V\cap V')^\perp=V^\perp+V'^\perp$})
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b - Si $x\in E-\{0\}$ on note $\sigma_{<x>^\perp}$ la r\'eflexion 
d'hyperplan fixe $<x>^\perp.$
On consid\`ere le sous-ensemble  $$\Delta=\{x\in E\mid\,\, \mid\mid x\mid\mid=1, \exists i\in \{1,\cdots,k\},\,\exists g\in G\mid
\sigma_{<x>^\perp}=g^{-1}\circ \sigma_i\circ g\}.$$
Montrer que $\Delta$ est globalement invariant sous l'action de $G$ i.e. que $ g(\Delta)\subset \Delta,\,\,\forall g\in G.$
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c - Montrer que si $\Delta$ est fini et si $E^G=\{0\}$ alors $G$ est fini.
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({\sl Indication: Soit ${\cal S}_\Delta$ le groupe de permutation de $\Delta.$
 Montrer que l'application: $ G\longrightarrow {\cal S}_\Delta: g\mapsto g_{\mid \Delta}$
est injective.})
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d - Soit $E={\bf R}^n,\,\, (e_i)_{1\le i\le n}$ la base canonique et
 $\{H_i={\bf R}e_i^\perp,\,1\le i\le n\}.$
Montrer que $G$ est ab\'elien et d\'eterminer son cardinal. D\'eterminer $\Delta.$
 







\end