L3 Mathématiques 2007/2008 UNIVERSITE LYON 1

Géométrie élémentaire Fiche 2.

Exercice 1.

1) Soient deux espaces vectoriels V et W, l : V ⟶ W une application linéaire et b⃗ ∈ W. Montrer que l’ensemble des solutions x⃗ de l’équation linéaire

l(x⃗) = b⃗

s’il n’est pas vide, est un espace affine dont on déterminera la direction. En voici quelques exemples usuels:

2) Soient (a_{0}, a_{1}, …, a_{n}) ∈ R^{n+1} et ψ : R → R une application continue. L’ensemble des applications ϕ : R → R de classe C^{n} qui sont solutions de l’équation

a_{n} \frac{d^{n}}{dx^{n}} ϕ + a_{n−1} \frac{d^{n−1}}{dx^{n−1}} ϕ + ⋯ + a_{0}ϕ = ψ

est-il un espace affine? Dans l’affirmative, quelle est sa dimension lorsque n = 2?

3) Soient (a_{0}, a_{1}, …, a_{k−1}) ∈ R^{k} et b ∈ R. L’ensemble des suites (u_{n})_{n∈N} de nombres réels vérifiant

u_{n+k} + a_{k−1}u_{n+k−1} + ⋯ + a_{1}u_{n+1} + a_{0}u_{n} = b

est-il un espace affine?

4) Même question pour l’ensemble des applications f : R → R vérifiant f(x+1) = f(x)+1, ∀x ∈ R.

Exercice 2. On considère R^{3} = {(x, y, z) | x, y, z ∈ R}, P_{0} le plan d’équation z = 0 et P_{1} le plan d’équation z = 1. On désigne par P^{⋆} l’ensemble des droites vectorielles supplémentaires de P_{0} dans R^{3}. a- Faire une figure. b- Donner une bijection de P^{⋆} sur P_{1}. En déduire, en revenant à la définition en terme de translations, que P^{⋆} est un espace affine de direction P_{0}. c- Question^{⋆}: Comparer P^{⋆} et la sphère unité S_{2} de R^{3}. [Penser à la projection stéréographique.]

Exercice 3. Soit X un espace affine réel de direction V, f : X ⟶ X une application affine et

X_{f} := {x ∈ X, f(x) = x}

l’ensemble des points fixes de f. a - Montrer que X_{f} ⊂ X est soit vide soit un sous-espace affine de X dont on déterminera la direction. b - Soit D une droite affine. Montrer que si f : D → D est affine et admet deux points fixes, alors f est l’application identité. c - Soit P un plan affine et D, D′ ⊂ P deux droites affines distinctes, sécantes en O ∈ P et de directions respectives ku⃗, ku′. Au point M = O + \overrightarrow{OM} = O + xu⃗ + yu′ on associe p(M) défini par \overrightarrow{Op(M)} = xu⃗. L’application p est la projection sur D parallèlement à D′.

- Faire un dessin de la situation.

- Montrer que p est une application affine.

- Déterminer l’ensemble des points fixes de p.

- Une application affine f : P → P admettant deux points fixes est -elle l’identité? d - Soit A, B, C trois points non alignés du plan P. On note h_{1} la projection sur la droite (BC) parallèlement à la droite (CA) h_{2} la projection sur la droite (CA) parallèlement à la droite (AB) h_{3} la projection sur la droite (AB) parallèlement à la droite (BC) On pose h = h_{3} ∘ h_{2} ∘ h_{1} et f = h ∘ h.

- Faire une figure.

- Montrer que la restriction de f à la droite (AB) est l’identité. Décrire l’application f : P → P.

Exercice 4. (Symétries affines.) a - Une application affine σ : X → X telle que σ ∘ σ = 1 est appelée une symétrie de X. On aimerait obtenir une version affine de l’exercice 6 fiche 1. On procède comme suit:

- Soit M un point de X. Montrer que le point milieu du segment [M, σ(M)] := \{M +t \overrightarrow{Mσ(M)}, t ∈ [0, 1]} est un point fixe de σ.

- Donner l’ensemble des points fixes de σ.

- Donner deux sous -espaces L_{σ}-stables V_{+} et V_{−} tels que \overrightarrow{X} = V_{+} ⊕ V_{−}. Conclure en explicitant σ(M) pour tout M ∈ X. b - (Illustration) Donner la classification des symétries de R^{2} et de R^{3} en fonction de la dimension du sous-espace de leurs points fixes.

Exercice 5. (Symétries affines, suite.) Soit P_{1}, ⋯ P_{n}, n points de l’espace affine X. On se pose la question suivante: Peut-on trouver n points M_{1}, ⋯, M_{n} de X tels que pour tout i ≤ n − 1, P_{i} soit le point milieu du segment [M_{i}, M_{i+1}] et P_{n} le point milieu du segment [M_{n}, M_{1}] ? Voici une manière de répondre. Toute symétrie σ distincte de l’identité admet un unique point fixe ; c’est son centre. Soit σ_{i} la symétrie de centre P_{i}. a - Montrer que pour tout i ≥ 2, M_{i} = σ_{i−1} ∘ σ_{i−2} ∘ ⋯ ∘ σ_{1}(M_{1}). En déduire que la question admet une solution ssi σ_{n} ∘ σ_{n−1} ∘ ⋯ ∘ σ_{1} admet un point fixe. b - Montrer que si n est impair il y a une solution unique.

