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LICENCE DE MATHEMATIQUES

UNIVERSITE LYON 1

Ann\'ee 2007/2008
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$$\eqalign {& {\hbox {\bf G\'eom\'etrie \'el\'ementaire } }\cr
&\hskip2pt{\hbox { \bf Corrig\'e de la fiche 3}}\cr }$$
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{\bf Exercice 1.}
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Notons $H_0$ l'hyperplan (vectoriel) de $R^{n+1}$ d'\'equation $ \sum_{i=0}^na_i = 0$. L'hyperplan $H_0$ est la direction de l'hyperplan affine $H$ (cf. question 1 de l'exercice 1 de la feuille 2).
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- Soit $x \in X$. On cherche $(a_0,\ldots, a_n) \in {\bf R}^{n+1} \setminus H_0$ tel que $x = Bar\big((p_i,a_i)_{0\le i \le n}\big)$. Or si on note $(x_1,\ldots,x_n)$ les coordonn\'ees de $x$ dans le rep\`ere affine $(p_0,\ldots,p_n)$, on a par d\'efinition $ \overrightarrow{p_0x} = \sum_{i=1}^nx_i\overrightarrow{p_0p_i}$. En utilisant les relations de Chasles $\overrightarrow{p_0p_i} =  \overrightarrow{p_0x} + \overrightarrow{xp_i}$, on obtient l'\'egalit\'e $ \overrightarrow{0} = \Big(1-\sum_{i=1}^nx_i\Big)\overrightarrow{xp_0}+ \sum_{i=1}^nx_i\overrightarrow{xp_i}$. Donc le $(n+1)$-uplet $ (a_0,a_1,\ldots, a_n) = (1-\sum_{i=1}^nx_i, x_1,\ldots,x_n)$ convient.
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- On vient en fait de montrer que la restriction $s_{|H}$ de $s$ \`a $H$ est surjective. Notons $V$ la direction de $X$. C'est un espace vectoriel de base $(\overrightarrow{p_0p_1}, \ldots, \overrightarrow{p_0p_n})$. 

Montrons que $s_{|H}$ est une application affine. Il s'agit de trouver un point $h \in H$ et une application lin\'eaire $L_{s_{|H}} \in {\cal L}(H_0,V)$, telle que, pour tout $a \in H$, on ait $s_{|H}(a) = s_{|H}(h) + L_{s_{|H}}(\overrightarrow{ah})$. Si $a = (a_0,a_1,\ldots,a_n) \in H$, on a $ s_{|H}(a) = p_0 + \sum_{i=1}^na_i\overrightarrow{p_0p_i}$ ; en particulier, pour $h = (1,0,\ldots,0) \in H$, on a $s_{|H}(h) = p_0$. Comme $\overrightarrow{ah} = (a_0-1,a_1,\ldots,a_n) \in H_0$, on obtient la formule voulue avec l'application $L_{s_{|H}} : H_0 \to V$, $ (b_0,b_1,\ldots,b_n)\mapsto \sum_{i=1}^nb_i\overrightarrow{p_0p_i}$, qui est clairement lin�aire. 

On v\'erifie facilement que $L_{s_{|H}}$ est injective (et surjective), donc l'application $s_{|H}$ l'est aussi, et est donc bien un isomorphisme d'espaces affines. 

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{\bf Remarque :} On vient de montrer qu'un espace affine de dimension $n$ est l'ensemble des barycentres, de poids total $1$, de $n+1$ points formant un rep\`ere affine. En particulier (cas $n = 1$), une droite affine est l'ensemble des barycentres, de poids total $1$, de deux points distincts de cette droite. 

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{\bf Exercice 2.}
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a - Dans le cas $n = 2$ et les $a_i$ tous \'egaux \`a $1\over 3$, on retrouve le fait que les m\'edianes d'un triangle sont concourantes en le centre de gravit\'e du triangle.
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b - Par associativit\'e du barycentre, pour $0\le i \le n$, le point $s$ est le barycentre des deux points pond\'er\'es $(p_i, a_i)$ et $(s_i, \sum_{j\neq i}a_j)$ (les poids sont bien non nuls puisque les $a_j$ sont suppos\'es strictement positifs). Donc le point $s$ est sur la droite $(s_ip_i)$ pour tout $i$, et il reste \`a d\'emontrer que, si $i \neq j$, alors les droites $(s_ip_i)$ et $(s_jp_j)$ ne sont pas confondues (elles auront alors $s$ comme {\it unique} point d'intersection). 

