Algèbre approfondie - Automne 2007 ENS-Lyon

Algèbre commutative II

Exercice 1 (Localisation des modules) — Soient A un anneau, M un A-module et S une partie multiplicative de A.

1. On voit tout S^{−1} A-module comme un A-module grâce à l’homomorphisme canonique A → S^{−1} A. (i) Supposons qu’il existe deux S^{−1} A-modules M′et M′′ainsi que des applications A-linéaires λ′: M → M′et λ′′: M → M′′tels que, pour tout S^{−1} A-module N, les applications

Hom_{S^{−1} A}(M′,N) → Hom_{A}(M,N), u ↦ u ∘ λ′

et

Hom_{S^{−1} A}(M′′,N) → Hom_{A}(M,N), u ↦ u ∘ λ′′

soient des bijections. Démontrer qu’il existe un et un seul isomorphisme de S^{−1} A-modules φ : M′→ M′′tel que λ′′= φ ∘ λ′. (ii) Démontrer qu’il existe un S^{−1} A-module S^{−1} M et une application A-linéaire λ : M → S^{−1} M satisfaisant à la condition suivante : pour tout S^{−1} A-module N, l’application

Hom_{S^{−1} A}(S^{−1} M,N) → Hom_{A}(M,N), u ↦ u ∘ λ

est une bijection. En vertu de la question précédente, le couple (S^{−1} M,λ) est unique à un isomorphisme unique près.

2. Soit N un sous-module de M. Vérifier que S^{−1} N est un sous-S^{−1} A-module de S^{−1} M et démontrer que les S^{−1} A-modules S^{−1} M/S^{−1} N et S^{−1} (M/N) sont canoniquement isomorphes.

3. Supposons que M soit de type fini. Démontrer que S^{−1} M = 0 si et seulement s’il existe s ∈ S tel que sM = 0.

4. Étant donné un idéal premier 𝔭 de A, on pose M_{𝔭} = (A − 𝔭)^{−1} M. Démontrer que l’application canonique M → ∏ _{𝔪∈Max(A)} M_{𝔪} est injective.

Exercice 2 — Soient A un anneau, I un ensemble et (f_{i})_{i∈I} une famille d’éléments de A engendrant l’idéal unité. Soit également M un A-module.

1. Étant donnés i,j ∈ I, justifier que l’homomorphisme canonique M → M[(f_{i}f_{j})^{−1} ] se factorise à travers l’homomorphisme canonique M → M[f_{i}^{−1} ] (resp. M → M[f_{j}^{−1} ]) et induit un isomorphisme entre M[(f_{i}f_{j})^{−1} ] et M[f_{i}^{−1} ][f_{j}^{−1} ] (resp. entre M[(f_{i}f_{j})^{−1} ] et M[f_{j}^{−1} ][f_{i}^{−1} ]).

2. Démontrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes pour tout élément (m_{i})_{i∈I} de ∏ _{i∈I} M[f_{i}^{−1} ] :

(i) il existe un élément m de M, uniquement déterminé, tel que m_{i} = m/1 dans M[f_{i}^{−1} ] pour tout i ∈ I ; (ii) quels que soient i,j ∈ I, m_{i}/1 = m_{j}/1 dans M[(f_{i}f_{j})^{−1} ].

3. (Interprétation géométrique.) Supposons que A soit une algèbre de type fini sur un corps algébriquement clos k. On désigne par Max(A) l’ensemble des idéaux maximaux de A et on rappelle que A/𝔪 = k pour tout 𝔪 ∈ Max(A) (cf. Fiche I, exercice 9) ; pour tout élément a de A, on note ã l’application

Max(A) → k, 𝔪 ↦ ã(𝔪) = a mod 𝔪.

Une fonction f : Max(A) → k est dite régulière si elle satisfait à la condition suivante : quel que soit le point x de Max(A), il existe un voisinage ouvert U de x et des éléments a,b de A tels que la fonction b̃ne s’annule pas sur U et f̃_{|U} = ã/b̃. Les fonctions régulières sur Max(A) constituent manifestement un sous-anneau R(A) de l’anneau k^{Max(A)} de toutes les fonctions sur Max(A) à valeurs dans k.

Soit 𝔑 le nilradical de A. Démontrer que l’application f ↦ f̃induit un isomorphisme de A/𝔑 sur ℜ(A). (Indication : on rappelle que toute k-algèbre de type fini est un anneau de Jacobson, cf. exercices 8 et 9 de la feuille I.)

Exercice 3 (Autour du lemme de Nakayama) — Soient A un anneau et M un A-module de type fini.

1. Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes pour tout idéal 𝔞 de A :

(i) M = 𝔞M ; (ii) il existe un élément a de A tel que aM = 0 et a ≡ 1 mod 𝔞.