Si n est pair, donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe au moins une solution. Est-elle unique?

c - Illustration sur R^{2} : Faire la construction explicite pour P_{1} = (−1, 1), P_{2} = (0, 1/2), P_{3} = (1, 1), P_{4} = (1, −1), P_{5} = (−1, −1) ainsi que pour l’hexagone régulier.

d - Déduire qu’étant donnés trois points P, Q, R, il existe un unique triangle dont le milieu des côtés sont ces points. Montrer que pour que quatre points soient les milieux des côtés d’un quadrilatère il faut et il suffit qu’ils soient les sommets d’un parallélogramme.

Exercice 6. Soit (X, V) un espace affine de direction V de dimension n sur R.

a- Décrire l’ensemble des applications affines de X qui transforment toute droite en une droite parallèle.

b- Montrer que l’ensemble H des bijections affines f de X pour lesquelles L_{f} = ρ Id_{V} , ρ ∈ k^{⋆}, est un sous-groupe du groupe affine GA(X). Ce sous-groupe est appelé le groupe des homothéties-translations de X.

c- Décrire GA(X) lorsque n = 1.

d- Montrer que h ∈ H \ {Id_{X}} admet un point fixe I ssi ρ ≠ 1 ; montrer que I est l’unique point fixe de h. On dit que ρ est le rapport et I le centre de l’homothétie h.

e- Pour rappel, on dit que deux applications f, f′ : X → X commutent si quel que soit x ∈ X, f(f′(x)) = f′(f(x)).

Deux éléments h, h′ ∈ H \ {Id_{X}} commutent-ils?

f- Montrer que si les points A, B, C sont alignés il existe h ∈ H telle que h(A) = A et h(B) = C. h est-elle unique?

g- Le théorème de Desargues. Utiliser les homothéties-translations pour démontrer l’énoncé suivant: Soient ABC et A′B′C′ deux triangles sans sommet commun et à côtés respectivement parallèles. Alors les droites (AA′), (BB′), (CC′) sont concourantes ou parallèles.

Exercice 7. (Extrait du partiel d’avril 2006)

Soient E un plan affine de direction E muni d’un produit scalaire ( | ) et h, h′ deux homothéties de E de rapports respectifs ρ ≠ 1 et ρ′ ≠ 1 et de centres I, I′ avec I ≠ I′.

1) a) Montrer que quel que soit m ∈ E \ {I}, I appartient à la droite (m h(m)).

b) On suppose ρρ′ ≠ 1. Prouver que h ∘ h′ est une homothétie dont le centre I′′ appartient à la droite (I I′). (On ne demande pas d’expliciter I′′.)

2)

a) Soient C = \{m ∈ E | (\overrightarrow{cm} | \overrightarrow{cm}) = R^{2}\} le cercle de centre c et de rayon R et h une homothétie de E (de centre I et de rapport ρ). Montrer que h(C) est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon. b) Soient C et C′ deux cercles de E de centres c et c′ et de rayons R et R′ avec R ≠ R′. Montrer qu’il y a exactement deux homothéties h^{±} (h^{+} de rapport positif et h^{−} de rapport négatif) telles que h^{±}(C) = C′.

c) Donner une construction géométrique simple des centres I^{±} des homothéties h^{±}.

3) On considère à présent trois cercles C_{1}, C_{2}, C_{3} de E de centres et de rayons respectifs c_{1}, c_{2}, c_{3} ; R_{1}, R_{2}, R_{3}. Les centres et les rayons sont supposés deux à deux distincts. Soient h_{i}^{±}, 1 ≤ i ≤ 3, les homothéties telles que

h_{3}^{±}(C_{1}) = C_{2}, h_{1}^{±}(C_{2}) = C_{3}, h_{2}^{±}(C_{3}) = C_{1}

On notera I_{i}^{±} les centres de h_{i}^{±}, 1 ≤ i ≤ 3.

a) Représenter les six centres d’homothéties I_{i}^{±} sur la figure annexe 2.

b) Déterminer h_{2}^{+} ∘ h_{1}^{−} ∘ h_{3}^{−}.

c) En déduire que les points I_{1}^{−}, I_{2}^{+}, I_{3}^{−} sont alignés.

d) En procédant par analogie, montrer que les points I_{1}^{+}, I_{2}^{+}, I_{3}^{+} sont alignés.

Exercice 8. (Extrait du partiel d’avril 2004).

Soit P un plan affine réel. On se donne quatre droites de P telles que deux quelconques d’entre elles ne soient pas parallèles et trois quelconques d’entre elles ne soient pas concourantes. Soit (A, B, C, D, E, F) l’ensemble de leurs six points d’intersection avec: A, B, C alignés, de même que C, D, E; E, F, B; A, F, D.

1) Faire une figure, que l’on complétera au fur et à mesure.

Soit I (resp. J, resp. K) le milieu de A et E (resp. B et D, resp. C et F). Il s’agit de démontrer que les trois points I, J et K sont alignés.

2) Soient h l’homothétie de centre A et de rapport 2, β = h(J) et α = h(K). Soient h_{1} l’homothétie de centre E telle que h_{1}(F) = B et h_{2} l’homothétie de centre E telle que h_{2}(C) = D.

3) a) Démontrer que l’homothétie h_{1} ∘ h_{2} transforme la droite (αC) en la droite (βB). b) Démontrer l’homothétie h_{2} ∘ h_{1} transforme la droite (αF) en la droite (βD).

4) Comparer les homothéties h_{1}∘_{2} et h_{2} ∘ h_{1} et en conclure que les trois points I, J, K sont alignés.