Supposons le contraire. Alors les points $p_j$, $p_i$ et $s_i$ sont align\'es, donc il exite $\lambda \in {\bf R}$ tel que $\overrightarrow{p_ip_j} = \lambda \overrightarrow{p_is_i}$. Par d\'efinition du barycentre $s_i$, on a $\overrightarrow{p_is_i} = \sum_{k \neq i}a'_k\overrightarrow{p_ip_k}$, o\`u $a'_k = {a_k \over \sum_{k \neq i}a'_k}$. Mais cela montre que la famille de vecteurs $(\overrightarrow{p_ip_k})_{k\neq i}$ est li\'ee, ce qui contredit le fait que $(p_0, p_1, \ldots ,p_n)$ est une base affine de $X$.

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{\bf Exercice 3.}
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a - Remarque : il faut prendre le $(m+1)$-uplet $(a_0,\ldots,a_m)$ tel que $\sum_{i=0}^m a_i \neq 0$ pour que les barycentres de la question (a) soient d\'efinis. Pour un tel $(m+1)$-uplet et pour un point arbitraire $p$ de $X$, on a $Bar((p_i,a_i)_{0\le i\le m}) = p + \sum_{i=0}^m\big({a_i \over \sum_{j=0}^m a_j}\big) \overrightarrow{pp_i}$. Comme $f$ est affine, on obtient $f\big(Bar((p_i,a_i)_{0\le i\le m})\big) = f(p) + \sum_{i=0}^m\big({a_i \over \sum_{j=0}^m a_j}\big)\overrightarrow{f(p)f(p_i)}$, et donc (par d\'efinition) $f\big(Bar((p_i,a_i)_{0\le i\le m})\big)$ est le barycentre des points pond\'er\'es $(f(p_i), a_i)$ pour $0\le i\le m$.
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b - L'hypoth\`ese donne $f(P) \subset P$, mais comme $f$ est suppos\'ee injective et comme $P$ est un ensemble fini, on a en fait $f(P) = P$ (car $f(P)$ est de cardinal $m+1$ par injectivit\'e, et inclus dans $P$ qui est de cardinal $m+1$). D'apr\`es la question (a), $f$ envoie l'isobarycentre des points de $P$ sur l'isobarycentre des points de $f(P) = P$, c'est-\`a-dire que $f$ fixe cet isobarycentre.
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c - On a $f^n= f\circ f^{n-1} = f^{n-1}\circ f = {Id}_X$, donc $f$ est bijective (de r\'eciproque $f^{n-1}$). 

- Pour $p \in X$, $f$ v\'erifie les hypoth\`eses du (b) avec l'ensemble $P = \{p,f(p), f^2(p),\ldots, f^{n-1}(p)\}$ (puisque $f(f^{n-1}(p)) = f^n(p) = p$), donc $f$ admet pour point fixe l'isobarycentre des points de cet ensemble $P$. 

- Pour $n = 2$, voir l'exercice 4 de la fiche 2 : les applications affines $f$ du plan qui v\'erifient $f \neq Id$ et $f^2 = Id$ sont les sym\'etries par rapport \`a une droite, ou par rapport \`a un point (i.e. les rotations d'angle $\pi$). Pour $n \ge 3$, une rotation $r$ d'angle $2\pi \over n$ autour d'un point $\omega$ du plan v\'erifie $r \neq Id$ et $r^n = Id$ (car $r^n$ est alors la rotation d'angle $n\cdot {2\pi \over n} = 2\pi$ autour de $\omega$). 

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{\bf Remarque :} Il peut \^etre bon de faire un dessin illustrant l'ensemble $P$ de la question (c), en fonction du choix de $p$, pour les sym\'etries et les rotations \'evoqu\'ees ci-dessus.

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{\bf Exercice 4.}
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a - ...

