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ACADEMIE DE LYON

LICENCE DE MATHEMATIQUES


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$${\hbox { \sl G\'eom\'etrie \'el\'ementaire. Fiche 4.}}$$
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{\bf Exercice 1.} Soit ${\bf R}^2$ muni de la forme bilin\'eaire sym\'etrique
$$B\big( (x,t), (x',t')\big)= xx'-tt'$$
D\'eterminer le groupe $O_{1,1}$ des matrices $2\times 2$ r\'eelles qui pr\'eservent $B.$
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Soit $O_{1,1}^+$ le sous-groupe des matrices de $O(1,1)$ de 
d\'eterminant $+1.$
Montrer qu'il existe une bijection de $O^+_{1,1}$ sur la r\'eunion des
branches de l'hyperbole d'\'equation $x^2- y^2=1$ du plan ${\bf R}^2.$
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{\bf Exercice 2.} Soit un espace vectoriel euclidien $(V, (\, \mid \, ))$ et
$A, B\subset V$ deux sous-espaces vectoriels orthogonaux.
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Montrer que la compos\'ee des sym\'etries orthogonales par rapport \`a $A$ 
et $B$ commutent et que c'est la sym\'etrie par rapport au sous-espace 
$(A\oplus B)^\perp.$
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On se place dans ${\bf R}^3$. Soit $\sigma_x$ (resp. $\sigma_y)$ la sym\'etrie orthogonale par rapport \`a 
l'axe $<(1,0,0)>$ (resp. $<(0,1,0)>$).
Donner la table de composition du sous-groupe $G\subset O_3$ engendr\'e 
par $\sigma_x$ et $\sigma_y$.
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{\bf Exercice 3.} (G\'en\'erateurs du groupe $O_n.$)
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Confirmer que les matrices 
$$A=\left(\matrix {-{1\over 2}& {\sqrt 3}\over 2\cr
 {\sqrt 3}\over 2& 1\over 2\cr}\right),\quad B=\left(\matrix {{1\over 2}& -{\sqrt 3}\over 2\cr
 {\sqrt 3}\over 2& 1\over 2\cr}\right)$$
appartiennent \`a $O_2$
et d\'eterminer leur d\'ecomposition en un produit de r\'eflexions.
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M\^eme question pour la matrice 
$$C=\left(\matrix { 0& {\sqrt 2}\over 2& -{\sqrt 2}\over 2\cr
0 &{\sqrt 2}\over 2& {\sqrt 2}\over 2\cr
 -1&0&0}\right)$$
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{\bf Exercice 4.} {(\sl Sym\'etries et commutateurs de $O(V)$.)} 
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Rappel: Soit $G$ un groupe. $ \forall x,y\in G$, l'\'el\'ement $[x,y]:=xyx^{-1}y^{-1}$
 est appel\'e commutateur de $x$ et de $y.$ 
Clairement l'inverse d'un commutateur est un commutateur. On notera $[G,G]$ le sous-groupe de
$G$ dont les \'el\'ements sont les produits d'un nombre fini de 
commutateurs.  Le sous-groupe (distingu\'e) $[G,G]$ est appel\'e groupe d\'eriv\'e de $G.$ 
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a - Soit $V$ un espace euclidien de dimension $n$ et $A,\, A'\subset V$ deux sous-espaces vectoriels de m\^eme dimension
$m\le n.$ Montrer qu'il existe une isom\'etrie $\sigma\in O^+ (V)$ telle que 
$\sigma(A)=A'.$
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[{\sl Indication: Utiliser des bases adapt\'ees aux d\'ecompositions $V= 
A\oplus A^\perp= B\oplus B^\perp.$}]
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b - Montrer que la sym\'etrie orthogonale $\sigma_A$ par rapport au sous-espace 
$A$ satisfait
$$f\circ\sigma_A\circ f^{-1}=\sigma_{f(A)},\quad \forall 
f\in O(V).$$
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c - Soient $H,H'$ 2 hyperplans (vectoriels) de $V$ et $\sigma_H,\sigma_{H'}$ les r\'eflexions correspondantes.
Utiliser les questions a  et b pour montrer que $\sigma_H\circ \sigma_{H'}\in 
[O(V), O(V)].$
Conclure \`a l'aide du th\'eor\`eme d'engendrement de $O(V)$ du cours que $O^+(V)=[O(V), O(V)].$
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Soit $ V$ un espace vectoriel r\'eel de dimension $n$ et $B :V\times V\longrightarrow {\bf R}$
une forme bilin\'eaire sym\'etrique.
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Pour $(x_i)_{1\le i\le m}$ et $(y_i)_{1\le i\le m}\in V^m$ on appelle matrice de Gram 
$G(x_1,\cdots , x_m;y_1,\cdots ,y_m)$
la matrice dont la composante $(i,j)$ est $B(x_i, y_j).$  
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{\bf Exercice 5.} 
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 - Montrer que si  $ Det G(x_1,\cdots , x_m;y_1,\cdots ,y_m)\not=0$ 
alors $(x_i)_{1\le i\le m}$ et $(y_i)_{1\le i\le m}$ sont libres.
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 - On suppose $B$ non d\'eg\'en\'er\'ee sur $V.$
Montrer que $(x_i)_{1\le i\le n}$ et $(y_i)_{1\le i\le n}$ sont des bases de $V$ ssi
$ Det G(x_1,\cdots , x_n;y_1,\cdots ,y_n)\not=0.$
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