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\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre approfondie - Automne 2007} \hfill \textbf{ENS-Lyon}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
{\bfseries \scshape Alg\`ebre commutative II : corrig\'e}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Exercice 1} (\emph{Localisation des modules}) --- 1) Si $(\M', \lambda')$ et $(\M'', \lambda'')$ sont deux couples satisfaisant \`a la propri\'et\'e universelle consid\'er\'ee, on tire de cette derni\`ere des applications $\Sr^{-1}\A$-lin\'eaires $\varphi : \M' \rightarrow \M''$ et $\psi : \M'' \rightarrow \M'$, uniquement d\'efinies et telles que $$\lambda'' = \varphi \circ \lambda' \ \ \textrm{et} \ \ \lambda' = \psi \circ \lambda''$$ (prendre successivement pour $\N$ les $\Sr^{-1}\A$ modules $\M'$ et $\M''$). Vu les identit\'es $$(\psi \circ \varphi) \circ \lambda' = \lambda' = \mathrm{id}_{\M'} \circ \lambda' \ \ \textrm{et} \ \ (\varphi \circ \psi) \circ \lambda'' = \lambda'',$$ on d\'eduit de nouveau de la propri\'et\'e universelle que $\psi \circ \varphi = \mathrm{id}_{\M'}$, $\varphi \circ \psi = \mathrm{id}_{\M''}$ et nous avons ainsi \'etabli que les $\Sr^{-1}\A$-modules sont isomorphes via un isomorphisme uniquement d\'etermin\'e (en l'occurrence $\varphi$).

\vspace{0.1cm} La technique de construction de l'anneau de fractions $\Sr^{-1}\A$ permet de construire un couple $(\Sr^{-1}\M, \lambda)$ satisfaisant \`a la propri\'et\'e universelle : on d\'efinit $\Sr^{-1}\M$ comme le quotient de l'ensemble $\M \times \Sr$ par la relation d'\'equivalence $$(m, s) \sim (m',s') \Longleftrightarrow (\exists t \in \Sr, \ t(s'm - sm') = 0), $$ muni de la structure de groupe ab\'elien d\'efinie par $[(m,s)] + [(m',s')] = [(s'm+sm', ss')]$, $0 = [(0,1)]$ et dont on fait un $\Sr^{-1}\A$-module en posant $[(a,s)].[(m,s')] = [(am,ss')]$ ; l'application $\A$-lin\'eaire $\lambda : \M \rightarrow \Sr^{-1}\M$ est enfin d\'efinie en envoyant $m \in \M$ sur $[(m,1)]$. On note g\'en\'eralement sous forme fractionnaire $\frac{m}{s}$ la classe $[(m,s)]$ d'un couple $(m,s) \in \M \times \Sr$.

Il est \`a peu pr\`es imm\'ediat de v\'erifier que l'on a bien construit ainsi une solution au probl\`eme universel que l'on a consid\'er\'e.

\vspace{0.1cm} \'Etant donn\'es des $\A$-modules $\M', \ \M$ et $\M''$, il d\'ecoule imm\'ediatement de la propri\'et\'e universelle caract\'erisant les modules localis\'es que toute application $\A$-lin\'eaire $f : \M' \rightarrow \M$ induit une application $\Sr^{-1}\A$-lin\'eaire $\Sr^{-1}\M' \rightarrow \Sr^{-1}\M$, not\'ee $\Sr^{-1}f$ ou simplement $f$ si cela ne pr\^ete pas \`a confusion, uniquement caract\'eris\'ee par l'identit\'e $\Sr^{-1}f \circ \lambda_{\M'} = \lambda_{\M} \circ f$. Du point de vue de la construction des modules de fractions que l'on a adopt\'ee, $\Sr^{-1}f$ envoie $[(m,s)]$ sur $[(f(m),s)]$. Enfin , quelles que soient les applications $\A$-lin\'eaires $f : \M' \rightarrow \M$ et $g : \M \rightarrow \M''$, $\Sr^{-1}(g\ circ f) = (\Sr^{-1}g) \circ (\Sr^{-1}f)$. 

\vspace{0.1cm} 2) La localisation des modules transforme les suites exactes en suites exactes (on dit que le foncteur de localisation est \emph{exact}) : \'etant donn\'ee une suite exacte de $\A$-modules $\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & \N' \ar@{->}[r]^{\alpha} & \N \ar@{->}[r]^{\beta} & \N'' \ar@{->}[r] & 0}$, la suite de $\Sr^{-1}\A$-modules $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & \Sr^{-1}\N' \ar@{->}[r]^{\alpha} & \Sr^{-1}\N \ar@{->}[r]^{\beta} & \Sr^{-1}\N'' \ar@{->}[r] & 0}$$ est exacte. La v\'erification en est ais\'ee : par exemple, l'exactitude en $\Sr^{-1}\N$ s'obtient en observant qu'un \'el\'ement $x$ de $\Sr^{-1}\N$ appartient au noyau de $\beta$ si et seulement si $x = n/s$ avec $n \in \N$ et $s \in \Sr$ tels que $\beta(n)/s=0$, condition \'equivalente \`a l'existence de $t \in \Sr$ tel que $t\beta(n) = 0$ ; comme $t\beta(n)=\beta(tn)$, ceci \'equivaut encore \`a l'existence de $n' \in \N'$ tel que $tn = \alpha(n')$, c'est-\`a-dire tel que $x = n/s = \alpha(n')/ts$.

Ce que l'on vient de dire prouve que, pour tout $\A$-module $\M$ et tout sous-module $\N$ de $\M$, \begin{itemize} \item $\Sr^{-1}\N$ est un sous-module de $\Sr^{-1}\M$ ; \item l'application $\Sr^{-1}\A$-lin\'eaire canonique $\Sr^{-1}\M \rightarrow \Sr^{-1}(\M/\N)$, provenant de la projection $\M \rightarrow \M/\N$, induit un isomorphisme de $\Sr^{-1}\M / \Sr^{-1}\N$ sur $\Sr^{-1}(\M/\N)$ \end{itemize}

\vspace{0.1cm} 3) Supposons que $\M$ soit un $\A$-module de type fini et soient $x_1, \ldots, x_n$ des g\'en\'erateurs de $\M$. La condition $\Sr^{-1}\M = 0$ implique l'existence, pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$, d'un \'el\'ement $s_i$ de $\Sr$ tel que $s_i x_i = 0$ et il suffit de poser $s = s_1 \ldots s_n$ pour obtenir un \'el\'ement de $\Sr$ annulant chacun des g\'en\'erateurs de $\M$ et donc annulant $\M$.

