Algèbre approfondie - Automne 2007 ENS-Lyon

Algèbre commutative II : corrigé

Exercice 1 (Localisation des modules) — 1) Si (M′,λ′) et (M′′,λ′′) sont deux couples satisfaisant à la propriété universelle considérée, on tire de cette dernière des applications S^{−1} A-linéaires φ : M′→ M′′et ψ : M′′→ M′, uniquement définies et telles que

λ′′= φ ∘ λ′ et λ′= ψ ∘ λ′′

(prendre successivement pour N les S^{−1} A modules M′et M′′). Vu les identités

(ψ ∘ φ) ∘ λ′= λ′= id_{M′}∘ λ′ et (φ ∘ ψ) ∘ λ′′= λ′′,

on déduit de nouveau de la propriété universelle que ψ ∘ φ = id_{M′}, φ ∘ ψ = id_{M′′}et nous avons ainsi établi que les S^{−1} A-modules sont isomorphes via un isomorphisme uniquement déterminé (en l’occurrence φ).

La technique de construction de l’anneau de fractions S^{−1} A permet de construire un couple (S^{−1} M,λ) satisfaisant à la propriété universelle : on définit S^{−1} M comme le quotient de l’ensemble M × S par la relation d’équivalence

(m,s) ∼ (m′,s′) ⟺ (∃t ∈ S, t(s′m − sm′) = 0),

muni de la structure de groupe abélien définie par [(m,s)] + [(m′,s′)] = [(s′m + sm′,ss′)], 0 = [(0,1)] et dont on fait un S^{−1} A-module en posant [(a,s)].[(m,s′)] = [(am,ss′)] ; l’application A-linéaire λ : M → S^{−1} M est enfin définie en envoyant m ∈ M sur [(m,1)]. On note généralement sous forme fractionnaire \frac{m}{s} la classe [(m,s)] d’un couple (m,s) ∈ M × S.

Il est à peu près immédiat de vérifier que l’on a bien construit ainsi une solution au problème universel que l’on a considéré.

Étant donnés des A-modules M′, M et M′′, il découle immédiatement de la propriété universelle caractérisant les modules localisés que toute application A-linéaire f : M′→ M induit une application S^{−1} A-linéaire S^{−1} M′→ S^{−1} M, notée S^{−1} f ou simplement f si cela ne prête pas à confusion, uniquement caractérisée par l’identité S^{−1} f ∘ λ_{M′}= λ_{M}∘ f. Du point de vue de la construction des modules de fractions que l’on a adoptée, S^{−1} f envoie [(m,s)] sur [(f(m),s)]. Enfin , quelles que soient les applications A-linéaires f : M′→ M et g: M → M′′, S^{−1} (g circf) = (S^{−1} g) ∘ (S^{−1} f).

2) La localisation des modules transforme les suites exactes en suites exactes (on dit que le foncteur de

localisation est exact) : étant donnée une suite exacte de A-modules \xymatrix{0 \ar[r] & N′ \ar[r]^{α} & N \ar[r]^{β} & N′′ \ar[r] & 0}, la suite de S^{−1} A-modules

\xymatrix{0 \ar[r] & S^{−1} N′ \ar[r]^{α} & S^{−1} N \ar[r]^{β} & S^{−1} N′′ \ar[r] & 0}

est exacte. La vérification en est aisée : par exemple, l’exactitude en S^{−1} N s’obtient en observant qu’un élément x de S^{−1} N appartient au noyau de β si et seulement si x = n/s avec n ∈ N et s ∈ S tels que β(n)/s = 0, condition équivalente à l’existence de t ∈ S tel que tβ(n) = 0 ; comme tβ(n) = β(tn), ceci équivaut encore à l’existence de n′∈ N′tel que tn = α(n′), c’est-à-dire tel que x = n/s = α(n′)/ts.

Ce que l’on vient de dire prouve que, pour tout A-module M et tout sous-module N de M,

– S^{−1} N est un sous-module de S^{−1} M ;

– l’application S^{−1} A-linéaire canonique S^{−1} M → S^{−1} (M/N), provenant de la projection M → M/N, induit un isomorphisme de S^{−1} M/S^{−1} N sur S^{−1} (M/N)

3) Supposons que M soit un A-module de type fini et soient x_{1},...,x_{n} des générateurs de M. La condition S^{−1} M = 0 implique l’existence, pour tout i ∈ {1,...,n}, d’un élément s_{i} de S tel que s_{i}x_{i} = 0 et il suffit de poser s = s_{1}...s_{n} pour obtenir un élément de S annulant chacun des générateurs de M et donc annulant M.

4) Soit m un élément de M dont les images dans chacun des localisés M_{𝔪} est nulle (𝔪 = idéal maximal de A). Considérons l’annulateur de m, c’est-à-dire l’idéal Ann(m) de A constitué de tous les a ∈ A tels que am = 0. L’hypothèse que l’on a faite sur m garantit Ann(m) ∩ (A − 𝔪) ≠ ∅ pour tout idéal maximal 𝔪 de A ; on a donc Ann(m) = A et m = 0.