2. Quel que soit l’idéal premier 𝔭 de A, on désigne par κ(𝔭) le corps résiduel A_{𝔭}/𝔭A_{𝔭} de l’anneau local A_{𝔭} (c’est-à-dire le corps des fractions de A/𝔭) et on note M(𝔭) le κ(𝔭)-espace vectoriel M_{𝔭}/𝔭M_{𝔭}.

(i) Justifier que M(𝔭) est de dimension finie sur κ(𝔭). (ii) Une fonction réelle f sur un espace topologique X est dite semi-continue supérieurement si f^{−1} (] − ∞, λ [ ) est ouvert pour tout λ ∈ ℝ. Démontrer que l’application

Spec(A) → ℤ, 𝔭 ↦ dim_{κ(𝔭)}M(𝔭)

est semi-continue supérieurement. (Indication : utiliser le lemme de Nakayama ainsi que le point 3 de l’exercice précédent.)

3. Démontrer que toute application A-linéaire surjective u : M → M est automatiquement un isomorphisme. (Indication :voir M comme un A[T]-module et utiliser le point 1.)

Exercice 4 — Soit A un anneau.

1. Étant donné un A-module L et deux sous-A-modules M,N de L, démontrer que M et N sont de type fini si M + N et M ∩ N le sont.

2. Un A-module M est dit de présentation finie s’il est isomorphe au conoyau d’une application Alinéaire A^{m}→ A^{n} avec m,n ∈ ℕ.

(i) Quel que soit l’idéal 𝔞 de A, démontrer que le A-module A/𝔞 est de présentation finie si et seulement si 𝔞 est de type fini. (ii) Soit 0 → M′→ M → M′′→ 0 une suite exacte de A-modules. Si M′et M′′sont de présentation finie, démontrer que M est de présentation finie.

Exercice 5 (Module des différentielles) — Soit φ : A → B un homomorphisme d’anneaux. Étant donné un B-module M, une A-dérivation de B dans M est une application A-linéaire D : B → M satisfaisant à la condition de Leibniz : pour tous b,b′∈ B, D(bb′) = bD(b′) + b′D(b).

1. Vérifier que l’ensemble Der_{A}(B,M) des A-dérivations de B dans M est un sous-module du B-module des applications A-linéaires de B dans M.

2. Soient M,M′deux B-modules et soit f : M → M′une application B-linéaire. Vérifier que l’application D → f ∘ D induit une application B-linéaire de Der_{A}(B,M) dans Der_{A}(B,M′).

3. Démontrer qu’il existe un B-module Ω_{B/A}^{1} et une A-dérivation d_{B/A} : B → Ω_{B/A}^{1} satisfaisant à la condition suivante : pour tout B-module M, l’application

Hom_{B}(Ω_{B/A}^{1},M) → Der_{A}(B,M), u ↦ u ∘ d_{B/A}

est une bijection. Vérifier que le couple (Ω_{B/A}^{1},d_{B/A}) est unique à un isomorphisme unique près. (Indication : définir Ω_{B/A}^{1} comme le B-module quotient du B-module libre de base B

⨁_{b∈B}Be_{b}

par le sous-module engendré par les éléments e_{b+b′} − e_{b}− e_{b′}, e_{bb′}− be_{b′}− b′e_{b} et e_{ab}− ae_{b} (a ∈ A,b,b′∈ B).)

Le B-module Ω_{B/A}^{1} est appelé le module des différentielles de la A-algèbre B.

4. Soit S une partie multiplicative de B. Étant donné un S^{−1} B-module M, démontrer que toute Adérivation de B dans M se prolonge de manière unique en une A-dérivation de S^{−1} B dans M et vérifier que l’application obtenue de Der_{A}(B,M) dans Der_{A}(S^{−1} B,M) est une bijection. En utilisant la question précédente et l’exercice 1, en déduire que les S^{−1} B-module S^{−1} Ω_{B/A}^{1} et Ω_{S^{−1} B/A}^{1} sont canoniquement isomorphes.

5. Soit ℑ un idéal de B, soit C = B/ℑ et soit p: B → C l’homomorphisme canonique.

(i) En utilisant la question précédente, démontrer qu’il existe une et une seule application B-linéaire ψ : Ω_{B/A}^{1}→ Ω_{C/A}^{1} telle que ψ ∘d_{B/A}= d_{C/A}∘p puis vérifier que ψ induit une application C-linéaire

ψ : Ω_{B/A}^{1}/ℑΩ_{B/A}^{1} → Ω_{C/A}^{1}.

(ii) Vérifier que l’application d_{B/A} : ℑ → Ω_{B/A}^{1} induit une application C-linéaire

δ : ℑ/ℑ^{2} → Ω_{B/A}^{1}/ℑΩ_{B/A}^{1}.