\vspace{0.1cm} 4) Soit $m$ un \'el\'ement de $\M$ dont les images dans chacun des localis\'es $\M_{\mathfrak{m}}$ est nulle ($\mathfrak{m}$ = id\'eal maximal de $\A$). Consid\'erons l'\emph{annulateur} de $m$, c'est-\`a-dire l'id\'eal $\mathrm{Ann}(m)$ de $\A$ constitu\'e de tous les $a \in \A$ tels que $a m = 0$. L'hypoth\`ese que l'on a faite sur $m$ garantit $\mathrm{Ann}(m) \cap (\A - \mathfrak{m}) \neq \emptyset$ pour tout id\'eal maximal $\mathfrak{m}$ de $\A$ ; on a donc $\mathrm{Ann}(m) = \A$ et $m = 0$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 2} --- 1) On fois que l'on a observ\'e que les \'el\'ements $f_i$ et $f_j$ de $\A$ sont inversibles dans $\A[(f_if_j)^{-1}]$, c'est une simple application de la propri\'et\'e universelle caract\'erisant la localisation.

\vspace{0.1cm} 2) L'implication (i) $\Longrightarrow$ (ii) est imm\'ediate puisque les images de $m_i$ et $m_j$ dans $\M[(f_if_j)^{-1}]$ co\"{\i}ncident avec celle de $m$.

Pour \'etablir l'implication r\'eciproque, on commence par choisir un sous-ensemble \emph{fini} $\mathrm{J}$ de $\Ir$ tel les $f_j$, $j \in \J$, engendrent l'id\'eal unit\'e de $\A$. \'Etant donn\'e $i \in \J$, \'ecrivons $m_i$ sous la forme $f_i^{-r_i} \tilde{m_i}$ avec $r_i \in \mathbb{N}$ et $\tilde{m_i} \in \M$ ; comme $\J$ est fini, on peut supposer tous les $r_i$ \'egaux : $r_i = r$. Quels que soient $i, j \in \J$, la condition $m_i/1 = m_j/1$ dans $\M[(f_if_j)^{-1}]$ se traduit par l'existence d'un entier naturel $s_{ij}$ tel que $(f_if_j)^{s_{ij}}(f_i^r\tilde{m}_j - f_j^r \tilde{m}_i) = 0$ ; on peut de nouveau supposer tous les $s_{ij}$ \'egaux : $s_{ij} = s$. Nous avons donc $$f_i^{r+s}f_j^s \tilde{m}_j = f_j^{r+s}f_i^s \tilde{m}_i$$ pour tous $i, j \in \J$.

Les \'el\'ements $f_j$, $j \in \J$, engendrant l'id\'eal unit\'e de $\A$, il en est de m\^eme des \'el\'ements $f_j^{r+s}$, $j \in \J$ (observer qu'aucun id\'eal maximal de $\A$ ne peut tous les contenir) et il existe donc des \'el\'ements $g_j$ de $\A$ tels que $1 = \sum_{j \in \J} g_j f_j^{r+s}$. Posons alors $m = \sum_{j \in \J} g_j f_j^s \tilde{m}_j$ ; c'est un \'el\'ement de $\M$. Quel que soit $i \in \J$, \begin{eqnarray*} f_i^{s+r}m & = & \sum_{j \in \J} g_j f_i^{r+s}f_j^s \tilde{m}_j \\ & = & \sum_{j \in \J} g_j f_j^{r+s}f_i^s \tilde{m}_i \\ & = & \left(\sum_{j \in \J} g_j f_j^{s+r}\right)f_i^s \tilde{m}_i = f_i^s \tilde{m}_i\end{eqnarray*} et donc $m/1 = f_i^{-r}\tilde{m}_i = m_i$ dans $\M[f_i^{-1}]$.

Il reste \`a v\'erifier que l'\'el\'ement $m$ de $\M$ que l'on vient de construire est d'image $m_i$ dans $\M[f_i^{-1}]$ pour tout $i \in \Ir$ et qu'il est uniquement d\'etermin\'e. Ces deux r\'esultats d\'ecoulent du fait suivant : quelle que soit la famille $(h_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$ d'\'el\'ements de $\A$ engendrant l'id\'eal unit\'e, l'homomorphisme canonique $\M \rightarrow \prod_{\lambda \in \Lambda} \M[h_{\lambda}^{-1}]$ est \emph{injectif}. V\'erification : il existe un sous-ensemble fini $\Lambda_0$ de $\Lambda$ tel que les $h_{\lambda}$, $\lambda \in \Lambda_0$, engendrent l'id\'eal unit\'e ; si $m \in \M$ est d'image nulle dans chacun des $\M[h_{\lambda}^{-1}]$, $\lambda \in \Lambda_0$, il existe un entier naturel $n$ tel que $h_{\lambda}^n m = 0$ pour tout $\lambda \in \Lambda_0$ et, la famille $(h_{\lambda}^n)_{\lambda \in \Lambda_0}$  engendrant \'egalement l'id\'eal unit\'e, $m = 1.m = 0$.

Ce que nous venons de voir \'etablit clairement l'unicit\'e de l'\'el\'ement $m$ de $\M$ d'image $m_j$ dans $\M[f_j^{-1}]$ pour tout $j \in \J$. Cela garantit que $m_i$ est l'image de $m$ dans $\M[f_i^{-1}]$ pour tout $i \in \Ir$ : il suffit en effet d'observer que les $f_j$, $j \in \J$, engendrent l'id\'eal unit\'e de $\A[f_i^{-1}]$ et que $m/1$ et $m_i/1$ co\"{\i}ncident dans $\M[(f_if_j)^{-1}] = \M[f_i^{-1}][f_j^{-1}]$ pour tout $j \in \J$.

\vspace{0.1cm} 3) On consid\`ere maintenant une alg\`ebre de type fini sur un corps alg\'ebriquement clos $k$. \'Etant donn\'ee une fonction r\'eguli\`ere $f$ sur $\mathrm{Spec}(\A)$, il existe par hypoth\`ese un recouvrement de $\mathrm{Spec}(\A)$ par des ouverts $\U$ tels que $f_{|\U \cap \mathrm{Max}(\A)} = \tilde{a}/\tilde{b}$ avec $a, b \in \A$ et $\tilde{b}(\mathfrak{m}) \neq 0$ pour tout $\mathfrak{m} \in \U \cap \mathrm{Max}(\A)$ ; quitte \`a raffiner le recouvrement, on peut supposer qu'il est constitu\'e d'ouverts principaux $\D(h_i)$, $i \in \Ir$, car ces derniers engendrent la topologie de $\mathrm{Spec}(\A)$. Un \'el\'ement $b$ de $\A$ tel que $\tilde{b}(\mathfrak{m}) \neq 0$ pour tout $\mathfrak{m} \in \D(h_i) \cap \mathrm{Max}(\A)$ est inversible dans l'anneau $\A[h_i^{-1}]$ car $\D(h_i)$ s'identifie canoniquement \`a $\mathrm{Spec}(\A[h_i^{-1}])$ ; l'hypoth\`ese peut donc se reformuler ainsi : il existe des \'el\'ements $h_i$ de $\A$ ainsi que des \'el\'ements $f_i$ de $\A[h_i^{-1}]$, $i \in \Ir$, tels que la restriction de $f$ \`a $\D(h_i) \cap \mathrm{Max}(\A)$ soit la fonction $\tilde{f_i}$ pour tout $i \in \Ir$.

