ACADEMIE DE LYON LICENCE DE MATHEMATIQUES

Géométrie élémentaire. Fiche 4.

Exercice 1. Soit R^{2} muni de la forme bilinéaire symétrique

B((x, t), (x′, t′)) = xx′ − tt′

Déterminer le groupe O_{1,1} des matrices 2 × 2 réelles qui préservent B. Soit O_{1,1}^{+} le sous-groupe des matrices de O(1, 1) de déterminant +1. Montrer qu’il existe une bijection de O_{1,1}^{+} sur la réunion des branches de l’hyperbole d’équation x^{2} − y^{2} = 1 du plan R^{2}.

Exercice 2. Soit un espace vectoriel euclidien (V, ( |)) et A, B ⊂ V deux sous-espaces vectoriels orthogonaux. Montrer que la composée des symétries orthogonales par rapport à A et B commutent et que c’est la symétrie par rapport au sous-espace (A ⊕ B)^{⊥}. On se place dans R^{3}. Soit σ_{x} (resp. σ_{y}) la symétrie orthogonale par rapport à l’axe < (1, 0, 0) > (resp. < (0, 1, 0) >). Donner la table de composition du sous-groupe G ⊂ O_{3} engendré par σ_{x} et σ_{y}.

Exercice 3. (Générateurs du groupe O_{n}.) Confirmer que les matrices

A = ( −\frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2}_{\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{2}} ) , B = ( \begin{matrix}\frac{1}{2} & \frac{−\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} )

appartiennent à O_{2} et déterminer leur décomposition en un produit de réflexions. Même question pour la matrice

C = ( \begin{matrix}0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{−\sqrt{2}}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ −1 & 0 & 0 \end{matrix} )

Exercice 4. (Symétries et commutateur de O(V).) Rappel: Soit G un groupe. ∀x, y ∈ G, l’élément [x, y] := xyx^{−1}y^{−1} est appelé commutateur de x et de y. Clairement l’inverse d’un commutateur est un commutateur. On notera [G, G] le sous-groupe de G dont les éléments sont les produits d’un nombre fini de commutateurs. Le sous-groupe (distingué) [G, G] est appelé groupe dérivé de G.

a - Soit V un espace euclidien de dimension n et A, A′ ⊂ V deux sous-espaces vectoriels de même dimension m ≤ n. Montrer qu’il existe une isométrie σ ∈ O^{+}(V) telle que σ(A) = A′. [Indication: Utiliser des bases adaptées aux décompositions V = A ⊕ A^{⊥} = B ⊕ B^{⊥}.] b - Montrer que la symétrie orthogonale σ_{A} par rapport au sous-espace A satisfait

f ∘ σ_{A} ∘ f^{−1} = σ_{f(A)}, ∀f ∈ O(V).

c - Soient H, H′ 2 hyperplans (vectoriels) de V et σ_{H}, σ_{H′} les réflexions correspondantes. Utiliser les questions a et b pour montrer que σ_{H} ∘ σ_{H′} ∈ [O(V), O(V)]. Conclure à l’aide du théorème d’engendrement de O(V) du cours que O^{+}(V) = [O(V), O(V)].

Soit V un espace vectoriel réel de dimension n et B : V × V ⟶ R une forme bilinéaire symétrique. Pour (x_{i})_{1≤i≤m} et (y_{i})_{1≤i≤m} ∈ V^{m} on appelle matrice de Gram G(x_{1}, ⋯, x_{m}; y_{1}, ⋯, y_{m}) la matrice dont la composante (i, j) est B(x_{i}, y_{j}).

Exercice 5.

- Montrer que si DetG(x_{1}, ⋯, x_{m}; y_{1}, ⋯, y_{m}) ≠ 0 alors (x_{i})_{1≤i≤m} et (y_{i})_{1≤i≤m} sont libres.

- On suppose B non dégénérée sur V. Montrer que (x_{i})_{1≤i≤n} et (y_{i})_{1≤i≤n} sont des bases de V ssi DetG(x_{1}, ⋯, x_{n}; y_{1}, ⋯, y_{n}) ≠ 0.