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\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre approfondie - Automne 2007} \hfill
\textbf{ENS-Lyon} \vspace{0.1cm} \hrule

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
{\bfseries \scshape Alg\`ebre commutative I}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\noindent \textbf{Exercice 1} --- Soit $\A$ un anneau (non
n\'ecessairement commutatif). Un \emph{id\'eal bilat\`ere} de $\A$
est un sous-groupe additif $\mathfrak{a}$ de $\A$ stable par
multiplication \`a gauche et \`a droite. \'Etant donn\'es un entier
naturel $n \geq 1$ et un corps $k$, d\'eterminer les id\'eaux
bilat\`eres de l'anneau $\M_n(k)$ des matrices carr\'ees d'ordre $n$ \`a
coefficients dans $k$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Exercice 2} (\emph{Anneaux
bool\'eiens}) --- Un anneau est dit \emph{bool\'eien} si tout
\'el\'ement $a$ satisfait \`a la condition $a^2 = a$.

\begin{enumerate}

\item Soit $\A$ un anneau bool\'eien.

\noindent (i) D\'emontrer que $\A$ est commutatif et qu'il est de
caract\'eristique $2$, c'est-\`a-dire que $2a=0$ pour tout $a \in \A$.
\\
(ii) Caract\'eriser les anneaux bool\'eiens int\`egres et en
d\'eduire que tout id\'eal premier de $\A$ est maximal. \\
(iii) D\'emontrer que tout id\'eal de type fini de $\A$ est
principal. \\

\item Soit $\E$ un ensemble. D\'emontrer que, muni des  deux lois de
composition $a+b = (a \cup b) \mathbf{-} (a \cap b)$ (diff\'erence
sym\'etrique) et $ab = a \cap b$, l'ensemble $\A = \mathcal{P}(\E)$
des parties de $\E$ est un anneau bool\'eien.

\item Soit $\A$ un anneau bool\'eien et soit $\X = \mathrm{Spec}(\A)$.

\noindent (i) D\'emontrer que, pour tout \'el\'ement $f$ de $\A$,
$\D(f) = \{x \in \X \ | \ f \notin x\}$ est une partie ouverte et
ferm\'ee de $\X$.
 \\
(ii) \'Etablir que toute partie ouverte et ferm\'ee $\Y$ de $\X$
est de la forme $\D(f)$, $f \in \A$. (\emph{Indication} : on pourra
v\'erifier que toute r\'eunion finie d'ouverts principaux est encore
un ouvert principal, puis consid\'erer un recouvrement de $\Y$ par
des ouverts principaux.) \\
(iii) D\'emontrer que l'espace topologique $\X$ est compact.
\end{enumerate}

\vspace{0.3cm}

{\itshape Sauf mention expresse du contraire, tous les anneaux
consid\'er\'es dor\'enavant sont commutatifs.}

\vspace{0.2cm}

\noindent \textbf{Exercice 3} (\emph{Th\'eor\`eme de
Hamilton-Cayley}) --- Soient $\A$ un anneau, $n \geq 1$ un entier 
et $\M = (m_{ij})$ une matrice carr\'ee d'ordre $n$ sur $\A$. 
Le \emph{d\'eterminant}
de $\M$ est l'\'el\'ement $\mathrm{det}(\M)$ de $\A$ d\'efini par la
formule :
$$\mathrm{det}(\M) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n}
\varepsilon(\sigma) m_{1,\sigma(1)} \ldots m_{n, \sigma(n)},$$ o\`u
$\mathfrak{S}_n$ est le groupe des permutations de l'ensemble $\{1,
\ldots, n\}$.