Exercice 2 — 1) On fois que l’on a observé que les éléments f_{i} et f_{j} de A sont inversibles dans A[(f_{i}f_{j})^{−1} ], c’est une simple application de la propriété universelle caractérisant la localisation.

2) L’implication (i) ⟹ (ii) est immédiate puisque les images de m_{i} et m_{j} dans M[(f_{i}f_{j})^{−1} ] coïncident avec celle de m.

Pour établir l’implication réciproque, on commence par choisir un sous-ensemble fini J de I tel les f_{j}, j ∈ J, engendrent l’idéal unité de A. Étant donné i ∈ J, écrivons m_{i} sous la forme f_{i}^{−r_{i}} m̃_{i} avec r_{i} ∈ ℕ et m̃_{i} ∈ M ; comme J est fini, on peut supposer tous les r_{i} égaux : r_{i} = r. Quels que soient i,j ∈ J, la condition m_{i}/1 = m_{j}/1 dans M[(f_{i}f_{j})^{−1} ] se traduit par l’existence d’un entier naturel s_{ij} tel que (f_{i}f_{j})^{s_{ij}}(f_{i}^{r}m̃_{j}− f_{j}^{r}m̃_{i}) = 0 ; on peut de nouveau supposer tous les s_{ij} égaux : s_{ij} = s. Nous avons donc

f_{i}^{r+s} f_{j}^{s}m̃_{j} = f_{j}^{r+s} f_{i}^{s}m̃_{i}

pour tous i,j ∈ J.

Les éléments f_{j}, j ∈ J, engendrant l’idéal unité de A, il en est de même des éléments f_{j}^{r+s}, j ∈ J (observer qu’aucun idéal maximal de A ne peut tous les contenir) et il existe donc des éléments g_{j} de A tels que 1 = ∑_{j∈J} g_{j}f_{j}^{r+s}. Posons alors m = ∑_{j∈J} g_{j}f_{j}^{s}m̃_{j}; c’est un élément de M. Quel que soit i ∈ J,

f_{i}^{s+r} m = ∑_{j∈J} g_{j}f_{i}^{r+s} f_{j}^{s}m̃_{j}
= ∑_{j∈J} g_{j}f_{j}^{r+s} f_{i}^{s}m̃_{i}

= ( ∑_{j∈J} g_{j}f_{j}^{s+r} ) f_{i}^{s}m̃_{i}= f_{i}^{s}m̃_{i}

et donc m/1 = f_{i}^{−r} m̃_{i}= m_{i} dans M[f_{i}^{−1} ].

Il reste à vérifier que l’élément m de M que l’on vient de construire est d’image m_{i} dans M[f_{i}^{−1} ] pour tout i ∈ I et qu’il est uniquement déterminé. Ces deux résultats découlent du fait suivant : quelle que soit la famille (h_{λ})_{λ∈Λ} d’éléments de A engendrant l’idéal unité, l’homomorphisme canonique M → ∏ _{λ∈Λ} M[h_{λ}^{−1} ] est injectif. Vérification : il existe un sous-ensemble fini Λ_{0} de Λ tel que les h_{λ}, λ ∈ Λ_{0}, engendrent l’idéal unité ; si m ∈ M est d’image nulle dans chacun des M[h_{λ}^{−1} ], λ ∈ Λ_{0}, il existe un entier naturel n tel que h_{λ}^{n}m = 0 pour tout λ ∈ Λ_{0} et, la famille (h_{λ}^{n})_{λ∈Λ_{0}} engendrant également l’idéal unité, m = 1.m = 0.

Ce que nous venons de voir établit clairement l’unicité de l’élément m de M d’image m_{j} dans M[f_{j}^{−1} ] pour tout j ∈ J. Cela garantit que m_{i} est l’image de m dans M[f_{i}^{−1} ] pour tout i ∈ I : il suffit en effet d’observer que les f_{j}, j ∈ J, engendrent l’idéal unité de A[f_{i}^{−1} ] et que m/1 et m_{i}/1 coïncident dans M[(f_{i}f_{j})^{−1} ] = M[f_{i}^{−1} ][f_{j}^{−1} ] pour tout j ∈ J.

3) On considère maintenant une algèbre de type fini sur un corps algébriquement clos k. Étant donnée une fonction régulière f sur Spec(A), il existe par hypothèse un recouvrement de Spec(A) par des ouverts U tels que f_{|U∩Max(A)} = ã/b̃ avec a,b ∈ A et b̃(𝔪) ≠ 0 pour tout 𝔪 ∈ U ∩ Max(A) ; quitte à raffiner le recouvrement, on peut supposer qu’il est constitué d’ouverts principaux D(h_{i}), i ∈ I, car ces derniers engendrent la topologie de Spec(A). Un élément b de A tel que b̃(𝔪) ≠ 0 pour tout 𝔪 ∈ D(h_{i}) ∩ Max(A) est inversible dans l’anneau A[h_{i}^{−1} ] car D(h_{i}) s’identifie canoniquement à Spec(A[h_{i}^{−1} ]) ; l’hypothèse peut donc se reformuler ainsi : il existe des éléments h_{i} de A ainsi que des éléments f_{i} de A[h_{i}^{−1} ], i ∈ I, tels que la restriction de f à D(h_{i}) ∩ Max(A) soit la fonction f̃_{i} pour tout i ∈ I.

