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L3 Math\'ematiques 2007/2008
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UNIVERSITE LYON 1


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$$\eqalign {& {\hbox {\bf G\'eom\'etrie \'el\'ementaire } }\cr
&\hskip 25 pt{\hbox { \bf Fiche 2.}}\cr }$$
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{\bf Exercice 1.}
\smallskip 
1)  Soient deux espaces vectoriels $V$ et $W$, $l: V\longrightarrow W$ une application 
lin\'eaire et $\vec b\in W.$ Montrer que l'ensemble des solutions $\vec x$ de l'\'equation lin\'eaire 
$$l(\vec x)= \vec b$$
 s'il n'est pas vide, est
un espace affine dont on d\'eterminera la direction.
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En voici quelques exemples usuels:
\smallskip
2) Soient
$(a_0, a_1, \dots , a_n)\in {\bf R}^{n+1}$ et $\psi: {\bf R} \rightarrow 
{\bf R}$ une application 
continue.
\smallskip
L'ensemble des applications $\phi:{\bf R} \rightarrow {\bf R}$ de classe 
$C^n$ qui sont solutions de l'\'equation
$$a_n {d^{n}\over dx^n}\phi + a_{n-1} {d^{n-1}\over dx^{n-1}}\phi + \cdots + 
a_0 \phi= \psi$$
est-il un espace affine? Dans l'affirmative, quelle est sa dimension 
lorsque $n=2$? 
\smallskip
3) Soient $(a_0, a_1, \dots, a_{k-1})\in {\bf R}^{k}$
et $b\in {\bf R}.$ 
L'ensemble des suites $(u_n)_{n\in {\bf N}}$ de nombres r\'eels v\'erifiant
$$u_{n+k} + a_{k-1} u_{n+k-1} + \cdots + a_1 u_{n+1} +a_0 u_n= b$$
est-il un espace affine?
\smallskip 
4) M\^eme question pour l'ensemble des applications 
$f:{\bf R}\rightarrow {\bf R}$ v\'erifiant $f(x+1)= f(x)+1,\,\forall x\in {\bf R}$.
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{\bf Exercice 2.} On consid\`ere ${\bf R}^3= \{ (x,y,z) \mid x,y,z\in {\bf R}\}$, 
$ P_0$ le plan d'\'equation $z=0$ et $P_1$ le plan 
d'\'equation $z=1.$

On d\'esigne par $\bf P^\star$ l'ensemble des droites vectorielles suppl\'ementaires
de $ P_0$ dans ${\bf R}^3.$
\smallskip 
a- Faire une figure.
\smallskip
b- Donner une bijection de ${\bf P^\star}$ sur $P_1$.
En d\'eduire, en revenant \`a la d\'efinition en terme de translations, que
${\bf P^\star}$ est un espace affine de direction $P_0.$
\smallskip
c- {\sl Question$^\star$:}  Comparer ${\bf P^\star}$ et la 
sph\`ere unit\'e $S_2$ de ${\bf 
R}^3.$
\smallskip
{\sl [Penser \`a la projection st\'er\'eographique.]}
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{\bf Exercice 3.} 
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Soit $X$ un espace affine r\'eel de direction $V,\, f:X\longrightarrow X$ une application affine
et 
$$X_f:=\{x\in X,\,\, f(x)=x\}$$ l'ensemble des points fixes de $f.$
\smallskip
a - Montrer que $X_f\subset X$ est soit vide soit un sous-espace affine de $X$ dont on d\'eterminera la direction.
\smallskip
b - Soit $D$ une droite affine. Montrer que si $f:D\rightarrow D$
est affine et admet deux points fixes, alors $f$ est l'application identit\'e.
\smallskip
c - Soit $P$ un plan affine et $D,D'\subset P$ deux droites affines distinctes, s\'ecantes en $O\in P$
et de directions respectives $k\vec u,\, k\vec u'.$ Au point $M=O+{\overrightarrow 
{OM}}=O+x\vec u+y\vec u'$
on associe $p(M)$ d\'efini par ${\overrightarrow {Op(M)}}=x\vec u.$ L'application $p$ est la projection
sur $D$ parall\`element \`a $D'.$
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- Faire un dessin de la situation.
\smallskip
- Montrer que $p$ est une application affine.
\smallskip
- D\'eterminer l'ensemble des points fixes de $p.$
\smallskip
- Une application affine $f:P\rightarrow P$ admettant deux points fixes est -elle l'identit\'e?
\smallskip
d - Soit $A,B,C$ trois points non align\'es du plan $P.$ On note
\smallskip
$h_1$ la projection sur la droite $(BC)$ parall\`element \`a la droite $(CA)$

