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\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre approfondie - Automne 2007} \hfill \textbf{ENS-Lyon}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
{\bfseries \scshape Alg\`ebre commutative I : corrig\'e}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\noindent \textbf{Exercice 1} --- Si un id\'eal bilat\`ere $\mathfrak{a}$ de $\M_n(k)$ est non nul, il contient une matrice $\M$ de rang $r \geq 1$. Il existe des matrices $\rP, \Qb \in \mathrm{GL}_n(k)$ telles que $\rP \M \Qb = \J_r = \left(\begin{array}{ll} \I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$ et $\mathfrak{a}$ contient donc $\J_r$. On en d\'eduit que $\mathfrak{a}$ contient la matrice \'el\'ementaire $\E_{11}  = \J_r \E_{11}$, puis chacune des matrices $\E_{ii} = \T_{1i} \E_{11} \T_{1i}$, $1 \leq i \leq n$, o\`u $\T_{1i}$ d\'esigne la matrice transposant les coordonn\'ees d'indices $i$ et $1$, et donc finalement la matrice identit\'e $\I_n = \sum_i \E_{ii}$. Les seuls id\'eaux bilat\`eres de l'anneau $\M_n(k)$ sont donc $\{0\}$ et $\M_n(k)$.

\vspace{0.2cm}
\noindent \textbf{Exercice 2} --- 1. (i) Quels que soient $a, b \in \A$, $$a+b = (a+b)^2 = a^2 + ab + ba + b^2 = a + b + ab +ba, \ \textrm{donc } ab + ba = 0$$ et $$2a = (a+1)^2 - (a^2 +1) = (a+1) - (a+1) = 0$$ donc l'anneau $\A$ est de caract\'eristique $2$ (i.e. l'homomorphisme canonique $\mathbb{Z} \rightarrow \A$ se factorise par $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{F}_2$) et il est commutatif ($ab = ab + 2ba = ba$).

(ii) Si l'anneau bool\'eien $\A$ est int\`egre, l'identit\'e $a^2 - a = a(a-1) = 0$ implique $a=0$ ou $a=1$ et donc $\A$ est le corps $\mathbb{F}_2$ (l'homomorphisme canonique $\mathbb{F}_2 \rightarrow \A$ est un isomorphisme). Quel que soient alors l'anneau bool\'eien $\A$ et l'id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$, $\A/\mathfrak{p}$ est un anneau bool\'eien int\`egre, donc un corps, et $\mathfrak{p}$ est par cons\'equent maximal.

(iii) Il suffit de v\'erifier que l'id\'eal $\A a+\A b$ engendr\'e par deux \'el\'ements $a, b$ de $\A$ est principal. Tel est bien le cas en vertu des identit\'es $a = a(a+b+ab)$ et $b(a+b+ab)$ : $\A a + \A b$ est l'id\'eal principal engendr\'e par $a+b+ab$.

\vspace{0.1cm}
2. Quelle que soit la partie $\F$ de $\E$, on d\'esigne par $\chi_{\F}$ l'application $$\E \rightarrow \mathbb{F}_2, \ x \mapsto \left\{\begin{array}{ll} 1 & \textrm{ si } x \in \F \\ 0 & \textrm{ si } x \notin \F \end{array} \right. \textrm{ (fonction caract\'eristique de $\F$)}$$ et on v\'erifie imm\'ediatement que l'application $\chi \mapsto \chi_{\F}$ de l'ensemble $\mathcal{P}(\E)$ des parties de $\E$ dans l'ensemble $\mathrm{Hom}(\E, \mathbb{F}_2)$ des applications de $\E$ dans $\mathbb{F}_2$ est une bijection satisfaisant aux conditions suivantes :
$$\chi_{\F \cap \F'} = \chi_{\F}\chi_{\F'} \ \ \textrm{et} \ \ \chi_{(\F \cup \F') - (\F \cap \F')} = \chi_{\F} + \chi_{\F'}$$ pour toutes parties $\F, \F'$ de $\E$. Les lois de compositions d\'efinies sur $\mathcal{P}(\E)$ ne sont donc autres que celles provenant de la structure naturelle de $\mathbb{F}_2$-alg\`ebre sur $\mathrm{Hom}(\E, \mathbb{F}_2)$ via cette bijection. En particulier, comme $\mathrm{Hom}(\E, \mathbb{F}_2)$ est un anneau bool\'eien, il en est de m\^eme pour $\mathcal{P}(\E)$ muni de la structure d'anneau consid\'er\'ee.

\vspace{0.1cm}
3. (i) Quels que soient l'\'el\'ement $f$ de $\A$ et l'id\'eal premier $\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(\A)$, l'identit\'e $f(f-1) = 0$ implique $f(f-1) \in \mathfrak{p}$, donc $f \in \mathfrak{p}$ ou $f-1 \in \mathfrak{p}$, et ces deux derni\`eres conditions s'excluent mutuellement puisque $1 \notin \mathfrak{p}$. En d'autres termes : chaque id\'eal premier est contenu dans un seul des ouverts $\D(f-1), \D(f)$ de $\mathrm{Spec}(\A)$, donc $$\mathrm{Spec}(\A) = \D(f) \cup \D(f-1), \ \ \D(f) \cap \D(f-1) = \emptyset$$ et $\D(f)$ est une bien partie ouverte et ferm\'ee de $\mathrm{Spec}(\A)$.

(ii) Soit $\Y$ une partie ouverte et ferm\'ee de $\mathrm{Spec}(\A)$. Comme les ouverts principaux engendrent la topologie de $\mathrm{Spec}(\A)$ (cf. exercice 7, 1), il existe une famille $\{f_i\}_{i \in \Ir}$ d'\'el\'ements de $\A$ telle que l'ouvert $\Y$ soit la r\'eunion des $\D(f_i)$. Comme  $\Y$ est ferm\'e, $$(\mathrm{Spec}(\A) - \Y) \cup \bigcup_{i \in \Ir} \D(f_i)$$ est un recouvrement ouvert de l'espace topologique $\mathrm{Spec}(\A)$ ; ce dernier \'etant quasi-compact (cf. exercice 7, 1), il existe un sous-ensemble fini $\J$ de $\Ir$ tel que $\Y$ soit recouvert par les ouverts $\D(f_j)$, $j \in \J$, et il reste \`a v\'erifier que toute r\'eunion finie d'ouverts principaux est un ouvert principal. Il suffit de traiter le cas de deux ouverts $\D(a), \D(b)$, qui d\'ecoule imm\'ediatement de la question 1. (iii) :
\begin{eqnarray*}\mathrm{Spec}(\A) - (\D(a) \cup \D(b)) & = & (\mathrm{Spec}(\A) - \D(a)) \cap (\mathrm{Spec}(\A) - \D(b)) \\ & = & \V(\A a) \cap \V(\A b) \\ & = & \V(\A (a+b+ab)) \\ & = & \mathrm{Spec}(\A) - \D(a+b+ab) \end{eqnarray*} et donc $\D(a) \cup \D(b) = \D(a+b+ab)$.

(iii) L'espace topologique $\mathrm{Spec}(\A)$ \'etant quasi-compact, il s'agit de voir qu'il est s\'epar\'e. \'Etant donn\'es $\mathfrak{p}, \mathfrak{p}'$ deux id\'eaux premiers distincts $\A$, il existe un \'el\'ement $f$ de $\A$ appartenant \`a $\mathfrak{p}'$ mais pas \`a $\mathfrak{p}$ ; on a alors $\mathfrak{p} \in \D(f)$ et $\mathfrak{p}' \notin \D(f)$, donc $\mathfrak{p} \in \D(f)$ et $\mathfrak{p}' \in \D(f-1)$, et $\D(f), \D(f-1)$ sont ainsi des voisinages disjoints de $\mathfrak{p},  \mathfrak{p}'$ respectivement.

\vspace{0.2cm}
\noindent \textbf{Exercice 3} --- Commen{\c c}ons par une observation pr\'eliminaire : tout homomorphisme d'anneaux $\varphi : \A \rightarrow \B$ donne naturellement naissance \`a des homomorphismes d'anneaux $$\M_n(\A) \rightarrow \M_n(\B), \ \ (m_{ij}) \mapsto (\varphi(m_{ij})), \ \textrm{ et } \ \A[\T] \rightarrow \B[\T], \ \sum_n a_n \T^n \mapsto \sum_n \varphi(a_n) \T^n,$$ que l'on convient de d\'esigner \'egalement par la lettre $\varphi$. Quels que soient la matrice $\M \in \M_n(\A)$ et le polyn\^ome $\rP \in \A[\T]$, $$\chi_{\varphi(\M)} = \varphi(\chi_{\M}) \ \textrm{ et } \ \varphi(\rP(\M)) = \varphi(\rP) (\varphi(\M)).$$

\vspace{0.1cm} Soit $\M \in \M_n(\A)$. Quels que soient le corps $\K$ et l'homomorphisme d'anneaux $\varphi : \A \rightarrow \K$, $$\varphi(\chi_{\M}(\M)) = \chi_{\varphi(\M)}(\varphi(\M)) = 0$$ en vertu du th\'eor\`eme de Hamilton-Cayley usuel dans $\M_n(\K)$ ; les coefficients de la matrice $\chi_{\M}(\M)$ ont ainsi une image nulle par tout homomorphisme de $\A$ dans un corps. Il est \'equivalent de dire que les coefficients de $\chi_{\M}(\M)$ appartiennent \`a l'intersection de tous les id\'eaux premiers de $\A$ \footnote{Les conditions suivantes sont \'equivalentes pour tout \'el\'ement $a$ de $\A$ : \begin{itemize} \item quels que soient le corps $\K$ et l'homomorphisme $\varphi : \A \rightarrow \K$, $\varphi(a) = 0$ ; \item $a$ appartient \`a tous les id\'eaux premiers de $\A$.\end{itemize} La premi\`ere implique la seconde car le noyau d'un homomorphisme de $\A$ dans un corps est un id\'eal premier de $\A$ ; la seconde implique la premi\`ere car, pour tout id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$, l'anneau int\`egre $\A/\mathfrak{p}$ s'injecte dans son corps des fractions $\kappa(\mathfrak{p})$} et ce sont donc des \'el\'ements nilpotents : en effet, l'intersection des id\'eaux premiers de l'anneau $\A$ est l'id\'eal, appel\'e \emph{nilradical} de $\A$ et not\'e $\mathfrak{N}(\A)$, constitu\'e des \'el\'ements nilpotents de $\A$ \footnote{Voir par exemple \emph{Introduction to Commutative Algebra}, M. F. Atiyah and I. G. MacDonald, Addison-Wesley Pub.Co. (1969), Chap.1, Proposition 1.8.}. \`A ce stade, nous ne pouvons conclure \`a la nullit\'e de $\chi_{\M}(\M)$ seulement si l'anneau $\A$ est \emph{r\'eduit}, c'est-\`a-dire s'il ne contient pas d'\'el\'ement nilpotent non nul.