Quels que soient i,j ∈ I, f_{i} et f_{j} définissent la même fonction sur D(h_{i}) ∩ D(h_{j}) ∩ Max(A) ; de manière équivalente, l’image de f_{i} − f_{j} dans A[(h_{i}h_{j})^{−1} ] est contenue dans tous les idéaux maximaux de cet anneau. Comme ce dernier est une k-algèbre de type fini, donc un anneau de Jacobson, f_{i}−f_{j} appartient à tous les idéaux premiers de A[(h_{i}h_{j})^{−1} ] et est donc nilpotent. Nous obtenons ainsi l’identité de f_{i} et f_{j} dans (A/𝔑)[(h_{i}h_{j}^{−1} )] et nous sommes donc dans les conditions d’application de la question 2) : il existe un élément a de A dont l’image dans (A/𝔑)[f_{i}^{−1} ] = A[f_{i}^{−1} ]/𝔑 coïncide avec celle de f_{i} pour tout i ∈ I, c’est-à-dire tel que ã= f.

L’homomorphisme A → R(A), a ↦ ãinduit donc un isomorphisme de A/𝔑 sur R(A).

Exercice 3 — 1) L’implication (ii) ⇒ (i) est claire.

Supposons réciproquement que M = 𝔞M et soient x_{1},...,x_{n} des générateurs de M. Il existe par hypothèse des éléments a_{ij} de 𝔞 tels que x_{j} = ∑_{1≤i≤n} a_{ij}x_{i} pour tout j ∈ {1,...,n}; posant a′_{ij} = δ_{ij} − a_{ij}, ces conditions s’écrivent sous la forme ∑_{1≤i≤n} a′_{ij}x_{i} = 0 (1 ≤ j ≤ n). Les relations de Cramer fournissent une matrice (b_{ij}) à coefficients dans A telle que

(b_{ij})(a′_{ij}) = det(a′_{ij})I_{n}

et, posant a = det(a′_{ij}), nous obtenons finalement ax_{i} = 0 pour tout i ∈ {1,...,n}.

En développant a = det(a′_{ij}), on constate qu’il s’agit d’un élément de A tel que a − 1 ∈ 𝔞; a est d’autre part un annulateur de M puisqu’il annule un système de générateurs. Remarque : cet énoncé généralise le lemme de Nakayama, que l’on retrouve en prenant pour A un anneau local et pour 𝔞 son idéal maximal.

2) Le module M étant de type fini sur A, il existe par hypothèse un entier naturel r ≥ 1 et une suite exacte de A-modules A^{r} → M → 0. Cette suite reste exacte après localisation en 𝔭 (cf. exercice 1), fournissant ainsi une suite exacte de A_{𝔭}-modules

(A_{𝔭})^{r} = (A^{r})_{𝔭} → M_{𝔭} → 0

et, par réduction modulo 𝔭A_{𝔭}, une suite exacte de κ(𝔭)-espaces vectoriels

κ(𝔭)^{r} = (A_{𝔭})^{r}(𝔭) → M(𝔭) → 0 ,

ce qui montre que M(𝔭) est un κ(𝔭)-espace vectoriel de dimension finie.

Nous allons maintenant vérifier que la fonction d : Spec(A) → ℤ, 𝔭 ↦ dim_{κ(𝔭)}M(𝔭) est semi-continue supérieurement : elle ne peut que décroître au voisinage d’un point.

Considérons en effet un point 𝔭 dans Spec(A) et posons r = d(𝔭). Partant d’un isomorphisme u de κ(𝔭)^{r} sur M(𝔭), un relèvement arbitraire de u en une application A-linéaire u′: A_{𝔭}^{r} → M_{𝔭} est surjectif en vertu du lemme de Nakayama. Notant (e_{1},...,e_{r}) la base canonique de (A_{𝔭})^{r}, il existe un élément f de A − 𝔭 tel que u′(e_{i}) s’écrive sous la forme u′(e_{i}) = f^{−1} m_{i} avec m_{i} ∈ M (1 ≤ i ≤ r), ce qui permet de définir une application A[f^{−1} ]- linéaire u′′de A[f^{−1} ]^{r} dans M[f^{−1} ] (nous sommes passés d’une situation ponctuelle, au point 𝔭, à une situation locale, sur l’ouvert D(f)) redonnant u′par localisation en 𝔭. Le conoyau N de u′′est un A[f^{−1} ]-module de type fini (car quotient du A[f^{−1} ]-module de type fini M[f^{−1} ]) et, la localisation préservant les suites exactes, N_{𝔭} est le conoyau de u′, à savoir 0 ; il existe par conséquent un élément g de A[f^{−1} ] − 𝔭 tel que gN = 0. Écrivant g sous la forme f^{−n} a et posant h = af, nous venons de vérifier que la suite de A[h^{−1} ]-modules

A[h^{−1} ]^{r} → M[h^{−1} ] → 0,

déduite de u′′par localisation, est exacte ; elle reste exacte par localisation en tout point 𝔮 de D(h), ce qui implique d(𝔮) ≤ r en ces points, et il reste à observer que D(h) est un voisinage ouvert de 𝔭 puisque h ∈ A − 𝔭.