Quels que soient $i, j \in \Ir$, $f_i$ et $f_j$ d\'efinissent la m\^eme fonction sur $\D(h_i) \cap \D(h_j) \cap \mathrm{Max}(\A)$ ; de mani\`ere \'equivalente, l'image de $f_i - f_j$ dans $\A[(h_ih_j)^{-1}]$ est contenue dans tous les id\'eaux maximaux de cet anneau. Comme ce dernier est une $k$-alg\`ebre de type fini, donc un anneau de Jacobson, $f_i - f_j$ appartient \`a tous les id\'eaux \emph{premiers} de $\A[(h_ih_j)^{-1}]$ et est donc nilpotent. Nous obtenons ainsi l'identit\'e de $f_i$ et $f_j$ dans $(\A/\mathfrak{N})[(h_ih_j^{-1})]$ et nous sommes donc dans les conditions d'application de la question 2) : il existe un \'el\'ement $a$ de $\A$ dont l'image dans $(\A/\mathfrak{N})[f_i^{-1}] = \A[f_i^{-1}]/\mathfrak{N}$ co\"{\i}ncide avec celle de $f_i$ pour tout $i \in \Ir$, c'est-\`a-dire tel que $\tilde{a} = f$.

L'homomorphisme $\A \rightarrow \mathcal{R}(\A)$, $a \mapsto \tilde{a}$ induit donc un isomorphisme de $\A/\mathfrak{N}$ sur $\mathcal{R}(\A)$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 3} --- 1) L'implication (ii) $\Rightarrow$ (i) est claire.

Supposons r\'eciproquement que $\M = \mathfrak{a}\M$ et soient $x_1, \ldots, x_n$ des g\'en\'erateurs de $\M$.  Il existe par hypoth\`ese des \'el\'ements $a_{ij}$ de $\mathfrak{a}$ tels que $x_j = \sum_{ 1 \leq i \leq n} a_{ij}x_i$ pour tout $j \in \{1, \ldots, n\}$ ; posant $a'_{ij} = \delta_{ij} - a_{ij}$, ces conditions s'\'ecrivent sous la forme $\sum_{1 \leq i \leq n} a'_{ij}x_i = 0$ ($1 \leq j \leq n$). Les relations de Cramer fournissent une matrice $(b_{ij})$ \`a coefficients dans $\A$ telle que $$(b_{ij})(a'_{ij}) = \mathrm{det}(a'_{ij})\Ir_n$$ et, posant $a = \mathrm{det}(a'_{ij})$, nous obtenons finalement $ax_i = 0$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$.

En d\'eveloppant $a = \mathrm{det}(a'_{ij})$, on constate qu'il s'agit d'un \'el\'ement de $\A$ tel que $a-1 \in \mathfrak{a}$ ; $a$ est d'autre part un annulateur de $\M$ puisqu'il annule un syst\`eme de g\'en\'erateurs.

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{Remarque : cet \'enonc\'e g\'en\'eralise le lemme de Nakayama, que l'on retrouve en prenant pour $\A$ un anneau local et pour $\mathfrak{a}$ son id\'eal maximal.}

\vspace{0.1cm} 2) Le module $\M$ \'etant de type fini sur $\A$, il existe par hypoth\`ese un entier naturel $r \geq 1$ et une suite exacte de $\A$-modules $\A^{r} \rightarrow \M \rightarrow 0$. Cette suite reste exacte apr\`es localisation en $\mathfrak{p}$ (cf. exercice 1), fournissant ainsi une suite exacte de $\A_{\mathfrak{p}}$-modules $$(\A_{\mathfrak{p}})^r = (\A^r)_{\mathfrak{p}} \rightarrow \M_{\mathfrak{p}} \rightarrow 0$$ et, par r\'eduction modulo $\mathfrak{p}\A_{\mathfrak{p}}$, une suite exacte de $\kappa(\mathfrak{p})$-espaces vectoriels $$\kappa(\mathfrak{p})^r = (\A_{\mathfrak{p}})^r(\mathfrak{p}) \rightarrow \M(\mathfrak{p}) \rightarrow 0 \ ,$$ ce qui montre que $\M(\mathfrak{p})$ est un $\kappa(\mathfrak{p})$-espace vectoriel de dimension finie.

\vspace{0.1cm} Nous allons maintenant v\'erifier que la fonction $d : \mathrm{Spec}(\A) \rightarrow \mathbb{Z}, \ \mathfrak{p} \mapsto \mathrm{dim}_{\kappa(\mathfrak{p})} \M(\mathfrak{p})$ est \emph{semi-continue sup\'erieurement} : elle ne peut que \emph{d\'ecro\^{\i}tre} au voisinage d'un point.

Consid\'erons en effet un point $\mathfrak{p}$ dans $\mathrm{Spec}(\A)$ et posons $r = d(\mathfrak{p})$. Partant d'un isomorphisme $u$ de $\kappa(\mathfrak{p})^{r}$ sur $\M(\mathfrak{p})$, un rel\`evement arbitraire de $u$ en une application $\A$-lin\'eaire $u' : \A_{\mathfrak{p}}^r \rightarrow \M_{\mathfrak{p}}$ est surjectif en vertu du lemme de Nakayama. Notant $(e_1, \ldots, e_r)$ la base canonique de $(\A_{\mathfrak{p}})^r$, il existe un \'el\'ement $f$ de $\A - \mathfrak{p}$ tel que $u'(e_i)$ s'\'ecrive sous la forme $u'(e_i) = f^{-1}m_i$ avec $m_i \in \M$ ($1 \leq i \leq r$), ce qui permet de d\'efinir une application $\A[f^{-1}]$-lin\'eaire $u''$ de $\A[f^{-1}]^r$ dans $\M[f^{-1}]$ (nous sommes pass\'es d'une situation \emph{ponctuelle}, au point $\mathfrak{p}$, \`a une situation \emph{locale}, sur l'ouvert $\D(f)$) redonnant $u'$ par localisation en $\mathfrak{p}$. Le conoyau $\N$ de $u''$ est un $\A[f^{-1}]$-module de type fini (car quotient du $\A[f^{-1}]$-module de type fini $\M[f^{-1}]$) et, la localisation pr\'eservant les suites exactes, $\N_{\mathfrak{p}}$ est le conoyau de $u'$, \`a savoir $0$ ; il existe par cons\'equent un \'el\'ement $g$ de $\A[f^{-1}] - \mathfrak{p}$ tel que $g\N = 0$. \'Ecrivant $g$ sous la forme $f^{-n}a$ et posant $h = af$, nous venons de v\'erifier que la suite de $\A[h^{-1}]$-modules $$\A[h^{-1}]^r \rightarrow \M[h^{-1}] \rightarrow 0,$$ d\'eduite de $u''$ par localisation, est exacte ; elle reste exacte par localisation en tout point $\mathfrak{q}$ de $\D(h)$, ce qui implique $d(\mathfrak{q}) \leq r$ en ces points, et il reste \`a observer que $\D(h)$ est un voisinage ouvert de $\mathfrak{p}$ puisque $h \in \A - \mathfrak{p}$.

