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\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre approfondie - Automne 2007} \hfill
\textbf{ENS-Lyon} \vspace{0.1cm} \hrule

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
{\bfseries \scshape Alg\`ebre commutative II}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\noindent \textbf{Exercice 1} (\emph{Localisation des modules}) ---
Soient $\A$ un anneau,
 $\M$ un $\A$-module et $\Sr$ une partie multiplicative de $\A$.

\begin{enumerate}
\item On voit tout $\Sr^{-1}\A$-module comme un $\A$-module
gr\^ace \`a l'homomorphisme canonique $\A \rightarrow \Sr^{-1}\A$. \\
(i) Supposons qu'il existe deux $\Sr^{-1}\A$-modules $\M'$ et $\M''$
ainsi que des applications $\A$-lin\'eaires $\lambda' : \M
\rightarrow \M'$ et $\lambda'' : \M \rightarrow \M''$ tels que,
pour tout $\Sr^{-1}\A$-module $\N$, les applications
$$\mathrm{Hom}_{\Sr^{-1}\A}(\M', \N) \rightarrow
\mathrm{Hom}_{\A}(\M,\N), \ \ u \mapsto u \circ
\lambda'$$ et $$\mathrm{Hom}_{\Sr^{-1}\A}(\M'', \N)
\rightarrow \mathrm{Hom}_{\A}(\M,\N), \ \ u \mapsto u
\circ \lambda''$$ soient des bijections. D\'emontrer qu'il existe un
et un seul isomorphisme de $\Sr^{-1}\A$-modules $\varphi : \M'
\rightarrow \M''$ tel que $\lambda'' =
\varphi \circ \lambda'$. \\
(ii) D\'emontrer qu'il existe un $\Sr^{-1}\A$-module $\Sr^{-1}\M$ et
une application $\A$-lin\'eaire $\lambda : \M \rightarrow
\Sr^{-1}\M$ satisfaisant \`a la condition suivante : pour tout
$\Sr^{-1}\A$-module $\N$, l'application
$$\mathrm{Hom}_{\Sr^{-1}\A}(\Sr^{-1}\M, \N) \rightarrow
\mathrm{Hom}_{\A}(\M,\N), \ \ u \mapsto u \circ
\lambda$$ est une bijection. En vertu de la question pr\'ec\'edente,
le couple $(\Sr^{-1}\M, \lambda)$ est unique \`a un isomorphisme
unique pr\`es.
\item Soit $\N$ un sous-module de $\M$. V\'erifier que $\Sr^{-1}\N$ est
un
sous-$\Sr^{-1}\A$-module de $\Sr^{-1}\M$ et d\'emontrer que les
$\Sr^{-1}\A$-modules $\Sr^{-1}\M/\Sr^{-1}\N$ et $\Sr^{-1}(\M/\N)$
sont canoniquement isomorphes.
\item Supposons que $\M$ soit de type fini. D\'emontrer que $\Sr^{-1}\M =
0$
si et seulement s'il existe $s \in \Sr$ tel que $s\M = 0$.
\item \'Etant donn\'e un id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$, on
pose $\M_{\mathfrak{p}} = (\A - \mathfrak{p})^{-1}\M$. D\'emontrer
que l'application canonique $\M \rightarrow \prod_{\mathfrak{m} \in \mathrm{Max}(\A)}
\M_{\mathfrak{m}}$ est injective.
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Exercice 2} --- Soient $\A$ un
anneau, $\I$ un ensemble et $(f_i)_{i \in \I}$ une famille
d'\'el\'ements de $\A$ engendrant l'id\'eal unit\'e. Soit
\'egalement $\M$ un $\A$-module.

