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LICENCE DE MATHEMATIQUES

UNIVERSITE LYON 1

Ann\'ee 2007/2008
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$$\eqalign {& {\hbox {\bf G\'eom\'etrie \'el\'ementaire } }\cr
&\hskip 25 pt{\hbox { \bf fiche 3}}\cr }$$
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{\sl Rappel: (Barycentre)}
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Soit $X$ un espace affine r\'eel, $P=(p_0,p_1,\cdots , p_m)\in X^{m+1}$ et $a_0,a_1,\cdots
a_m,\, m+1$ nombres r\'eels tels que $\sum_{0\le i\le m} a_i\not= 0.$ 
\smallskip
Le barycentre $s$ des points pond\'er\'es $(p_i, a_i)_{0\le i\le m}$ est l'unique point de $X$ tel que
$$\sum_{0\le i\le m} a_i\, {\overrightarrow {sp_i}}=0.$$
Si $q$ est un point arbitraire de $X$, on a 
$$s= q+ \sum_{0\le i\le m} \, ({a_i\over \sum_{0\le j\le m} a_j}) \, {\overrightarrow {qp_i}}.$$
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{\bf Exercice 1}. (Coordonn\'ees barycentriques)
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- Soit $P=\{p_0,\cdots , p_n\}$ une base affine de $X$. Montrer que l'application
$$s: {\bf R}^{n+1} - \left\{(a_0, \ldots, a_n), \ \sum_{i=0}^{n} a_i = 0\right\} \longrightarrow X, \ \   (a_0,\cdots , a_n) \mapsto Bar ((p_i, a_i))_{0\le i\le n})$$
est surjective. Si $p= s (a_0,\cdots , a_n)$ on dit que $(a_0,\cdots , a_n)$ sont des coordonn\'ees
barycentriques du point $p$ dans la base affine $P.$
\smallskip
- Soit $H$ l'hyperplan de ${\bf R}^{n+1}$ d'\'equation $a_0+a_1+\cdots +a_n= 1.$ Montrer que la restriction de
$s$ \`a $H$
est un isomorphisme d'espace affine. 
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{\sl Rappel:} Le barycentre d'une famille de points pond\'er\'es est 
associatif.
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{\bf Exercice 2}
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Soit $(p_0,p_1,\cdots , p_n)$ une base affine de l'espace affine r\'eel $X$ et $(a_0,\cdots , a_n)\in {\bf R}^{n+1}$ 
v\'erifiant $a_i>0,\forall i,\, 0\le i\le n$ et $\sum_{0\le i\le n} a_i= 1.$
\smallskip
On consid\`ere les barycentres $s=Bar ( (p_i,\, a_i)_{0\le i\le n})$ et  $s_j = Bar (( p_i,\, a_i)_{i\not= j}).$
\smallskip
a - Faire un dessin de la situation pour $n=2$ et $n=3.$
\smallskip
b - Montrer que $i\not= j\, \Rightarrow (s_i p_i)\bigcap (s_j p_j)= \{s\}.$

\newpage
{\bf Exercice 3}
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Soient $P=\{p_0, \cdots , p_m\}\subset X$ et $(a_0, a_1,\cdots, a_m)\in 
{\bf R}.$
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Soit $f:X\longrightarrow X$ une application affine.
\smallskip
Les deux premi\`eres questions sont des rappels de cours.