Soient $\A$ un anneau, $\M$ une matrice carr\'ee d'ordre $n$ sur
$\A$ et $\T$ une ind\'etermin\'ee. Le \emph{polyn\^ome
caract\'eristique} de $\M$ est le polyn\^ome unitaire $\chi_{\M}(\T)
= \mathrm{det}(\T \Ir_n - \M) \in \A[\T]$, o\`u $\Ir_n$ est la
matrice identit\'e de rang $n$.
\begin{enumerate} \item D\'emontrer la g\'en\'eralisation suivante du
th\'eor\`eme de Hamilton-Cayley : quels que soient l'anneau $\A$ et
la matrice carr\'ee $\M$ d'ordre $n$ sur $\A$, $\chi_{\M}(\M) = 0$
dans $\M_n(\A)$. (\emph{Indication} : on pourra commencer par
introduire des ind\'etermin\'ees $\T_{ij}$, $1 \leq i, j \leq n$, et
consid\'erer l'anneau $\Zb[(\T_{ij})]_{1 \leq i,j \leq n}$.)
\item Soit $\N$ une matrice carr\'ee d'ordre $n$ sur un anneau $\A$.
D\'emontrer que $\N$ est nilpotente si et seulement si chaque
coefficient non dominant du polyn\^ome caract\'eristique de $\N$ est
nilpotent.
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Exercice 4} --- Soit $\A$ un
anneau.
\begin{enumerate}
\item Soit $\A[\X]$ l'anneau des polyn\^omes en une ind\'etermin\'ee
$\X$, \`a coefficients dans $\A$.

\noindent (i) D\'eterminer le groupe $\A[\X]^{\times}$ des unit\'es
de $\A[\X]$. \\
(ii) D\'eterminer le nilradical et le radical (de Jacobson) de
$\A[\X]$. \\ (iii) D\'emontrer qu'un \'el\'ement $f$ de $\A[\X]$ est
diviseur de z\'ero si et seulement s'il existe un \'el\'ement non
nul $a$ de $\A$ tel que $af=0$.

\item Soit $\I$ un ensemble. \'Etendre les r\'esultats
pr\'ec\'edents \`a l'anneau $\A[\X_i]_{i \in \I}$ des polyn\^omes en
la famille d'ind\'etermin\'ees $(\X_i)_{i \in \I}$, \`a coefficients
dans $\A$.

\end{enumerate}

\noindent \textbf{Exercice 5} --- Soit $\A$ un anneau et soit
$\A[[\X]]$ l'anneau des s\'eries formelles en l'ind\'etermin\'ee
$\X$, \`a coefficients dans $\A$.

\begin{enumerate}
\item D\'emontrer qu'un \'el\'ement $f$ de $\A[[\X]]$ est inversible
si et seulement si $f(0)$ est un \'el\'ement inversible de $\A$. En
d\'eduire le radical (de Jacobson) de $\A[[\X]]$.
\item D\'emontrer que le nilradical $\mathfrak{N}(\A[[\X]])$ de
l'anneau $\A[[\X]]$ est contenu dans l'id\'eal
$\mathfrak{N}(\A)[[\X]]$. Donner un exemple d'anneau pour lequel
cette inclusion est une \'egalit\'e, puis un exemple pour lequel
elle est stricte.
\item D\'emontrer que l'application $\mathfrak{m} \mapsto
(\mathfrak{m},\X)\A[[\X]] = \mathfrak{m} \A[[\X]] + \X \A[[\X]]$
r\'ealise une bijection de l'ensemble des id\'eaux maximaux de $\A$
sur l'ensemble des id\'eaux maximaux de $\A[[\X]]$.
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}


\noindent \textbf{Exercice 6} (\emph{Localisation}) ---

\begin{enumerate}
\item Donner un exemple d'anneau int\`egre $\A$ qui ne soit pas un
corps mais dans lequel il existe un \'el\'ement $f$ tel que l'anneau
$\A[f^{-1}]$ soit un corps.
\item Soit $\A$ un anneau. \\
(i) D\'emontrer que l'application canonique $\A \rightarrow
\prod_{\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(\A)} \A_{\mathfrak{p}}$ est
injective. \\
(ii) D\'emontrer que l'anneau $\A$ est r\'eduit (c'est-\`a-dire ne
poss\`ede pas d'\'el\'ement nilpotent non nul) si et seulement si
chacun de ses localis\'es $\A_{\mathfrak{p}}$, $\mathfrak{p} \in
\mathrm{Spec}(\A)$, est r\'eduit.
\item Soit $\A$ un anneau int\`egre. \'Etant donn\'e un id\'eal
maximal $\mathfrak{m}$ de $\A$, justifier que l'anneau
$\A_{\mathfrak{m}}$ s'identifie canoniquement \`a un sous-anneau du
corps des fractions $\K$ de $\A$. Ces identifications \'etant
faites, d\'emontrer l'\'egalit\'e $\A = \bigcap_{\mathfrak{m} \in
\mathrm{Max}(\A)} \A_{\mathfrak{m}}.$
\item Soit $\A$ un anneau. Un \'el\'ement de $\A$ est dit
\emph{r\'egulier} s'il n'est
pas diviseur de z\'ero. \\
(i) D\'emontrer que l'ensemble $\Sr_0$ des \'el\'ements r\'eguliers
de $\A$ est une partie multiplicative et qu'elle est
\emph{satur\'ee}, c'est-\`a-dire qu'elle satisfait \`a la condition $$ss'
\in \Sr_0 \Longleftrightarrow s \in \Sr_0 \ \mathrm{et} \ s' \in
\Sr_0.$$ (ii) D\'emontrer que l'application canonique $\A \rightarrow
\Sr_0^{-1}\A$ est injective. \\
(iii) D\'emontrer que $\Sr_0$ est la plus grande
partie multiplicative $\Sr$ de $\A$ telle que l'application
canonique $\A \rightarrow \Sr^{-1}\A$ soit injective.
\end{enumerate}
L'anneau $\Sr_0^{-1}\A$ est l'\emph{anneau total des fractions} de
$\A$.