\begin{enumerate}
\item \'Etant donn\'es $i, j \in \I$,
justifier que l'homomorphisme canonique $\M \rightarrow
\M[(f_if_j)^{-1}]$ se factorise \`a travers l'homomorphisme
canonique $\M \rightarrow \M[f_i^{-1}]$ (resp. $\M \rightarrow
\M[f_j^{-1}]$) et induit un isomorphisme entre $\M[(f_if_j)^{-1}]$ et
$\M[f_i^{-1}][f_j^{-1}]$ (resp. entre $\M[(f_if_j)^{-1}]$ et
$\M[f_j^{-1}][f_i^{-1}]$).
\item D\'emontrer que les deux conditions suivantes sont
\'equivalentes pour tout \'el\'ement $(m_i)_{i \in \I}$ de $\prod_{i
\in \I} \M[f_i^{-1}]$ : \\
(i) il existe un \'el\'ement $m$ de $\M$, uniquement d\'etermin\'e,
tel que $m_i = m/1$ dans $\M[f_i^{-1}]$ pour tout $i \in \I$; \\
(ii) quels que soient $i, j \in \I$, $m_i/1  = m_j/1$ dans
$\M[(f_if_j)^{-1}]$.
\item (\emph{Interpr\'etation g\'eom\'etrique}.) Supposons que $\A$
soit une alg\`ebre de type fini sur un corps alg\'ebriquement clos
$k$. On d\'esigne par $\mathrm{Max}(\A)$ l'ensemble des id\'eaux
maximaux de $\A$ et on rappelle que $\A/\mathfrak{m} = k$ pour tout
$\mathfrak{m} \in \mathrm{Max}(\A)$ (cf. Fiche I, exercice 9); pour
tout \'el\'ement $a$ de $\A$, on note $\tilde{a}$ l'application
$$\mathrm{Max}(\A) \rightarrow k, \ \ \mathfrak{m} \mapsto
\tilde{a}(\mathfrak{m}) = a \textrm{ mod } \mathfrak{m}.$$

\vspace{0.1cm} Une fonction $f : \mathrm{Max}(\A) \rightarrow k$ est
dite \emph{r\'eguli\`ere} si elle satisfait \`a la condition
suivante : quel que soit le point $x$ de $\mathrm{Max}(\A)$, il
existe un voisinage ouvert $\U$ de $x$ et des \'el\'ements $a, b$ de
$\A$ tels que la fonction $\tilde{b}$ ne s'annule pas sur $\U$ et
$\tilde{f}_{|\U}= \tilde{a}/\tilde{b}$. Les fonctions r\'eguli\`eres
sur $\mathrm{Max}(\A)$ constituent manifestement un sous-anneau
$\mathcal{R}(\A)$ de l'anneau $k^{\mathrm{Max}(\A)}$ de toutes les
fonctions sur $\mathrm{Max}(\A)$ \`a valeurs dans $k$.

Soit $\mathfrak{N}$ le nilradical de $\A$. D\'emontrer que
l'application $f \mapsto \tilde{f}$ induit un isomorphisme de
$\A/\mathfrak{N}$ sur $\mathfrak{R}(\A)$. (\emph{Indication} : on
rappelle que toute $k$-alg\`ebre de type fini est un anneau de
Jacobson, cf. exercices 8 et 9 de la feuille I.)
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Exercice 3} (\emph{Autour du lemme
de Nakayama}) ---  Soient $\A$ un anneau et $\M$ un $\A$-module de
type fini.