Introduisons maintenant l'anneau $\A_0 = \mathbb{Z}[(\T_{ij})_{1 \leq i, j \leq n}]$ des polyn\^omes \`a coefficients dans $\mathbb{Z}$ en les ind\'etermin\'es $\T_{i,j}$ et la matrice $\M_0 = (\T_{ij}) \in \M_n(\A_0)$. L'anneau $\A_0$ \'etant r\'eduit (pour le d\'emontrer, on peut par exemple invoquer les questions 1. (ii) et 2 de l'exercice 4), on d\'eduit de ce qui pr\'ec\`ede l'identit\'e $$\chi_{\M_0}(\M_0) = 0$$ dans $\M_n(\A_0)$.

Soit alors $\varphi$ l'unique homomorphisme de $\A_0$ dans $\A$ tel que $\varphi(\T_{ij}) = m_{ij}$ pour tous $i, j \in \{1, \ldots, n\}$ \footnote{Les anneaux de polyn\^omes satisfont \`a une propri\'et\'e universelle qui les caract\'erise. Quels que soient l'anneau (non n\'ecessairement commutatif) $\B$ et l'ensemble $\Ir$, on d\'esigne par $\B^{(\Ir)}$ l'ensemble des applications de $\Ir$ dans $\B$ de \emph{support fini} (i.e. s'annulant en dehors d'un sous-ensemble fini de $\Ir$). \'Etant donn\'e un anneau $\A$ (non n\'ecessairement commutatif) $\A$, l'anneau $\A[(\T_i)_{i \in \Ir}]$  des polyn\^omes \`a coefficients dans $\A$ en la famille d'ind\'etermin\'ee $\{T_i\}_{i \in \Ir}$ satisfait alors \`a la condition suivante : quel que soit la $\A$-alg\`ebre (non n\'ecessairement commutative) $\B$, l'application $$\mathrm{Hom}_{\A-\mathbf{Alg}}(\A[(\T_i)_{i \in \Ir}], \B) \rightarrow \B^{(\Ir)}, \ \varphi \mapsto (\varphi(\T_{i}))_{i \in \Ir}$$ r\'ealise une bijection, le membre de gauche \'etant l'ensemble des homomorphismes de $\A$-alg\`ebres de $\A[(\T_i)_{i \in \Ir}]$ dans $\B$. Cette propri\'et\'e caract\'erise l'anneau $\A[[(\T_i)_{i \in \Ir}]$ \`a un isomorphisme unique pr\`es : si $\C$ est une $\A$-alg\`ebre satisfaisant \`a la m\^eme condition, il existe un isomorphisme et un seul de $\A[[(\T_i)_{i \in \Ir}]$ sur $\C$ qui soit compatible (en un sens \'evident) avec cette propri\'et\'e (le v\'erifier!). Une r\'ef\'erence possible : \emph{Les formalismes fondamentaux de l'alg\`ebre commutative}, J.-P. Lafon, Hermann (1998).} ; on a $\M = \varphi(\M_0)$ et donc $$\chi_{\M}(\M) = \chi_{\varphi(\M_0)}(\varphi(\M_0)) = \varphi(\chi_{\M_0}(\M_0)) = \varphi(0) = 0.$$

\vspace{0.1cm} Soit $\N \in \M_n(\A)$. Si la matrice $\N$ est nilpotente, $\chi_{\varphi(\N)} = \T^n$ pour tout homomorphisme $\varphi$ de $\A$ dans un corps et donc les coefficients non dominants du poly\^ome $\chi_{\N}$ sont des \'el\'ements nilpotents de $\A$. R\'eciproquement, si cette derni\`ere condition est v\'erifi\'ee, $\N^n$ est une somme d'\'el\'ements nilpotents de la sous-$\A$-alg\`ebre de $\M_n(\A)$ engendr\'ee par $\N$ ; comme cette alg\`ebre est commutative, ses \'el\'ements nilpotents en constituent un id\'eal et $\N$ est donc une matrice nilpotente \footnote{Prendre garde que les \'el\'ement nilpotents de $\M_n(\A)$ ne constituent \'evidemment pas un id\'eal de $\M_n(\A)$ d\`es que $n \geq 2$. Contre-exemple (n=2) : les matrices $\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$ et $\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$ sont nilpotentes mais leur somme $\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$ ne l'est pas puisqu'elle est inversible!}

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Exercice 4} --- 1. (i) Quel que soit le corps $\K$, $\K[\T]^{\times} = \K^{\times}$. En raisonnant comme dans l'exercice pr\'ec\'edent, on en d\'eduit l'inclusion $$\A[\T]^{\times} \subset \{a_0 + a_1 \T + \ldots + a_n \T^n \ | \ a_0 \in \A^{\times} \ \textrm{ et } \ a_1, \ldots, a_n \in \mathfrak{N}(\A)\}.$$ L'inclusion r\'eciproque d\'ecoule imm\'ediatement du fait que, dans tout anneau $\B$, $1+b$ est inversible si $b$ est un \'el\'ement nilpotent de $\B$ : $(1+b)^{-1} = 1 + \sum_{n \geq 1} (-1)^n b^n$ (la somme est finie).

(ii) Le \emph{radical} (ou \emph{radical de Jacobson}) d'un anneau $\B$ est par d\'efintion l'intersection des id\'eaux maximaux de $\B$ ; c'est un id\'eal, not\'e $\mathfrak{R}(\B)$, que l'on peut \'egalement caract\'eris\'e de la mani\`ere suivante \footnote{Voir par exemple Atiyah - MacDonald, Chap.1, Proposition 1.9.} : $$\mathfrak{R}(\B) = \{b \in \B \ | \ \textrm{pour tout $x \in \B$, } 1+xb \in \B^{\times}\}.$$ L'inclusion $\mathfrak{N}(\B) \subset \mathfrak{R}(\B)$ est tautologique.

Dans le cas qui nous int\'eresse, on dispose des inclusions \'evidentes : $$\mathfrak{N}(\A)[\T] = \{a_0 + a_1 \T + \ldots + a_n \T^n \ | \ a_0, \ldots, a_n \in \mathfrak{N}(\A)\} \subset \mathfrak{N}(\A[\T]) \subset \mathfrak{R}(\A[\T])$$ ainsi que de l'inclusion $$\mathfrak{R}(\A[\T]) \subset \mathfrak{N}(\A)[\T]$$ en vertu de la caract\'erisation que l'on vient de mentionner du radical d'un anneau et de la d\'etermination de $\A[\T]^{\times}$ \`a la question pr\'ec\'edente. Nous avons donc :
$$\mathfrak{N}(\A[\T]) = \mathfrak{R}(\A[\T]) = \mathfrak{N}(\A)[\T].$$

(iii) Soit $f = a_0 + a_1\T + \ldots + a_n \T^n$ un diviseur de z\'ero dans $\A[\T]$ et soit $g = b_0 + b_1\T + \ldots + b_m \T^m$ de degr\'e minimal parmi les \'el\'ements non nuls de $\A[\T]$ tels que $fg =0$ (il existe par hypoth\`ese). On a $a_n b_m = 0$, donc $a_n g = 0$ par minimalit\'e ; il en d\'ecoule les \'egalit\'es $$0 = fg = (f - a_n \T^n)g + a_n\T^n g = (f-a_n \T^n) g,$$ donc $a_{n-1}b_m = 0$ puis $a_{n-1}g = 0$ par minimalit\'e. En poursuivant le raisonnement ainsi amorc\'e, on obtient $a_i g =0$ pour tout $i \in \{0, \ldots, n\}$ et le coefficient $b_m$ de $g$, non nul par hypoth\`ese, r\'epond \`a la question : $b_m f = 0$.

\vspace{0.1cm}
2. Supposons tout d'abord que l'ensemble $\Ir$ soit fini. En raisonnant par r\'ecurrence sur le cardinal de $\Ir$, on d\'eduit imm\'ediatement de la question 1 les propri\'et\'es suivantes de l'anneau $\B = \A[\{\T_i\}_{i \in \Ir}]$ : $$\mathfrak{N}(\B) = \mathfrak{R}(\B) = \mathfrak{N}(\A)[\{\T_i\}_{i \in \Ir}], \ \ \B^{\times} = \A^{\times} + \mathfrak{N}(\B)$$ et un \'el\'ement $f$ de $\B$ est diviseur de z\'ero si et seulement s'il existe $a \in \A$ non nul tel que $af=0$.

Pour traiter le cas d'un ensemble $\I$ quelconque, il suffit de remarquer que toute famille finie de polyn\^omes dans $\A[\{\T_i\}_{i \in \I}]$ est contenue dans un sous-anneau $\A[\{\T_j\}_{j \in \J}]$ avec $\J \subset \I$ \emph{fini} et d'utiliser les r\'esultats pr\'ec\'edents.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Exercice 5} --- 1. Rappel : \'etant donn\'e un anneau $\A$, on d\'esigne par $\A[[\T]]$ l'anneau des \emph{s\'eries formelles} \`a coefficients dans $\A$ en l'ind\'etermin\'ee $\T$ ; il s'agit des expressions $$\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n \T^n$$ avec $a_n \in \A$, la structure d'anneau \'etant d\'efinie par $$\left(\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n \T^n \right) + \left(\sum_{n \in \mathbb{N}} b_n \T^n \right) = \sum_{n \in \mathbb{N}} (a_n + b_n) \T^n \ \ \textrm{et } \ \left(\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n \T^n \right)\left(\sum_{n \in \mathbb{N}} b_n \T^n \right) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \left(\sum_{p,q \in \mathbb{N}, \ p+q=n} a_pb_q \right) \T^n.$$

Observation pr\'eliminaire : l'\'el\'ement $1-\T$ de $\A[[\T]]$ est inversible, d'inverse $\sum_{n \in \mathbb{N}} \T^n$ (v\'erification imm\'ediate).

\vspace{0.1cm} Soit $f \in \A[[\T]]$ une s\'erie formelle dont le terme initial $a_0 = f(0)$ s'annule. On a alors $f^p \in \T^p \A[[\T]]$ pour tout entier naturel $p$ et il existe donc une unique s\'erie formelle $g \in \A[[T]]$ telle que $$g = f + f^2 + \ldots + f^p \ \textrm{ mod. } \T^{p+1} \A[[\T]]$$ pour tout entier naturel $p$ : le coefficient de $\T^n$ dans $g$ est simplement la somme des coefficients de $\T^n$ dans $f, f^2, \ldots, f^n$. En d'autre termes, l'expression $\sum_{n \in \mathbb{N}} f^n$ d\'efinit (malgr\'e les apparences...) un \'el\'ement de $\A[[\T]]$, \`a savoir $g$. L'identit\'e $$(1-f)g = 1$$ est imm\'ediate : quel que soit en effet l'entier naturel $p$, \begin{eqnarray*} (1-f)g & = & (1-f)(1+f+f^2 + \ldots + f^p) \textrm{ mod. } \T^{p+1}\A[[\T]] \\ & = & 1 \textrm{ mod. } \T^{p+1}\A[[\T]] \end{eqnarray*} et donc $(1-f)g-1 = 0$.

