\documentclass[11pt, francais]{smfart}
\usepackage{amsfonts, amssymb, amsmath, latexsym}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{textcomp}


\input xy
\xyoption{all}

\addtolength{\hoffset}{-13mm}
%\addtolength{\voffset}{-5mm}
\addtolength{\topmargin}{-25mm} \addtolength{\headsep}{5mm}
\addtolength{\textwidth}{25mm} \addtolength{\textheight}{40mm}

\newcommand{\A}{\mathrm{A}}
\newcommand{\M}{\mathrm{M}}
\newcommand{\X}{\mathrm{X}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\Y}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\I}{\mathrm{I}}
\newcommand{\K}{\mathrm{K}}
\newcommand{\Zb}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Ir}{\mathrm{I}}
\newcommand{\J}{\mathrm{J}}
\newcommand{\T}{\mathrm{T}}
\newcommand{\N}{\mathrm{N}}
\newcommand{\Sr}{\mathrm{S}}
\newcommand{\B}{\mathrm{B}}
\newcommand{\V}{\mathrm{V}}
\newcommand{\Qb}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\R}{\mathrm{R}}
\newcommand{\F}{\mathrm{F}}
\newcommand{\G}{\mathrm{G}}
\newcommand{\C}{\mathrm{C}}
\newcommand{\U}{\mathrm{U}}
\newcommand{\Lr}{\mathrm{L}}


\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre approfondie - Automne 2007} \hfill \textbf{ENS-Lyon}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
{\bfseries \scshape Alg\`ebre commutative III}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\noindent \textbf{Exercice 1} (\emph{Anneaux noeth\'eriens}) --- Soit $\A$ un anneau noeth\'erien.

\vspace{0.1cm}
1) \'Etant donn\'e un id\'eal $\mathfrak{I}$ de $\A$, d\'emontrer qu'il existe des id\'eaux premiers $\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_n$ de $\A$ tels que $\mathfrak{p}_1 \ldots \mathfrak{p}_n \subset \mathfrak{I}$. En d\'eduire que l'anneau $\A$ ne poss\`ede qu'un nombre fini d'id\'eaux premiers \emph{minimaux}. (\emph{Indication pour la premi\`ere question} : consid\'erer l'ensemble des id\'eaux de $\A$ ne v\'erifiant pas cette propri\'et\'e, v\'erifier qu'il poss\`ede un \'el\'ement maximal s'il est non vide et obtenir une contradiction.)

\vspace{0.1cm}
2) Soit $\M$ un $\A$-module. Un id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$ est dit \emph{associ\'e} \`a $\M$ s'il existe un \'el\'ement $x$ de $\M$ tel que $\mathfrak{p} = \mathrm{Ann}(x) = \{a \in \A \ | \ ax=0\}$. On note $\mathrm{Ass}_{\A}(\M)$ l'ensemble des id\'eaux premiers de $\A$ associ\'es \`a $\M$.

\indent (i) D\'emontrer que l'ensemble $\mathrm{Ass}_{\A}(\M)$ est vide si et seulement si $\M = 0$. (\emph{Indication} : si $\M$ est non nul, consid\'erer un \'el\'ement maximal de l'ensemble des id\'eaux de $\A$ de la forme $\mathrm{Ann}(x)$, $x \in \M - \{0\}$.)

\indent (ii) D\'emontrer qu'un id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$ est associ\'e \`a $\M$ si et seulement si l'id\'eal premier $\mathfrak{p}\A_{\mathfrak{p}}$ de $\A_{\mathfrak{p}}$ est associ\'e \`a $M_{\mathfrak{p}}$.

\indent (iii) D\'emontrer que la r\'eunion des id\'eaux premiers associ\'es \`a $\M$ est pr\'ecis\'ement l'ensemble des \'el\'ements $a$ de $\A$ tels que l'homoth\'etie $\M \rightarrow \M, \ x \mapsto ax$, ne soit pas injective.

