Algèbre approfondie - Automne 2007 ENS-Lyon

Algèbre commutative I

Exercice 1 — Soit A un anneau (non nécessairement commutatif). Un idéal bilatère de A est un sousgroupe additif 𝔞 de A stable par multiplication à gauche et à droite. Étant donnés un entier naturel n ≥ 1 et un corps k, déterminer les idéaux bilatères de l’anneau M_{n}(k) des matrices carrées d’ordre n à coefficients dans k.

Exercice 2 (Anneaux booléiens) — Un anneau est dit booléien si tout élément a satisfait à la condition a^{2} = a.

1. Soit A un anneau booléien.

(i) Démontrer que A est commutatif et qu’il est de caractéristique 2, c’est-à-dire que 2a = 0 pour tout a ∈ A. (ii) Caractériser les anneaux booléiens intègres et en déduire que tout idéal premier de A est maximal. (iii) Démontrer que tout idéal de type fini de A est principal.

2. Soit E un ensemble. Démontrer que, muni des deux lois de composition a + b = (a ∪ b)− (a ∩ b) (différence symétrique) et ab = a ∩ b, l’ensemble A = P(E) des parties de E est un anneau booléien.

3. Soit A un anneau booléien et soit X = Spec(A).

(i) Démontrer que, pour tout élément f de A, D(f) = {x ∈ X | f ∉ x} est une partie ouverte et fermée de X. (ii) Établir que toute partie ouverte et fermée Y de X est de la forme D(f), f ∈ A. (Indication : on pourra vérifier que toute réunion finie d’ouverts principaux est encore un ouvert principal, puis considérer un recouvrement de Y par des ouverts principaux.) (iii) Démontrer que l’espace topologique X est compact.

Sauf mention expresse du contraire, tous les anneaux considérés dorénavant sont commutatifs.

Exercice 3 (Théorème de Hamilton-Cayley) — Soient A un anneau, n ≥ 1 un entier et M = (m_{ij}) une matrice carrée d’ordre n sur A. Le déterminant de M est l’élément det(M) de A défini par la formule :

det(M) = ∑_{σ∈𝔖_{n}} ε(σ)m_{1,σ(1)} ...m_{n,σ(n)},

où 𝔖_{n} est le groupe des permutations de l’ensemble {1,...,n}.

Soient A un anneau, M une matrice carrée d’ordre n sur A et T une indéterminée. Le polynôme caractéristique de M est le polynôme unitaire χ_{M}(T) = det(TI_{n}− M) ∈ A[T], où I_{n} est la matrice identité de rang n.

1. Démontrer la généralisation suivante du théorème de Hamilton-Cayley : quels que soient l’anneau A et la matrice carrée M d’ordre n sur A, χ_{M}(M) = 0 dans M_{n}(A). (Indication : on pourra commencer par introduire des indéterminées T_{ij}, 1 ≤ i,j ≤ n, et considérer l’anneau ℤ[(T_{ij})]_{1≤i,j≤n} .)

2. Soit N une matrice carrée d’ordre n sur un anneau A. Démontrer que N est nilpotente si et seulement si chaque coefficient non dominant du polynôme caractéristique de N est nilpotent.

Exercice 4 — Soit A un anneau.

1. Soit A[X] l’anneau des polynômes en une indéterminée X, à coefficients dans A.

(i) Déterminer le groupe A[X]^{×} des unités de A[X]. (ii) Déterminer le nilradical et le radical (de Jacobson) de A[X]. (iii) Démontrer qu’un élément f de A[X] est diviseur de zéro si et seulement s’il existe un élément non nul a de A tel que af = 0.

2. Soit I un ensemble. Étendre les résultats précédents à l’anneau A[X_{i}]_{i∈I} des polynômes en la famille

d’indéterminées (X_{i})_{i∈I}, à coefficients dans A. Exercice 5 — Soit A un anneau et soit A[[X]] l’anneau des séries formelles en l’indéterminée X, à coefficients dans A.

1. Démontrer qu’un élément f de A[[X]] est inversible si et seulement si f(0) est un élément inversible de A. En déduire le radical (de Jacobson) de A[[X]].

2. Démontrer que le nilradical 𝔑(A[[X]]) de l’anneau A[[X]] est contenu dans l’idéal 𝔑(A)[[X]]. Donner un exemple d’anneau pour lequel cette inclusion est une égalité, puis un exemple pour lequel elle est stricte.