\vspace{0.2cm}

\noindent \textbf{Exercice 7} (\emph{Spectre}) --- Soit $\A$ un
anneau et soit $\X = \mathrm{Spec}(\A)$ son spectre, que l'on munit
de la topologie de Zariski.
\begin{enumerate}
\item Soient $\I$ un ensemble et $(f_i)_{i \in \I}$ une famille
d'\'el\'ements de $\A$ index\'ee par $\I$. Prouver que les
conditions suivantes sont \'equivalentes : \\
(i) Les ouverts principaux $\D(f_i)$, $i \in \I$, recouvrent $\X$.
\\
(ii) Il existe un sous-ensemble fini $\J$ de $\I$ et une famille
$(g_j)_{j \in \J}$ d'\'el\'ements de $\A$ tels que $\sum_{j
\in \J} f_j g_j = 1$.

En d\'eduire que l'espace topologique $\X$ est quasi-compact
(c'est-\`a-dire : on peut extraire de tout recouvrement ouvert un
sous-recouvrement fini).
\item D\'emontrer que l'espace topologique $\X$ est s\'epar\'e (donc
compact) si et seulement si tous les id\'eaux premiers de $\A$ sont
maximaux. (\emph{Indication} : on pourra se ramener au cas d'un
anneau r\'eduit, puis observer que la seconde condition implique alors
que tous les localis\'es $\A_{\mathfrak{m}}$ de $\A$ sont des corps.)

\item Un \'el\'ement $e$ de $\A$ est \emph{idempotent} s'il v\'erifie
$e^2 = e$. D\'emontrer que l'application $e \mapsto \D(e)$ r\'ealise
une bijection de l'ensemble des \'el\'ements idempotents de $\A$ sur
l'ensemble des parties ouvertes et ferm\'ees de l'espace topologique $\X$.
(\emph{Indication} : remarquer que, si $\mathfrak{a}$ et
$\mathfrak{b}$ sont deux id\'eaux de $\A$ tels que
$\V(\mathfrak{a})$ et $\V(\mathfrak{b})$ soient des ferm\'es
disjoints dans $\X$, alors $\mathfrak{a} + \mathfrak{b} = \A$.)

\item On rappelle qu'un espace topologique $\X$ est dit
\emph{irr\'eductible} s'il est non vide et s'il ne 
peut pas s'\'ecrire comme la r\'eunion
de deux sous-espaces ferm\'es stricts. \\
(i) \`A quelle condition un espace topologique s\'epar\'e est-il
irr\'eductible? \\
(ii) D\'emontrer que $\X = \mathrm{Spec}(\A)$ est irr\'eductible si
et seulement si le nilradical de l'anneau $\A$ est un id\'eal
premier. En d\'eduire que, pour tout id\'eal $\mathfrak{a}$ de $\A$,
le ferm\'e $\V(\mathfrak{a})$ de $\X$ est irr\'eductible si et
seulement sa racine $\mathfrak{r}(\mathfrak{a})$, c'est-\`a-dire 
l'intersection de tous les id\'eaux premiers de $\A$
contenant $\mathfrak{a}$, est un id\'eal
premier. \\
(iii) Soit $\A = \Qb[\T_1, \T_2, \T_3]/(\T_1^2 - T_2\T_3,
\T_1\T_3 - \T_1)$. V\'erifier que $\X = \mathrm{Spec}(\A)$ n'est pas
irr\'eductible puis montrer que l'on peut \'ecrire cet espace comme
r\'eunion de trois ferm\'es irr\'eductibles distincts.