3) Soit M un A-module de type fini et soit u un endomorphisme surjectif de M. On fait de M un A[T]-module en posant T.m = u(m) pour tout m ∈ M. La surjectivité de u se alors traduit par l’égalité M = (T)M et il existe donc un polynôme f ∈ K[T] tel que fM = 0 et f ≡ 1 mod (T) (cf. 1). Étant alors donné m ∈ M tel que u(m) = 0, f.m = m et donc m = 0 ; l’application u est un isomorphisme.

Exercice 4 — 1) Il suffit de considérer la suite exacte

0 → M ∩ N → M ⊕ N → M + N → 0,

d’en déduire que le A-module M ⊕ N est de type fini et d’observer que M et N sont des quotients de M ⊕ N.

2) Si l’idéal 𝔞 de A est de type fini, il suffit de considérer un épimorphisme A^{n} → 𝔞 pour obtenir une présentation finie A^{n} → A du module A/𝔞.

Supposons réciproquement que A/𝔞 soit un A-module de présentation finie et considérons une suite exacte de A-modules

\xymatrix{A^{n} \ar[r]^{u} & A^{m} \ar[r] & A/𝔞 \ar[r] & 0.}

Étant donné un élément x_{0} de A^{n} tel que v(x_{0}) = \overline{1}, il est facile de vérifier que la suite de A-modules

\xymatrix{A^{m}⊕ A \ar[r]^{u′} & A^{n}⊕ A \ar[r]^{v′} & A/𝔞 \ar[r] & 0},

dans laquelle les applications linéaires u′et v′sont définies par u′(y,a) = (u(y) − ax_{0},a) et v′(x,a) = v(x) + a\overline{1}, est encore exacte ; ce qu’on a gagné, c’est que le générateur \overline{1} de A/𝔞 est l’image par v′d’un élément de la base canonique de A^{n}⊕ A.

Le choix de relèvements de v(e_{1}),...,v(e_{n}) dans A permet de définir une application A-linéaire t : A^{n}⊕A → A relevant v′et envoyant e_{n+1} sur 1 (car v′(e_{n+1} ) = \overline{1}). Désignant par p la projection canonique de A sur A/𝔞, p ∘ t ∘ u′= v′∘ u′= 0 ; l’application s = t ∘ u est donc à valeurs dans l’idéal 𝔞. Cette application est surjective :

a = at(e_{n+1} ) = t(ae_{n+1} )

pour tout a ∈ A car v(e_{n+1} ) = 1 et, si a appartient à 𝔞, ae_{n+1} est dans l’image de u′ puisque v′(ae_{n+1} ) = pt(ae_{n+1} ) = p(a) = 0. Ceci prouve que l’idéal 𝔞 est de type fini.

\xymatrix{A^{m}⊕ A \ar[r]^{u′} \ar[ddrr]^{s} & A^{n}⊕ A \ar[r]^{v′} \ar[dr]^{t} & A/𝔞 \ar[r] & 0 \\  &  & A \ar[u]^{p} \ar[r] & 0 \\  &  & 𝔞 \ar[u] \ar[r] & 0}

(ii) Étant donnés une suite exacte de A-modules

\xymatrix{0 \ar[r] & M′ \ar[r]^{f} & M \ar[r]^{g} & M′′ \ar[r] & 0}

ainsi que des présentations

[figure: A^{m}; u′; A^{n}; v′; M′; 0; et; A^{p}; u′′; A^{q}; v′′; M′′; 0]

de M′et M′′, on vérifie sans difficulté que l’on obtient une présentation

\xymatrix{A^{m}⊕ A^{p} \ar[r]^{u} & A^{n}⊕ A^{q} \ar[r]^{v} & M \ar[r] & 0}

de M en définissant les applications linéaires u et v comme suit :

– v_{|A^{n}} = f ∘ v′et v_{|A^{q}} est un relèvement de v′′à M ;

– u_{|A^{m}} est l’application u′composée par l’injection canonique de A^{n} dans A^{n}⊕ A^{q} et u_{|A^{p}} est l’application u′′composée par l’injection canonique de A^{q} dans A^{n}⊕ A^{q}.

Exercice 5 (Module des différentielles) — 1) On vérifie sans difficulté que, si D, D′sont deux A-dérivations de B dans un B-module M, l’application A-linéaire D + bD′: B → M en est encore une pour tout b ∈ B.