3. Démontrer que l’application 𝔪 ↦ (𝔪,X)A[[X]] = 𝔪A[[X]] + XA[[X]] réalise une bijection de l’ensemble des idéaux maximaux de A sur l’ensemble des idéaux maximaux de A[[X]].

Exercice 6 (Localisation) —

1. Donner un exemple d’anneau intègre A qui ne soit pas un corps mais dans lequel il existe un élément f tel que l’anneau A[f^{−1} ] soit un corps.

2. Soit A un anneau.

(i) Démontrer que l’application canonique A → ∏ _{𝔭∈Spec(A)} A_{𝔭} est injective. (ii) Démontrer que l’anneau A est réduit (c’est-à-dire ne possède pas d’élément nilpotent non nul) si et seulement si chacun de ses localisés A_{𝔭}, 𝔭 ∈ Spec(A), est réduit.

3. Soit A un anneau intègre. Étant donné un idéal maximal 𝔪 de A, justifier que l’anneau A_{𝔪} s’identifie canoniquement à un sous-anneau du corps des fractions K de A. Ces identifications étant faites, démontrer l’égalité A = ⋂_{𝔪∈Max(A)} A_{𝔪}.

4. Soit A un anneau. Un élément de A est dit régulier s’il n’est pas diviseur de zéro.

(i) Démontrer que l’ensemble S_{0} des éléments réguliers de A est une partie multiplicative et qu’elle est saturée, c’est-à-dire qu’elle satisfait à la condition

ss′∈ S_{0} ⟺ s ∈ S_{0} ets′∈ S_{0}.

(ii) Démontrer que l’application canonique A → S_{0}^{−1} A est injective. (iii) Démontrer que S_{0} est la plus grande partie multiplicative S de A telle que l’application canonique A → S^{−1} A soit injective.

L’anneau S_{0}^{−1} A est l’anneau total des fractions de A.

Exercice 7 (Spectre) — Soit A un anneau et soit X = Spec(A) son spectre, que l’on munit de la topologie de Zariski.

1. Soient I un ensemble et (f_{i})_{i∈I} une famille d’éléments de A indexée par I. Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Les ouverts principaux D(f_{i}), i ∈ I, recouvrent X. (ii) Il existe un sous-ensemble fini J de I et une famille (g_{j})_{j∈J} d’éléments de A tels que ∑_{j∈J} f_{j}g_{j} = 1.

En déduire que l’espace topologique X est quasi-compact (c’est-à-dire : on peut extraire de tout recouvrement ouvert un sous-recouvrement fini).

2. Démontrer que l’espace topologique X est séparé (donc compact) si et seulement si tous les idéaux premiers de A sont maximaux. (Indication : on pourra se ramener au cas d’un anneau réduit, puis observer que la seconde condition implique alors que tous les localisés A_{𝔪} de A sont des corps.)

3. Un élément e de A est idempotent s’il vérifie e^{2} = e. Démontrer que l’application e ↦ D(e) réalise une bijection de l’ensemble des éléments idempotents de A sur l’ensemble des parties ouvertes et fermées de l’espace topologique X. (Indication : remarquer que, si 𝔞 et 𝔟 sont deux idéaux de A tels que V(𝔞) et V(𝔟) soient des fermés disjoints dans X, alors 𝔞 + 𝔟 = A.)

4. On rappelle qu’un espace topologique X est dit irréductible s’il est non vide et s’il ne peut pas s’écrire comme la réunion de deux sous-espaces fermés stricts.

(i) À quelle condition un espace topologique séparé est-il irréductible ?

(ii) Démontrer que X = Spec(A) est irréductible si et seulement si le nilradical de l’anneau A est un idéal premier. En déduire que, pour tout idéal 𝔞 de A, le fermé V(𝔞) de X est irréductible si et seulement sa racine 𝔯(𝔞), c’est-à-dire l’intersection de tous les idéaux premiers de A contenant 𝔞, est un idéal premier. (iii) Soit A = ℚ[T_{1},T_{2},T_{3}]/(T_{1}^{2}− T_{2}T_{3},T_{1}T_{3}− T_{1}). Vérifier que X = Spec(A) n’est pas irréductible puis montrer que l’on peut écrire cet espace comme réunion de trois fermés irréductibles distincts.