On d\'eduit de ce qui pr\'ec\`ede l'inclusion $\A^{\times} + \T \A[[\T]] \subset \A[[\T]]^{\times}$ : si en effet $f$ est une s\'erie formelle dont le terme constant $f(0)$ est inversible dans $\A$, il suffit d'\'ecrire $f$ sous la forme $f = f(0) - (f(0) - f) = f(0)[1 - f(0)^{-1}(f(0) - f)] = f(0)(1 - h)$ avec $h(0)=0$ pour voir qu'elle est inversible. L'inclusion r\'eciproque est imm\'ediate et donc $\A[[\T]]^{\times} = \A^{\times} + \T\A[[\T]]$.

En utilisant la caract\'erisation du radical de Jacobson rappel\'ee \`a la question 1. (ii) de l'exercice pr\'ec\'edent, il vient :
\begin{eqnarray*} \mathfrak{R}(\A[[\T]]) & = & \{f \in \A[[\T]] \ | \ 1 + gf \in \A[[\T]]^{\times}, \ \textrm{pour tout } g \in \A[[\T]]\} \\ & = & \{f \in \A[[\T]] \ | \ 1 + af(0) \in \A^{\times}, \ \textrm{pour tout } a \in \A\} \\ & = & \{f \in \A[[\T]] \ | \ f(0) \in \mathfrak{R}(A)\}. \end{eqnarray*}


\vspace{0.1cm}
2. Si l'anneau $\A$ est int\`egre, il en est de m\^eme de l'anneau $\A[[\T]]$ (v\'erification facile : consid\'erer le premier coefficient non nul dans $f, g$ et $fg$). Quel que soit l'id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$, l'homomorphisme canonique $\A[[\T]] \rightarrow (\A/\mathfrak{p})[[\T]]$ d\'efini par la r\'eduction des coefficients modulo $\mathfrak{p}$ a pour noyau l'id\'eal de $\A[[\T]]$ engendr\'e par $\mathfrak{p}$ ; comme l'anneau d'arriv\'ee est int\`egre, $\mathfrak{p}\A[[\T]]$ est un id\'eal premier de $\A[[\T]]$. En utilisant le fait que le nilradical d'un anneau est pr\'ecis\'ement l'intersection de ses id\'eaux premiers, nous d\'eduisons de ces observations l'inclusion $$\mathfrak{N}(\A[[\T]]) \subset \bigcap_{\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(\A)} \mathfrak{p}\A[[\T]] = \mathfrak{N}(\A)[[\T]].$$

Cette inclusion peut \^etre stricte. Consid\'erons par exemple l'anneau $\A$, quotient de l'anneau de polyn\^omes $\mathbb{Z}[(\T_n)_{n \in \mathbb{N}}]$ par l'id\'eal qu'engendrent $\T_0$, $\T_n^n$, $n \geq 1$, et $\T_n\T_m$, $n \neq m$ ; si l'on d\'esigne par $t_n$ l'image de $\T_n$ dans $\A$, alors $t_n^n = 0$ pour tout $n \geq 1$ et $t_nt_m=0$ pour tous entiers $n,m$ distincts. La s\'erie formelle $f = \sum_{n \in \mathbb{N}} t_n \T^n$ est \`a coefficients nilpotents mais elle n'est pas nilpotente car $f^p =\sum_{n \in \mathbb{N}} t_n^p \T^{np}$ n'est nulle pour aucun entier $p \geq 1$ puisque $t_{p+1}^{p} \neq 0$ dans $\A$.

\vspace{0.1cm} \textbf{Remarque} -- \emph{Il est facile de v\'erifier que l'inclusion $\mathfrak{N}(\A[[\T]]) \subset \mathfrak{N}(\A)[[\T]]$ est une \'egalit\'e s'il existe un entier naturel $\N$ tel que $a^\N = 0$ pour tout \'el\'ement $a$ de $\mathfrak{N}(\A)$ ; c'est en particulier le cas si l'id\'eal $\mathfrak{N}(\A)$ est engendr\'e par un nombre fini d'\'el\'ements.}

\vspace{0.1cm} 3. \'Etant donn\'e un id\'eal maximal $\mathfrak{m}$ de $\A$, l'id\'eal $(\mathfrak{m}, \T)$ de $\A[[\T]]$ est le noyau de l'homomorphisme surjectif $\A[[\T ]] \rightarrow \A/\mathfrak{m}, \ f \mapsto f(0) \ \textrm{mod. } \mathfrak{m}$ ; c'est donc un id\'eal maximal. Cela permet de d\'efinir une application $$\mathrm{Max}(\A) \rightarrow \mathrm{Max}(\A[[\T]]),\ \ \mathfrak{m} \mapsto (\mathfrak{m}, \T)$$ qui est manifestement injective.

Comme l'\'el\'ement $1 - f\T$ de $\A[[\T]]$ est inversible quel que soit $f$ dans $\A[[\T]]$ en vertu de la question (i), $\T$ appartient au radical de $\A[[\T]]$ et donc \`a chaque id\'eal maximal de $\A[[\T]]$. Soit $\mathfrak{m}'$ un id\'eal maximal de $\A[[\T]]$ et soit $\mathfrak{m} = \A \cap \mathfrak{m}'$ ; si un \'el\'ement $a$ de $\A$ n'appartient pas \`a $\mathfrak{m}$, il existe un \'el\'ement $f$ de $\A[[\T]]$ tel que $af = 1 \textrm{ mod. } \mathfrak{m'}$ puisque $\A[[\T]]/\mathfrak{m'}$ est un corps ; comme $\T \in \mathfrak{m}'$, cette \'egalit\'e est \'equivalente \`a $a f(0) = 1 \textrm{ mod. } \mathfrak{m'}$ ou encore \`a $af(0)= 1 \textrm{ mod. } \mathfrak{m}$, et cette derni\`ere montre que $\A/\mathfrak{m}$ est un corps. L'id\'eal $\mathfrak{m} = \mathfrak{m}' \cap \A$ de $\A$ est ainsi maximal et, comme $\mathfrak{m}' = (\mathfrak{m}' \cap \A, \T)$, l'application consid\'er\'ee est surjective, donc bijective.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Exercice 6} --- \'Etant donn\'es un anneau $\A$ et un id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$, on d\'esigne par $\kappa(\mathfrak{p})$ le corps des fractions de l'anneau int\`egre $\A/\mathfrak{p}$.

0. \emph{Compl\'ement : id\'eaux premiers d'un localis\'e.} Soient $\A$ un anneau et $\Sr$ une partie multiplicative de $\A$. L'homomorphisme canonique $i_{\Sr} : \A \rightarrow \Sr^{-1} \A$ induit une application $^{a}i_{\Sr} : \mathrm{Spec}(\Sr^{-1}\A) \rightarrow \mathrm{Spec}(\A)$, envoyant un id\'eal premier $\mathfrak{q}$ de $\Sr^{-1}\A$ sur l'id\'eal premier $i_{\Sr}^{-1}\mathfrak{q}$ de $\A$ (cet id\'eal est premier puisque l'anneau quotient $\A/i_{\Sr}^{-1}\mathfrak{q}$ s'injecte dans l'anneau int\`egre $\Sr^{-1}\A/\mathfrak{q}$).

L'application $^{a}i_{\Sr}$ r\'ealise une bijection sur le sous-ensemble de $\mathrm{Spec}(\A)$ constitu\'e des id\'eaux premiers $\mathfrak{p}$ de $\A$ ne rencontrant pas $\Sr$.
\begin{itemize}
\item L'application $^{a}i_{\Sr}$ est injective : \'etant donn\'e un id\'eal premier $\mathfrak{q}$ de $\A$, $\mathfrak{q}$ est l'id\'eal de $\Sr^{-1}\A$ engendr\'e par l'id\'eal premier $\mathfrak{p} = i_{\Sr}^{-1}\mathfrak{q}$ de $\A$. L'inclusion $\mathfrak{p}\Sr^{-1}\A \subset \mathfrak{q}$ est en effet \'evidente ; r\'eciproquement, \'etant donn\'e un \'el\'ement $b$ de $\mathfrak{q}$, il existe des \'el\'ements $s$ de $\Sr$ et $a$ de $\A$ tels que $i_{\Sr}(s)b = i_{\Sr}(a)$ et donc $b = i_{\Sr}(s)^{-1}i_{\Sr}(a)$ appartient \`a l'id\'eal de $\Sr^{-1}(\A)$ engendr\'e par $i_{\Sr}^{-1}\mathfrak{q}$.
\item L'image de l'application $^{a}i_{\Sr}$ est l'ensemble des id\'eaux premiers de $\A$ ne rencontrant pas $\Sr$. Si $\mathfrak{q}$ est un id\'eal premier de $\Sr^{-1}\A$, $i_{\Sr}(\Sr) \cap \mathfrak{q} = \emptyset$ puisque $i_{\Sr}(\Sr) \subset (\Sr^{-1}\A)^{\times}$ et donc $\Sr \cap i_{\Sr}^{-1}(\mathfrak{q}) = \emptyset$. R\'eciproquement, si $\mathfrak{p}$ est un id\'eal premier de $\A$ ne rencontrant pas $\Sr$, l'homomorphisme canonique $\A \rightarrow \kappa(\mathfrak{p})$ envoie $\Sr$ dans $\kappa(\mathfrak{p})^{\times}$ et il se factorise donc \`a travers la fl\`eche $i_{\Sr}$ ; l'homomorphisme obtenu $\Sr^{-1}\A \rightarrow \kappa(\mathfrak{p})$ a pour noyau un id\'eal premier $\mathfrak{q}$ de $\Sr^{-1}(\A)$ et on v\'erifie imm\'ediatement l'identit\'e $\mathfrak{p} = i_{\Sr}^{-1}(\mathfrak{q})$.
\end{itemize}

\emph{Cons\'equence} : \'etant donn\'e un id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$, les id\'eaux premiers du localis\'e $\A_{\mathfrak{p}}$ de $\A$ relativement \`a la partie multiplicative $\A - \mathfrak{p}$ sont les id\'eaux $\mathfrak{q}\A_{\mathfrak{p}}$ engendr\'es par les id\'eaux premiers $\mathfrak{q}$ de $\A$ ne rencontrant pas $\A - \mathfrak{p}$, c'est-\`a-dire les id\'eaux premiers $\mathfrak{q}$ de $\A$ contenus dans $\mathfrak{p}$. En particulier, $\A_{\mathfrak{p}}$ est un anneau local d'id\'eal maximal $\mathfrak{p}\A_{\mathfrak{p}}$ ; en outre, l'homomorphisme canonique $\A \rightarrow \A_{\mathfrak{p}}$ induit un homomorphisme $\A/\mathfrak{p} \rightarrow \A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}\A_{\mathfrak{p}}$ qui est injectif en vertu de la discussion pr\'ec\'edente ; celui-ci se prolonge donc en un homomorphisme du corps des fractions $\kappa(\mathfrak{p})$ de l'anneau int\`egre $\A/\mathfrak{p}$ dans le corps $\A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}\A_{\mathfrak{p}}$ et, comme tout \'el\'ement de $\A_{\mathfrak{p}}$ s'\'ecrit sous la forme $s^{-1}a$ avec $s \in \A - \mathfrak{p}$ et $a \in \A$, cet homomorphisme est un isomorphisme.  (Voir aussi la question 5. (i) de l'exercice 7).