\item \'Etant donn\'e un homomorphisme d'anneaux $\varphi : \A
\rightarrow \B$, on d\'esigne par $^{a}\varphi : \mathrm{Spec}(\B)
\rightarrow \mathrm{Spec}(\A)$ l'application associ\'ee. \\
(i) Soit $\mathfrak{p}$ un id\'eal premier de $\A$ et soit $i : \A
\rightarrow \A_{\mathfrak{p}}$ l'homomorphisme canonique. \'Etablir
que l'application $^{a}i$ r\'ealise un hom\'eomorphisme de
$\mathrm{Spec}(\A_{\mathfrak{p}})$ sur l'intersection des voisinages
de $\mathfrak{p}$ dans $\mathrm{Spec}(\A)$. \\
(ii) Soit $\varphi : \A \rightarrow \B$ un homomorphisme d'anneaux,
soit $\mathfrak{p}$ un id\'eal premier de $\A$ et soit $j : \B
\rightarrow \B/\mathfrak{p}\B$ l'\'epimorphisme canonique.
D\'emontrer que l'application $^{a}j$ r\'ealise un hom\'eomorphisme
de $\mathrm{Spec}((\B/\mathfrak{p}\B)_{\mathfrak{p}})$ sur la fibre de l'application
$^{a}\varphi$ au-dessus du point $\mathfrak{p}$.
\\
(iii) Soient $f$ un \'el\'ement de $\A$ et $\T$ une
ind\'etermin\'ee. D\'emontrer que l'application
$\mathrm{Spec}(\A[\T]) \rightarrow \mathrm{Spec}(\A)$ associ\'ee \`a
l'homomorphisme canonique $\A \rightarrow \A[\T]$ induit un
hom\'eomorphisme du ferm\'e $\V(f\T - 1)$ de $\mathrm{Spec}(\A[\T])$
sur son image dans $\mathrm{Spec}(\A)$ et d\'eterminer celle-ci. 
Qu'observe-t-on?
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Exercice 8} (\emph{Anneaux de Jacobson}) --- Soit
$\A$ un anneau. On pose $\X = \mathrm{Spec}(\A)$ et on d\'esigne par
$\X_0$ le sous-ensemble de $\X$ constitu\'e des id\'eaux
\emph{maximaux} de $\A$ (ou, de mani\`ere \'equivalente, des points
\emph{ferm\'es} de $\X$).

\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que les assertions suivantes sont
\'equivalentes. \\ (i) Toute partie localement ferm\'ee non vide de
$\X$ rencontre $\X_0$. \footnote{On dit que $\X_0$ est une partie
\og tr\`es dense \fg \ de $\X$.} \\
(ii) Tout id\'eal premier de $\A$
est l'intersection des id\'eaux
maximaux le contenant. \\
(iii) Dans tout quotient de $\A$, le radical est \'egal au
nilradical.

On dit que $\A$ est un \emph{anneau de Jacobson} s'il satisfait aux
trois conditions \'equivalentes qui pr\'ec\`edent.
\item \`A quelle condition un anneau local est-il un anneau de
Jacobson?
\item V\'erifier qu'un corps (resp. $\Zb$ ; resp. l'anneau $k[\T]$ 
des polyn\^omes en une
ind\'etermin\'ee $\T$ \`a coefficients dans un corps $k$) sont des
anneaux de Jacobson.
\item Supposons que $\A$ soit un anneau de Jacobson et munissons
le sous-ensemble $\X_0$ de $\X$ de la topologie induite. D\'emontrer
que $\X$ est irr\'eductible si et seulement si $\X_0$ est
irr\'eductible.
\end{enumerate}