5. Étant donné un homomorphisme d’anneaux φ : A → B, on désigne par^{a}φ : Spec(B) → Spec(A) l’application associée.

(i) Soit 𝔭 un idéal premier de A et soit i: A → A_{𝔭} l’homomorphisme canonique. Établir que l’application^{a}i réalise un homéomorphisme de Spec(A_{𝔭}) sur l’intersection des voisinages de 𝔭 dans Spec(A). (ii) Soit φ : A → B un homomorphisme d’anneaux, soit 𝔭 un idéal premier de A et soit j : B → B/𝔭B l’épimorphisme canonique. Démontrer que l’application ^{a}j réalise un homéomorphisme de Spec((B/𝔭B)_{𝔭}) sur la fibre de l’application^{a}φ au-dessus du point 𝔭. (iii) Soient f un élément de A et T une indéterminée. Démontrer que l’application Spec(A[T]) → Spec(A) associée à l’homomorphisme canonique A → A[T] induit un homéomorphisme du fermé V(fT − 1) de Spec(A[T]) sur son image dans Spec(A) et déterminer celle-ci. Qu’observe-t-on ?

Exercice 8 (Anneaux de Jacobson) — Soit A un anneau. On pose X = Spec(A) et on désigne par X_{0} le sous-ensemble de X constitué des idéaux maximaux de A (ou, de manière équivalente, des points fermés de X).

1. Démontrer que les assertions suivantes sont équivalentes.

(i) Toute partie localement fermée non vide de X rencontre X_{0}.^{(1)} (ii) Tout idéal premier de A est l’intersection des idéaux maximaux le contenant. (iii) Dans tout quotient de A, le radical est égal au nilradical.

On dit que A est un anneau de Jacobson s’il satisfait aux trois conditions équivalentes qui précèdent.

2. À quelle condition un anneau local est-il un anneau de Jacobson ?

3. Vérifier qu’un corps (resp. ℤ; resp. l’anneau k[T] des polynômes en une indéterminée T à coefficients dans un corps k) sont des anneaux de Jacobson.

4. Supposons que A soit un anneau de Jacobson et munissons le sous-ensemble X_{0} de X de la topologie induite. Démontrer que X est irréductible si et seulement si X_{0} est irréductible.

On démontrera dans l’exercice suivant que, si A est un anneau de Jacobson, toute A-algèbre de type fini est encore un anneau de Jacobson. En particulier : toute ℤ-algèbre de type fini est un anneau de Jacobson.

Exercice 9 (Nullstellensatz de Hilbert) — Le but de cet exercice est de décrire explicitement les idéaux maximaux d’un anneau de polynômes à coefficients dans un corps algébriquement clos et d’en tirer quelques conséquences.

1. Soit k un corps et soit A une k-algèbre de type fini que l’on suppose également être un corps. Nous allons démontrer que tous les éléments de A sont algébriques sur k, c’est-à-dire sont racine d’un polynôme non nul à coefficients dans k.

(i) Soient t_{1},...,t_{n} des générateurs de A sur k. Conclure lorsque n = 1. (ii) En raisonnant par récurrence sur n, montrer que l’on peut faire l’hypothèse que t_{1} est transcendant sur k — c’est-à-dire n’est annulé par aucun polynôme non nul à coefficients dans k^{(2)} — et se ramener au cas où t_{2},...,t_{n} sont algébriques sur le corps k(t_{1}). (ii) Démontrer qu’il existe un polynôme f ∈ k[T] satisfaisant à la condition suivante : quel que soit l’élément a de A, il existe un entier naturel N (dépendant de a) tel que f(t_{1})^{N}a annule un polynôme unitaire à coefficients dans k[t_{1}]^{(3)}. (iii) Montrer que l’observation précédente conduit à une contradiction si on l’applique aux éléments a de k(t_{1}) puis conclure.

(1)On dit que X_{0} est une partie « très dense » de X.

(2)On admettra le résultat suivant, qui sera démontré au chapitre IV du cours : étant donné un homomorphisme d’anneaux A → B, l’ensemble des éléments de B qui sont racine d’un polynôme unitaire de l’anneau de polynômes A[T] constituent un sous-anneau de B.