(iii) Démontrer que la suite de C-modules

\xymatrix{ℑ/ℑ^{2} \ar[r]^{δ} & Ω_{B/A}^{1}/ℑΩ_{B/A}^{1} \ar[r]^{ψ} & Ω_{C/A}^{1} \ar[r] & 0}

est exacte. (Indication : en utilisant le point 3, démontrer que la suite

\xymatrix{0 \ar[r] & Hom_{C}(Ω_{C/A}^{1},M) \ar[r] & Hom_{C}(Ω_{B/A}^{1}/ℑΩ_{B/A}^{1},M) \ar[r] & Hom_{C}(ℑ/ℑ^{2},M),}

déduite de la précédente par application du foncteur Hom_{C}(.,M), est exacte.)

6. Soit I un ensemble et soit B = A[T_{i}]_{i∈I}. Démontrer que Ω_{B/A}^{1} est le B-module libre de base d_{B/A}(T_{i}), i ∈ I. (Indication : vérifier que, pour tout B-module M, l’application Der_{A}(B,M) → M^{(I)}, D ↦ D(T_{i}) est une bijection et en déduire que l’homomorphisme canonique

⨁_{i∈I} Bd_{B/A}(T_{i}) → Ω_{B/A}^{1}

est un isomorphisme.)

7. Soit I un ensemble, soit ℑ un idéal de l’anneau B = A[T_{i}]_{i∈I} et soit C = B/ℑ. Démontrer que Ω_{C/A}^{1} est le quotient du C-module libre de base (d_{C/A}(T_{i}))_{i∈I} par le sous-module engendré par les éléments ∑_{i∈I} ∂f/∂T_{i}d_{C/A}(T_{i}), f ∈ ℑ. (Indication : utiliser les points 4 et 5.)

8. Calculer Ω_{B/A}^{1} dans chacun des cas suivants : (i) A = ℚ et B = ℚ[T_{1},T_{2}]/(T_{2}^{2}− T_{1}^{3}− T_{1}), (ii) A = ℚ et B = ℚ[T_{1},T_{2}]/(T_{1}^{2}− T_{2}^{3}), (iii) A = 𝔽_{2} et B = 𝔽_{2}[T_{1},T_{2}]/(T_{1}^{2}+ T_{2}^{2}+ 1).

Exercice 6 (Modules projectifs, injectifs) — Soit A un anneau.

1. Démontrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes pour un A-module M. (i) Le foncteur Hom_{A}(M,.) est exact. (ii) Quelle que soit la suite exacte de A-modules \xymatrix{N \ar[r] & N′′ \ar[r] & 0} , toute application A-linéaire u: M → N′′se relève en une application A-linéaire de M dans N.

Un A-module est dit projectif s’il satisfait à ces deux conditions.

2. Démontrer qu’un A-module est projectif si et seulement s’il est facteur direct d’un A-module libre.

3. Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes pour tout A-module M de type fini : (i) M est projectif. (ii) Pour tout idéal premier 𝔭 de A, le A_{𝔭}-module M_{𝔭} est libre. (iii) Il existe des éléments f_{1},...,f_{n} de A engendrant l’idéal unité tels que M[f_{i}^{−1} ] soit un A[f_{i}^{−1} ]- module libre pour tout i.

4. Démontrer que tout A-module M est quotient d’un A-module projectif. En déduire qu’il existe une résolution projective de M, c’est-à-dire une suite exacte de A-modules

\xymatrix{... \ar[r] & P_{n+1} → \ar[r]^{d_{n}} & P_{n} \ar[r] & ... \ar[r] & P_{1} \ar[r]^{d_{0}} & P_{0} \ar[r]^{ε} & M \ar[r] & 0}

dans laquelle chaque P_{n} est un A-module projectif.

5. Démontrer que les conditions suivantes sont équivalentes pour tout A-module M :

(i) le foncteur Hom_{A}(.,M) est exact ; (ii) quelle que soit la suite exacte de A-modules \xymatrix{0 \ar[r] & N′ \ar[r] & N} , toute application A-linéaire N′→ M se prolonge en une application A-linéaire de N dans M.

Un A-module est dit injectif s’il satisfait à ces deux conditions.

6. Supposons que l’anneau A soit intègre.

(i) Démontrer que tout A-module injectif est divisible, c’est-à-dire que la multiplication \xymatrix{M \ar[r]^{a.} & M} est surjective pour tout élément non nul a de A. (ii) Si l’anneau A est principal, démontrer qu’un A-module est injectif si et seulement s’il est divisible. (iii) Vérifier que le ℤ-module ℚ/ℤ est injectif et en déduire que tout ℤ-module M admet une application linéaire non nulle dans ℚ/ℤ.

Remarque : l’énoncé dual de la question 4 est vrai : tout A-module M s’injecte dans un A-module injectif

et possède donc une résolution injective \xymatrix{0 \ar[r] & M \ar[r]^{ε} & I^{0} \ar[r]^{d^{0}} & I^{1} \ar[r]^{d^{1}} & ... \ar[r] & I^{n} \ar[r]^{d^{n}} & ...} mais la démonstration est plus compliquée...^{(1)}

(1)Voir par exemple Serge Lang, Algebra (third edition), Addison Wesley Pub. (1999), XX.§4.

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