\vspace{0.1cm} 3) Soit $\M$ un $\A$-module de type fini et soit $u$ un endomorphisme \emph{surjectif} de $\M$. On fait de $\M$ un $\A[\T]$-module en posant $\T.m = u(m)$ pour tout $m \in \M$. La surjectivit\'e de $u$ se alors traduit par l'\'egalit\'e $\M = (\T)\M$ et il existe donc un polyn\^ome $f \in \K[T]$ tel que $f\M = 0$ et $f \equiv 1$ mod $(\T)$ (cf. 1). \'Etant alors donn\'e $m \in \M$ tel que $u(m)=0$, $f.m = m$ et donc $m=0$ ; l'application $u$ est un isomorphisme.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 4} --- 1) Il suffit de consid\'erer la suite exacte $$0 \rightarrow \M \cap \N \rightarrow \M \oplus \N \rightarrow \M + \N \rightarrow 0,$$ d'en d\'eduire que le $\A$-module $\M \oplus \N$ est de type fini et d'observer que $\M$ et $\N$ sont des quotients de $\M \oplus \N$.

\vspace{0.1cm} 2) Si l'id\'eal $\mathfrak{a}$ de $\A$ est de type fini, il suffit de consid\'erer un \'epimorphisme $\A^n \rightarrow \mathfrak{a}$ pour obtenir une pr\'esentation finie $\A^n \rightarrow \A$ du module $\A/\mathfrak{a}$.

Supposons r\'eciproquement que $\A/\mathfrak{a}$ soit un $\A$-module de pr\'esentation finie et consid\'erons une suite exacte de $\A$-modules $$\xymatrix{\A^n \ar@{->}[r]^{u} & \A^m \ar@{->}[r] & \A/\mathfrak{a} \ar@{->}[r] & 0.}$$ \'Etant donn\'e un \'el\'ement $x_0$ de $\A^n$ tel que $v(x_0) = \overline{1}$, il est facile de v\'erifier que la suite de $\A$-modules $$\xymatrix{\A^m \oplus \A \ar@{->}[r]^{u'} & \A^n \oplus \A \ar@{->}[r]^{v'} & \A/\mathfrak{a} \ar@{->}[r] & 0},$$ dans laquelle les applications lin\'eaires $u'$ et $v'$ sont d\'efinies par $u'(y,a) = (u(y)- ax_0,a)$ et $v'(x,a) = v(x) + a\overline{1}$, est encore exacte ; ce qu'on a gagn\'e, c'est que le g\'en\'erateur $\overline{1}$ de $\A/\mathfrak{a}$ est l'image par $v'$ d'un \'el\'ement de la base canonique de $\A^n \oplus \A$.

Le choix de rel\`evements de $v(e_1), \ldots, v(e_n)$ dans $\A$ permet de d\'efinir une application $\A$-lin\'eaire $t: \A^n \oplus \A \rightarrow \A$ relevant $v'$ et envoyant $e_{n+1}$ sur $1$ (car $v'(e_{n+1}) = \overline{1}$). D\'esignant par $p$ la projection canonique de $\A$ sur $\A/\mathfrak{a}$, $p \circ t \circ u' = v' \circ u' = 0$ ; l'application $s = t \circ u$ est donc \`a valeurs dans l'id\'eal $\mathfrak{a}$. Cette application est surjective : $$a = at(e_{n+1}) = t(ae_{n+1})$$ pour tout $a \in \A$ car $v(e_{n+1})=1$ et, si $a$ appartient \`a $\mathfrak{a}$, $ae_{n+1}$ est dans l'image de $u'$ puisque $v'(ae_{n+1}) = pt(ae_{n+1}) = p(a) = 0$. Ceci prouve que l'id\'eal $\mathfrak{a}$ est de type fini.

$$\xymatrix{A^m \oplus \A \ar@{->}[r]^{u'} \ar@{->}[rrdd]^s & \A^n \oplus \A \ar@{->}[r]^{v'} \ar@{->}[rd]^t & \A/\mathfrak{a} \ar@{->}[r] & 0 \\ & & \A \ar@{->}[u]^{p} \ar@{->}[r] & 0\\ & & \mathfrak{a} \ar@{->}[u] \ar@{->}[r] & 0 }$$

\vspace{0.2cm} (ii) \'Etant donn\'es une suite exacte de $\A$-modules $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & \M' \ar@{->}[r]^f & \M \ar@{->}[r]^g & \M'' \ar@{->}[r] & 0}$$ ainsi que des pr\'esentations $$\xymatrix{\A^m \ar@{->}[r]^{u'} & \A^n \ar@{->}[r]^{v'} & \M' \ar@{->}[r] & 0} \ \ \textrm{et} \ \ \xymatrix{\A^p \ar@{->}[r]^{u''} & \A^q \ar@{->}[r]^{v''} & \M'' \ar@{->}[r] & 0}$$ de $\M'$ et $\M''$, on v\'erifie sans difficult\'e que l'on obtient une pr\'esentation $$\xymatrix{\A^m \oplus \A^p \ar@{->}[r]^{u} & \A^n \oplus \A^q \ar@{->}[r]^{v} & \M \ar@{->}[r] & 0}$$ de $\M$ en d\'efinissant les applications lin\'eaires $u$ et $v$ comme suit : \begin{itemize} \item $v_{|\A^n} = f \circ v'$ et $v_{|\A^q}$ est un rel\`evement de $v''$ \`a $\M$ ; \item $u_{|\A^m}$ est l'application $u'$ compos\'ee par l'injection canonique de $\A^n$ dans $\A^n \oplus \A^q$ et $u_{|\A^p}$ est l'application $u''$ compos\'ee par l'injection canonique de $\A^q$ dans $\A^n \oplus \A^q$.
\end{itemize}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 5} (\emph{Module des diff\'erentielles}) --- 1) On v\'erifie sans difficult\'e que, si $\D, \ \D'$ sont deux $\A$-d\'erivations de $\B$ dans un $\B$-module $\M$, l'application $\A$-lin\'eaire $\D + b \D' : \B \rightarrow \M$ en est encore une pour tout $b \in \B$.

\vspace{0.1cm} 2) \'Etant donn\'ee une d\'erivation $\D \in \mathrm{Der}_{\A}(\B, \M)$, $f \circ \D$ est une application $\A$-lin\'eaire de $\B$ dans $\M'$ telle que $$(f \circ \D)(b'b'') = f(b'\D(b'') + b'' \D(b')) = b'(f \circ \D)(b'') + b''(f \circ \D)(b')$$ pour tous $b', b'' \in \B$ ; c'est donc une $\A$-d\'erivation de $\B$ dans $\M'$.

