Le Problème de Napoléon Trouver le centre d’un cercle tracé sans son centre à l’aide du compas seul. Voici les étapes de la construction:

i) Choisir deux points A et E sur le cercle C et tracer le cercle Γ de centre A passant par E. Ce cercle coupe C au point F.

ii) Les cercles de centre E et F passant par A se coupent au point G. iii) Le cercle C’ de centre G passant par A coupe Γ aux points H et K. iv) Les cercles de centre H et K passant par A se coupent en un point O′.

Proposition: Le point O′ coincide avec le centre O du cercle C. Voici une démo: On considère le point I, milieu du segment [G, A] (intersection de la droite (EF) avec

la droite (GA)) et le point I′, milieu du segment [O′, A] (i.e. (HK) ⋂(GA)) On montre que I′ est aussi le point milieu du segment [O, A] ce qui implique O′ = O.

Pour ce faire, on raisonne sur les distances (dans ce qui suit, R_{D} désigne le rayon du cercle D) Rappel: l’axe radical de deux cercles est l’ensemble des points ayant même puissance par rapport aux

deux cercles. Si c et c′ sont les centres et R et R′ les rayons de ces cercles, l’axe radical est l’ensemble des points M tels que

2(\overrightarrow{cc′} | \overrightarrow{cM}) = R^{2} − R^{′2} + (\overrightarrow{cc′} | \overrightarrow{cc′}).

Puisque I est sur l’axe radical de Γ et C et I′ sur l’axe radical de Γ et C′, on a

d(A, I) = R_{Γ}^{2}/2R_{C}, d(A, I′) = R_{Γ}^{2}/2R_{C′}.

Puisque I est équidistant de A et de G, on a aussi d(A, I) = R_{C′}/2. D’ où R_{C′}/2 = R_{Γ}^{2}/2R_{C} i.e.

R_{C}/2 = R_{Γ}/2R_{C′} = d(A, I′).

Conclusion: I′ est à mi-distance entre O et A. C’est donc le point milieu du segment [O, A].

Voici un exemple un peu anecdotique d’utilisation de la formule d’Euler s − a + f = 2 (cf Audin par exemple)

Peut-on utiliser uniquement des hexagones pour couvrir une sphère (aucune hypothèse n’étant faite sur la régularité des hexagones et le nombre d’aretes attachées à chaque sommet).

réponse: chaque faces a 6 arètes et chaque arète appartient à deux faces: 2a = 6f. Euler donne alors 3s = 6 + 2a. Enfin puisque le nombre a_{s} d’arètes attachées à chaque sommet est supérieur à 3, on a 3s ≤ ∑_{s} a_{s} = 2a (puisque chaque arète a deux sommets).

Réponse: non.