\vspace{0.1cm} On d\'emontrera dans l'exercice suivant que, 
si $\A$ est un anneau de Jacobson, toute $\A$-alg\`ebre de type fini 
est encore un anneau de Jacobson. En particulier : toute 
$\Zb$-alg\`ebre de type fini est un anneau de Jacobson.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Exercice 9} (\emph{Nullstellensatz
de Hilbert})
--- Le but de cet exercice est de d\'ecrire explicitement les
id\'eaux maximaux d'un anneau de polyn\^omes \`a coefficients dans
un corps alg\'ebriquement clos et d'en tirer quelques
cons\'equences.

\begin{enumerate}
\item Soit $k$ un corps et soit $\A$ une $k$-alg\`ebre de type fini
que l'on suppose \'egalement \^etre un corps. Nous allons
d\'emontrer que tous les \'el\'ements de $\A$ sont
\emph{alg\'ebriques} sur $k$, c'est-\`a-dire sont racine d'un
polyn\^ome non nul \`a coefficients dans $k$.  \\
(i) Soient $t_1, \ldots,
t_n$ des g\'en\'erateurs de $\A$ sur $k$. Conclure lorsque $n = 1$. \\
(ii) En raisonnant par r\'ecurrence sur $n$, montrer que l'on peut
faire l'hypoth\`ese que $t_1$ est \emph{transcendant} sur $k$ ---
c'est-\`a-dire n'est annul\'e par aucun polyn\^ome non nul \`a
coefficients dans $k$ \footnote{On admettra le r\'esultat suivant,
qui sera d\'emontr\'e au chapitre IV du cours : \'etant donn\'e un
homomorphisme d'anneaux $\A \rightarrow \B$, l'ensemble des
\'el\'ements de $\B$ qui sont racine d'un polyn\^ome \emph{unitaire}
de l'anneau de polyn\^omes $\A[\T]$ constituent un sous-anneau de
$\B$.} --- et se ramener au cas o\`u $t_2, \ldots, t_n$ sont
alg\'ebriques sur le corps $k(t_1)$. \\
(iii) D\'emontrer qu'il existe un polyn\^ome $f \in k[\T]$
satisfaisant \`a la condition suivante : quel que soit l'\'el\'ement
$a$ de $\A$, il existe un entier naturel $\N$ (d\'ependant de $a$)
tel que $f(t_1)^{\N}a$ annule un polyn\^ome \emph{unitaire} \`a
coefficients dans $k[t_1]$ \footnote{On pourra aussi utiliser la note 
$^{\mathrm{(2)}}$ de la page pr\'ec\'edente}. \\
(iv) Justifier que l'observation pr\'ec\'edente conduit \`a une
contradiction si on l'applique aux \'el\'ements $a$ de $k(t_1)$ puis
conclure.
\item Soit $k$ un corps alg\'ebriquement clos. \'Etant donn\'e un
entier $n \geq 1$, d\'eduire du r\'esultat pr\'ec\'edent que les
id\'eaux maximaux de l'alg\`ebre $k[\T_1, \ldots, \T_n]$ sont
pr\'ecis\'ement les id\'eaux de la forme $(T_1 - t_1, \ldots, T_1 -
t_n)$, o\`u $(t_1, \ldots, t_n)$ est un $n$-uplet d'\'el\'ements de
$k$. D\'emontrer plus g\'en\'eralement que, pour toute $k$-alg\`ebre
de type fini $\A$, l'application
$$\mathrm{Hom}_k(\A, k) \rightarrow \mathrm{Spec}(\A), \ u \mapsto
\mathrm{Ker}(u)$$ r\'ealise une bijection de l'ensemble des
homomorphismes $k$-lin\'eaires de $\A$ dans $k$ sur l'ensemble des
id\'eaux maximaux de $\A$. \item Donner un contre-exemple aux
assertions pr\'ec\'edentes si le corps $k$ n'est pas
alg\'ebriquement clos.
\item Soient $k$ un corps, $\A$, $\B$ deux $k$-alg\`ebres de type fini
et $\varphi : \A \rightarrow \B$ un $k$-homomorphisme. \\
(i) D\'emontrer que l'application $^{a}\varphi : \mathrm{Spec}(\B)
\rightarrow \mathrm{Spec}(\A)$ associ\'ee \`a $\varphi$ envoie un
id\'eal maximal sur un id\'eal maximal. \\
(ii) D\'eduire de la question pr\'ec\'edente que toute alg\`ebre de
type fini sur un corps est un anneau de Jacobson (cf. exercice 8).
\item Soit $k$ un corps
alg\'ebriquement clos. D\'emontrer le \emph{th\'eor\`eme des
z\'eros} (ou \emph{Nullstellensatz}) de Hilbert :
\begin{itemize} \item Tout id\'eal strict $\mathfrak{a}$ de $k[\T_1,
\ldots, \T_n]$ admet au moins un z\'ero dans $k^{n}$.
\item Pour qu'un polyn\^ome $f$ de $k[\T_1, \ldots, \T_n]$ s'annule
sur l'ensemble $\V(\mathfrak{a}) \cap k^n$ des z\'eros d'un id\'eal
$\mathfrak{a}$ de $k[\T_1, \ldots, \T_n]$, il faut et il suffit que
l'une de ses puissances soit contenue dans $\mathfrak{a}$.
\end{itemize}
\item Le r\'esultat de la question 4 (ii) peut se g\'en\'eraliser amplement : 
\'Etant donn\'e un anneau de Jacobson $\A$, toute $\A$-alg\`ebre 
de type fini $\B$ est \'egalement un anneau de Jacobson. 