\begin{enumerate} \item D\'emontrer que les conditions suivantes sont
\'equivalentes pour tout id\'eal $\mathfrak{a}$ de $\A$ : \\
(i) $\M = \mathfrak{a}\M$; \\
(ii) il existe un \'el\'ement $a$ de $\A$ tel que $a\M = 0$ et
$a \equiv 1 \textrm{ mod } \mathfrak{a}$.
\item Quel que soit l'id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$, on
d\'esigne par $\kappa(\mathfrak{p})$ le corps r\'esiduel
$\A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}\A_\mathfrak{p}$ de l'anneau local
$\A_{\mathfrak{p}}$ (c'est-\`a-dire le corps des fractions de $\A/\mathfrak{p}$) et on note $\M(\mathfrak{p})$ le
$\kappa(\mathfrak{p})$-espace vectoriel
$\M_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}\M_{\mathfrak{p}}$. \\
(i) Justifier que $\M(\mathfrak{p})$ est de dimension finie sur
$\kappa(\mathfrak{p})$. \\ (ii) Une fonction r\'eelle $f$ sur un
espace topologique $\X$ est dite \emph{semi-continue
sup\'erieurement} si $f^{-1}(]-~\infty,~\lambda~[~)$ est ouvert pour
tout $\lambda \in \mathbb{R}$. D\'emontrer que l'application
$$\mathrm{Spec}(\A) \rightarrow \mathbb{Z}, \ \mathfrak{p} \mapsto
\mathrm{dim}_{\kappa(\mathfrak{p})} \M(\mathfrak{p})$$ est
semi-continue sup\'erieurement. (\emph{Indication} : utiliser le
lemme de Nakayama ainsi que le point 3 de l'exercice pr\'ec\'edent.)
\item D\'emontrer que toute application $\A$-lin\'eaire surjective $u
: \M \rightarrow \M$ est automatiquement un isomorphisme.
(\emph{Indication} :voir $\M$ comme un $\A[\T]$-module et utiliser
le point 1.)
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}
\noindent \textbf{Exercice 4} --- Soit $\A$ un anneau.
\begin{enumerate}
\item \'Etant donn\'e un $\A$-module $\Lr$ et deux sous-$\A$-modules
$\M, \N$ de $\Lr$, d\'emontrer que $\M$ et $\N$ sont de type fini si
$\M + \N$ et $\M \cap \N$
 le sont.
\item Un $\A$-module $\M$ est dit de \emph{pr\'esentation finie} s'il
est isomorphe au conoyau d'une application $\A$-lin\'eaire $\A^m
\rightarrow \A^n$ avec
$m, n \in \mathbb{N}$. \\
(i) Quel que soit l'id\'eal $\mathfrak{a}$ de $\A$, d\'emontrer que
le $\A$-module $\A/\mathfrak{a}$ est de pr\'esentation finie si et
seulement
si $\mathfrak{a}$ est de type fini.  \\
(ii) Soit $0 \rightarrow \M' \rightarrow \M \rightarrow \M''
\rightarrow 0$ une suite exacte de $\A$-modules. Si $\M'$ et $\M''$
sont de pr\'esentation finie, d\'emontrer que $\M$ est de
pr\'esentation finie.
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Exercice 5} (\emph{Module des
diff\'erentielles}) --- Soit $\varphi : \A \rightarrow \B$ un
homomorphisme d'anneaux. \'Etant donn\'e un $\B$-module $\M$, une
$\A$-\emph{d\'erivation} de $\B$ dans $\M$ est une application
$\A$-lin\'eaire $\D : \B \rightarrow \M$ satisfaisant \`a la
condition de Leibniz : pour tous $b, b' \in \B$, $\D(bb') =
b\D(b')+b'\D(b).$ \begin{enumerate}
\item V\'erifier que l'ensemble $\mathrm{Der}_{\A}(\B,\M)$ des
$\A$-d\'erivations de $\B$ dans $\M$ est un sous-module du
$\B$-module des applications $\A$-lin\'eaires de $\B$ dans $\M$.
\item Soient $\M, \M'$ deux $\B$-modules et soit $f : \M \rightarrow
\M'$ une application $\B$-lin\'eaire. V\'erifier que l'application
$\D \rightarrow f \circ \D$ induit une application $\B$-lin\'eaire
de $\mathrm{Der}_{\A}(\B,\M)$ dans $\mathrm{Der}_{\A}(\B,\M')$.
\item D\'emontrer qu'il existe un $\B$-module
$\Omega_{\B/\A}^{1}$ et une $\A$-d\'erivation $d_{\B/\A} : \B
\rightarrow \Omega_{\B/\A}^{1}$ satisfaisant \`a la condition
suivante : pour tout $\B$-module $\M$, l'application
$$\mathrm{Hom}_{\B}(\Omega_{\B/\A}^{1}, \M) \rightarrow
\mathrm{Der}_{\A}(\B,\M), \ u \mapsto u \circ d_{\B/\A}$$ est une
bijection. V\'erifier que le couple $(\Omega_{\B/\A}^{1},
d_{\B/\A})$ est unique \`a un isomorphisme unique pr\`es.
(\emph{Indication} : d\'efinir $\Omega_{\B/\A}^{1}$ comme le
$\B$-module quotient du $\B$-module libre de base $\B$
$$\bigoplus_{b \in \B} \B e_{b}$$ par le sous-module engendr\'e par
les \'el\'ements $e_{b+b'} - e_{b} - e_{b'}, \ e_{bb'} - be_{b'} -
b'e_{b}$ et $e_{ab} - ae_{b}$ \\($a \in \A, b, b' \in \B$).)