\vspace{0.1cm} 1. Soit $p$ un nombre premier et soit $\A = \mathbb{Z}_{(p)}$ l'anneau obtenu en localisant $\mathbb{Z}$ relativement \`a l'id\'eal premier $p\mathbb{Z}$ ; $\A$ s'identifie canoniquement au sous-anneau de $\mathbb{Q}$ constitu\'e des fractions $\frac{a}{b}$ avec $a, b \in \mathbb{Z}$ et $b \neq 0$ premier \`a $p$. Les id\'eaux premiers de $\A$ sont l'id\'eal $(0)$ et l'id\'eal engendr\'e par $p$ ; par suite, si l'on inverse $p$ dans $\A$ (c'est-\`a-dire si l'on localise $\A$ relativement \`a la partie multiplicative des puissances de $p$), on obtient un anneau dont $(0)$ est le seul id\'eal premier. L'anneau $\A[\frac{1}{p}]$ est donc un corps, en l'occurence $\mathbb{Q}$.

\vspace{0.1cm} 2. Quel que soit la partie multiplicative $\Sr$ de $\A$, le noyau de l'homomorphisme $i_{\Sr} : \A \rightarrow \Sr^{-1}\A$ est l'id\'eal constitu\'e des \'el\'ements $a$ de $\A$ tels que $sa=0$ pour un certain \'el\'ement $s$ de $\Sr$. Si un \'el\'ement $a$ de $\A$ appartient au noyau de l'application canonique $\A \rightarrow \prod_{\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(\A)} \A_{\mathfrak{p}}$, nous en d\'eduisons que l'id\'eal \emph{annulateur} de $a$ $$\mathrm{Ann}(a) = \{x \in \A \ | \ xa=0\}$$ n'est contenu dans aucun id\'eal premier de $\A$ ; il en d\'ecoule $\mathrm{Ann}(a) = \A$ et donc $a =0$.

On d\'eduit imm\'ediatement de l'injectivit\'e de l'application $\A \rightarrow \prod_{\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(\A)} \A_{\mathfrak{p}}$ que l'anneau $\A$ est r\'eduit si chacun de ses localis\'es $\A_{\mathfrak{p}}$ l'est. R\'eciproquement, si l'anneau $\A$ est r\'eduit, alors l'anneau $\Sr^{-1}\A$ est r\'eduit quelle que soit la partie multiplicative $\Sr$ de $\A$ : soit en effet $x \in \Sr^{-1}\A$ un \'el\'ement nilpotent et \'ecrivons-le sous la forme $x = s^{-1}a$ avec $a \in \A$ et $s \in \Sr$ ; on a alors $0 = x^n = s^{-n}a^n$, donc $a^n =0$ dans $\Sr^{-1}\A$, ce qui signifie qu'il existe $s' \in \Sr$ tel que $s'a^n=0$ dans $\A$ ; on a alors $(s'a)^n=0$, donc $s'a=0$ puisque $\A$ est r\'eduit, et finalement $x = a = 0$ dans $\Sr^{-1}\A$.

\vspace{0.1cm} 3. Supposons que l'anneau $\A$ soit int\`egre. Quelle que soit la partie multiplicative $\Sr$ de $\A$, $\Sr \subset \A - \{0\}$ et donc l'homomorphisme canonique $\A \rightarrow \K$ se factorise donc \`a travers $i_{\Sr} : \A \rightarrow \Sr^{-1}\A$. L'homomorphisme obtenu de $\Sr^{-1}\A$ dans $\K$ est \'evidemment injectif et il identifie donc l'anneau $\Sr^{-1}\A$ avec un sous-anneau du corps des fractions $\K$ de $\A$.

L'inclusion $\A \subset \bigcap_{\mathfrak{m} \in \mathrm{Max}(\A)} \A_{\mathfrak{m}}$ est triviale. Soit r\'eciproquement $x$ un \'el\'ement de $\K$ appartenant \`a chacun des localis\'es $\A_{\mathfrak{m}}$, $\mathfrak{m} \in \mathrm{Max}(\A)$, et soit $\mathfrak{d} = \{b \in \A \ | \ bx \in \A\}$ l'id\'eal des d\'enominateurs de $x$. Dire que $x$ appartient au localis\'e $\A_{\mathfrak{m}}$ \'equivaut \`a dire qu'on peut l'\'ecrire sous la forme $x=s^{-1}a$ avec $s \in \A - \mathfrak{m}$ et $a \in \A$ ou, de mani\`ere \'equivalente, que $\mathfrak{d}$ rencontre $\A - \mathfrak{m}$. L'id\'eal $\mathfrak{d}$ n'est par cons\'equent contenu dans aucun id\'eal maximal de $\A$, donc $\mathfrak{d}=\A$ et $x \in \A$.

\vspace{0.1cm} 4. (i) V\'erification imm\'ediate.

(ii) \'Etant donn\'ee une partie multiplicative $\Sr$ de $\A$, le noyau de l'homomorphisme canonique $\A \rightarrow \Sr^{-1}\A$ est l'ensemble des \'el\'ements $a$ de $\A$ pour lesquels il existe $s \in \Sr$ tel que $sa=0$. Lorsque $\Sr = \Sr_0$ est la partie multiplicative des \'el\'ements r\'eguliers de $\A$, cette derni\`ere condition implique $a=0$ et l'homomorphisme $\A \rightarrow \Sr_0^{-1}\A$ est donc injectif.

(iii) Si $\Sr$ est une partie multiplicative de $\A$ telle que l'homomorphisme canonique $i_{\Sr} : \A \rightarrow \Sr^{-1}\A$ soit injectif, $\Sr$ est compos\'ee d'\'el\'ements r\'eguliers de $\A$ : en effet, si $s \in \Sr$ \'etait un diviseur de z\'ero dans $\A$, il existerait un \'el\'ment non nul $a$ de $\A$ tel que $sa=0$ et alors $i_{\Sr}(a) = i_{\Sr}(s)^{-1}i_{\Sr}(sa) = 0$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Exercice 7} --- 0. \'Etant donn\'e un \'el\'ement $f$ de $\A$, on note $\D(f)$ le sous-ensemble de $\mathrm{Spec}(\A)$ constitu\'e des id\'eaux premiers $\mathfrak{p}$ de $\A$ ne contenant pas $f$. Il s'agit d'une partie ouverte puisque son compl\'ementaire est le ferm\'e $\V(\A f)$ des id\'eaux premiers de $\A$ contenant l'id\'eal $\A f$. Les ouverts de $\mathrm{Spec}(\A)$ de cette forme sont dits \emph{principaux} et il est facile de voir qu'ils engendrent la topologie de $\mathrm{Spec}(\A)$ : en effet, quel que soit l'ouvert $\U$ de$ \mathrm{Spec}(\A)$, il existe un id\'eal $\mathfrak{a}$ de $\A$ tel que $\mathrm{Spec}(\A) - \U = \V(\mathfrak{a})$ et donc \begin{eqnarray*} \U & = & \mathrm{Spec}(\A) - \V(\mathfrak{a}) \\ & = & \mathrm{Spec}(\A) - \bigcap_{f \in \mathfrak{a}} \V(\A f) \\ & = & \bigcup_{f \in \mathfrak{a}} \D(f).\end{eqnarray*}

Notons \'egalement le fait suivant : quel que soit l'id\'eal $\mathfrak{a}$ de $\A$, l'application $^{a}p : \mathrm{Spec}(\A/\mathfrak{a}) \rightarrow \mathrm{Spec}(\A)$ associ\'ee \`a la projection canonique $p : \A \rightarrow \A/\mathfrak{a}$ r\'ealise un hom\'eomorphisme de $\mathrm{Spec}(\A/\mathfrak{a})$ sur le ferm\'e $\V(\mathfrak{a})$ de $\mathrm{Spec}(\A)$. Cette application est en effet continue, injective d'image $\V(\mathfrak{a})$ (car l'application $\mathfrak{q} \mapsto p^{-1}(\mathfrak{q})$ r\'ealise une bijection entre l'ensemble des id\'eaux premiers de $\A/\mathfrak{a}$ et l'ensemble des id\'eaux premiers de $\A$ contenant $\mathfrak{a}$) et ferm\'ee, car $^{a}p(\V(\mathfrak{b})) = \V(p^{-1}(\mathfrak{b}))$ pour tout id\'eal $\mathfrak{b}$ de $\A/\mathfrak{a}$. Cas particulier : comme le nilradical $\mathfrak{N}(\A)$ est l'intersection des id\'eaux premiers de $\A$ (voir la question 1 de l'exercice 3), $\V(\mathfrak{N}(\A)) = \mathrm{Spec}(\A)$ et la projection canonique $\A \rightarrow \A^{\textrm{r\'ed}} = \A/\mathfrak{N}(\A)$ induit donc un hom\'eomorphisme entre $\mathrm{Spec}(\A^{\textrm{r\'ed}})$ et $\mathrm{Spec}(\A)$ ; ainsi, il est toujours possible de se ramener au cas d'un anneau $\A$ r\'eduit lorsqu'on \'etudie les propri\'et\'e de l'espace toplogique $\mathrm{Spec}(\A)$.

\vspace{0.1cm} 1. \'Etant donn\'ee une famille $(f_i)_{i \in \I}$ d'\'el\'ements de $\A$, les ouverts principaux $\D(f_i)$ recouvrent $\mathrm{Spec}(\A)$ si et seulement s'il existe pour tout id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$ un \'el\'ement $i$ de $\I$ tel que $f_i \notin \mathfrak{p}$, donc si et seulement si l'id\'eal $\sum_{i \in \I} \A f_i$ de $\A$ engendr\'e par les $f_i$ est \'egal \`a l'id\'eal trivial $\A$. Cette derni\`ere condition \'equivaut \`a $1 \in \sum_{i} \A f_i$, et cela a lieu si et seulement s'il existe une partie finie $\J$ de $\Ir$ ainsi que des \'el\'ements $g_j$ de $\A$, $j \in \J$, tels que $1 = \sum_{j \in \J} g_j f_j$.

Il est maintenant facile d'\'etablir que l'espace topologique $\X = \mathrm{Spec}(\A)$ est quasi-compact. Soit $\mathcal{U} = \{\U_i\}_{i \in \Ir}$ un recouvrement ouvert de $\X$ ; chacun des ouverts $\U_i$ \'etant lui-m\^eme recouvert par des ouverts principaux, il existe une famille $(f_{\ell})_{\ell \in \L}$ d'\'el\'ements de $\A$ donnant lieu \`a un recouvrement ouvert $\{\D(f_{\ell})\}_{\ell \in \Lr}$ de $\X$ raffinant $\mathcal{U}$. D'apr\`es ce que l'on vient de voir, il existe un sous-ensemble fini $\J$ de $\Lr$ tel que les ouverts $\D(f_j)$, $j \in \J$, recouvrent $\X$, et on extrait donc un sous-recouvrement fini de $\mathcal{U}$ en choisissant une application $\tau : \J \rightarrow \Ir$ telle que  $\D(f_j) \subset \U_{\tau(j)}$ pour tout $j \in \J$.