a - Montrer que $f\,(Bar ((p_i,a_i)_{0\le i\le m}))=Bar ((f(p_i),a_i)_{0\le i\le m}).$
\smallskip
b - On suppose que $f\in GA (X)$ et $\forall i,\, 0\le i\le m,\, f(p_i)\in P.$ 
Montrer que $f$ admet au moins un point fixe.
\smallskip
c - On suppose qu'il existe $n\in {\bf N}^\star$ tel que $f^n(p)=p, \,\forall p\in X.$
\smallskip
- Montrer que $f$ est une bijection affine.
\smallskip
- Montrer que $f$ admet un point fixe.
\smallskip
- Construire explicitement une application affine $f:{\bf R}^2\longrightarrow 
{\bf R}^2$ telle que $f\not= Id,\, f^n=Id, n\ge 2.$     
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{\bf Exercice 4}
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Rappel:
 Une partie $C\subset X $ est dite convexe si pour tout $(q,p)\in C\times C$
le segment 
$$[q,p]=\{\left(\matrix {p&q\cr
1-t & t\cr}\right),\quad t\in [0,1]\}$$
 est contenu dans $C.$
Remarquer que ce segment est l'ensemble des barycentres des points pond\'er\'es
$(a,p),(b,q)$ avec $0\le a, 0\le b$ et $a+b=1.$
\smallskip
L'enveloppe convexe $Env\,Conv\, (p_1,\dots p_r)$ est l'intersection
de toutes les parties convexes contenant $p_1,\dots , p_r.$
\smallskip
a - Intuitivement (i.e. sans faire de d\'emo compl\`ete) quelle est l'enveloppe convexe de trois points non align\'es dans 
${\bf R}^2$, de quatre points non coplanaires dans ${\bf R}^3?$
\smallskip
b - Soit $[p_1,p_2,\dots , p_r]=\{\left(\matrix {p_1& p_2 &\cdots & p_r\cr
a_1& a_2 &\cdots & a_r\cr}\right),\mid \,\forall i, 0\le a_i, \, \sum_i a_i=1\}$
l'ensemble des barycentres \`a poids positifs des points $p_1,\dots , p_r.$
\smallskip
En proc\'edant par r\'ecurrence sur le nombre de points $r$, montrer que 
$$Env\, Conv\, (p_1,\dots ,p_r)=[p_1,\dots , p_r].$$
\smallskip
c - Confirmer que l'image par une application affine $f:X\rightarrow X$ de l'enveloppe convexe de
$(p_1,\dots , p_r)$ est l'enveloppe convexe de $(f(p_1),\dots f(p_r)).$
\smallskip
d - Soient $C\subset {\bf R}^3$ le cube et 
 $T$ et $T'$ les deux t\'etra\`edres (r\'eguliers) de la figure:
\newpage
Donner une bijection affine $ f$ telle que $f(T)=T'.$
Combien y-a-t-il de bijections affines telles que $f(T)=T'?$
(On admettra ici qu'une telle bijection affine envoie n\'ecessairement un 
sommet de $T$ sur un sommet de $T'.$)
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\vfill
\eject
{\bf Exercice 5}
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 Soit $C$ le cube unit\'e port\'e par la base canonique $B$ de ${\bf 
R}^3.$ Faire un dessin et 
donner des \'equations des quatre diagonales et du plan passant par le sommet $(1,1,1)$ et perpendiculaire \`a la diagonale en ce point. 

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{\sl Rappel:} En alg\`ebre lin\'eaire, si $W,W'\subset V$ sont deux 
sous-espaces vectoriels d'un espace $V$, alors $W\bigcup W'$ est un sous-
espace  si et seulement si $W\subset W'$ ou $W'\subset W.$ En g\'en\'eral donc, $W\bigcup W'$ {\bf n'est pas} un
sous-espace de $V$ (penser \`a la r\'eunion de deux droites vectorielles distinctes de ${\bf {R}^2}$ ).
\smallskip
  Dans le cas vectoriel, le plus petit sous-espace de $V$ contenant la r\'eunion $W\bigcup W'$ est la somme de $W$ et $W'$:
$$<W\bigcup W'>= W+W'.$$
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L'exercice qui suit est l'analogue de cette construction en g\'eom\'etrie 
affine.
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{\bf Exercice 6}
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  Soient $A,A'$ deux sous-espaces affines de l'espace affine r\'eel $(X, V)$
de directions ${ W}$ et ${ W'}$ et $p\in A,\, p'\in A'.$ 
\smallskip
Rappel: $A\bigcap A'\not= \emptyset$ ssi
$\overrightarrow {pp'}\in W+W'.$
\smallskip
a -  
En distinguant les situations $A\bigcap A'\not= \emptyset$ et $A\bigcap A' = \emptyset$
d\'eterminer $<A\bigcup A'>$ et en d\'eduire sa dimension.
\medskip 
b - Montrer que lorsque $A\bigcap A' \not= \emptyset$, le sous-espace 
$<A\bigcup A'>$
 coincide avec la r\'eunion 
des droites $(p\, p')$ o\`u $p\in A$ et $p'\in A'.$ 
\medskip
c - Donner un exemple dans ${\bf R}^3$ de sous-espaces $A$ et $A'$ tels que 
$A\bigcap A'=\emptyset$
et pour lesquels $ <A\bigcup A'>$ est distinct de la r\'eunion de droites du 
point b -. 
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\end 