2) Étant donnée une dérivation D ∈ Der_{A}(B,M), f ∘ D est une application A-linéaire de B dans M′telle que

(f ∘ D)(b′b′′) = f(b′D(b′′) + b′′D(b′)) = b′(f ∘ D)(b′′) + b′′(f ∘ D)(b′)

pour tous b′,b′′∈ B ; c’est donc une A-dérivation de B dans M′.

3) S’il existe, le couple (Ω_{B/A}^{1}, d_{B/A}) est unique à isomorphisme unique près (la démonstration est la même que pour la question 1 du premier exercice) ; il reste donc à le construire.

Soit L le B-module libre de base B :

L = ⨁_{b∈B}Be_{b}

et soit R le sous-module engendré par les éléments de la forme

e_{b+b′} = e_{b}+ e_{b′}, e_{ab} = ae_{b}, e_{bb′}= be_{b′}+ b′e_{b}

avec a ∈ A, b,b′∈ B. On pose Ω_{B/A}^{1} = L/R et on note d_{B/A} l’application canonique de B dans Ω_{B/A}^{1} envoyant b sur la classe de e_{b}; c’est clairement une A-dérivation.

Étant donné un B-module M, nous avons fait tout ce qu’il fallait pour que la correspondance u ↦ u ∘ d_{B/A} identifie les applications B-linéaires de Ω_{B/A}^{1} dans M aux applications A-linéaires de B dans M satisfaisant à la condition de Leibniz.

4) Soient S une partie multiplicative de B et M un S^{−1} B-module. L’homomorphisme canonique B → S^{−1} B induit par composition une application Der_{A}(S^{−1} B,M) → Der_{A}(B,M). Cette application est injective : si D ∈ Der_{A}(S^{−1} B,M) s’annule identiquement sur B, l’identité 0 = D(1) = D(ss^{−1} ) = sD(s^{−1} ) + s^{−1} D(s) implique D(s^{−1} ) = −s^{−2} D(s) = 0 pour tout s ∈ S et D est identiquement nulle. Cette application est surjective : étant donnée une A-dérivation D de B dans M, on prolonge D en une A-dérivation D̃ de S^{−1} B dans M en posant D̃(s^{−1} b) = −bs^{−2} D(s) + s^{−1} D(b) pour tous b ∈ B, s ∈ S.

En composant l’homomorphisme canonique B → S^{−1} B par la dérivation d_{S^{−1} B/A}, on obtient une A-dérivation de B dans le S^{−1} B-module Ω_{S^{−1} B/A}^{1} qui se factorise à travers d_{B/A} en une application B-linéaire de Ω_{B/A}^{1} dans Ω_{S^{−1} B/A}^{1} (cf. question précédente), puis en une application S^{−1} B-linéaire ι : S^{−1} Ω_{B/A}^{1}→ Ω_{S^{−1} B/A}^{1} en vertu de la propriété universelle caractérisant la localisation des modules. Pour établir que ι est un isomorphisme, il suffit d’observer que, quel que soit le S^{−1} B-module M, l’application qu’elle induit

Der_{A}(S^{−1} B,M) = Hom_{S^{−1} B}(Ω_{S^{−1} B/A}^{1},M) → Hom_{S^{−1} B/A}(S^{−1} Ω_{B/A}^{1},M) = Der_{A}(B,M)

n’est autre que la restriction à B des A-dérivations de S^{−1} B dans M ; comme on a vérifié qu’il s’agit d’une bijection, ι est un isomorphisme.

5) (i) L’application d_{C/A}∘ p est une A-dérivation de B dans Ω_{C/A}^{1}; il existe donc une unique application B-linéaire ψ : Ω_{B/A}^{1} → Ω_{C/A}^{1} telle que de d_{C/A}∘ p = ψ ∘ d_{B/A}. Comme ψ(ℑΩ_{B/A}^{1}) = ℑψ(Ω_{B/A}^{1}) = 0, cette application se factorise en outre en une application C-linéaire de Ω_{B/A}^{1}/ℑΩ_{B/A}^{1} dans Ω_{C/A}^{1}.

(ii) Il découle directement de la règle de Leibniz que le noyau de l’application A-linéaire de ℑ dans Ω_{C/A}^{1} induite par ψ ∘ d_{B/A} contient ℑ^{2}. L’application obtenue δ : ℑ/ℑ^{2} → Ω_{C/A}^{1} est C = B/ℑ-linéaire car

δ(bβ) = bδ(β) + βδ(b) = bδ(β)

pour tous b ∈ B, β ∈ ℑ.