\vspace{0.1cm} 2. Quel que soit l'id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$, l'adh\'erence du point $\mathfrak{p}$ dans $\mathrm{Spec}(\A)$ est le ferm\'e $\V(\mathfrak{p})$. En effet, le ferm\'e $\V(\mathfrak{p})$ de $\mathrm{Spec}(\A)$ contient tautologiquement le point $\mathfrak{p}$ et est contenu dans tout ferm\'e $\V(\mathfrak{a})$ contenant $\mathfrak{p}$ car alors $\mathfrak{a} \subset \mathfrak{p}$ et donc $\V(\mathfrak{p}) \subset \V(\mathfrak{a})$. Observer en particulier que, puisque $\V(\mathfrak{p})$ contient tous les id\'eaux maximaux de $\A$ contenant $\mathfrak{p}$, un id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$ d\'efinit un point ferm\'e de $\mathrm{Spec}(\A)$ si et seulement s'il est maximal.

Tous les points d'un espace topologique s\'epar\'e (au sens de Hausdorff) sont ferm\'es ; si l'espace topologique $\mathrm{Spec}(\A)$ est s\'epar\'e, tous les id\'eaux premiers de $\A$ sont donc maximaux. Supposons r\'eciproquement que tous les id\'eaux premiers de l'anneau $\A$ soient maximaux et v\'erifions que l'espace topologique $\mathrm{Spec}(\A)$ est s\'epar\'e. Comme on l'a observ\'e \`a la question 0, nous pouvons supposer que l'anneau $\A$ est r\'eduit ; c'est ce que nous faisons. \'Etant donn\'es deux points distincts $\mathfrak{m}, \mathfrak{m}' \in \mathrm{Spec}(\A)$, consid\'erons un \'el\'ement $f$ de $\A$ appartenant \`a $\mathfrak{m}'$ mais pas \`a $\mathfrak{m}$ ; puisque tous les id\'eaux premiers de $\A$ sont maximaux, l'anneau $\A_{\mathfrak{m}}$ poss\`ede un unique id\'eal premier, en l'occurence $\mathfrak{m}\A_{\mathfrak{m}}$. L'anneau $\A_{\mathfrak{m}}$ \'etant en outre r\'eduit, $\mathfrak{m}\A_{\mathfrak{m}} = \mathfrak{N}(\A_{\mathfrak{m}}) = (0)$ et tout \'el\'ement non nul de $\A_{\mathfrak{m}}$ est inversible ; cet anneau est par cons\'equent un corps. Comme $f$ appartient \`a $\mathfrak{m}'$, $f = 0$ dans $\A_{\mathfrak{m}'}$ et il existe donc un \'el\'ement $g$ de $\A - \mathfrak{m}'$ tel que $fg=0$. On obtient ainsi des voisinages $\D(f)$ et $\D(g)$ de $\mathfrak{m}$ et $\mathfrak{m}'$ respectivement tels que $\D(f) \cap \D(g) = \D(fg) = \D(0) = \emptyset$ et on en conclut que l'espace topologique $\mathrm{Spec}(\A)$ est s\'epar\'e.

\vspace{0.1cm}  3. On v\'erifie imm\'ediatement que la projection canonique $\A \rightarrow \A^{\textrm{r\'ed}} = \A/\mathfrak{N}(\A)$ induit une bijection entre les \'el\'ements idempotents et, puisque les espaces topologiques $\mathrm{Spec}(\A)$ et $\mathrm{Spec}(\A^{\textrm{r\'ed}})$ sont hom\'eomorphes, nous pouvons supposer que l'anneau $\A$ est r\'eduit ; c'est ce que nous faisons.

Quel que soit l'\'el\'ement idempotent $e$ de $\A$, l'ouvert principal $\D(e)$ de $\mathrm{Spec}(\A)$ est ferm\'e : l'identit\'e $e(e-1)=0$ implique en effet que les id\'eaux premiers contenant $e$ sont exactement ceux ne contenant pas $e-1$, donc $\mathrm{Spec}(\A) - \D(e) = \V(e) = \D(e-1)$. Noter que les idempotents triviaux $0$ et $1$ d\'efinissent respectivement les parties ouvertes et ferm\'ees $\emptyset$ et $\mathrm{Spec}(\A)$.

Soit r\'eciproquement $\U$ une partie ouverte et ferm\'ee de $\mathrm{Spec}(\A)$ et soient $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}$ des id\'eaux de $\A$ tels que $\U = \V(\mathfrak{a})$ et $\mathrm{Spec}(\A) -- \U = \V(\mathfrak{b})$. Comme $\V(\mathfrak{a} + \mathfrak{b}) = \V(\mathfrak{a}) \cap \V(\mathfrak{b})$ est vide, l'id\'eal $\mathfrak{a} + \mathfrak{b}$ n'est contenu dans aucun id\'eal premier de $\A$ et donc $\mathfrak{a} + \mathfrak{b} = \A$. Soient $a,b \in \A$ tels que $a + b = 1$ ; comme $\V(\mathfrak{a}) \subset \V(\A a)$ et $\V(\mathfrak{b}) \subset \V(\A b)$, $\V(\A ab) = \V(\A a) \cup \V(\A b) = \mathrm{Spec}(\A)$ et donc $ab \in \mathfrak{N}(\A) = \{0\}$ puisque l'anneau $\A$ a \'et\'e suppos\'e r\'eduit. L'\'el\'ement $b$ de $\A$ est alors idempotent et, comme on l'a vu, $\mathrm{Spec}(\A)$ est la r\'eunion des ferm\'es disjoints $\V(\A a)$ et $\V(\A b)$ ; il en d\'ecoule que les inclusions $\V(\mathfrak{a}) \subset \V(\A a)$ et $\V(\mathfrak{b}) \subset \V(\A b)$ sont en fait des \'egalit\'es et donc $\U = \V(\mathfrak{a}) = \D(b)$.

\vspace{0.1cm} 4. (i) Un espace topologique s\'epar\'e (au sens de Hausdorff) est irr\'eductible si et seulement s'il est r\'eduit \`a un point. Tout espace ponctuel est en effet trivialement s\'epar\'e et, si $\X$ est un espace topologique s\'epar\'e contenant deux points distincts $x, y$, $\X$ n'est pas irr\'eductible puisqu'il est la r\'eunion des ferm\'es stricts $\X - \V_x$ et $\X - \V_y$, o\`u $\V_x$ et$\V_y$ sont des voisinages ouverts disjoints de $x$ et $y$ respectivement.

(ii) L'espace topologique $\mathrm{Spec}(\A)$ est irr\'eductible si et seulement si, pour tous id\'eaux $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}$ de $\A$, la condition $\mathrm{Spec}(\A) = \V(\mathfrak{a}) \cup \V(\mathfrak{b})$ implique $\V(\mathfrak{a}) = \mathrm{Spec}(\A)$ ou $\V(\mathfrak{b}) = \mathrm{Spec}(\A)$. Comme $\V(\mathfrak{a}) \cup \V(\mathfrak{b}) = \V(\mathfrak{a}\mathfrak{b})$, la condition pr\'ec\'edente est \'equivalente \`a $\mathfrak{a} \mathfrak{b} \subset \mathfrak{N}(\A)$ et $\mathrm{Spec}(\A)$ est donc irr\'eductible si et seulement si cela a lieu uniquement lorsque $\mathfrak{a} \subset \mathfrak{N}(\A)$ ou $\mathfrak{b} \subset \mathfrak{N}(\A)$. En consid\'erant des id\'eaux principaux, on voit imm\'ediatement qu'une condition n\'ecessaire est que l'id\'eal $\mathfrak{N}(\A)$ soit premier ; cette condition est en fait suffisante car, si $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ sont deux id\'eaux de $\A$ non contenus dans $\mathfrak{N}(\A)$, il existe des \'el\'ements $a$ de $\mathfrak{a}$ et $b$ de $\mathfrak{b}$ d'images non nulles dans $\A/\mathfrak{N}(\A)$ ; cet anneau \'etant int\`egre, le produit $ab$ est non nul dans $\A/\mathfrak{N}(\A)$ et donc $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ n'est pas contenu dans $\mathfrak{N}(\A)$.

Plus g\'en\'eralement, \'etant donn\'e un id\'eal $\mathfrak{a}$ de $\A$, le ferm\'e $\V(\mathfrak{a})$ de $\mathrm{Spec}(\A)$ est irr\'eductible si et seulement si la racine $\mathfrak{r}(\mathfrak{a})$ de $\mathfrak{a}$, intersection des id\'eaux premiers de $\A$ contenant $\mathfrak{a}$, est un id\'eal premier. Il suffit en effet d'utiliser le fait que $\V(\mathfrak{a})$ est hom\'eomorphe \`a $\mathrm{Spec}(\A/\mathfrak{a})$ et d'appliquer le r\'esultat pr\'ec\'edent \`a l'anneau $\A/\mathfrak{a}$ en observant que $\mathfrak{r}(\mathfrak{a})$ est l'image r\'eciproque du nilradical de $\A/\mathfrak{a}$ par la projection canonique de $\A$ sur $\A/\mathfrak{a}$.

(iii) L'anneau $\A=\mathbb{Q}[\T_1, \T_2, \T_3]/(\T_1^2 - \T_2\T_3, \T_1\T_3 - \T_1)$ est r\'eduit mais il n'est pas int\`egre car, en notant respectivement $t_1, t_2$ et $t_3$ les images de $\T_1, \T_2$ et $\T_3$ dans $\A$, $t_1 \neq 0$ et $t_1 \neq 0$ mais  $t_3-1 \neq 0$ mais $t_1(t_3-1) = 0$ ; d'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede, l'espace topologique $\X = \mathrm{Spec}(\A)$ n'est pas irr\'eductible.

Le ferm\'e $\V(\T_1^2 - \T_2\T_3, \T_1\T_3 - \T_1)$ est la r\'eunion de trois ferm\'es stricts non vides : \begin{eqnarray*} \V(\T_1^2 - \T_2\T_3, \T_1\T_3 - \T_1) & = & \V(\T_1^2 - \T_2\T_3, \T_1) \cup \V(\T_1^2 - \T_2\T_3, \T_3 - 1) \\ & = & \V(\T_2\T_3, \T_1) \cup \V(\T_1^2 - \T_2, \T_3 - 1) \\ & = & \V(\T_2, \T_1) \cup \V(\T_3, \T_1) \cup \V((\T_1^2 - \T_2, \T_3 - 1)\end{eqnarray*} et il est facile de v\'erifier que ces ferm\'es sont irr\'eductibles.