\vspace{0.1cm} 3) S'il existe, le couple $(\Omega^1_{\B/\A}, \ d_{\B/\A})$ est unique \`a isomorphisme unique pr\`es (la d\'emonstration est la m\^eme que pour la question 1 du premier exercice) ; il reste donc \`a le construire.

Soit $\Lr$ le $\B$-module libre de base $\B$ : $$\Lr = \bigoplus_{b \in \B} \B e_b$$ et soit $\R$ le sous-module engendr\'e par les \'el\'ements de la forme $$e_{b+b'} = e_{b} + e_{b'}, \ e_{ab} = ae_{b}, \ e_{bb'} = be_{b'} + b'e_{b}$$ avec $a \in \A$, $b, b' \in \B$. On pose $\Omega^1_{\B/\A} = \Lr/\R$ et on note $d_{\B/\A}$ l'application canonique de $\B$ dans $\Omega^1_{\B/\A}$ envoyant $b$ sur la classe de $e_{b}$ ; c'est clairement une $\A$-d\'erivation.

\'Etant donn\'e un $\B$-module $\M$, nous avons fait tout ce qu'il fallait pour que la correspondance $u \mapsto u \circ d_{\B/\A}$ identifie les applications $\B$-lin\'eaires de $\Omega^1_{\B/\A}$ dans $\M$ aux applications $\A$-lin\'eaires de $\B$ dans $\M$ satisfaisant \`a la condition de Leibniz.  

\vspace{0.1cm} 4) Soient $\Sr$ une partie multiplicative de $\B$ et $\M$ un $\Sr^{-1}\B$-module. L'homomorphisme canonique $\B \rightarrow \Sr^{-1}\B$ induit par composition une application $\mathrm{Der}_{\A}(\Sr^{-1}\B, \M) \rightarrow \mathrm{Der}_{\A}(\B, \M)$. Cette application est injective : si $\D \in \mathrm{Der}_{\A}(\Sr^{-1}\B, \M)$ s'annule identiquement sur $\B$, l'identit\'e $0 = \D(1) = \D(ss^{-1}) = s\D(s^{-1}) + s^{-1}\D(s)$ implique $\D(s^{-1}) = - s^{-2}\D(s) = 0$ pour tout $s \in \Sr$ et $\D$ est identiquement nulle. Cette application est surjective : \'etant donn\'ee une $\A$-d\'erivation $\D$ de $\B$ dans $\M$, on prolonge $\D$ en une $\A$-d\'erivation $\tilde{\D}$ de $\Sr^{-1}\B$ dans $\M$ en posant $\tilde{\D}(s^{-1}b) = -bs^{-2}\D(s) + s^{-1}\D(b)$ pour tous $b \in \B$, $s \in \Sr$. 

En composant l'homomorphisme canonique $\B \rightarrow \Sr^{-1}\B$ par la d\'erivation $d_{\Sr^{-1}\B/\A}$, on obtient une $\A$-d\'erivation de $\B$ dans le $\Sr^{-1}\B$-module $\Omega^1_{\Sr^{-1}\B/\A}$ qui se factorise \`a travers $d_{\B/\A}$ en une application $\B$-lin\'eaire de $\Omega^1_{\B/\A}$ dans $\Omega^1_{\Sr^{-1}\B/\A}$ (cf. question pr\'ec\'edente), puis en une application $\Sr^{-1}\B$-lin\'eaire $\iota : \Sr^{-1}\Omega^1_{\B/\A} \rightarrow \Omega^1_{\Sr^{-1}\B/\A}$ en vertu de la propri\'et\'e universelle caract\'erisant la localisation des modules. Pour \'etablir que $\iota$ est un isomorphisme, il suffit d'observer que, quel que soit le $\Sr^{-1}\B$-module $\M$, l'application qu'elle induit $$\mathrm{Der}_{\A}(\Sr^{-1}\B, \M) = \mathrm{Hom}_{\Sr^{-1}\B}(\Omega^1_{\Sr^{-1}\B/\A}, \M) \rightarrow \mathrm{Hom}_{\Sr^{-1}\B/\A}(\Sr^{-1}\Omega^1_{\B/\A}, \M) = \mathrm{Der}_{\A}(\B,\M)$$ n'est autre que la restriction \`a $\B$ des $\A$-d\'erivations de $\Sr^{-1}\B$ dans $\M$ ; comme on a v\'erifi\'e qu'il s'agit d'une bijection, $\iota$ est un isomorphisme.

\vspace{0.1cm} 5) (i) L'application $d_{\C/\A} \circ p$ est une $\A$-d\'erivation de $\B$ dans $\Omega^1_{\C/\A}$ ; il existe donc une unique application $\B$-lin\'eaire $\psi : \Omega^1_{\B/\A} \rightarrow \Omega^1_{\C/\A}$ telle que de $d_{\C/\A} \circ p  = \psi \circ d_{\B/\A}$. Comme $\psi(\mathfrak{I}\Omega^1_{\B/\A}) = \mathfrak{I}\psi(\Omega^1_{\B/\A}) = 0$, cette application se factorise en outre en une application $\C$-lin\'eaire de $\Omega^1_{\B/\A}/\mathfrak{I}\Omega^1_{\B/\A}$ dans $\Omega^1_{\C/\A}$. 

\vspace{0.1cm} (ii) Il d\'ecoule directement de la r\`egle de Leibniz que le noyau de l'application $\A$-lin\'eaire de $\mathfrak{I}$ dans $\Omega^1_{\C/\A}$ induite par $\psi \circ d_{\B/\A}$ contient $\mathfrak{I}^2$. L'application obtenue $\delta : \mathfrak{I}/\mathfrak{I}^2 \rightarrow \Omega^1_{\C/\A}$ est $\C = \B/\mathfrak{I}$-lin\'eaire car $$\delta(b \beta) = b\delta(\beta) + \beta\delta(b) = b \delta(\beta)$$ pour tous $b \in \B, \ \beta \in \mathfrak{I}$.

\vspace{0.1cm} (iii) Soit $\M$ un $\C$-module et consid\'erons la suite obtenue en appliquant le foncteur $\mathrm{Hom}_{\C}(\cdot, \M)$ \`a la suite de $\C$-modules $$\xymatrix{\mathfrak{I}/\mathfrak{I}^2 \ar@{->}[r]^{\delta} & \Omega^1_{\B/\A}/\mathfrak{I}\Omega^1_{\B/\A} \ar@{->}[r]^{\psi} & \Omega^1_{\C/\A} \ar@{->}[r] & 0} \ ;$$ vu la question 3, il s'agit de la suite de $\C$-modules
$$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & \mathrm{Der}_{\A}(\C, \M) \ar@{->}[r]^{\cdot \circ \psi} & \mathrm{Der}_{\A}(\B, \M)' \ar@{->}[r]^{\cdot \circ \delta} & \mathrm{Hom}_{\C}(\mathfrak{I}/\mathfrak{I}^2, \M),}$$ o\`u $\mathrm{Der}_{\A}(\B, \M)'$ d\'esigne le sous-module de $\mathrm{Der}_\A (\B,\M)$ constitu\'e des $\A$-d\'erivations de $\B$ dans $\M$ s'annulant identiquement sur $\mathfrak{I}$. L'exactitude de cette suite de $\C$-module se v\'erifiant imm\'ediatement, nous en d\'eduisons quel la suite initiale $$\xymatrix{\mathfrak{I}/\mathfrak{I}^2 \ar@{->}[r]^{\delta} & \Omega^1_{\B/\A}/\mathfrak{I}\Omega^1_{\B/\A} \ar@{->}[r]^{\psi} & \Omega^1_{\C/\A} \ar@{->}[r] & 0}$$ est exacte.