(iii) Soit M un C-module et considérons la suite obtenue en appliquant le foncteur Hom_{C}(·,M) à la suite de C-modules

\xymatrix{ℑ/ℑ^{2} \ar[r]^{δ} & Ω_{B/A}^{1}/ℑΩ_{B/A}^{1} \ar[r]^{ψ} & Ω_{C/A}^{1} \ar[r] & 0} ;

vu la question 3, il s’agit de la suite de C-modules

\xymatrix{0 \ar[r] & Der_{A}(C,M) \ar[r]^{·∘ψ} & Der_{A}(B,M)′ \ar[r]^{·∘δ} & Hom_{C}(ℑ/ℑ^{2},M),}

où Der_{A}(B,M)′ désigne le sous-module de Der_{A}(B,M) constitué des A-dérivations de B dans M s’annulant identiquement sur ℑ. L’exactitude de cette suite de C-module se vérifiant immédiatement, nous en déduisons quel la suite initiale

\xymatrix{ℑ/ℑ^{2} \ar[r]^{δ} & Ω_{B/A}^{1}/ℑΩ_{B/A}^{1} \ar[r]^{ψ} & Ω_{C/A}^{1} \ar[r] & 0}

est exacte.

6) Soit I un ensemble et soit B = A[(T_{i})_{i∈I}]. Quel que soit le B-module M, l’application

Der_{A}(B,M) → M^{I}, D ↦ (i ↦ D(T_{i}))

est une bijection en vertu de l’identité

D(P) = ∑_{i∈I} \frac{∂P}{∂T_{i}}D(T_{i})

pour tout P ∈ B, conséquence directe de la relation de Leibniz (P ne faisant intervenir qu’un nombre fini d’indéterminées, les dérivées partielles sont nulles pour presque tout i ∈ I et le terme de droite est donc bien défini).

Comme

Hom_{B}(B^{(I)},M) = M^{I},

nous en déduisons que l’unique application B-linéaire B^{(I)} → Ω_{B/A}^{1} envoyant e_{i} sur d_{B/A}(T_{i}) pour tout i ∈ I est un isomorphisme du B-module libre de base I

B^{(I)} = ⨁_{i∈I} Be_{i}

sur Ω_{B/A}^{1}.

7) En vertu des questions 5 et 6, Ω_{C/A}^{1} est le quotient du C-module libre

Ω_{B/A}^{1}/ℑΩ_{B/A}^{1} = ⨁_{i∈I} Cd_{C/A}(T_{i})

par le sous-module engendré par les δ(f), f ∈ ℑ; comme δ(f) n’est autre que la classe de d_{B/A}(f),

δ(f) = ∑_{i∈I} \frac{∂f}{∂T_{i}}d_{C/A}(T_{i})

pour tout f ∈ ℑ et l’assertion est démontrée.

8) On a respectivement

Ω_{B/A}^{1} = \frac{BdT_{1}⊕ BdT_{2}}{B((1 + 3T_{1}^{2})dT_{1}− 2T_{2}dT_{2})}, Ω_{B/A}^{1} = \frac{BdT_{1}⊕ BdT_{2}}{B(2T_{1}dT_{1}− 3T_{2}dT_{2})}, et Ω_{B/A}^{1} = BdT_{1}⊕ BdT_{2}.

Ce qu’il faut observer ici, c’est le phénomène suivant : étant donné un corps K étendant A et un homomorphisme x: B = A[T_{1},T_{2}]/(f) → K, le point (x_{1},x_{2}) = (x(T_{1}),x(T_{2})) de K^{2} appartient à la courbe définie par l’équation f = 0 et c’est un point singulier de celle-ci – c’est-à-dire un point en lequel les deux dérivées partielles de f s’annulent – si et seulement si le K-espace vectoriel Ω_{B/A}^{1}⊗_{B,x}K est de dimension strictement supérieure à 1 (la dimension de la courbe).

Exercice 6 (Modules projectifs, injectifs) — 1) Le foncteur Hom_{A}(M,.) est exact s’il transforme toute suite exacte de A-modules en une suite exacte. Il suffit de vérifier cela pour les suites exactes courtes car toute suite exacte

\xymatrix{... \ar[r] & M_{n−1} \ar[r]^{f_{n−1}} & M_{n} \ar[r]^{f_{n}} & M_{n+1} \ar[r] & ...}

peut se représenter sous la forme d’un diagramme de suites exactes courtes

\xymatrix{... \ar[r] & M_{n−1} \ar[r]^{f_{n−1}} & im(f_{n−1} ) \ar[d] \ar[r] & 0 \\  & 0 \ar[r] & ker(f_{n}) \ar[r] & M_{n} \ar[r]^{f_{n}} & im(f_{n}) \ar[d] \ar[r] & 0 \\  &  &  & 0 \ar[r] & ker(f_{n+1} ) \ar[r] & M_{n+1} \ar[r] & ...}

dans lequel les flèches verticales sont des isomorphismes.