\vspace{0.1cm} 5. (i) L'application $^{a}i : \mathrm{Spec}(\A_{\mathfrak{p}}) \rightarrow \mathrm{Spec}(\A)$ induit une injection continue d'image l'ensemble des id\'eaux premiers de $\A$ contenus dans $\mathfrak{p}$ (cf. question 0). Il s'agit en fait d'un hom\'eomorphisme sur son image car, pour tous $a \in \A, \ s \in \A - \mathfrak{p}$, l'image de l'ouvert principal $\D(s^{-1}a)$ de $\mathrm{Spec}(\A_{\mathfrak{p}})$ est l'ouvert principal $\D(a)$ de $\mathrm{Spec}(\A)$ (cela d\'ecoule directement des observations de la question 0). Il reste donc \`a voir qu'un id\'eal premier $\mathfrak{q}$ de $\A$ est contenu dans $\mathfrak{p}$ si et seulement s'il appartient \`a l'intersection des voisinages ouverts de $\mathfrak{p}$ dans $\mathrm{Spec}(\A)$ ; $\mathfrak{q} \subset \mathfrak{p}$ si et seulement si $\A - \mathfrak{p} \subset \A - \mathfrak{q}$, donc si et seulement si $f \notin \mathfrak{q}$ pour tout \'el\'ement $f$ de $\A - \mathfrak{p}$ ou, encore, si et seulement si $\mathfrak{q}$ appartient \`a tous les ouverts principaux $\D(f)$, $f \in \A - \mathfrak{p}$ ; comme ceux-ci constituent une base de voisinages de $\mathfrak{p}$ dans $\mathrm{Spec}(\A)$, l'assertion est v\'erifi\'ee.

(ii) En vertu des observations de la question $0$, on voit que les id\'eaux premiers de l'anneau $(\B/\mathfrak{p}\B)_{\mathfrak{p}}$, localis\'e de $\B/\mathfrak{p}\B$ par rapport \`a la partie multiplicative $\varphi(\A - \mathfrak{p})$, sont pr\'ecis\'ement les id\'eaux premiers de $\B$ contenant $\mathfrak{p}\B$ et ne rencontrant pas $\varphi(\A - \mathfrak{p})$, c'est-\`a-dire les id\'eaux premiers $\mathfrak{q}$ de $\B$ tels que $\mathfrak{p} \subset \varphi^{-1}(\mathfrak{q})$ et $\varphi^{-1}(\mathfrak{q}) \cap (\A - \mathfrak{p}) = \emptyset$ ; ce sont donc pr\'ecis\'ement les id\'eaux premiers $\mathfrak{q}$ de $\B$ tels que $^{a}\varphi(\mathfrak{q}) = \varphi^{-1}(\mathfrak{q}) = \mathfrak{p}$ et on conclut en invoquant de nouveau la question 0.

(iii) Quel que soit l'\'el\'ement $f$ de $\A$, l'homomorphisme canonique $\A \rightarrow \A[\T]/(f\T - 1)$ se factorise \`a travers la fl\`eche $\A \rightarrow \A[f^{-1}]$ puisque $f$ est inversible dans l'anneau $\A[\T]/(f\T - 1)$. On construit une fl\`eche dans l'autre sens en utilisant la propri\'et\'e universelle des anneaux de polyn\^omes : il existe en effet un unique homomorphisme $\A$-lin\'eaire de $\A[\T]$ dans $\A[f^{-1}]$ envoyant $\T$ sur l'inverse de $f$ dans $\A[f^{-1}]$ et celui-ci se factorise manifestement par l'anneau quotient $\A[\T]/(f\T - 1)$. Les deux homomorphismes ainsi obtenus entre $\A[f^{-1}]$ et $\A[\T]/(f\T - 1)$ sont des isomorphismes r\'eciproques.

En utilisant la question 0, nous obtenons ainsi que l'application associ\'ee \`a l'homomorphisme canonique $\A \rightarrow \A[\T]/(f\T - 1)$ induit un hom\'eomorphisme du ferm\'e $\V(f\T - 1)$ de $\mathrm{Spec}(\A[\T])$ sur l'ouvert principal $\D(f)$ de $\mathrm{Spec}(\A)$. On observe en particulier que l'application entre les spectres associ\'ee \`a un homomorphisme d'anneaux n'envoie pas n\'ecessairement une partie ferm\'ee sur une partie ferm\'ee.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Exercice 8} --- 1. (i) $\Longrightarrow$ (ii). Soit $\mathfrak{p}$ un id\'eal premier de $\A$ et soit $f$ un \'el\'ement de $\A - \mathfrak{p}$. L'intersection du ferm\'e $\V(\mathfrak{p})$ et de l'ouvert $\D(f)$ dans $\mathrm{Spec}(\A)$ est une partie localement ferm\'ee et non vide (on aurait sinon $\V(\mathfrak{p}) \subset \V(\A f)$, c'est-\`a-dire $\mathfrak{p} \in \V(\A f)$, ce qui \'equivaut \`a $\A f \subset \mathfrak{p}$ et contredirait l'hypoth\`ese $f \notin \mathfrak{p}$). Il existe donc un point ferm\'e de $\mathrm{Spec}(\A)$ contenu dans $\V(\mathfrak{p}) \cap \D(f)$, c'est-\`a-dire un id\'eal maximal de $\A$ contenant $\mathfrak{p}$ et ne contenant pas $f$, et l'id\'eal premier $\mathfrak{p}$ est ainsi l'intersection des id\'eaux maximaux le contenant.

(ii) $\Longrightarrow$ (iii). Soit $\mathfrak{a}$ un id\'eal de $\A$ et soit $p : \A \rightarrow \A/\mathfrak{a}$ la projection canonique. L'id\'eal $p^{-1}(\mathfrak{N}(\A/\mathfrak{a}))$ de $\A$ est l'intersection des id\'eaux premiers de $\A$ contenant $\mathfrak{a}$ tandis que l'id\'eal $p^{-1}(\mathfrak{R}(\A/\mathfrak{a}))$ est l'intersection des id\'eaux maximaux de $\A$ contenant $\mathfrak{a}$ ; si tout id\'eal premier de $\A$ est l'intersection des id\'eaux maximaux le contenant, $p^{-1}(\mathfrak{N}(\A/\mathfrak{a})) = p^{-1}(\mathfrak{R}(\A/\mathfrak{a}))$ et donc $\mathfrak{N}(\A/\mathfrak{a}) = \mathfrak{R}(\A/\mathfrak{a})$.

(iii) $\Longrightarrow$ (i). Soit $\Y$ une partie localement ferm\'ee non vide de $\mathrm{Spec}(\A)$. Il s'agit de l'intersection d'un ferm\'e $\V(\mathfrak{a})$ et d'un ouvert de $\mathrm{Spec}(\A)$ et, puisque les ouverts principaux constituent une base de la topologie de $\mathrm{Spec}(\A)$, il existe un \'el\'ement $f$ de $\A$ tel que $\Y' = \V(\mathfrak{a}) \cap \D(f)$ soit non vide et contenu dans $\Y$. Il existe par hypoth\`ese un id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$ contenant $\mathfrak{a}$ mais non par $f$ et il s'agit de justifier qu'il existe un id\'eal maximal de $\A$ satifaisant \`a ces conditions. Par construction, l'image $\overline{f}$ de $f$ dans l'anneau quotient $\A/\mathfrak{a}$ n'appartient pas au nilradical de $\A/\mathfrak{a}$ ; si ce dernier co\"{\i}ncide avec le radical de $\A/\mathfrak{a}$, il existe un id\'eal maximal de $\A/\mathfrak{a}$ ne contenant pas $\overline{f}$, c'est-\`a-dire un id\'eal maximal de $\A$ contenant $\mathfrak{a}$ mais non $f$.

\vspace{0.1cm} 2. Un anneau local $\A$ est un anneau de Jacobson si et seulement si son spectre est r\'eduit \`a un point ou, de mani\`ere \'equivalente, si et seulement si l'anneau $\A^{\textrm{r\'ed}}$ est un corps. La condition est \'evidemment suffisante, puisqu'alors tout id\'eal premier est maximal ; cette condition est \'egalement n\'ecessaire car, si $\mathrm{Spec}(\A)$ contient deux points distincts, l'id\'eal maximal de $\A$ est l'unique point ferm\'e de $\mathrm{Spec}(\A)$ et son compl\'ementaire est une partie ouverte non vide ne contenant aucun point ferm\'e ; la condition (i) est alors en d\'efaut et l'anneau $\A$ n'est pas de Jacobson.

\vspace{0.1cm} 3. Un corps est trivialement un anneau de Jacobson. L'anneau $\mathbb{Z}$ est un anneau de Jacobson car (0), son seul id\'eal premier non maximal, est l'intersection des id\'eaux maximaux de $\mathbb{Z}$. Le m\^eme argument prouve que l'anneau $k[\T]$ des polyn\^omes en une ind\'etermin\'ee \`a coefficients dans un corps $k$ est un anneau de Jacobson.

\vspace{0.1cm} 4. Quel que soit le ferm\'e $\F$ de $\X$, la condition (i) garantit que $\F$ est l'adh\'erence de $\F \cap \X_0$ dans $\X$. Il en d\'ecoule imm\'ediatement que, pour tous ferm\'es $\F, \F'$ de $\X$, les conditions $\X = \F \cup \F'$ (resp. $\F = \X$ ; $\F' = \X$) et $\X_0 = (\F \cap \X_0) \cap (\F' \cap \X_0)$ (resp. $\F \cap \X_0 = \X_0$ ; resp. $\F' \cap \X_0 = \X_0$) sont \'equivalentes et l'espace topologique $\X_0$ est irr\'eductible si et seulement si l'espace topologique $\X$ l'est.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Exercice 9} --- Nous admettons ici l'assertion suivante, qui sera d\'emontr\'ee dans la feuille d'exercices 3 : \'etant donn\'e un homomorphisme d'anneaux $\A \rightarrow \B$, l'ensemble des \'el\'ements de $\B$ qui sont racine d'un polyn\^ome unitaire de $\A[\T]$ constituent un sous-anneau de $\B$.

\vspace{0.1cm} 1. (i) Supposons que $\A$ soit engendr\'ee comme $k$-alg\`ebre par un g\'en\'erateur $t_1$. Le $k$-homomorphisme $u : k[\T] \rightarrow \A$ est surjectif et, comme $\A$ est un corps, son noyau $\mathfrak{m}$ est un id\'eal maximal de $k[\T]$ ; $\A$ est donc de la forme $k[\T]/(f)$, $f \in k[\T]$ irr\'eductible, et c'est bien une extension alg\'ebrique de $k$.