\vspace{0.1cm} 6) Soit $\Ir$ un ensemble et soit $\B = \A[(\T_i)_{i \in \Ir}]$. Quel que soit le $\B$-module $\M$, l'application $$\mathrm{Der}_{\A}(\B,\M) \rightarrow \M^{\Ir}, \ \ \D \mapsto (i \mapsto \D(\T_i))$$ est une bijection en vertu de l'identit\'e $$\D(\rP) = \sum_{i \in \I} \frac{\partial{\rP}}{\partial{\T_i}} \D(\T_i)$$ pour tout $\rP \in \B$, cons\'equence directe de la relation de Leibniz ($\rP$ ne faisant intervenir qu'un nombre fini d'ind\'etermin\'ees, les d\'eriv\'ees partielles sont nulles pour presque tout $i \in \Ir$ et le terme de droite est donc bien d\'efini).

Comme $$\mathrm{Hom}_{\B}(\B^{(\Ir)}, \M) = \M^{\Ir},$$ nous en d\'eduisons que l'unique application $\B$-lin\'eaire $\B^{(\Ir)} \rightarrow \Omega^1_{\B/\A}$ envoyant $e_i$ sur $d_{\B/\A}(\T_i)$ pour tout $i \in \Ir$ est un isomorphisme du $\B$-module libre de base $\Ir$ $$\B^{(\Ir)} = \bigoplus_{i \in \Ir} \B e_i$$ sur $\Omega^1_{\B/\A}$.

\vspace{0.1cm} 7) En vertu des questions 5 et 6, $\Omega^1_{\C/\A}$ est le quotient du $\C$-module libre $$\Omega^1_{\B/\A}/\mathfrak{I}\Omega^1_{\B/\A} = \bigoplus_{i \in \Ir} \C d_{\C/\A}(\T_i)$$ par le sous-module engendr\'e par les $\delta(f)$, $f \in \mathfrak{I}$ ; comme $\delta(f)$ n'est autre que la classe de $d_{\B/\A}(f)$, $$\delta(f) = \sum_{i \in \Ir} \frac{\partial{f}}{\partial{\T_i}} d_{\C/\A}(\T_i)$$pour tout $f \in \mathfrak{I}$ et l'assertion est d\'emontr\'ee.

\vspace{0.1cm} 8) On a respectivement $$\Omega^1_{\B/\A} = \frac{\B d \T_1 \oplus \B d\T_2}{\B((1+3\T_1^2)d\T_1 - 2\T_2 d\T_2)}, \ \ \Omega^1_{\B/\A} = \frac{\B d\T_1 \oplus \B d\T_2}{\B(2\T_1 d\T_1 - 3\T_2 d \T_2)}, \ \ \textrm{et} \ \ \Omega^1_{\B/\A} = \B d\T_1 \oplus \B d\T_2.$$

Ce qu'il faut observer ici, c'est le ph\'enom\`ene suivant : \'etant donn\'e un corps $\K$ \'etendant $\A$ et un homomorphisme $x : \B = \A[\T_1, \T_2]/(f) \rightarrow \K$, le point $(x_1, x_2) = (x(\T_1), x(\T_2))$ de $\K^2$ appartient \`a la courbe d\'efinie par l'\'equation $f = 0$ et c'est un point \emph{singulier} de celle-ci -- c'est-\`a-dire un point en lequel les deux d\'eriv\'ees partielles de $f$ s'annulent -- si et seulement si le $\K$-espace vectoriel $\Omega^1_{\B/\A} \otimes_{\B, x} \K$ est de dimension strictement sup\'erieure \`a $1$ (la dimension de la courbe).   
  
\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 6} (\emph{Modules projectifs, injectifs}) --- 1) Le foncteur $\mathrm{Hom}_{\A}(\M,.)$ est exact s'il transforme toute suite exacte de $\A$-modules en une suite exacte. Il suffit de v\'erifier cela pour les suites exactes \emph{courtes} car toute suite exacte
$$\xymatrix{\ldots \ar@{->}[r] & \M_{n-1} \ar@{->}[r]^{f_{n-1}} & \M_n \ar@{->}[r]^{f_n} & \M_{n+1} \ar@{->}[r] & \ldots}$$ peut se repr\'esenter sous la forme d'un diagramme de suites exactes courtes $$\xymatrix{\ldots \ar@{->}[r] & \M_{n-1} \ar@{->}[r]^{f_{n-1}} & \mathrm{im} (f_{n-1}) \ar@{->}[d] \ar@{->}[r] & 0 & & \\ & 0 \ar@{->}[r] & \mathrm{ker} (f_{n}) \ar@{->}[r] & \M_{n} \ar@{->}[r]^{f_n} & \mathrm{im}(f_n) \ar@{->}[d] \ar@{->}[r] & 0 & \\ & &  & 0 \ar@{->}[r] & \mathrm{ker} (f_{n+1}) \ar@{->}[r] & \M_{n+1} \ar@{->}[r] & \ldots}$$ dans lequel les fl\`eches verticales sont des isomorphismes. 

Quelle que soit la suite exacte courte de $\A$-modules $\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & \N' \ar@{->}[r]^{u} & \N \ar@{->}[r]^{v} & \N'' \ar@{->}[r] & 0}$, la suite (de groupes ab\'eliens ou de $\A$-modules, cela revient au m\^eme) $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & \mathrm{Hom}_{\A}(\M,\N') \ar@{->}[r]^{u \circ \cdot} & \mathrm{Hom}_{\A}(\M,\N) \ar@{->}[r]^{v \circ \cdot} & \mathrm{Hom}_{\A}(\M, \N'')}$$ est exacte ; par suite, le foncteur $\mathrm{Hom}_{\A}(\M,.)$ est exact si et seulement si, pour toute application $\A$-lin\'eaire surjective $\N \rightarrow \N''$, chaque application $\A$-lin\'eaire de $\M$ dans $\N''$ se rel\`eve en une application $\A$-lin\'eaire de $\M$ dans $\N$ :
$$\xymatrix{\N \ar@{->}[r] & \N'' \ar@{->}[r] & 0 \\ & \M \ar@{->}[u] \ar@{.>}[ul] & \\}$$

\vspace{0.1cm} 2. Il est clair que tout $\A$-module libre est automatiquement projectif ; en fait, les $\A$-modules projectifs sont exactement ceux pouvant se r\'ealiser comme facteur direct d'un $\A$-module libre.