b - Dans un premier temps, on peut directement v\'erifier (sans faire de r\'ecurrence), que l'ensemble $[p_1,p_2,\ldots,p_r]$ est une partie convexe de $X$ : si $p = \left(\matrix {p_1& p_2 &\cdots & p_r\cr
a_1& a_2 &\cdots & a_r\cr}\right)$ et $q = \left(\matrix {p_1& p_2 &\cdots & p_r\cr
b_1& b_2 &\cdots & b_r\cr}\right)$ avec $a_i \ge 0$, $b_i\ge 0$ et $\sum_{i=1}^ra_i = \sum_{i=1}^rb_i =1$, alors pour un point arbitraire $o \in X$ et pour tout $t \in [0;1]$, on a, par d\'efinition des barycentres, $\overrightarrow{op} = \sum_{i=1}^ra_i\overrightarrow{op_i}$, de m\^eme $\overrightarrow{oq} = \sum_{i=1}^rb_i\overrightarrow{op_i}$, et $\left(\matrix {p&q\cr
1-t & t\cr}\right) = o + (1-t) \overrightarrow{op} + t \overrightarrow{oq}$. On a donc $\left(\matrix {p&q\cr
1-t & t\cr}\right) = o + \sum_{i=1}^r\big((1-t)a_i + tb_i\big) \overrightarrow{op_i}$, c'est-\`a-dire $\left(\matrix {p&q\cr
1-t & t\cr}\right) = \left(\matrix {p_1& p_2 &\cdots & p_r\cr
c_1& c_2 &\cdots & c_r\cr}\right)$, avec $c_i = (1-t)a_i + tb_i \ge 0$ et $\sum_{i=1}^rc_i = (1~-~t)\sum_{i=1}^ra_i + t\sum_{i=1}^rb_i =(1-t) + t = 1$. On a donc $\left(\matrix {p&q\cr
1-t & t\cr}\right) \in [p_1,p_2,\ldots,p_r]$ et le r\'esultat annonc\'e.

Comme $[p_1,p_2,\ldots,p_r]$ contient clairement les points $p_i$ (le point $p_i$ est le barycentre des points $p_j$, $1\le j \le r$, pour le syst\`eme de poids $(a_1,\ldots, a_r)$ avec $a_i = 1$ et $a_j = 0$ si $j\neq i$), on a d\'ej\`a l'inclusion $EnvConv(p_1,\ldots, p_r) \subset [p_1,\ldots, p_r]$.
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- Montrons l'autre inclusion par r\'ecurrence sur $r$. il s'agit de v\'erifier que, pour toute partie convexe $C$ de $X$ contenant les points $p_1, \ldots , p_r$, on a $[p_1,\ldots, p_r]\subset C$.

Pour $r = 1$, il n'y a rien � faire : l'ensemble $[p_1]$ est le singleton $\{p_1\}$.

Supposons le r\'esultat vrai pour $r \ge 1$ et consid\'erons $r+1$ points $p_1,\ldots,p_r,p_{r+1}$ de $X$ et une partie convexe $C$ de $X$ contenant ces points. Alors, $C$ contient en particulier les points $p_1,\ldots ,p_r$, donc contient l'ensemble $[p_1,\ldots, p_r]$ par hypoth\`ese de r\'ecurrence. Comme $C$ est convexe, $C$ contient donc la r\'eunion $U$ de tous les segments joignant $p_{r+1}$ \`a un point de $[p_1,\ldots, p_r]$, et on aura l'inclusion voulue $[p_1,\ldots, p_r, p_{r+1}]\subset C$ si l'on montre l'inclusion $[p_1,\ldots, p_r, p_{r+1}]\subset U$ (cela impliquera en fin de compte l'\'egalit\'e $[p_1,\ldots, p_r, p_{r+1}] = U$ ; visualiser sur les dessins du (a) ce que cela signifie).

Soit $p = \left(\matrix {p_1& \cdots & p_{r+1}\cr
a_1& \cdots & a_{r+1}\cr}\right) \in [p_1,\ldots,p_{r+1}]$, c'est-\`a-dire avec les $a_i \ge 0$ et $\sum_{i = 1}^{r+1}a_i = 1$. Si $p = p_{r+1}$ (i.e. si $a_{r+1} = 1$), alors $p \in U$ par construction. On peut donc supposer $a_{r+1} \neq 1$ et donc $\sum_{i=1}^ra_i \neq 0$. Par associativit\'e du barycentre, on a alors $p = \left(\matrix {q & p_{r+1}\cr
\big(\sum_{i=1}^ra_i\big) & a_{r+1}\cr}\right) \in [p_{r+1},q]$, o\`u $q = \left(\matrix {p_1& \cdots & p_r\cr
a_1& \cdots & a_r\cr}\right)$. Comme on a aussi $q = \left(\matrix {p_1& \cdots & p_r\cr
a'_1& \cdots & a'_r\cr}\right)$ avec $a'_i = {a_i \over \sum_{i=1}^ra_i}$, on voit que $q$ appartient � $[p_1,\ldots,p_r]$ et on a donc le r\'esultat.