$h_2$ la projection sur la droite $(CA)$ parall\`element \`a la droite $(AB)$

 
$h_3$ la projection sur la droite $(AB)$ parall\`element \`a la droite $(BC)$

On pose $h=h_3\circ h_2\circ h_1$ et $f=h\circ h.$
\smallskip
- Faire une figure.
\smallskip
- Montrer que la restriction de $f$ \`a la droite $(AB)$ est l'identit\'e.
D\'ecrire l'application $f:P\rightarrow P$. 
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{\bf Exercice 4.} (Sym\'etries affines.)
\smallskip
a - Une application affine $\sigma: X\rightarrow X$ telle que $\sigma\circ \sigma= 1$ est appel\'ee une sym\'etrie de $X.$
On aimerait obtenir une version affine de l'exercice 6 fiche 1. On proc\`ede comme suit:
\smallskip
- Soit $M$ un point de $X.$ Montrer que le point milieu du segment $[M,\sigma 
(M)]:=\{M+t\, {\overrightarrow {M\sigma (M)}},\, t\in [0,1]\}$
est un point fixe de $\sigma.$ 
\smallskip
- Donner l'ensemble des points fixes de $\sigma$.
\smallskip
- Donner deux sous -espaces $L_\sigma$-stables $V_+$ et $V_-$ tels que ${\overrightarrow X}=V_+\oplus V_-.$ 
Conclure en explicitant $\sigma (M)$ pour tout $M \in X.$
\medskip
b - (Illustration)  Donner la classification des sym\'etries de ${\bf R}^2$ et de ${\bf R} ^3$ en fonction de la dimension du sous-espace de leurs points
fixes.  
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{\bf Exercice 5.} (Sym\'etries affines, suite.)
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Soit $P_1,\cdots P_n,\, n$ points de l'espace affine $X.$ On se pose la question suivante:
\medskip
{\sl Peut-on trouver $n$ points $M_1,\cdots , M_n$ de $X$ tels que pour tout $ i\le n-1$, $P_i$ soit le point
milieu du segment $[M_i,M_{i+1}]$ et $P_n$ le point milieu du segment 
$[M_n,M_1]\,?$}
\medskip
Voici une mani\`ere de r\'epondre.
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Toute sym\'etrie $\sigma$ distincte de l'identit\'e admet un unique point fixe ; c'est son \emph{centre}.
Soit $\sigma_i$ la sym\'etrie de centre $P_i.$
\smallskip
a - Montrer que pour tout $i\ge 2,\, M_i= \sigma_{i-1}\circ \sigma_{i-2}\circ 
\cdots \circ   \sigma_1 (M_1).$
\smallskip
En d\'eduire que la question admet une solution ssi $\sigma_n\circ \sigma_{n-1}\circ \cdots \circ \sigma_1$ admet un point fixe.
\medskip
b - Montrer que si $n$ est impair il y a une solution unique.
\smallskip
Si $n$ est pair, donner une condition n\'ecessaire et suffisante pour qu'il existe au moins une solution. Est-elle unique?
\medskip
c - Illustration sur ${\bf R}^2$ : Faire la construction explicite pour 
$P_1=(-1,1), P_2=(0, 1/2), P_3= (1,1), P_4= (1,-1), P_5= (-1,-1)$
ainsi que pour l'hexagone r\'egulier.
\medskip
d - D\'eduire qu'\'etant donn\'es trois points $P,Q,R,$ il existe un unique triangle dont le milieu des c\^ot\'es sont ces points.
\smallskip
Montrer que pour que quatre points soient les milieux des c\^ot\'es d'un quadrilat\`ere il faut et il suffit 
qu'ils soient les sommets d'un parall\'elogramme.
\bigskip
\bigskip
{\bf Exercice 6.} Soit $(X,V)$ un espace affine de direction $V$ de dimension 
$n$ sur $\bf R$.
\medskip
a-  D\'ecrire l'ensemble des applications affines de $X$ qui transforment
toute droite en une droite parall\`ele. 
\bigskip
b- Montrer que l'ensemble $\cal H$ des bijections affines $f$ de $X$ 
pour lesquelles $L_f=\rho\, Id_V ,\, \rho\in {\bf k}^\star$,
est un sous-groupe du groupe affine $GA(X)$.
\smallskip
Ce sous-groupe est appel\'e le {\sl groupe des homoth\'eties-translations} de 
$X$.
\bigskip
c- D\'ecrire $GA(X)$ lorsque $n=1.$
\bigskip
d- Montrer que $h\in {\cal H}\setminus \{Id_X\}$ admet un point fixe $I$ ssi 
$\rho\not= 1$ ;
montrer que $I$ est l'unique point fixe de $h.$

\smallskip
On dit que $\rho$ est le rapport et $I$ le centre de l'homoth\'etie $h.$