Notons $\varphi : \A \rightarrow \B$ le morphisme structural et 
supposons $\B \neq 0$.  \\
(i) Soient $\mathfrak{m}$ un id\'eal maximal de $\B$, $\mathfrak{p} 
= \varphi^{-1}(\mathfrak{m})$ son image dans $\mathrm{Spec}(\A)$ par 
l'application $^{a}\varphi$. En utilisant la question 4 (ii) 
$^{\textrm{(3)}}$, d\'emontrer qu'il existe un \'el\'ement $f$ de $\A/\mathfrak{p}$ tel que tout \'el\'ement du corps $\B/\mathfrak{m}$ soit racine d'un polyn\^ome unitaire appartenant 
\`a $\big((\A/\mathfrak{p})[f^{-1}]\big)[\T]$. \\
(ii) D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que l'anneau $\big(\A/\mathfrak{p}\big)[f^{-1}]$ est un corps puis, en utilisant le fait que $\A$ est un anneau de Jacobson, conclure que $\mathfrak{p}$ est un id\'eal maximal de $\A$. \\
(ii) D\'emontrer finalement que $\B$ est un anneau de Jacobson. 
(\emph{Indication} : utiliser la caract\'erisation 1 
(i) de l'exercice 8.)

\item On sait que toute $\Zb$-alg\`ebre de type fini est un anneau 
de Jacobson (cf. exercice 8). D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede le 
fait suivant : \'etant donn\'es un entier naturel $n \geq 1$, un
ensemble $\I$ et une famille $(f_i)_{i \in \I}$ de polyn\^omes dans 
$\Zb[\T_1, \ldots, \T_n]$, les conditions suivantes sont 
\'equivalentes :
\begin{itemize}
\item les $f_i$ engendrent un id\'eal strict de 
$\Zb[\T_1, \ldots, \T_n]$; 
\item il existe un nombre premier $p$ tel que les $f_i$ aient un 
z\'ero commun dans un corps fini de caract\'eristique $p$.
\end{itemize} 
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Exercice 10} --- Soit $(\T_{i,j})_{1
\leq i, j \leq n}$ une famille de $n^2$ ind\'etermin\'ees et soit
$\Delta$ le polyn\^ome dans $\Zb[(\T_{i,j})]_{1 \leq i,j \leq n}$
d\'eterminant de la matrice $\M = (\T_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}$
(cf. exercice 3).

\begin{enumerate}
\item Soit $k$ un corps alg\'ebriquement clos. On munit l'ensemble
$\M_n(k)$ des matrices carr\'ees d'ordre $n$ sur $k$, naturellement
identifi\'e \`a $k^{n^2}$, de la topologie de Zariski. D\'emontrer
que, pour tout entier naturel $r$, l'ensemble des matrices de rang
$\leq r$ est un ferm\'e irr\'eductible de $\M_n(k)$.

\item D\'eduire de la question pr\'ec\'edente que, pour tout corps
alg\'ebriquement clos $k$, l'image de $\Delta$ dans l'anneau
$k[\T_1, \ldots, \T_n]$ est irr\'eductible (c'est-\`a-dire ne peut
pas s'\'ecrire comme produit de deux polyn\^omes non constants.)
\end{enumerate}

\newpage

\end{document}