Quelle que soit la suite exacte courte de A-modules \xymatrix{0 \ar[r] & N′ \ar[r]^{u} & N \ar[r]^{v} & N′′ \ar[r] & 0}, la suite (de groupes abéliens ou de A-modules, cela revient au même)

\xymatrix{0 \ar[r] & Hom_{A}(M,N′) \ar[r]^{u∘·} & Hom_{A}(M,N) \ar[r]^{v∘·} & Hom_{A}(M,N′′)}

est exacte ; par suite, le foncteur Hom_{A}(M,.) est exact si et seulement si, pour toute application A-linéaire surjective N → N′′, chaque application A-linéaire de M dans N′′se relève en une application A-linéaire de M dans N :

\xymatrix{N \ar[r] & N′′ \ar[r] & 0 \\  & M \ar[u] \ar@{.>}[ul]}

2. Il est clair que tout A-module libre est automatiquement projectif ; en fait, les A-modules projectifs sont exactement ceux pouvant se réaliser comme facteur direct d’un A-module libre.

Soit L un A-module libre et soit M un facteur direct de L, c’est-à-dire un quotient de L tel que la projection canonique p: L → M admette une section s. Étant données une application A-linéaire surjective v: N → N′′et une application A-linéaire α : M → N′′, α ∘ p se relève en α′: L → N et l’application α′∘ s: M → N relève α.

Soit réciproquement M un A-module projectif et soit L le A-module libre de base M : L = ⨁ _{m∈M}Ae_{m}. L’application A-linéaire de L dans M définie en envoyant e_{m} sur m étant tautologiquement surjective, la projectivité de M garantit l’existence d’une section s: M → L et M est donc bien facteur direct d’un A-module libre.

3. (i) ⇒ (ii). Lorsque A est un anneau local, un A-module de type fini M est projectif si et seulement s’il est libre ; vu la question précédente, il revient au même de dire que tout A-module de type fini est libre s’il est facteur direct d’un A-module libre.

Notons 𝔪 l’idéal maximal de A et considérons une application A-linéaire surjective p: A^{n} → M admettant une section s. Choisissons d’autre part une application A-linéaire q: A^{m}→ M induisant un isomorphisme après réduction modulo 𝔪; cette application est surjective en vertu du lemme de Nakayama, ce qui permet de relever p en une application A-linéaire u : A^{n} → A^{m}. Appliquant de nouveau le lemme de Nakayama, u ∘ s ∘ q est en endomorphisme surjectif de A^{m}; il s’agit alors automatiquement d’un automorphisme (cf. exercice 3, 3), l’application q est par conséquent un isomorphisme et M est donc bien un A-module libre. Remarque : étant donné un module libre de rang fini M sur un anneau local A, la démonstration précédente établit que toute partie de M se réduisant en une base modulo l’idéal maximal est automatiquement une base de M.

(ii) ⇒ (i) Le groupe abélien Hom_{A}(M,N) des applications A-linéaires entre deux A-modules M et N est naturellement muni d’une structure de A-module si l’on pose (au)(x) = a(u(x)) pour tous a ∈ A, u ∈ Hom_{A}(M,N) et x ∈ M. Étant donnée une partie multipicative S de A, l’application canonique de Hom_{A}(M,N) dans Hom_{S^{−1} A}(S^{−1} M,S^{−1} N) est A-linéaire et induit donc une application S^{−1} A-linéaire

ι : S^{−1} Hom_{A}(M,N) → Hom_{S^{−1} A}(S^{−1} M,S^{−1} N)

(cf. exercice 1). Lorsque le A-module M est de type fini, il est clair que ι est injective : étant donnés une application A-linéaire u ∈ Hom_{A}(M,N) et s ∈ S, la condition ι(s^{−1} u) signifie que l’application S^{−1} A-linéaire induite par u est nulle et il existe donc pour chaque m ∈ M un t ∈ S tel que tu(m) = 0 ; supposer M de type fini permet de choisir t ∈ S indépendamment de m et cela implique la nullité de u dans S^{−1} Hom_{A}(M,N).

Si l’on suppose en outre que l’anneau A est noethérien, il est facile de voir que ι est surjective, c’est-à-dire que toute application S^{−1} A-linéaire v: S^{−1} M → S^{−1} N peut s’écrire sous la forme v = s^{−1} u avec s ∈ S et u ∈ Hom_{A}(M,N). Considérons en effet une application A-linéaire surjective p: A^{n} → M et désignons par e_{i}, 1 ≤ i ≤ n, les éléments de la base canonique de A^{n}; il existe un élément t ∈ S tel que y_{i} = tu(p(e_{i})) appartienne à N pour tout i, ce qui permet de définir une application A-linéaire ũ: A^{n} → N en posant ũ(e_{i}) = y_{i}. Par construction, cette application envoie le sous-module ker(p) de A^{n} sur un sous-module de N d’image nulle dans S^{−1} N. Supposer A noethérien garantit que le module ker(p) soit de type fini, de sorte qu’il existe un élément t′de S tel que t′ũ(ker(p)) = 0 et donc que l’application A-linéaire t′ũ: A^{n} → N se factorise à travers p en une application A-linéaire de u de M dans N. Comme tv ∘ p = ũet tt′v ∘ p = t′ũ= u ∘ p, nous en déduisons finalement l’identité v = s^{−1} u avec s = tt′.

