Université Lyon 1 L3 Mathématiques

Géométrie élémentaire

Partiel du 15 novembre 2006 2 heures sans document

\underline{Problème}

On considère l’espace affine R^{3}.

Un triplet (D_{1}, D_{2}, D_{3}) de droites affines de R^{3} de vecteurs directeurs respectifs u⃗_{1}, u⃗_{2}, u⃗_{3} est appelé un triplexe si ι) D_{1} ∩ D_{2} = D_{1} ∩ D_{3} = D_{2} ∩ D_{3} = ∅ ιι) (u⃗_{1}, u⃗_{2}, u⃗_{3}) est une base de l’espace vectoriel R^{3}.

Dans la Partie A, on se propose d’étudier l’opération du groupe des bijections affines GA(R^{3}) sur l’ensemble des triplexes de R^{3}.

Dans ce qui suit, la direction d’un sous-espace affine A ⊂ R^{3} est notée \overrightarrow{A}.

\underline{Partie A}

\underline{Question 1} Montrer que l’image (f(D_{1}), f(D_{2}), f(D_{3})) de tout triplexe (D_{1}, D_{2}, D_{3}) par une bijection affine f ∈ GA(R^{3}) est un triplexe.

\underline{Question 2} Rappeler une condition nécessaire et suffisante pour que deux sous-espaces affines A et A′ de R^{3} soient d’intersection non vide.

\underline{Question 3} Pour un triplexe (D_{1}, D_{2}, D_{3}) on désigne par P_{i,j}, i < j, le plan affine contenant D_{i} et de direction \overrightarrow{P_{i,j}} = \overrightarrow{D_{i}} + \overrightarrow{D_{j}}.

a) Montrer que D_{1} coupe P_{2,3} en un point a_{1}, que D_{2} coupe P_{1,3} en un point a_{2} et que D_{3} coupe P_{1,2} en un point a_{3}.

b) Montrer qu’il existe trois vecteurs v⃗_{i} ∈ \overrightarrow{D_{i}}, 1 ≤ i ≤ 3, tels que

\overrightarrow{a_{1}a_{2}} = v⃗_{3}, \overrightarrow{a_{1}a_{3}} = v⃗_{1} + v⃗_{2}.

Montrer ensuite que v⃗_{i} ≠ 0, 1 ≤ i ≤ 3. [Pour l’existence, observer qu’on a aussi a_{2} ∈ P_{2,3}, a_{1} ∈ P_{1,3} et a_{1} ∈ P_{1,2}.] Pour la suite, on notera R_{(D_{1},D_{2},D_{3})} la base affine (a_{1}, a_{1} + v⃗_{1}, a_{1} + v⃗_{2}, a_{1} + v⃗_{3}) ainsi construite.

\underline{Question 4} Soient (D′_{1}, D′_{2}, D′_{3}) un second triplexe, P′_{i,j}, i < j, (resp. a′_{i}) les plans (resp. les points d’intersection) définis comme à la question 3. On suppose que f est une bijection affine telle que f(D_{i}) = D′_{i}, 1 ≤ i ≤ 3.

a) Montrer que f(P_{i,j}) = P′_{i,j}.

b) Montrer que f(a_{i}) = a′_{i}, 1 ≤ i ≤ 3, et ensuite que f(R_{(D_{1},D_{2},D_{3})}) = R_{(D′_{1},D′_{2},D′_{3})}. [Pour les repères, calculer L_{f}(\overrightarrow{a_{1}a_{2}}) et L_{f}(\overrightarrow{a_{1}a_{3}}).]

c) En déduire qu’il existe au plus une bijection affine f telle que f(D_{i}) = D′_{i}, 1 ≤ i ≤ 3.

\underline{Question 5}

a) En conclusion, montrer que l’opération

ϕ : GA(R^{3}) × T → T : (D, D′, D′′) ↦ (f(D), f(D′), f(D′′))

du groupe affine sur l’ensemble T des triplexes est transitive et simple.

b) Peut-on aussi conclure qu’il en est de même pour tout espace affine réel de dimension 3? [Justifier votre réponse.]

\underline{Partie B}

Soit (e⃗_{1}, e⃗_{2}, e⃗_{3}) la base canonique de R^{3}. On considère le cube C = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) | 0 ≤ x_{i} ≤ 1, 1 ≤ i ≤ 3}. Pour la suite du problème, on fixe un triplexe de référence (D_{i})_{1≤i≤3} en choisissant trois arêtes du cube C comme suit: D_{1} est la droite affine passant par (0, 0, 1) et dirigée par e⃗_{1} D_{2} est la droite affine passant par (1, 0, 0) et dirigée par e⃗_{2} D_{3} est la droite affine passant par (0, 1, 0) et dirigée par e⃗_{3}

\underline{Question 1} Faire une figure.

On se propose dans cette partie d’étudier l’ensemble des bijections affines qui stabilisent la réunion T = D_{1} ∪ D_{2} ∪ D_{3} des droites du triplexe de référence (D_{1}, D_{2}, D_{3}).

\underline{Question 2}

a) Montrer que l’ensemble G_{T} des bijections affines f ∈ GA(R^{3}) telles que f(T) = T est un sous-groupe du groupe affine GA(R^{3}). b) Montrer que si f ∈ G_{T}, alors quel que soit i ∈ {1, 2, 3}, il existe j ∈ {1, 2, 3} tel que f(D_{i}) = D_{j}.

c) En déduire, à l’aide de la partie A, que le groupe G_{T} est isomorphe au groupe des permutations de l’ensemble {D_{1}, D_{2}, D_{3}}. [On demande une argumentation claire.]

Hors Barème

\underline{Question 3}

a) Soit f ∈ G_{T} l’ application telle que f(D_{1}) = D_{2}, f(D_{2}) = D_{1} et f(D_{3}) = D_{3}. Expliciter f à l’aide de la partie A. Montrer ensuite que f stabilise l’ensemble des sommets du cube C. On admettra que l’application h ∈ G_{T} telle que h(D_{1}) = D_{1}, h(D_{2}) = D_{3} et h(D_{3}) = D_{2} stabilise aussi les sommets du cube.

b) Déduire de ce qui précède que toute bijection k ∈ G_{T} stabilise l’ensemble des sommets du cube C et qu’il existe un point fixe a^{⋆} ∈ R^{3} commun à tous les éléments de G_{T} que l’on déterminera.

\underline{Question 4} (Le cas général)

Soit maintenant (D, D′, D′′) un triplexe arbitraire de R^{3}. En guise de conclusion, que peuton dire du sous-groupe des bijections affines f telles que f(D ∪ D′ ∪ D′′) = D ∪ D′ ∪ D′′? [Justifier votre réponse.]