\magnification = 1200
\parindent = 0 pt
Universit\'e Lyon 1

L3 math\'ematiques

2007/2008

\bigskip
$${\hbox { \bf G\'eom\'etrie \'el\'ementaire. Fiche 4 : suite.}}$$
\bigskip
\bigskip

{\bf Exercice 6}
\medskip 
On rappelle que si $(G, \star)$ est un groupe, l'ensemble
$Z=\{z\in G \, \mid \, z\star g= g\star z, \, \forall g\in G\}$
est un sous-groupe distingu\'e appel\'e le centre de $G.$  
\smallskip
Soient $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n\ge 2$.

1) a) Soit $f$ un endomorphisme de $E$ qui commute avec toutes les sym\'etries
orthogonales $s\in O(E)$ (i.e. quelle que soit la sym\'etrie $s\in O(E)$, $f\circ s= s\circ f$). 
\smallskip
D\'emontrer que $f$ stabilise chaque droite et en d\'eduire que $f$ est une homoth\'etie.

\medskip 
b) D\'eterminer le centre du groupe orthogonal $O(E).$
\medskip

2) D\'eterminer le centre de $O^+ (E)$ en dimension $n= 2$ et $n=3.$ 
 \bigskip
\bigskip
{\bf Exercice 7} Soit $(V, (\, \mid \, ))$ un espace euclidien,
  $A\subset V$ un sous-espace vectoriel et $p_A: V\rightarrow V$ le 
  projecteur sur $A$ relatif \`a la d\'ecomposition $V=A\oplus A^\perp.$
 La distance $d$ d'un point $x\in V$ au sous-espace $A$ est par d\'efinition $d=\mid\mid x-p_A(x)\mid\mid.$
\smallskip
Pour un $m-$ uplet $(x_1, x_2, \dots , x_m)\in V^m$, on notera
$$G(x_1, \dots , x_m; x_1, \dots , x_m)\in M_m {\bf R}$$ la matrice de composantes 
$G_{ij}=(x_i\mid x_j), 1\le i,j\le m.$ (La lettre $G$ fait r\'ef\'erence 
\`a Gram.)

1) Soient ${\bf a}$ et ${\bf a}'$ deux bases de $V.$ 
Rappeler la relation entre $G({\bf a};{\bf a})$ et $G ({\bf a}'; {\bf 
a}').$ 
\smallskip
2) Soit $(x_1,\cdots ,x_m)$ une famille libre de $V$
et $(v_1,\cdots, v_m)$ la famille 
orthogonale (non norm\'ee)  obtenue en appliquant le proc\'ed\'e de Gram-Schmidt \`a $(x_1,\cdots ,x_m).$


Donner $Det \, G(x_1, \dots , x_m; x_1, \dots , x_m)$ en fonction de $(v_i\, \mid v_i),\,1\le 
i\le m.$ 
\smallskip
- En d\'eduire que la distance $d$ du point $x\in V$ au sous-espace 
$<x_1,\dots , x_m>$ est donn\'ee
par 
$$d=\big( { {Det\, G(x_1,\cdots ,x_m, x;x_1,\cdots, x_m,x)}\over 
{Det\, G(x_1,\cdots ,x_m; x_1,\cdots , x_m) }}\big) ^{1\over 2}.$$
\bigskip
\bigskip

{\bf Exercice 8} (Extrait de l'examen de janvier 2007)
\bigskip
Soit $(E, (\, \mid\,))$ un espace {\sl vectoriel } euclidien de dimension 
$3.$

On appelle {\sl demi-tour} toute rotation (vectorielle) $r_\pi\in O^+ (E)$ 
d'angle $\pi$ autour d'une droite vectorielle $D$
i.e. toute sym\'etrie orthogonale 
$s_D\in O (E)$ par rapport \`a une droite $D$.  
On rappelle (et on ne demande pas de d\'emontrer)
 que tout endomorphisme orthogonal $f\in O^+ (E)$ est une compos\'ee de 
 demi-tours.
\smallskip
Le but de l'exercice est de montrer que le groupe $O^+ (E)$
ne poss\`ede pas de sous-groupe distingu\'e autre que $\{Id_E\}$ et $O^+ 
(E).$
\medskip
1)
 
a) Montrer que tout endomorphisme $f\in O^+ (E)$ admet la valeur propre $+1.$
\smallskip
b) Soit $\vec e \in E$ un vecteur propre de $f$ de valeur propre $+1$ et 
$<\vec e>$ la droite vectorielle engendr\'ee par $\vec e.$ Montrer que
$f(<\vec e>^\perp)=<\vec e>^\perp.$
\smallskip
c) En d\'eduire que tout endomorphisme orthogonal $f\in O^+ (E)\setminus \{Id_E\}$ est une 
rotation autour d'un axe.
\smallskip
2) a)  Soient $D', D''$ deux droites vectorielles distinctes de $E$.
Montrer, en d\'ecrivant un proc\'ed\'e de construction, qu'il existe un endomorphisme orthogonal $\rho\in O^+ (E)$
tel que $\rho (D')=D''.$ Cet endomorphisme $\rho$ est-il unique?
\smallskip
b) Quelle est la nature de $\rho\circ s_{D'}\circ \rho^{-1}?$
\medskip
Soit $H\subset O^+ (E)$ un sous-groupe non trivial (i.e. $H\not=\{Id_E\}$).
\smallskip
3)
 
a) Montrer que $H$ contient une rotation $r_\alpha$  d'angle 
 $\alpha\in 
[{\pi\over 2}, \pi].$
\smallskip
{\sl [Commencer par montrer que $H$ contient une rotation $r_\beta$ d'angle
$\beta\in ]0, \pi]$]}
\medskip
b) Soit $<\vec e>$ l'axe de $r_\alpha$ o\`u $\vec e$ est de norme 1 et soit $(\vec e, {\vec e}', {\vec e}'')$ 
une base orthonorm\'ee de $E$ compl\'etant $\vec e.$

 Montrer qu'il existe une droite vectorielle $D\subset <\vec e, {\vec 
e}'>$ telle que 
$r_\alpha (D)$ et $D$ sont orthogonales.
\medskip
 On suppose \`a pr\'esent que le sous-groupe $H\subset O^+ (E)$ est 
distingu\'e (i.e. quels que soient $f\in O^+ (E)$ et $h\in H, \, f\circ 
h\circ f^{-1}\in H$). 
\smallskip
4) Soient $D', D''$ deux droites vectorielles distinctes de $E.$ 
Montrer que si $s_{D'}\in H$ alors on a aussi $s_{D''}\in H.$
\medskip
5) Soient $r_\alpha$ et $D$ comme \`a la question 3). 

Montrer que $r=s_D\circ r_\alpha \circ s_D \circ r_\alpha^{-1}$
est un demi-tour de $H.$
\smallskip
\medskip
6) Conclure, en vous servant du rappel, que si $H\subset O^+(E)$ est un sous-groupe distingu\'e 
non-trivial (i.e. $H\not= \{Id_E\}$) alors $H=O^+ (E).$  
\medskip
7)  Que peut-on en d\'eduire sur le centre de $O^+ (E)?$



\end