Sous l’hypothèse additionnelle que l’anneau A est noethérien, il est maintenant aisé d’établir l’implication (ii) ⇒ (i). Considérons en effet des A-modules N, N′ et une application A-linéaire surjective v : N → N′′. Soit Q le conoyau de l’application A-linéaire Hom_{A}(M,N) → Hom_{A}(M,N′′), u ↦ v ∘ u. Via les identifications canoniques Hom_{A}(M,N)_{𝔭} = Hom_{A_{𝔭}}(M_{𝔭},N_{𝔭}) et Hom_{A}(M,N′′)_{𝔭} = Hom_{A_{𝔭}}(M_{𝔭},N′′_{𝔭}) pour tout idéal premier 𝔭 de A, la condition (ii) implique Q_{𝔭} = 0 pour tout 𝔭 et donc Q = 0.

(ii) ⇒ (iii). Ici encore, il est nécessaire de supposer A noethérien.

Étant donnés un idéal premier 𝔭 de A et un isomorphisme u: A_{𝔭}^{n} → M_{𝔭}, il existe g ∈ A − 𝔭 tel que fu(e_{i}) ∈ M pour tout i, ce qui permet de définir une application A[g^{−1} ]-linéaire A[g^{−1} ]^{n} → M[g^{−1} ] induisant u par localisation en 𝔭. Le noyau N et le conoyau Q de cette application sont des A[g^{−1} ]-modules tels que N_{𝔭} = Q_{𝔭} = 0. Comme M est de type fini, il en est de même de M[g^{−1} ] et donc de Q tandis que N est de type fini grâce à l’hypothèse noethérienne faite sur A ; nous en déduisons l’existence d’un élément f de A tel que f ∈ A − 𝔭 et fN = gQ = 0, donc tel que M[f^{−1} ] soit libre. Nous avons ainsi établi l’existence d’un recouvrement de Spec(A) par des ouverts principaux D(f) tels que le A[f^{−1} ]-module M[f^{−1} ] soit libre, recouvrement que l’on peut supposer fini en vertu de la quasi-compacité de Spec(A).

(iii) ⇒ (ii). Cette implication est immédiate : tout idéal premier 𝔭 de A est contenu dans l’un des ouverts principaux D(f_{i}) et le A_{𝔭}-module M_{𝔭}, localisé de M[f_{i}^{−1} ] en 𝔭, est libre.

4. Étant donné que tout A-module libre est projectif, l’existence d’une résolution projective pour tout Amodule est une conséquence immédiate du fait que tout A-module est un quotient d’un A-module libre (cf. question 2).

5. La démonstration est analogue à celle de la question 1.

6. (i) Soient A un anneau intègre et M un A-module injectif. Étant donné a ∈ A − {0}, la surjectivité de l’endomorphisme de multiplication par a sur M s’obtient aisément en considérant l’injection A → A, x ↦ ax : un élément m de M donne naissance à une application A-linéaire de A dans M envoyant 1 sur m et l’existence d’un prolongement est équivalente à l’existence de m′∈ M tel que m = am′.

(ii) Soient A un anneau principal et M un A-module divisible. Étant donnés un A-module N et un sousmodule N′de N, soit u une application A-linéaire de N′dans M. Quel que soit l’élément x de N n’appartenant pas à N′, il existe par hypothèse f ∈ A tel que {a ∈ A | ax ∈ N′} soit l’idéal Af de A. Si f = 0, il suffit d’envoyer x sur 0 pour prolonger u au sous-module N′+Ax = N′⊕Ax de N ; sinon, la divisibilité de M garantit l’existence d’un élément m tel que u(fx) = fm et l’application A-linéaire de N′⊕ Ax dans M envoyant n + ax sur u(n) + am se factorise à travers la projection N′⊕ Ax → N′+ Ax pour définir un prolongement de u au sous-module N′+ Ax.

Il reste à appliquer le lemme de Zorn pour conclure que l’application u se prolonge à N : l’ensemble des sous-modules de N contenant N′ et auquel l’application A-linéaire sur prolonge est non vide et inductif (la réunion d’une famille totalement ordonnée de tels sous-modules satisfait encore à cette condition), donc admet un élément maximal N′′; ce dernier est nécessairement égal à N en vertu de ce qui précède.

(iii) L’anneau ℤ étant principal, le ℤ-module ℚ/ℤ est injectif car il est divisible.

Quel que soit l’entier naturel n ≥ 2, l’unique application linéaire ℤ → ℚ/ℤ envoyant 1 sur \frac{1}{n} induit une application linéaire non nulle de ℤ/nℤ dans ℚ/ℤ. Par suite, étant donné un ℤ-module non nul M, il existe une application linéaire non nulle 𝕄 → ℚ/ℤ: quel que soit en effet x ∈ M non nul, le sous-module de M engendré par x est isomorphe à ℤ ou à ℤ/nℤ avec n ≥ 2 ; il existe donc une application linéaire non nulle de Ax dans ℚ/ℤ et celle-ci se prolonge à M puisque ℚ/ℤ est un ℤ-module injectif.