\indent (iv) Si $\M$ est de type fini, d\'emontrer que l'intersection des id\'eaux premiers associ\'es \`a $\M$ est pr\'ecis\'ement l'ensemble des \'el\'ements $a$ de $\A$ tels que l'homoth\'etie $\M \rightarrow \M, \ x \mapsto ax$, soit nilpotente (on pourra traiter d'abord la question 3...)

\vspace{0.1cm} 3) D\'emontrer que tout id\'eal premier minimal de $\A$ est associ\'e au $\A$-module $\A$.

\vspace{0.1cm}
4) Soit $\M$ un $\A$-module de type fini.

\indent (i) D\'emontrer qu'il existe une suite $(0) = \M_0 \subset \M_1 \subset \ldots \subset \M_n = \M$ de sous-$\A$-modules de $\M$ telle que, pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$, $\M_i/\M_{i-1} \simeq \A/\mathfrak{p}_{i}$ avec $\mathfrak{p}_i \subset \A$ premier.

\indent (ii) D\'emontrer que l'ensemble $\{\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_n\}$ contient tous les id\'eaux premiers associ\'es de $\M$. (\emph{Indication} : \'etant donn\'e $\mathfrak{p} \in \mathrm{Ass}(\M)$, localiser la suite des $\M_i$ par rapport \`a $\mathfrak{p}$, en d\'eduire $\mathfrak{p}_i \subset \mathfrak{p}$ pour un certain $i$ et conclure.)

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Exercice 2} (\emph{Int\'egralit\'e}) --- Soient $\A$ un anneau et $\B$ une $\A$-alg\`ebre. Un \'el\'ement $x$ de $\B$ est dit \emph{entier} sur $\A$ s'il existe un polyn\^ome \emph{unitaire} $\rP \in \A[\T]$ tel que $\rP(x)=0$.

\vspace{0.1cm} 1) D\'emontrer que les trois conditions suivantes sont \'equivalentes pour tout \'el\'ement $x$ de $\B$ :

\indent (i) $x$ est entier sur $\A$ ; \\
\indent (ii) la sous-$\A$-alg\`ebre de $\B$ engendr\'ee par $x$ est un $\A$-module de type fini ; \\
\indent (iii) il existe une sous-$\A$-alg\`ebre $\C$ de $\B$ contenant $x$ qui est un $\A$-module de type fini.

\vspace{0.1cm}
(\emph{Indication} : pour \'etablir l'implication $(iii) \Longrightarrow (i)$, choisir des g\'en\'erateurs $t_1, \ldots, t_n$ de $\C$, observer qu'il existe des \'el\'ements $a_{ij} \in \A$, $1 \leq i, j \leq n$, tels que $xt_i = \sum_{1 \leq j \leq n} a_{ij}t_j$ et v\'erifier que, posant $\M = (a_{ji})$, $x$ est une racine du polyn\^ome $\operatorname{det} (\T\I_n - \M) \in \A[\T]$.)

\vspace{0.1cm} 2) En utilisant la question pr\'ec\'edente, d\'emontrer les deux assertions suivantes.
\begin{itemize}
\item L'ensemble des \'el\'ements de $\B$ entiers sur $\A$ est un sous-anneau de $\B$.
\item Soit $\A'$ la sous-$\A$-alg\`ebre de $\B$ constitu\'ee des \'el\'ements de $\B$ entiers sur $\A$ ; \'etant donn\'ee une $\B$-alg\`ebre $\C$, d\'emontrer qu'un \'el\'ement de $\C$ est entier sur $\A'$ si et seulement s'il est entier sur $\A$.
\end{itemize}

\vspace{0.1cm} 3) Soit $\D$ un entier sans facteur carr\'e et soit $\K$ le corps $\mathbb{Q}[\T]/(\T^2 - \D)$. D\'emontrer que le sous-anneau de $\K$ form\'e des \'el\'ements entiers sur $\mathbb{Z}$ est
\begin{itemize}
\item $\mathbb{Z}\left[\frac{\sqrt{\D} + 1}{2}\right]$ si $\D \equiv 1 \ \textrm{mod. } 4$ ;
\item $\mathbb{Z}[\sqrt{\D}]$ sinon.
\end{itemize}

(\emph{Indication} : d\'emontrer qu'un \'el\'ement $a+b\sqrt{\D}$ de $\K$, $a, b \in \mathbb{Q}$, est entier sur $\mathbb{Z}$ si et seulement si $2a \in \mathbb{Z}$ et $a^2 - b^2 \D = 0$ ; observer que ces conditions impliquent $2b \in \mathbb{Z}$ et discuter selon la parit\'e de $b/2$.)