Le $\B$-module $\Omega_{\B/\A}^{1}$ est appel\'e le \emph{module des
diff\'erentielles} de la $\A$-alg\`ebre $\B$.
\item Soit $\Sr$ une partie multiplicative de $\B$.
\'Etant donn\'e un $\Sr^{-1}\B$-module $\M$, d\'emontrer que toute
$\A$-d\'erivation de $\B$ dans $\M$ se prolonge de mani\`ere unique
en une $\A$-d\'erivation de $\Sr^{-1}\B$ dans $\M$ et v\'erifier que
l'application obtenue de $\mathrm{Der}_{\A}(\B,\M)$ dans
$\mathrm{Der}_{\A}(\Sr^{-1}\B,\M)$ est une bijection. En utilisant
la question pr\'ec\'edente et l'exercice 1, en d\'eduire que les
$\Sr^{-1}\B$-module $\Sr^{-1}\Omega_{\B/\A}^{1}$ et
$\Omega_{\Sr^{-1}\B/\A}^{1}$ sont canoniquement isomorphes.
\item Soit $\mathfrak{I}$ un id\'eal de $\B$, soit $\C =
\B/\mathfrak{I}$ et soit $p : \B \rightarrow \C$ l'homomorphisme
canonique. \\ (i) En utilisant la question pr\'ec\'edente,
d\'emontrer qu'il existe une et une seule application
$\B$-lin\'eaire $\psi : \Omega_{\B/\A}^{1} \rightarrow
\Omega_{\C/\A}^{1}$ telle que $\psi \circ d_{\B/\A} = d_{\C/\A}
\circ p$ puis v\'erifier que $\psi$ induit une application
$\C$-lin\'eaire $$\psi :
\Omega_{\B/\A}^{1}/\mathfrak{I}\Omega_{\B/\A}^{1} \rightarrow
\Omega_{\C/\A}^{1}.$$
(ii) V\'erifier que l'application $d_{\B/\A} :
\mathfrak{I} \rightarrow \Omega_{\B/\A}^{1}$ induit une application
$\C$-lin\'eaire $$\delta : \mathfrak{I}/\mathfrak{I}^{2} \rightarrow
\Omega_{\B/\A}^{1}/\mathfrak{I}\Omega_{\B/\A}^{1}.$$ (iii)
D\'emontrer que la suite de $\C$-modules
$$\xymatrix{\mathfrak{I}/\mathfrak{I}^{2} \ar@{->}[r]^{\delta \hspace{0.5cm}}
& \Omega_{\B/\A}^{1}/\mathfrak{I}\Omega_{\B/\A}^{1}
\ar@{->}[r]^{\hspace{0.5cm} \psi} & \Omega_{\C/\A}^{1} \ar@{->}[r] &
0}$$ est exacte. (\emph{Indication} : en utilisant le point 3,
d\'emontrer que la suite $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] &
\mathrm{Hom}_{\C}(\Omega_{\C/\A}^{1}, \M) \ar@{->}[r] &
\mathrm{Hom}_{\C}(\Omega_{\B/\A}^{1}/\mathfrak{I}\Omega_{\B/\A}^{1},
\M) \ar@{->}[r]^{} &
\mathrm{Hom}_{\C}(\mathfrak{I}/\mathfrak{I}^{2}, \M),}$$ d\'eduite
de la pr\'ec\'edente par application du foncteur
$\mathrm{Hom}_{\C}(., \M)$, est exacte.)
\item Soit $\I$ un ensemble et soit $\B = \A[\T_i]_{i \in \I}$.
D\'emontrer que $\Omega_{\B/\A}^{1}$ est le $\B$-module libre de
base $d_{\B/\A}(\T_i)$, $i \in \I$. (\emph{Indication} : v\'erifier
que, pour tout $\B$-module $\M$, l'application
$\mathrm{Der}_{\A}(\B,\M) \rightarrow \M^{(\I)}, \ \D \mapsto
\D(\T_i)$ est une bijection et en d\'eduire que l'homomorphisme
canonique $$\bigoplus_{i \in \I} \B d_{\B/\A}(\T_i) \rightarrow
\Omega_{\B/\A}^{1}$$ est un isomorphisme.)
\item Soit $\I$ un ensemble, soit $\mathfrak{I}$ un id\'eal de
l'anneau $\B = \A[\T_i]_{i \in \I}$ et soit $\C = \B/\mathfrak{I}$.
D\'emontrer que $\Omega_{\C/\A}^{1}$ est le quotient du $\C$-module
libre de base $(d_{\C/\A}(\T_i))_{i \in \I}$ par le sous-module
engendr\'e par les \'el\'ements $\sum_{i \in \I}
\partial{f}/\partial{\T_i} d_{\C/\A}(\T_i)$, $f \in \mathfrak{I}$.
(\emph{Indication} : utiliser les points 4 et 5.)
\item Calculer $\Omega_{\B/\A}^{1}$ dans chacun des cas suivants :
(i) $\A = \mathbb{Q}$ et $\B = \mathbb{Q}[\T_1, \T_2]/(\T_2^2 -
\T_1^3 - T_1)$, (ii) $\A = \mathbb{Q}$ et $\B =
\mathbb{Q}[\T_1,\T_2]/(\T_1^2 - \T_2^3)$, (iii) $\A = \mathbb{F}_2$
et $\B = \mathbb{F}_2[\T_1, \T_2]/(T_1^2 + T_2^2+1)$.
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{Exercice 6} (\emph{Modules
projectifs, injectifs}) --- Soit $\A$ un anneau.