(ii) Si $t_1$ est alg\'ebrique sur $k$, il engendre un sous-corps $k(t_1)$ de $\A$ et $\A$ est alors une alg\`ebre de type fini sur $k(t_1)$ engendr\'ee par $t_2, \ldots, t_n$. En raisonnant par r\'ecurrence sur $n$, nous pouvons supposer que tous les \'el\'ements de $\A$ sont alg\'ebriques sur le corps $k(t_1)$ ; ils seront alors alg\'ebriques sur $k$ puisque $k(t_1)$ est une extension alg\'ebrique de $k$. Si $t_1$ est transcendant, ce que nous supposerons dans ce qui suit, $\A$ est une alg\`ebre de type fini sur le corps $k(t_1) \simeq k(\T)$ engendr\'ee par $t_2, \ldots, t_n$ et, en raisonnant de nouveau par r\'ecurrence sur le nombre de g\'en\'erateurs de $\A$, nous pouvons en outre supposer que $t_2, \ldots, t_n$ sont alg\'ebriques sur $k(t_1)$.

(iii) Par hypoth\`ese, $t_2$ est racine d'un polyn\^ome unitaire $\rP \in k(t_1)[\T]$ de degr\'e $d \geq 1$. Si $g(t_1) \in k[t_1]$ est un multiple commun des d\'enominateurs des coefficients de $\rP$, $\Qb = g(t_1)^{d}\rP(g(t_1)^{-1}\T)$ est un polyn\^ome unitaire \`a coefficients dans $k[t_1]$ qui annule $g(t_1)t_2$. En proc\'edant de m\^eme avec $t_3, \ldots, t_n$ et en consid\'erant le produit des polyn\^omes obtenus, nous obtenons l'existence d'un \'el\'ement non nul $f(t_1)$ de $k[t_1]$ tel que $f(t_1)t_2, \ldots, f(t_1)t_n$ annulent des polyn\^omes unitaires de $k[t_1][\T]$. Par hypoth\`ese, tout \'el\'ement $a$ de $\A$ s'\'ecrit sous la forme $\F(t_1, \ldots, t_n)$ avec $\F \in k[\T_1, \ldots, \T_n]$ ; si l'entier naturel $\N$ est suffisamment grand, $f(t_1)^{\N}a$ s'\'ecrit ainsi sous la forme $\G(t_1, f(t_1)t_2, \ldots, f(t_1)t_n)$ avec $\G \in k[\T_1, \ldots, \T_n]$ et appartient ainsi \`a la sous-$k$-alg\`ebre de $\A$ engendr\'ee par $f(t_1)t_2, \ldots, f(t_1)t_n$ ; comme ces derniers sont racines de polyn\^omes non nul de $k[t_1][\T]$, le r\'esultat mentionn\'e au d\'ebut permet de conclure qu'il en est de m\^eme pour $f(t_1)^{\N}a$.

(iv) On rappelle que $t_1$ est suppos\'e transcendant sur le corps $k$, de sorte que le corps $\A$ contient le corps $k(t_1)$ des fractions rationnelles en $t_1$. L'observation du point (iii) s'applique en particulier aux \'el\'ements $a(t_1)$ de $k(t_1)$ : il existe pour toute fraction rationnelle $a(t_1)$ un entier $\N$ et des polyn\^omes $p_0(t_1), \ldots, p_{m-1}(t_1) \in k[t_1]$ tels que $$ (f(t_1)^{\N} a)^m + p_{m-1}(t_1)(f(t_1)^{\N}a)^{m-1} + \ldots + p_0 (t_1) = 0.$$
Soit alors $q(t_1) \in k[t_1]$ un polyn\^ome premier \`a $f(t_1)$ ; appliqu\'ee \`a $a= 1/q(t_1)$, la condition pr\'ec\'edente s'\'ecrit la forme $f(t_1)^{\M} + q(t_1)r(t_1) = 0$ avec $\M \geq 1$, $r(t_1) \in k[t_1]$ et conduit donc \`a une contradiction. L'\'el\'ement $t_1$ de $\A$ est donc alg\'ebrique sur $k$ et la conclusion d\'ecoule du point (ii).

\vspace{0.1cm} 2. Supposons que le corps $k$ soit alg\'ebriquement clos. \'Etant donn\'e un id\'eal maximal $\mathfrak{m}$ de $k[\T_1, \ldots, \T_n]$, le quotient $k[\T_1, \ldots, \T_n]/\mathfrak{m}$ est une $k$-alg\`ebre de type fini et un corps ; en vertu de la question pr\'ec\'edente, l'homomorphisme canonique $k \rightarrow k[\T_1, \ldots, \T_n]/\mathfrak{m}$ est un isomorphisme puisque $k$ est alg\'ebriquement clos et il existe donc des \'el\'ements $t_1, \ldots, t_n$ de $k$ tels que$\T_i - t_i \in \mathfrak{m}$ pour tout $i$ ; comme l'id\'eal $(\T_1 - t_1, \ldots, \T_n - t_n)$ est maximal, nous obtenons finalement $\mathfrak{m} = (\T_1 - t_1, \ldots, \T_n - t_n)$. En tenant compte de l'identification canonique $k^n = \mathrm{Hom}_{k}(k[\T_1, \ldots, \T_n], k)$, cette observation peut se reformuler sous la forme suivante : l'application $$\mathrm{Hom}_k (k[\T_1, \ldots, \T_n], k) \rightarrow \mathrm{Spec}(k[\T_1, \ldots, \T_n]), \ \ u \mapsto \mathrm{Ker}(u),$$ r\'ealise une bijection de l'ensemble des homomorphismes de $k$-alg\`ebres de $k[\T_1, \ldots, \T_n]$ dans $k$ sur l'ensemble des id\'eaux maximaux de $k[\T_1, \ldots, \T_n]$.

Soit plus g\'en\'eralement $\A$ une $k$-alg\`ebre de type fini. En \'ecrivant $\A$ sous la forme $k[\T_1, \ldots, \T_n]/\mathfrak{I}$, l'ensemble $\mathrm{Hom}_k (\A,k)$ s'identifie au sous-ensemble de $\mathrm{Hom}_k (k[\T_1, \ldots, \T_n], k)$ constitu\'e des $k$-homomorphismes $u$ tels que $\mathfrak{I} \subset \mathrm{Ker}(u)$ et, comme les id\'eaux maximaux de $\A$ sont pr\'ecis\'ement les id\'eaux maximaux de $k[\T_1, \ldots, \T_n]$ contenant $\mathfrak{I}$, ce qui pr\'ec\`ede \'etablit que l'application $$\mathrm{Hom}_k (\A,k) \rightarrow \mathrm{Spec}(\A)$$ r\'ealise une bijection de l'ensemble des $k$-homomorphismes de $\A$ dans $k$ sur l'ensemble des id\'eaux maximaux de $\A$.

\vspace{0.1cm} L'id\'eal $(\T^2-2)$ de $\mathbb{Q}[\T]$ est maximal mais il n'est pas le noyau d'un homomorphisme $\mathbb{Q}[\T] \rightarrow \mathbb{Q}$.

\vspace{0.1cm} 4. (i) Soit $\mathfrak{m}$ un id\'eal maximal de $\B$ et soit $\mathfrak{p} = ^{a}\varphi(\mathfrak{m}) = \varphi^{-1}(\mathfrak{m})$. Le corps $\B/\mathfrak{m}$ est une extension alg\'ebrique de $k$ dans laquelle se plonge la $k$-alg\`ebre $\A/\mathfrak{p}$ ; tout \'el\'ement $x$ de $\A/\mathfrak{p}$ satisfait donc \`a une condition de la forme $x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_0 =0$ avec $a_{n-1}, \ldots, a_0 \in k$. Comme l'anneau $\A/\mathfrak{p}$ est int\`egre, on peut supposer $a_0 \neq 0$ si $x \neq 0$ et il suffit d'\'ecrire cette identit\'e sous la forme $x(x^n-1 + a_{n-1}x^{n-2} + \ldots + a_1) = -a_0$ pour en d\'eduire que $x$ est inversible dans $\A/\mathfrak{p}$ si $x \neq 0$. L'anneau $\A/\mathfrak{p}$ est donc un corps et l'id\'eal $\mathfrak{p}$ est maximal.

(ii) Comme tout quotient d'un anneau de Jacobson est un anneau de Jacobson en vertu de la caract\'erisation 1 (iii) de l'exercice 8, il suffit de v\'erifier que $\A = k[\T_, \ldots, \T_n]$ est un anneau de Jacobson ; nous utiliserons pour cela la caract\'erisation 1 (ii) de ce m\^eme exercice. Soit en effet $\mathfrak{a}$ un id\'eal de $\A$ et $f$ un \'el\'ement de $\A$ dont l'image $\overline{f}$ dans $\A/\mathfrak{a}$ n'est pas nilpotente (ce qui veut dire que $f$ n'appartient pas \`a la racine $\mathfrak{r}(\mathfrak{a})$ de $\mathfrak{a}$). L'ouvert $\Y = \D(\overline{f}) = \V(\mathfrak{a}) \cap \D(f)$ de $\V(\mathfrak{a})$ est une partie localement ferm\'ee de $\mathrm{Spec}(\A)$, non vide en vertu du choix de $f$ et hom\'eomorphe au spectre de l'anneau $\A' = (\A/\mathfrak{a})[\overline{f}^{-1}] = (\A/\mathfrak{a})[\T]/(\overline{f}\T-1) = \A[\T]/(\mathfrak{a}\A[\T] + (f\T - 1))$ via l'application associ\'ee \`a l'homomorphisme canonique $j : \A \rightarrow \A'$. Comme l'anneau $\A'$ n'est pas nul (puisque son spectre est non vide), il poss\`ede un id\'eal maximal $\mathfrak{m}$ et $^{a}j (\mathfrak{m})$ est donc un id\'eal maximal de $\A$ contenu dans $\Y$ en vertu de (i). Cela prouve que $\A$ est un anneau de Jacobson.

\vspace{0.1cm} 5. Consid\'erons de nouveau un corps alg\'ebriquement clos $k$ et soit $\mathfrak{a}$ un id\'eal de $k[\T_1, \ldots, \T_n]$.

\begin{itemize}
\item Si l'id\'eal $\mathfrak{a}$ est strict, il est contenu dans un id\'eal maximal $\mathfrak{m} = (\T_1 - t_1, \ldots, \T_n - t_n)$ de $k[\T_1, \ldots, \T_n]$ et il existe donc $(t_1, \ldots, t_n) \in k^n$ tels que $f(t_1, \ldots, t_n)=0$ pour tout $f \in \mathfrak{a}$.
\item Soit $f$ un polyn\^ome s'annulant identiquement sur l'ensemble $\V(\mathfrak{a}) \cap k^{n}$ des z\'eros de $\mathfrak{a}$. Cette hypoth\`ese signifie exactement que $f$ appartient \`a tous les id\'eaux maximaux de $k[\T_1, \ldots, \T_n]$ contenant $\mathfrak{a}$ ; comme $k[\T_1, \ldots, \T_n]$ est un anneau de Jacobson, $f$ appartient par cons\'equent \`a tous les id\'eaux premiers de $k[\T_1, \ldots, \T_n]$ contenant $\mathfrak{a}$ et il existe donc une puissance de $f$ appartenant \`a $\mathfrak{a}$.
\end{itemize}

\vspace{0.1cm}
\noindent \emph{Remarque} -- Les deux propri\'et\'es que l'on vient de d\'emontrer constituent classiquement le \emph{th\'eor\`eme des z\'eros} de Hilbert et le contenu math\'ematique de ce dernier est donc fondamentalement le fait que les $k$-alg\`ebres de type fini sur un corps sont des anneaux de Jacobson, associ\'e \`a la description explicite de leurs id\'eaux maximaux.

