Algèbre approfondie - Automne 2007 ENS-Lyon

Algèbre commutative III

Exercice 1 (Anneaux noethériens) — Soit A un anneau noethérien.

1) Étant donné un idéal ℑ de A, démontrer qu’il existe des idéaux premiers 𝔭_{1},...,𝔭_{n} de A tels que 𝔭_{1}...𝔭_{n} ⊂ ℑ. En déduire que l’anneau A ne possède qu’un nombre fini d’idéaux premiers minimaux. (Indication pour la première question : considérer l’ensemble des idéaux de A ne vérifiant pas cette propriété, vérifier qu’il possède un élément maximal s’il est non vide et obtenir une contradiction.)

2) Soit M un A-module. Un idéal premier 𝔭 de A est dit associé à M s’il existe un élément x de M tel que 𝔭 = Ann(x) = {a ∈ A | ax = 0}. On note Ass_{A}(M) l’ensemble des idéaux premiers de A associés à M.

(i) Démontrer que l’ensemble Ass_{A}(M) est vide si et seulement si M = 0. (Indication : si M est non nul, considérer un élément maximal de l’ensemble des idéaux de A de la forme Ann(x), x ∈ M−{0}.)

(ii) Démontrer qu’un idéal premier 𝔭 de A est associé à M si et seulement si l’idéal premier 𝔭A_{𝔭} de A_{𝔭} est associé à M_{𝔭}.

(iii) Démontrer que la réunion des idéaux premiers associés à M est précisément l’ensemble des éléments a de A tels que l’homothétie M → M, x ↦ ax, ne soit pas injective.

(iv) Si M est de type fini, démontrer que l’intersection des idéaux premiers associés à M est précisément l’ensemble des éléments a de A tels que l’homothétie M → M, x ↦ ax, soit nilpotente (on pourra traiter d’abord la question 3...)

3) Démontrer que tout idéal premier minimal de A est associé au A-module A.

4) Soit M un A-module de type fini.

(i) Démontrer qu’il existe une suite (0) = M_{0} ⊂ M_{1} ⊂ ...⊂ M_{n}= M de sous-A-modules de M telle que, pour tout i ∈ {1,...,n}, M_{i}/M_{i−1} ≃ A/𝔭_{i} avec 𝔭_{i} ⊂ A premier.

(ii) Démontrer que l’ensemble {𝔭_{1},...,𝔭_{n}} contient tous les idéaux premiers associés de M. (Indication : étant donné 𝔭 ∈ Ass(M), localiser la suite des M_{i} par rapport à 𝔭, en déduire 𝔭_{i} ⊂ 𝔭 pour un certain i et conclure.)

Exercice 2 (Intégralité) — Soient A un anneau et B une A-algèbre. Un élément x de B est dit entier sur A s’il existe un polynôme unitaire P ∈ A[T] tel que P(x) = 0.

1) Démontrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes pour tout élément x de B :

(i) x est entier sur A ; (ii) la sous-A-algèbre de B engendrée par x est un A-module de type fini ; (iii) il existe une sous-A-algèbre C de B contenant x qui est un A-module de type fini. (Indication : pour établir l’implication (iii) ⟹ (i), choisir des générateurs t_{1},...,t_{n} de C, observer

qu’il existe des éléments a_{ij} ∈ A, 1 ≤ i,j ≤ n, tels que xt_{i} = ∑_{1≤j≤n} a_{ij}t_{j} et vérifier que, posant M = (a_{ji}), x est une racine du polynôme det(TI_{n}− M) ∈ A[T].)

2) En utilisant la question précédente, démontrer les deux assertions suivantes.

– L’ensemble des éléments de B entiers sur A est un sous-anneau de B.

– Soit A′ la sous-A-algèbre de B constituée des éléments de B entiers sur A ; étant donnée une B-algèbre C, démontrer qu’un élément de C est entier sur A′si et seulement s’il est entier sur A.

3) Soit D un entier sans facteur carré et soit K le corps ℚ[T]/(T^{2} − D). Démontrer que le sousanneau de K formé des éléments entiers sur ℤ est

– ℤ[ \frac{\sqrt{D}+1}{2} ] si D ≡ 1 mod. 4 ;

– ℤ[\sqrt{D}] sinon.

(Indication : démontrer qu’un élément a + b\sqrt{D} de K, a,b ∈ ℚ, est entier sur ℤ si et seulement si 2a ∈ ℤ et a^{2}− b^{2}D = 0 ; observer que ces conditions impliquent 2b ∈ ℤ et discuter selon la parité de b/2.)

Exercice 3 (Intégralité, suite) — Soit φ : A → B un homomorphisme faisant de B une A-algèbre entière, c’est-à-dire telle que tous les éléments de B soit entier sur A.

1) Supposons que les anneaux A et B soient intègres et que l’homomorphisme φ soit injectif. Démontrer que A est un corps si et seulement si B est un corps.

2) Soient 𝔭, 𝔮 deux idéaux premiers de A tels que 𝔭 ⊂ 𝔮. En utilisant la question précédente, démontrer que que la fibre de l’application ^{a}φ : Spec(B) → Spec(A) au-dessus du point 𝔮 est non vide si elle est non vide au-dessus du point 𝔭. En déduire que l’image de l’application ^{a}φ est une partie fermée de Spec(A).

3) Supposons que l’homomorphisme φ soit en outre injectif. Démontrer que l’application ^{a}φ : Spec(B) → Spec(A) est surjective. (Indication : quel que soit l’idéal premier 𝔭 de A, vérifier que l’anneau B_{𝔭} est non nul ; en déduire que la fibre de l’application ^{a}φ au-dessus de tout idéal premier minimal de A est non vide et conclure à l’aide de la question précédente.)

Exercice 4 (Anneaux noethériens) — Soient A un anneau noethérien, B une A-algèbre de type fini et G un groupe fini opérant sur B par A-automorphismes. Démontrer les deux assertions suivantes :

(i) il existe des éléments G-invariants b_{1},...,b_{n} de B tels que tout élément G-invariant b de B s’écrive sous la forme b = P(b_{1},...,b_{n}) avec P ∈ A[T_{1},...,T_{n}] ;

(ii) il existe des polynômes P_{1},...,P_{m} dans A[T_{1},...,T_{n}] tels que, pour tout polynôme R ∈ A[T_{1},...,T_{n}],

(R(b_{1},...,b_{n}) = 0) ⟺ R ∈ A[T_{1},...,T_{n}]P_{1}+ ...+ A[T_{1},...,T_{n}]P_{m}.

(Indication : commencer par vérifier que tout élément b de B est entier sur B^{G} (considérer le polynôme ∏ _{g∈G}(T − g(b))) et en déduire qu’il existe une sous-A-algèbre de type fini B_{0} de B^{G} telle que B soit un module de type fini sur B_{0} ; justifier alors que B^{G} est un module de type fini sur B_{0} et conclure.)