2. Soit k un corps algébriquement clos. Étant donné un entier n ≥ 1, déduire du résultat précédent que les idéaux maximaux de l’algèbre k[T_{1},...,T_{n}] sont précisément les idéaux de la forme (T_{1}− t_{1},...,T_{1}− t_{n}), où (t_{1},...,t_{n}) est un n-uplet d’éléments de k. Démontrer plus généralement que, pour toute kalgèbre de type fini A, l’application

Hom_{k}(A,k) → Spec(A), u ↦ Ker(u)

réalise une bijection de l’ensemble des homomorphismes k-linéaires de A dans k sur l’ensemble des idéaux maximaux de A.

3. Donner un contre-exemple aux assertions précédentes si le corps k n’est pas algébriquement clos.

4. Soient k un corps, A, B deux k-algèbres de type fini et φ : A → B un k-homomorphisme. (i) Démontrer que l’application^{a}φ : Spec(B) → Spec(A) associée à φ envoie un idéal maximal sur un idéal maximal. (ii) Déduire de la question précédente que toute algèbre de type fini sur un corps est un anneau de Jacobson (cf. exercice 8).

5. Soit k un corps algébriquement clos. Démontrer le théorème des zéros (ou Nullstellensatz) de Hilbert : – Tout idéal strict 𝔞 de k[T_{1},...,T_{n}] admet au moins un zéro dans k^{n}.

– Pour qu’un polynôme f de k[T_{1},...,T_{n}] s’annule sur l’ensemble V(𝔞)∩k^{n} des zéros d’un idéal 𝔞

de k[T_{1},...,T_{n}], il faut et il suffit que l’une de ses puissances soit contenue dans 𝔞.

6. Le résultat de la question 4 (ii) peut se généraliser amplement : Étant donné un anneau de Jacobson

A, toute A-algèbre de type fini B est également un anneau de Jacobson.

Notons φ : A → B le morphisme structural et supposons B ≠ 0.

(i) Soient 𝔪 un idéal maximal de B, 𝔭 = φ^{−1} (𝔪) son image dans Spec(A) par l’application ^{a}φ. En utilisant la question 4 (ii)^{(3)}, démontrer qu’il existe un élément f de A/𝔭 tel que tout élément du corps B/𝔪 soit racine d’un polynôme unitaire appartenant à ((A/𝔭)[f^{−1} ])[T]. (ii) Déduire de ce qui précède que l’anneau (A/𝔭)[f^{−1} ] est un corps puis, en utilisant le fait que A est un anneau de Jacobson, conclure que 𝔭 est un idéal maximal de A. (ii) Démontrer finalement que B est un anneau de Jacobson. (Indication : utiliser la caractérisation 1 (i) de l’exercice 8.)

7. On sait que toute ℤ-algèbre de type fini est un anneau de Jacobson (cf. exercice 8). Déduire de ce qui précède le fait suivant : étant donnés un entier naturel n ≥ 1, un ensemble I et une famille (f_{i})_{i∈I} de polynômes dans ℤ[T_{1},...,T_{n}], les conditions suivantes sont équivalentes :

– les f_{i} engendrent un idéal strict de ℤ[T_{1},...,T_{n}] ;

– il existe un nombre premier p tel que les f_{i} aient un zéro commun dans un corps fini de caractéristique p.

Exercice 10 — Soit (T_{i,j})_{1≤i,j≤n} une famille de n^{2} indéterminées et soit Δ le polynôme dans ℤ[(T_{i,j})]_{1≤i,j≤n} déterminant de la matrice M = (T_{i,j})_{1≤i,j≤n} (cf. exercice 3).

1. Soit k un corps algébriquement clos. On munit l’ensemble M_{n}(k) des matrices carrées d’ordre n sur k, naturellement identifié à k^{n^{2}}, de la topologie de Zariski. Démontrer que, pour tout entier naturel r, l’ensemble des matrices de rang ≤ r est un fermé irréductible de M_{n}(k).

2. Déduire de la question précédente que, pour tout corps algébriquement clos k, l’image de Δ dans l’anneau k[T_{1},...,T_{n}] est irréductible (c’est-à-dire ne peut pas s’écrire comme produit de deux polynômes non constants.)

(3)On pourra aussi utiliser la note^{(2)} de la page précédente

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