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Exercice 3} (\emph{Int\'egralit\'e, suite}) --- Soit $\varphi : \A \rightarrow \B$ un homomorphisme faisant de $\B$ une $\A$-alg\`ebre \emph{enti\`ere}, c'est-\`a-dire telle que tous les \'el\'ements de $\B$ soit entier sur $\A$.

\vspace{0.1cm} 1) Supposons que les anneaux $\A$ et $\B$ soient int\`egres et que l'homomorphisme $\varphi$ soit injectif. D\'emontrer que $\A$ est un corps si et seulement si $\B$ est un corps.

\vspace{0.1cm} 2) Soient $\mathfrak{p}, \ \mathfrak{q}$ deux id\'eaux premiers de $\A$ tels que $\mathfrak{p} \subset \mathfrak{q}$. En utilisant la question pr\'ec\'edente, d\'emontrer que que la fibre de l'application $^{a}\varphi : \mathrm{Spec}(\B) \rightarrow \mathrm{Spec}(\A)$ au-dessus du point $\mathfrak{q}$ est non vide si elle est non vide au-dessus du point $\mathfrak{p}$. En d\'eduire que l'image de l'application $^{a}\varphi$ est une partie ferm\'ee de $\mathrm{Spec}(\A)$.

\vspace{0.1cm} 3) Supposons que l'homomorphisme $\varphi$ soit en outre injectif. D\'emontrer que l'application $^{a}\varphi : \mathrm{Spec}(\B) \rightarrow \mathrm{Spec}(\A)$ est surjective. (\emph{Indication} : quel que soit l'id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$, v\'erifier que l'anneau $\B_{\mathfrak{p}}$ est non nul ; en d\'eduire que la fibre de l'application $^{a}\varphi$ au-dessus de tout id\'eal premier minimal de $\A$ est non vide et conclure \`a l'aide de la question pr\'ec\'edente.)

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Exercice 4} (\emph{Anneaux noeth\'eriens}) --- Soient $\A$ un anneau noeth\'erien, $\B$ une $\A$-alg\`ebre de type fini et $\G$ un groupe fini op\'erant sur $\B$ par $\A$-automorphismes. D\'emontrer les deux assertions suivantes :

\indent (i) il existe des \'el\'ements $\G$-invariants $b_1, \ldots, b_n$ de $\B$ tels que tout \'el\'ement $\G$-invariant $b$ de $\B$ s'\'ecrive sous la forme $b = \rP(b_1, \ldots, b_n)$ avec $\rP \in \A[\T_1, \ldots, \T_n]$ ;

\indent (ii) il existe des polyn\^omes $\rP_1, \ldots, \rP_m$ dans $\A[\T_1, \ldots, \T_n]$ tels que, pour tout polyn\^ome $\R \in \A[\T_1, \ldots, \T_n]$, $$(\R(b_1, \ldots, b_n) = 0) \ \Longleftrightarrow \ \R \in \A[\T_1, \ldots, \T_n]\rP_1 + \ldots + \A[\T_1, \ldots, \T_n]\rP_m.$$

(\emph{Indication} : commencer par v\'erifier que tout \'el\'ement $b$ de $\B$ est entier sur $\B^{\G}$ (consid\'erer le polyn\^ome $\prod_{g \in \G}(\T - g(b))$) et en d\'eduire qu'il existe une sous-$\A$-alg\`ebre de type fini $\B_0$ de $\B^{\G}$ telle que $\B$ soit un module de type fini sur $\B_0$ ; justifier alors que $\B^{\G}$ est un module de type fini sur $\B_0$ et conclure.)




\end{document} 