Soit $\Lr$ un $\A$-module libre et soit $\M$ un facteur direct de $\Lr$, c'est-\`a-dire un quotient de $\Lr$ tel que la projection canonique $p : \Lr \rightarrow \M$ admette une \emph{section} $s$. \'Etant donn\'ees une application $\A$-lin\'eaire surjective $v : \N \rightarrow \N''$ et une application $\A$-lin\'eaire $\alpha : \M \rightarrow \N''$, $\alpha \circ p$ se rel\`eve en $\alpha' : \Lr \rightarrow \N$ et l'application $\alpha' \circ s : \M \rightarrow \N$ rel\`eve $\alpha$.

Soit r\'eciproquement $\M$ un $\A$-module projectif et soit $\Lr$ le $\A$-module libre de base $\M$ : $\Lr = \bigoplus_{m \in \M} \A e_{m}$. L'application $\A$-lin\'eaire de $\Lr$ dans $\M$ d\'efinie en envoyant $e_m$ sur $m$ \'etant tautologiquement surjective, la projectivit\'e de $\M$ garantit l'existence d'une section $s : \M \rightarrow \Lr$ et $\M$ est donc bien facteur direct d'un $\A$-module libre.

\vspace{0.1cm} 3. (i) $\Rightarrow$ (ii). Lorsque $\A$ est un anneau local, un $\A$-module de type fini $\M$ est projectif si et seulement s'il est libre ; vu la question pr\'ec\'edente, il revient au m\^eme de dire que tout $\A$-module de type fini est libre s'il est facteur direct d'un $\A$-module libre.

Notons $\mathfrak{m}$ l'id\'eal maximal de $\A$ et consid\'erons une application $\A$-lin\'eaire surjective $p : \A^n \rightarrow \M$ admettant une section $s$. Choisissons d'autre part une application $\A$-lin\'eaire $q : \A^m \rightarrow \M$ induisant un isomorphisme apr\`es r\'eduction modulo $\mathfrak{m}$ ; cette application est surjective en vertu du lemme de Nakayama, ce qui permet de relever $p$ en une application $\A$-lin\'eaire $u : \A^n \rightarrow \A^m$. Appliquant de nouveau le lemme de Nakayama, $u \circ s \circ q$ est en endomorphisme surjectif de $\A^m$ ; il s'agit alors automatiquement d'un \emph{automorphisme} (cf. exercice 3, 3), l'application $q$ est par cons\'equent un isomorphisme et $\M$ est donc bien un $\A$-module libre.

\noindent \emph{Remarque : \'etant donn\'e un module libre de rang fini $\M$ sur un anneau local $\A$, la d\'emonstration pr\'ec\'edente \'etablit que toute partie de $\M$ se r\'eduisant en une base modulo l'id\'eal maximal est automatiquement une base de $\M$.}

\vspace{0.1cm} (ii) $\Rightarrow$ (i) Le groupe ab\'elien $\mathrm{Hom}_{\A}(\M,\N)$ des applications $\A$-lin\'eaires entre deux $\A$-modules $\M$ et $\N$ est naturellement muni d'une structure de $\A$-module si l'on pose $(au)(x) = a(u(x))$ pour tous $a \in \A$, $u \in \mathrm{Hom}_{\A}(\M,\N)$ et $x \in \M$. \'Etant donn\'ee une partie multipicative $\Sr$ de $\A$, l'application canonique de $\mathrm{Hom}_{\A}(\M, \N)$ dans $\mathrm{Hom}_{\Sr^{-1}\A}(\Sr^{-1}\M, \Sr^{-1}\N)$ est $\A$-lin\'eaire et induit donc une application $\Sr^{-1}\A$-lin\'eaire $$\iota : \Sr^{-1}\mathrm{Hom}_{\A}(\M,\N) \rightarrow \mathrm{Hom}_{\Sr^{-1}\A}(\Sr^{-1}\M, \Sr^{-1}\N)$$ (cf. exercice 1). Lorsque le $\A$-module $\M$ est de type fini, il est clair que $\iota$ est \emph{injective} : \'etant donn\'es une application $\A$-lin\'eaire $u \in \mathrm{Hom}_{\A}(\M,\N)$ et $s \in \Sr$, la condition $\iota(s^{-1}u)$ signifie que l'application $\Sr^{-1}\A$-lin\'eaire induite par $u$ est nulle et il existe donc pour chaque $m \in \M$ un $t \in \Sr$ tel que $tu(m)=0$ ; supposer $\M$ de type fini permet de choisir $t \in \Sr$ ind\'ependamment de $m$ et cela implique la nullit\'e de $u$ dans $\Sr^{-1}\mathrm{Hom}_{\A}(\M,\N)$. 

Si l'on suppose en outre que l'anneau $\A$ est \emph{noeth\'erien}, il est facile de voir que $\iota$ est surjective, c'est-\`a-dire que toute application $\Sr^{-1}\A$-lin\'eaire $v : \Sr^{-1}\M \rightarrow \Sr^{-1}\N$ peut s'\'ecrire sous la forme $v = s^{-1}u$ avec $s \in \Sr$ et $u \in \mathrm{Hom}_{\A}(\M, \N)$. Consid\'erons en effet une application $\A$-lin\'eaire surjective $p : \A^n \rightarrow \M$ et d\'esignons par $e_i$, $1 \leq i \leq n$, les \'el\'ements de la base canonique de $\A^n$ ; il existe un \'el\'ement $t \in \Sr$ tel que $y_i = tu(p(e_i))$ appartienne \`a $\N$ pour tout $i$, ce qui permet de d\'efinir une application $\A$-lin\'eaire $\tilde{u} : \A^n \rightarrow \N$ en posant $\tilde{u}(e_i) = y_i$. Par construction, cette application envoie le sous-module $\mathrm{ker}(p)$ de $\A^n$ sur un sous-module de $\N$ d'image nulle dans $\Sr^{-1}\N$. Supposer $\A$ noeth\'erien garantit que le module $\mathrm{ker}(p)$ soit de type fini, de sorte qu'il existe un \'el\'ement $t'$ de $\Sr$ tel que $t' \tilde{u}(\mathrm{ker}(p)) = 0$ et donc que l'application $\A$-lin\'eaire $t' \tilde{u} : \A^n \rightarrow \N$ se factorise \`a travers $p$ en une application $\A$-lin\'eaire de $u$ de $\M$ dans $\N$. Comme $t v \circ p = \tilde{u}$ et $tt' v \circ p = t' \tilde{u} = u \circ p$, nous en d\'eduisons finalement l'identit\'e $v = s^{-1}u$ avec $s = tt'$.