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c - Comme une application affine $f$ envoie le barycentre d'une famille de points sur le barycentre de la famille de points image (en pr\'eservant les syst\`emes de poids), il est clair que $f$ envoie $[p_1,\ldots,p_r]$ sur $[f(p_1),\ldots ,f(p_r)]$. On conclut gr\^ace \`a (b).

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d - Par exemple, la rotation d'un quart de tour autour de l'axe de sym\'etrie vertical du cube envoie $T$ sur $T'$. 

Notons $S = \{p_1,p_2,p_3,p_4\}$ et $S' = \{p'_1,p'_2,p'_3,p'_4\}$ les ensembles de sommets de $T$ et $T'$ respectivement. Notons $F(T,T')$ l'ensemble des bijections affines envoyant $T$ sur $T'$, et $B(S,S')$ l'ensemble des bijections de $S$ sur $S'$ (ce ne sont pas des groupes !). 

En admettant qu'un \'el\'ement de $F(T,T')$ envoie n\'ecessairement un \'el\'ement de $S$ sur un \'el\'ement de $S'$, on obtient une application $\phi : F(T,T') \to B(S,S')$, $f \mapsto f_{|S}$, o\`u $f_{|S}$ est ici la restriction de $f$ \`a $S$ au d\'epart et \`a $S'$ \`a l'arriv\'ee.

Comme $S$ est un rep\`ere affine de ${\bf R}^3$, une application affine $f$ est enti\`erement d\'etermin\'ee par son action sur $S$, et l'application $\phi$ est donc injective. De m\^eme, toute bijection $\sigma \in B(S,S')$ se prolonge en une (unique) application affine $f : X \to X$, qui est n\'ecessairement une bijection affine (puisque $S' = f(S)$ est aussi un rep\`ere affine de ${\bf R}^3$), donc qui appartient � $F(T,T')$ ; donc $\phi$ est surjective. 

L'application $\phi$ est donc bijective, et comme $B(S,S')$ est clairement de cardinal $4! = 24$, il en est de m\^eme pour $F(T,T')$.
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{\bf Remarque :} En admettant qu'un \'el\'ement $f$ de $F(T,T')$ envoie aussi n\'ecessairement un \'el\'ement de $S'$ sur un \'el\'ement de $S$, on voit qu'une telle bijection affine $f$ stabilise l'ensemble $S\cup S'$ de tous les sommets du cube $C$ (et donc stabilise le cube $C$ qui en est l'enveloppe convexe). Obtient-on de cette fa\c con  toutes les bijections affines stabilisant le cube $C$ ? Sinon, combien y en a-t-il en tout ?

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{\bf Exercice 5.}
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On laisse le dessin aux soins du lecteur ; les sommets du cube sont les points $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$, $(1,1,0)$, $(0,1,1)$, $(1,0,1)$ et $(1,1,1)$. 

- On rappelle que la droite affine passant pas deux points distincts $p$ et $q$ d'un espace affine est l'ensemble des barycentres de poids total $1$ de $p$ et $q$, c'est-\`a-dire l'ensemble $p + {\bf R}\overrightarrow{pq}$ (en choisissant pour point arbitraire le point $p$ dans la d\'efinition d'un barycentre des points $p$ et $q$). On obtient, pour les diagonales du cube : 

la diagonale passant par $(0,0,0)$ et $(1,1,1)$ est la droite ${\bf R}(1,1,1)$,

la diagonale passant par $(1,0,0)$ et $(0,1,1)$ est la droite $(1,0,0) + {\bf R}(-1,1,1)$,

la diagonale passant par $(0,1,0)$ et $(1,0,1)$ est la droite $(0,1,0) + {\bf R}(1,-1,1)$,

la diagonale passant par $(1,1,0)$ et $(0,0,1)$ est la droite $(1,1,0) + {\bf R}(-1,-1,1)$.

- Le plan $H$ passant par $(1,1,1)$ et perpendiculaire \`a la diagonale ${\bf R}(1,1,1)$ est le plan affine passant par $(1,1,1)$ et de direction orthogonale \`a la direction ${\bf R}(1,1,1)$ de la diagonale en question (orthogonalit\'e au sens du produit scalaire usuel $\langle~\cdot~|~\cdot~\rangle$ dans ${\bf R}^3$), c'est-\`a-dire de direction le plan vectoriel $H_0 = \{(x,y,z) \mid \langle(x,y,z)|(1,1,1)\rangle = x+y+z = 0\}$.