\vspace{0.1cm} 6. Soit $\A$ un anneau de Jacobson et soit $\B$ une $\A$-alg\`ebre de type fini (c'est-\`a-dire un quotient d'un anneau de polyn\^omes $\A[\T_1, \ldots, \T_n]$). On suppose $\B \neq 0$ et on note $\varphi : \A \rightarrow \B$ l'homomorphisme canonique ; nous allons v\'erifier que $\B$ est encore un anneau de Jacobson.

(i) Soit $\mathfrak{m}$ un id\'eal maximal de $\B$ et soit $\mathfrak{p} = ^{a}\varphi(\mathfrak{m}) = \varphi^{-1}(\mathfrak{m})$. L'homomorphisme de $\A/\mathfrak{p}$ dans le corps $\B/\mathfrak{m}$ induit un plongement du corps des fractions $\kappa(\mathfrak{p})$ de $\A/\mathfrak{p}$ dans $\B/\mathfrak{m}$. Comme $\B$ est une alg\`ebre de type fini sur $\A$, $\B/\mathfrak{m}$ est une alg\`ebre de type fini sur $\A$ et donc sur $\kappa(\mathfrak{p})$ ; il s'agit donc d'une extension alg\'ebrique de $\kappa(\mathfrak{p})$ et nous en d\'eduisons que tout \'el\'ement de $\B/\mathfrak{m}$ est annul\'e par un polyn\^ome unitaire \`a coefficients dans $\kappa(\mathfrak{p})$. Soient $x_1, \ldots, x_n$ des g\'en\'erateurs de $\B/\mathfrak{m}$ comme $\A$-alg\`ebre. En raisonnant comme \`a la question 1 (iii), on justifie qu'il existe un \'el\'ement $f$ de $\A/\mathfrak{p}$ tel que $fx_1, \ldots, fx_n$ soient racines de polyn\^omes unitaires \`a coefficients dans $\A/\mathfrak{p}$. Puisque $x_1, \ldots, x_n$ engendrent $\B/\mathfrak{m}$ comme $\A$-alg\`ebre, il s'en suit qu'il existe pour chaque \'el\'ement $x$ de $\B/\mathfrak{m}$ un entier naturel $\N$ tel que $f^{\N}x$ soit racine d'un polyn\^ome unitaire \`a coefficients dans $\A/\mathfrak{p}$ ; de mani\`ere \'equivalente, chaque \'el\'ement de $\B/\mathfrak{m}$ est racine d'un polyn\^ome unitaire \`a coefficients dans $(\A/\mathfrak{p})[f^{-1}]$. On en d\'eduit comme en 4 (i) que ce dernier anneau est un corps et c'est finalement l\`a qu'intervient l'hypoth\`ese que $\A$ est un anneau de Jacobson. Puisque $\A'=\A/\mathfrak{p}$ est \'egalement un anneau de Jacobson, l'ouvert non vide $\D(f)$ de $\mathrm{Spec}(\A/\mathfrak{p})$ contient un point ferm\'e ; en d'autres termes, il existe un id\'eal maximal de $\A/\mathfrak{p}$ ne contenant pas $f$. Comme $(\A/\mathfrak{p})[f^{-1}]$ est un corps, $\mathfrak{m}$ engendre l'id\'eal nul dans l'anneau localis\'e $(\A/\mathfrak{p})[f^{-1}]$ et ceci implique $\mathfrak{m} =0$ puisque l'anneau $\A/\mathfrak{p}$ est un anneau int\`egre. La conclusion est imm\'ediate : l'id\'eal $\{0\}$ de $\A/\mathfrak{p}$ \'etant maximal, cet anneau est un corps et l'id\'eal $\mathfrak{p}$ de $\A$ est maximal.

(ii) \`A l'issue de la question pr\'ec\'edente, la d\'emonstration du fait que toute alg\`ebre de type fini sur un anneau de Jacobson est un anneau de Jacobson est exactement la m\^eme que dans le cas particulier o\`u $\A$ est un corps (question 4. (ii)).

\vspace{0.1cm} 7. Comme $\mathbb{Z}$ est un anneau de Jacobson, toute $\mathbb{Z}$-alg\`ebre de type fini est un anneau de Jacobson. Application imm\'ediate : une famille $(f_i)_{i \in \I}$ de polyn\^omes dans $\mathbb{Z}[\T_1, \ldots, \T_n]$ engendre un id\'eal strict si et seulement s'il existe un id\'eal maximal $\mathfrak{m}$ de $\mathbb{Z}[\T_1, \ldots, \T_n]$ contenant ces polyn\^omes ; l'image de $\mathfrak{m}$ par l'application $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[\T_1, \ldots, \T_n]) \rightarrow \mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ associ\'ee \`a l'homomorphisme canonique $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}[\T_1, \ldots, \T_n]$ \'etant un id\'eal maximal de $\mathbb{Z}$ en vertu de la question 6, il est \'equivalent de demander qu'il existe un nombre premier $p$ tel que les $f_i$ soient contenus dans un id\'eal maximal de $\mathbb{Z}[\T_1, \ldots, \T_n]$, c'est-\`a-dire un id\'eal maximal de $\mathbb{F}_p [\T_1, \ldots, \T_n]$ contenant les $f_i \ \textrm{mod }p$ ; comme l'anneau $\mathbb{F}_p [\T_1, \ldots,\T_n]/\mathfrak{m}$ est une extension finie de $\mathbb{F}_p$ en vertu de la question 1, nous en concluons finalement que les $f_i$ engendrent un id\'eal strict de $\mathbb{Z}[\T_1, \ldots, \T_n]$ si et seulement s'il existe un nombre premier $p$ tel que les $f_i$ aient un z\'ero commun dans un corps fini de caract\'eristique $p$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Exercice 10} --- 1. Puisque le corps $k$ est alg\'ebriquement clos, $\M_n(k) = k^{n^2}$ s'identifie canoniquement avec l'ensemble $\X_0$ des id\'eaux maximaux de $k[(\T_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}]$. L'ensemble $\F_r$ des matrices de rang au plus $r$ est l'intersection de $\X_0$ et du ferm\'e $\Y_r$ de $\X = \mathrm{Spec}(k[\T_{ij}])$ que d\'efinit l'id\'eal engendr\'e par les d\'eterminants mineurs d'ordre $r$ ; c'est donc un ferm\'e pour la topologie de Zariski sur $k^{n^2}$.

Une matrice $\M \in \M_n(k)$ est de rang au plus $r \in \{0, \ldots, n\}$ si et seulement s'il existe des matrices $\rP, \Qb \in \M_n(k)$ telles que $\M = \rP \J_r \Qb$, o\`u $\J_r$ est la matrice $\left(\begin{array}{ll} \I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$. Soit $\varphi$ l'homomorphisme d'anneaux $k[\T_{ij}] \rightarrow k[\Sr_{ij}, \U_{ij}]$ d\'efini par la condition suivante : quel que soient $p,q \in \{1, \ldots, n\}$, $\varphi(\T_{pq})$ est le polyn\^ome en les variables $(\Sr_{ij})$ et $(\U_{ij})$ donnant le coefficients d'indice $(p,q)$ de la matrice $(\Sr_{ij}) \J_r (\U_{ij})$ (en guise d'exemple, pour $n=2$ et $r=2$ : $\varphi(\T_{11}) = \Sr_{11}\U_{11} + \Sr_{12}\U_{21}, \ \varphi(\T_{12}) = \Sr_{11}\U_{12} + \Sr_{12}\U_{22}$ etc.). L'application associ\'ee $$^{a}\varphi : \mathrm{Spec}(k[\Sr_{ij}, \U_{ij}]) \rightarrow \mathrm{Spec}(k[\T_{ij}])$$ envoie un id\'eal maximal sur un id\'eal maximal (cf. exercice 9, 4)) ; identifiant ceux-ci aux \'el\'ements de $\M_n(k) \times \M_n(k) = k^{n^2} \times k^{n^2}$ et de $\M_n(k) = k^{n^2}$ respectivement, l'homomorphisme est construit de telle sorte que $^{a}\varphi(\rP, \Qb) = \rP \J_r \Qb$ pour toutes matrices $\rP, \Qb \in \M_n(k)$. Une application continue surjective envoyant automatiquement un espace irr\'eductible sur un espace irr\'eductible (la v\'erification est imm\'ediate), $\F_r$ est ainsi un ferm\'e irr\'eductible de $\M_n(k)$.

\vspace{0.1cm} 2) Soit $\Delta \in \mathbb{Z}[\T_{ij}]$ le d\'eterminant de la matrice $(\T_{ij}) \in \mathbb{M}_n (\mathbb{Z}[\T_{ij}])$ et soit $k$ un corps alg\'ebriquement clos. Identifiant $\M_n(k) = k^{n^2}$ et l'ensemble $\X_0$ des id\'eaux maximaux de $k[\T_{ij}]$, $\F_{n-1} = \X_0 \cap \V(\Delta)$ et le ferm\'e  $\V(\Delta)$ de $\mathrm{Spec}(k[\T_{ij}])$ est donc irr\'eductible en vertu de la question 4 de l'exercice 8.

Pour en conclure que le polyn\^ome $\Delta$ est irr\'eductible, il suffirait de savoir que l'id\'eal qu'il engendre est premier : une identit\'e $\Delta = fg$ avec $f, g \in k[\T_{ij}]$ impliquerait en effet $f \in (\Delta)$ ou $g \in (\Delta)$ puis $\Delta(1 - \F g) = 0$ ou $\Delta(1-f\G) = 0$ et donc $g \in k[\T_{ij}]^{\times}$ ou $f \in k[\T_{ij}]^{\times}$ ; \emph{a priori}, on sait seulement que la racine $\mathfrak{r}(\Delta)=\{ f \in k[\T_{ij}] \ | \ \exists n \geq 1, \ f^n \in (\Delta)\}$ de $(\Delta)$ est un id\'eal premier.Pour conclure, on peut utiliser le fait que l'anneau $k[\T_{ij}]$ est \emph{factoriel}, c'est-\`a-dire que tout polyn\^ome s'\'ecrit d'une mani\`ere et d'une seule comme un produit de polyn\^omes irr\'eductibles : $\mathfrak{r}(\Delta)$ est alors l'id\'eal principal engendr\'e par le produit des polyn\^omes irr\'eductibles distincts appara\^{\i}ssant dans la d\'ecomposition de $\Delta$, $\Delta$ est par cons\'equent une puissance $n$-\`eme d'un polyn\^ome irr\'eductible et on v\'erifie directement que cela est impossible avec $n \geq 2$.


\end{document} 