\vspace{0.1cm} Sous l'hypoth\`ese additionnelle que l'anneau $\A$ est noeth\'erien, il est maintenant ais\'e d'\'etablir l'implication (ii) $\Rightarrow$ (i). Consid\'erons en effet des $\A$-modules $\N$, $\N'$ et une application $\A$-lin\'eaire surjective $v : \N \rightarrow \N''$. Soit $\Qr$ le conoyau de l'application $\A$-lin\'eaire $\mathrm{Hom}_{\A}(\M, \N) \rightarrow \mathrm{Hom}_{\A}(\M, \N''), \ u \mapsto v \circ u$. Via les identifications canoniques $\mathrm{Hom}_{\A}(\M, \N)_{\mathfrak{p}} = \mathrm{Hom}_{\A_{\mathfrak{p}}}(\M_{\mathfrak{p}}, \N_{\mathfrak{p}})$ et $\mathrm{Hom}_{\A}(\M, \N'')_{\mathfrak{p}} = \mathrm{Hom}_{\A_{\mathfrak{p}}}(\M_{\mathfrak{p}},\N''_{\mathfrak{p}})$ pour tout id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$, la condition (ii) implique $\Qr_{\mathfrak{p}} = 0$ pour tout $\mathfrak{p}$ et donc $\Qr = 0$.

\vspace{0.1cm} (ii) $\Rightarrow$ (iii). Ici encore, il est n\'ecessaire de supposer $\A$ noeth\'erien. 

\'Etant donn\'es un id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$ et un isomorphisme $u : \A_{\mathfrak{p}}^n \rightarrow \M_{\mathfrak{p}}$, il existe $g \in \A - \mathfrak{p}$ tel que $fu(e_i) \in \M$ pour tout $i$, ce qui permet de d\'efinir une application $\A[g^{-1}]$-lin\'eaire $\A[g^{-1}]^n \rightarrow \M[g^{-1}]$ induisant $u$ par localisation en $\mathfrak{p}$. Le noyau $\N$ et le conoyau $\Qr$ de cette application sont des $\A[g^{-1}]$-modules tels que $\N_{\mathfrak{p}} = \Qr_{\mathfrak{p}} = 0$. Comme $\M$ est de type fini, il en est de m\^eme de $\M[g^{-1}]$ et donc de $\Qr$ tandis que $\N$ est de type fini gr\^ace \`a l'hypoth\`ese noeth\'erienne faite sur $\A$ ; nous en d\'eduisons l'existence d'un \'el\'ement $f$ de $\A$ tel que $f \in \A - \mathfrak{p}$ et $f\N = g \Qr = 0$, donc tel que $\M[f^{-1}]$ soit libre. Nous avons ainsi \'etabli l'existence d'un recouvrement de $\mathrm{Spec}(\A)$ par des ouverts principaux $\D(f)$ tels que le $\A[f^{-1}]$-module $\M[f^{-1}]$ soit libre, recouvrement que l'on peut supposer fini en vertu de la quasi-compacit\'e de $\mathrm{Spec}(\A)$.

\vspace{0.1cm} (iii) $\Rightarrow$ (ii). Cette implication est imm\'ediate : tout id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$ est contenu dans l'un des ouverts principaux $\D(f_i)$ et le $\A_{\mathfrak{p}}$-module $\M_{\mathfrak{p}}$, localis\'e de $\M[f_i^{-1}]$ en $\mathfrak{p}$, est libre.

\vspace{0.1cm} 4. \'Etant donn\'e que tout $\A$-module libre est projectif, l'existence d'une r\'esolution projective pour tout $\A$-module est une cons\'equence imm\'ediate du fait que tout $\A$-module est un quotient d'un $\A$-module libre (cf. question 2).

\vspace{0.1cm} 5. La d\'emonstration est analogue \`a celle de la question 1.

\vspace{0.1cm} 6. (i) Soient $\A$ un anneau int\`egre et $\M$ un $\A$-module injectif. \'Etant donn\'e $a \in \A - \{0\}$, la surjectivit\'e de l'endomorphisme de multiplication par $a$ sur $\M$ s'obtient ais\'ement en consid\'erant l'injection $\A \rightarrow \A, \ x \mapsto ax$ : un \'el\'ement $m$ de $\M$ donne naissance \`a une application $\A$-lin\'eaire de $\A$ dans $\M$ envoyant $1$ sur $m$ et l'existence d'un prolongement est \'equivalente \`a l'existence de $m' \in \M$ tel que $m = a m'$.

(ii) Soient $\A$ un anneau principal et $\M$ un $\A$-module divisible. \'Etant donn\'es un $\A$-module $\N$ et un sous-module $\N'$ de $\N$, soit $u$ une application $\A$-lin\'eaire de $\N'$ dans $\M$. Quel que soit l'\'el\'ement $x$ de $\N$ n'appartenant pas \`a $\N'$, il existe par hypoth\`ese $f \in \A$ tel que $\{a \in \A \ | \ ax \in \N'\}$ soit l'id\'eal $\A f$ de $\A$. Si $f = 0$, il suffit d'envoyer $x$ sur $0$ pour prolonger $u$ au sous-module $\N' + \A x = \N' \oplus \A x$ de $\N$ ; sinon, la divisibilit\'e de $\M$ garantit l'existence d'un \'el\'ement $m$ tel que $u(fx) = fm$ et l'application $\A$-lin\'eaire de $\N' \oplus \A x$ dans $\M$ envoyant $n + ax$ sur $u(n) + am$ se factorise \`a travers la projection $\N' \oplus \A x \rightarrow \N' + \A x$ pour d\'efinir un prolongement de $u$ au sous-module $\N' + \A x$.

Il reste \`a appliquer le lemme de Zorn pour conclure que l'application $u$ se prolonge \`a $\N$ : l'ensemble des sous-modules de $\N$ contenant $\N'$ et auquel l'application $\A$-lin\'eaire sur prolonge est non vide et inductif (la r\'eunion d'une famille totalement ordonn\'ee de tels sous-modules satisfait encore \`a cette condition), donc admet un \'el\'ement maximal $\N''$ ; ce dernier est n\'ecessairement \'egal \`a $\N$ en vertu de ce qui pr\'ec\`ede.

(iii) L'anneau $\mathbb{Z}$ \'etant principal, le $\mathbb{Z}$-module $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ est injectif car il est divisible. 

Quel que soit l'entier naturel $n \geq 2$, l'unique application lin\'eaire $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ envoyant $1$ sur $\frac{1}{n}$ induit une application lin\'eaire non nulle de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$. Par suite, \'etant donn\'e un $\mathbb{Z}$-module non nul $\M$, il existe une application lin\'eaire non nulle $\mathbb{M} \rightarrow \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ : quel que soit en effet $x \in \M$ non nul, le sous-module de $\M$ engendr\'e par $x$ est isomorphe \`a $\mathbb{Z}$ ou \`a $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ avec $n \geq 2$ ; il existe donc une application lin\'eaire non nulle de $\A x$ dans $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ et celle-ci se prolonge \`a $\M$ puisque $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ est un $\mathbb{Z}$-module injectif.

\end{document} 