


{\bf Le Probl\`eme de Napol\'eon} 
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Trouver le centre d'un cercle trac\'e sans son centre \`a l'aide du compas 
seul.
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Voici les \'etapes de la construction: 

i) Choisir deux points $A$ et $E$ 
sur le cercle $C$ et tracer le cercle $\Gamma$ de centre $A$ passant 
par $E$. Ce cercle coupe $C$ au point $F.$

ii) Les cercles de centre $E$ et $F$ passant par $A$ se coupent au 
point $G.$

iii) Le cercle C' de centre $G$ passant par $A$ coupe $\Gamma$ aux points
$H$ et $K.$

iv) Les cercles de centre $H$ et $K$ passant par $A$ se coupent en un 
point $O'.$
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Proposition: Le point $O'$ coincide avec le centre $O$ du cercle $C.$
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Voici une d\'emo:
 On consid\`ere le point $I$, 
milieu du segment $[G,A]$ (intersection de la droite (EF) avec la droite 
(GA)) et le point $I'$, milieu du segment $[O',A]$ (i.e. $(HK)\bigcap (GA)$)
On montre que $I'$ est aussi le point milieu du segment $[O,A]$ ce qui 
implique $O'=O.$
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Pour ce faire, on raisonne sur les distances (dans ce qui suit, $R_D$ d\'esigne
le rayon du cercle $D$) 
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Rappel: l'axe radical de deux cercles est l'ensemble des points ayant 
m\^eme puissance par rapport aux deux cercles.
Si $c$ et $c'$ sont les centres et $R$ et $R'$ les rayons de ces cercles, 
l'axe radical est l'ensemble des points $M$ tels que
$$2({\overrightarrow {cc'}}\mid {\overrightarrow {cM}})= R^2- R'^2 +  
({\overrightarrow 
{cc'}}\mid {\overrightarrow {cc'}}).$$
Puisque $I$ est sur l'axe radical de $\Gamma$ et $C$ et $I'$ sur l'axe 
radical de $\Gamma$ et $C'$, on a
 $$d(A,I)= R_{\Gamma}^2/2 R_{C},\quad\quad d (A, I')= R_\Gamma^2/ 2 R_{C'}.$$
Puisque $I$ est \'equidistant de $A$ et de $G$, on a aussi 
$d(A,I)= R_{C'}/2.$ D' o\`u
$R_{C'}/2= R_{\Gamma}^2/2R_{C}$ i.e. 
$$R_{C}/2 = R_{\Gamma}/2 R_{C'}= d(A, 
I').$$ 
Conclusion: $I'$ est \`a mi-distance entre $O$ et $A.$ C'est donc le point 
milieu du segment $[O, A].$

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Voici un exemple un peu anecdotique d'utilisation de la formule d'Euler
$s-a+f=2$ (cf Audin par exemple)
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Peut-on utiliser uniquement des hexagones (convexes, c'est-\`a-dire dont les angles sont strictement $<\pi$) pour couvrir une 
sph\`ere (aucune hypoth\`ese n'\'etant faite sur la r\'egularit\'e des 
hexagones et le nombre d'ar\^etes attach\'ees \`a chaque sommet).
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r\'eponse: chaque faces a 6 ar\^etes et chaque ar\^ete appartient \`a deux 
faces: $2a=6f.$
Euler donne alors $3s=6+2a$. Enfin puisque le nombre $a_s$ d'ar\^etes 
attach\'ees \`a chaque sommet est sup\'erieur \`a 3, on a
$3s\le \sum_s a_s=2 a$ (puisque chaque ar\^ete a deux sommets).
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R\'eponse: non.


  






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