\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que les deux conditions suivantes sont
\'equivalentes
pour un $\A$-module $\M$. \\
(i) Le foncteur $\mathrm{Hom}_{\A}(\M,.)$ est exact. \\
(ii) Quelle que soit la suite exacte de $\A$-modules $\xymatrix{\N
\ar@{->}[r] & \N'' \ar@{->}[r] & 0}$, toute application
$\A$-lin\'eaire $u : \M \rightarrow \N''$ se rel\`eve en une
application $\A$-lin\'eaire de $\M$ dans $\N$.

Un $\A$-module est dit \emph{projectif} s'il satisfait \`a ces deux
conditions.
\item D\'emontrer qu'un $\A$-module est projectif si et seulement
s'il
est facteur direct d'un $\A$-module libre.
\item D\'emontrer que les conditions suivantes sont \'equivalentes
pour tout $\A$-module $\M$ de type fini : \\
(i) $\M$ est projectif.\\
(ii) Pour tout id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$, le
$\A_{\mathfrak{p}}$-module $\M_{\mathfrak{p}}$ est libre. \\ (iii)
Il existe des \'el\'ements $f_1, \ldots, f_n$ de $\A$ engendrant
l'id\'eal unit\'e tels que $\M[f_i^{-1}]$ soit un
$\A[f_i^{-1}]$-module libre pour tout $i$.
\item D\'emontrer que tout $\A$-module $\M$ est quotient d'un
$\A$-module projectif. En d\'eduire qu'il existe une
\emph{r\'esolution projective} de $\M$, c'est-\`a-dire une suite
exacte de $\A$-modules $$\xymatrix{\ldots \ar@{->}[r] & \rP_{n+1}
\rightarrow \ar@{->}[r]^{d_{n}} & \rP_{n} \ar@{->}[r] & \ldots
\ar@{->}[r] & \rP_1 \ar@{->}[r]^{d_0} & \rP_0 \ar@{->}[r]^{\varepsilon} & \M
\ar@{->}[r] & 0}$$ dans laquelle chaque $\rP_n$ est un $\A$-module
projectif.
\item D\'emontrer que les conditions suivantes sont \'equivalentes
pour tout
$\A$-module $\M$ : \\
(i) le foncteur $\mathrm{Hom}_{\A}(.,\M)$ est exact; \\
(ii) quelle que soit la suite exacte de $\A$-modules $\xymatrix{0
\ar@{->}[r] & \N' \ar@{->}[r] & \N}$, toute application
$\A$-lin\'eaire $\N' \rightarrow \M$ se prolonge en une application
$\A$-lin\'eaire de $\N$ dans $\M$.

Un $\A$-module est dit \emph{injectif} s'il satisfait \`a ces deux
conditions.

\item Supposons que l'anneau $\A$ soit int\`egre. \\
(i) D\'emontrer que tout $\A$-module injectif est \emph{divisible},
c'est-\`a-dire que la multiplication $\xymatrix{\M \ar@{->}[r]^{a.}
& \M}$
est surjective pour tout \'el\'ement non nul $a$ de $\A$. \\
(ii) Si l'anneau $\A$ est principal, d\'emontrer qu'un $\A$-module
est injectif si et seulement s'il est divisible. \\
(iii) V\'erifier que le $\mathbb{Z}$-module $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$
est injectif et en d\'eduire que tout $\mathbb{Z}$-module $\M$ admet
une application lin\'eaire non nulle dans $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$.
\end{enumerate}

\emph{Remarque} : l'\'enonc\'e dual de la question 4 est vrai : tout
$\A$-module $\M$ s'injecte dans un $\A$-module injectif et poss\`ede
donc une r\'esolution injective $\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & \M
\ar@{->}[r]^{\varepsilon} & \I^0 \ar@{->}[r]^{d^0} & \I^1
\ar@{->}[r]^{d^1} & \ldots \ar@{->}[r]& \I^n \ar@{->}[r]^{d^n}&
\ldots}$ mais la d\'emonstration est plus compliqu\'ee... \footnote{Voir par exemple Serge Lang, \emph{Algebra} (third edition), Addison Wesley Pub. (1999), XX.\S 4.}
\newpage
\end{document}