\medskip
e- Pour rappel, on dit que deux applications $f,f':X\rightarrow X$ commutent 
si quel que soit $x\in X, \, f (
f'(x))= f'(f (x)).$ 
\medskip
 Deux \'el\'ements $h,h'\in {\cal H}\setminus \{Id_X\}$ commutent-ils?
\medskip
f- Montrer que si les points $A,B,C$ sont align\'es il existe $h\in {\cal H}$
telle que $h(A)= A$ et $h(B)= C$. $h$ est-elle unique? 
\medskip
g- {\sl Le th\'eor\`eme de Desargues.}
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Utiliser les homoth\'eties-translations pour d\'emontrer 
l'\'enonc\'e suivant:
\smallskip
{\sl Soient $ABC$ et $A'B'C'$ deux triangles sans sommet commun et 
\`a c\^ot\'es respectivement parall\`eles. Alors les droites $(AA'), 
(BB'), (CC')$ sont concourantes ou parall\`eles.} 
\bigskip
{\bf Exercice 7.} (Extrait du partiel d'avril 2006)
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Soient $\cal E$ un plan affine de direction $E$ muni d'un produit scalaire 
$\big(\, \mid \, \big)$ et $h,h'$ deux homoth\'eties de $\cal E$ de rapports respectifs 
$\rho\not=1$ et 
$\rho'\not=1$
et de centres $I, I'$ avec $I\not=I'.$ 
\smallskip
1) a) Montrer que quel que soit $m\in {\cal E}\setminus \{I\}$, 
$I$ appartient \`a la droite $(m\, h(m)).$
\smallskip 
b) On suppose $\rho \rho'\not= 1 .$ Prouver que $h \circ h'$ est une homoth\'etie dont le centre $I''$ appartient \`a la droite $(I 
\, I').$ (On ne demande pas d'expliciter $I''.$)
\medskip
2) 

a) Soient $C=\{m\in {\cal E}\mid\, ({\overrightarrow {cm}} \mid\, 
{\overrightarrow {cm}})= R^2\}$ le cercle de centre $c$ et de rayon $R$
et $h$ une homoth\'etie de $\cal E$ (de centre $I$ et de rapport 
$\rho$).
Montrer que $h(C)$ est un cercle dont on d\'eterminera le centre et le 
rayon.
\smallskip
b) Soient $C$ et $C'$ deux cercles de $\cal E$ de centres $c$ et $c'$ et de 
rayons $R$ et $R'$ avec $R\not= R'.$
Montrer qu'il y a exactement deux homoth\'eties $h^\pm$ ($h^+$ de rapport positif 
et $h^-$ de rapport n\'egatif) telles que $h^\pm (C)=C'.$
\smallskip
c) Donner une construction g\'eom\'etrique
simple des centres $I^\pm$ des homoth\'eties $h^\pm.$
\medskip
3) On consid\`ere \`a pr\'esent trois cercles $C_1, C_2, C_3$ de $\cal E$ 
de centres et de rayons respectifs $c_1, c_2, c_3$ ;

$ R_1, R_2, R_3$. Les centres et les rayons sont suppos\'es deux \`a deux distincts.
Soient $h_i^\pm, 1\le i\le 3,$ les homoth\'eties 
telles que 
$$h_3^\pm (C_1)= C_2,\quad h_1^\pm (C_2)= C_3,\quad h_2^\pm (C_3)= C_1$$
On notera $I_i^\pm$ les centres de $h_i^\pm, \, 1\le i\le 3.$
\medskip
a) Repr\'esenter les six 
centres d'homoth\'eties $I_i^\pm$ sur la figure annexe 2.
\smallskip
b) D\'eterminer $ h_2^+\circ h_1^-\circ h_3^-.$ 

\smallskip
c) En d\'eduire que
les points $ I_1^-, I_2^+,  I_3^-$ sont align\'es.
\smallskip
d) En proc\'edant par analogie, montrer que les points $I_1^+, I_2^+, I_3^+$ sont align\'es.
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{\bf Exercice 8.} (Extrait du partiel d'avril 2004).
\medskip
Soit  $\cal P$ un plan affine r\'eel.
On se donne quatre droites de $\cal P$ telles que deux quelconques d'entre 
elles ne soient pas parall\`eles et trois quelconques d'entre elles ne 
soient pas concourantes. Soit $(A,B,C,D,E,F)$ l'ensemble de leurs six 
points d'intersection avec: $A,B,C$ align\'es, de m\^eme que $C,D,E$; 
$E,F,B$; $A,F,D.$
\bigskip
\hskip 10 pt 1) Faire une figure, que l'on compl\'etera au fur et \`a mesure.
\medskip
\hskip 10 pt Soit $I$ (resp. $J$, resp. $K$) le milieu de $A$ et $E$ 
(resp. $B$ et $D$, resp. $C$ et $F$). Il s'agit de d\'emontrer que les trois points $I, J$ et $K$ sont align\'es.

\medskip 2) 
Soient $h$ l'homoth\'etie de centre 
$A$ et de rapport $2$, $\beta= h (J)$ et $\alpha= h(K).$ Soient $h_1$ 
l'homoth\'etie de centre $E$ telle que $h_1 (F)= B$ et $h_2$ 
l'homoth\'etie de centre $E$ telle que $h_2 (C)= D.$
\medskip

\hskip 10 pt 3) a) D\'emontrer que l'homoth\'etie $h_1 \circ h_2$ transforme la droite $(\alpha C)$ en la droite $(\beta B)$.
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\hskip 20 pt b) D\'emontrer l'homoth\'etie $h_2 \circ h_1$ transforme la droite $(\alpha F)$ en la droite $(\beta D)$.
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\hskip 10 pt 4) Comparer les homoth\'eties $h_1 \circ \h_2$ et $h_2 \circ h_1$ et en conclure que les trois points $I, J, K$ sont align\'es.
\end
\bigskip



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