Le plan affine $H$ est donc le plan $(1,1,1) + H_0 = \{(x,y,z) \mid x+y+z = 3\}$.
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{\bf Exercice 6.}
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a - Notons $W''$ la direction du sous-espace affine $<A\cup A'>$ de $X$. Comme $<A\cup A'>$ contient $A = p + W$ et $A' = p'+W'$ (donc en particulier les points $p$ et $p'$), on voit que $W''$ contient n\'ecessairement le vecteur $ \overrightarrow{pp'}$ et les sous-espaces vectoriels $W$ et $W'$ de $V$, donc contient le sous-espace vectoriel $W+W'+ {\bf R}\overrightarrow{pp'}$ engendr\'e par $W$, $W'$ et $ \overrightarrow{pp'}$. On en d\'eduit que $<A\cup A'> = p+W''$ contient le sous-espace affine $p + (W+W'+ {\bf R}\overrightarrow{pp'})$ de $X$. R\'eciproquement, le sous-espace affine $p + (W+W'+ {\bf R}\overrightarrow{pp'})$ de $X$ contient clairement $A = p+W$ et $A' = p'+W' = p + \overrightarrow{pp'} + W'$, donc contient $<A\cup A'>$. On a donc l'\'egalit\'e $<A\cup A'> = p + (W+W'+ {\bf R}\overrightarrow{pp'})$. 

- D\'eterminons \`a pr\'esent la dimension de $<A\cup A'>$ (c'est-\`a-dire de $W'' = (W+W'+ {\bf R}\overrightarrow{pp'})$. Premier cas : si $A\cap A' \neq \emptyset$, c'est-\`a-dire si $\overrightarrow{pp'} \in W+W'$, alors $W'' = (W+W')$ est de dimension $dim(W+W') = dim(W) + dim(W')-dim(W\cap W')$. Deuxi\`eme cas : si $A\cap A' = \emptyset$, c'est-\`a-dire si $\overrightarrow{pp'} \not \in W+W'$, alors $W''$ est de dimension $dim(W+W') +1 = dim(W) + dim(W')-dim(W\cap W') +1$.
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b - Soient $p \in A$ et $p'\in A'$. La droite $(pp')$ est l'ensemble $p+ {\bf R}\overrightarrow{pp'}$ (r\'eduit au singleton $\{p\}$ si $p = p'$). Donc un sous-espace affine de $X$ contenant $p$ et $p'$ (donc de direction contenant $\overrightarrow{pp'}$) contient n\'ecessairement la droite $(pp')$. Le sous-espace affine $<A\cup A'>$ contient donc en particulier toutes les droites $(pp')$, pour $p \in A$ et $p'\in A'$ (sans faire d'hypoth\`ese sur $A \cap A'$). 

- Supposons \`a pr\'esent $A\cap A' \neq \emptyset$, fixons un point $q \in A\cap A'$ et consid\'erons un point $x \in <~A\cup A'~> = q + (W+W')$. Il existe $(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}) \in W\times W'$ tel que $x = q + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}$. Mais alors, si l'on pose $p = q + 2\overrightarrow{v}$ et $p' = q+2\overrightarrow{w}$, on a $p \in A$, $p' \in A'$, $\overrightarrow{pp'} = \overrightarrow{pq} + \overrightarrow{qp'} = -2\overrightarrow{v} + 2\overrightarrow{w}$, et $x = q + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} = p + {1\over 2}\overrightarrow{pp'}$ (faire une figure) ; on a donc $x \in (pp')$. On en d\'eduit, dans ce cas, que le sous-espace affine $<~A\cup A'~>$ est inclus dans --- et donc co\"\i ncide avec --- la r\'eunion des droites $(pp')$, o\`u $p \in A$ et $p' \in A'$.

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c - Consid\'erons les deux droites affines $A = {\bf R}(1,0,0)$ et $A' = (0,0,1) + {\bf R}(0,1,0)$ dans ${\bf R}^3$ (de direction $W = {\bf R}(1,0,0)$ et $W' = {\bf R}(0,1,0)$ respectivement). On a clairement $A \cap A' = \emptyset$, donc $<A \cup A'>$ est de dimension $dim(W) + dim(W')-dim(W\cap W') +1 = 3$, ce qui implique $<A \cup A'> = {\bf R}^3$. Mais une droite passant par un point $p$ de $A$ et un point $p'$ de $A'$ coupe le plan affine $P$ d'\'equation $z = 1$ en $p'$ uniquement, et la r\'eunion des droites du (b) ne contient donc aucun point de $P \setminus A'$, donc est distincte de ${\bf R}^3$.
\end

