Algèbre approfondie - Automne 2007 ENS-Lyon

Algèbre commutative III : corrigé

Exercice 1 — Soit A un anneau noethérien. Notons que tout ensemble non vide d’idéaux de A admet nécessairement un élément maximal puisqu’il n’existe pas de chaîne strictement croissante d’idéaux dans A...

1) Supposons qu’il existe un idéal de A ne contenant le produit d’aucune famille finie d’idéaux premiers et soit ℑ maximal pour cette condition. Comme ℑ n’est manifestement pas un idéal premier, il existe x,y ∈ A − ℑ tels que xy ∈ ℑ et on obtient ainsi une contradiction puisque le produit des idéaux (ℑ + Ax) et (ℑ + Ay) est contenu dans ℑ alors que chacun d’eux contient le produit d’un nombre fini d’idéaux premiers. Tout idéal de A contient donc le produit d’un nombre fini d’idéaux premiers. Remarque : il découle immédiatement de cette observation qu’un anneau noethérien ne contient qu’un nombre fini d’idéaux premiers minimaux. Il existe en effet des idéaux premiers 𝔭_{1},...,𝔭_{n} dont le produit est contenu (donc égal) à l’idéal nul ; tout idéal premier de A contient par conséquent ce produit, ce qui implique qu’il contient nécessairement l’un des 𝔭_{i} (sinon l’anneau A/𝔭 contiendrait des éléments non nuls x_{1},...,x_{n} tels que x_{1}...x_{n} = 0 et ne serait donc pas intègre...) et tout idéal premier minimal de A est donc l’un des 𝔭_{i}.

2) (i) Soit M un A-module non nul et soit 𝔭 un idéal de A de la forme Ann(x) avec x ∈ M − {0}, maximal pour cette condition. Quels que soient a,b ∈ A tels que ab ∈ 𝔭, abx = 0 ; si a ∉ 𝔭, ax ≠ 0 et b ∈ Ann(ax) ; comme Ann(x) ⊂ Ann(ax), Ann(ax) = Ann(x) par maximalité et donc b ∈ 𝔭. L’ensemble Ass_{A}(M) des idéaux premiers associés à un A-module M non nul est donc non vide.

(ii) Si un idéal premier 𝔭 de A est associé à un A-module M, il existe par hypothèse x ∈ M tel que 𝔭 = Ann(x) ; l’image de x dans A_{𝔭} est alors non nulle et son annulateur est l’idéal premier (maximal) 𝔭A_{𝔭} de A_{𝔭}.

Considérons réciproquement un idéal premier 𝔭 de A tel que 𝔭A_{𝔭} soit associé à M_{𝔭} et soient x ∈ A, s ∈ A−𝔭 tels que 𝔭A_{𝔭} = Ann(s^{−1} x). On vérifie sans difficulté que l’annulateur de tx dans A est contenu 𝔭 quel que soit t ∈ A − 𝔭 et que chaque élément de 𝔭 est contenu dans Ann(tx) pour un certain t ∈ A − 𝔭; il existe donc s′∈ A−𝔭 tel que 𝔭 ⊂ Ann(tx) puisque l’idéal 𝔭 est de type fini et 𝔭 = Ann(s′x) est ainsi un idéal premier associé à M.

(iii) L’ensemble des éléments a de A tels que l’homothétie \xymatrix{M \ar[r]^{a·} & M} ne soit pas injective est précisément la réunion des idéaux Ann(x) de A lorsque x parcourt M − {x}; ayant vérifié à la question 1 que tout élément maximal parmi ces idéaux est un idéal premier associé à M, il s’agit donc également de la réunion des idéaux premiers associés à M.

(iv) Si un élément a de A définit une homothétie nilpotente sur M, il existe un entier n tel que a^{n} appartienne à chacun des idéaux Ann(x), x ∈ M − {0}, donc à chaque idéal premier associé à M, et a appartient ainsi à l’intersection de ces derniers.

Pour établir que, réciproquement, l’homothétie \xymatrix{M \ar[r]^{a·} & M} induite par un élément a de A appartenant à l’intersection des idéaux premiers associés de M est nilpotente, on peut utiliser la suite de sous-modules (0) = M_{0} ⊂ M_{1} ⊂ ... ⊂ M_{n} = M construite ci-dessous à la question 4 : a annule par hypothèse chacun des quotients M_{i}/M_{i−1} et sa puissance n-ème annule par conséquent M.

3) Supposons A non nul et soit 𝔭 un idéal premier minimal de A. L’anneau A_{𝔭} étant non nul, il possède un idéal premier associé et ce ne peut être que 𝔭A_{𝔭} puisque le spectre de A_{𝔭} est réduit à cet idéal premier ; vu la question 2 (ii), nous en déduisons que 𝔭 est un idéal premier associé à A.

4) (i) Si M est non nul, il possède un idéal premier associé 𝔭_{1} et, si x ∈ M − {0} est tel que Ann(x) = 𝔭_{1}, le sous-module M_{1} = Ax de M est isomorphe à A/𝔭_{1}. Si M_{1} = M, il n’y a plus rien à faire ; sinon, le même argument appliqué au A-module non nul M/M_{1} conduit à un sous-module M_{2} de M contenant M_{1} et tel que M_{2}/M_{1} soit isomorphe à A/𝔭_{2}, où 𝔭_{2} est un idéal premier associé à M/M_{1}. En itérant cette construction, nous obtenons une suite croissante (M_{i})_{i≥1} de sous-modules de M dont les quotients successifs sont isomorphes à A/𝔭_{1}, 𝔭_{1} ∈ Spec(A). Cette suite est stationnaire car M est un A-module noethérien (il est de type fini sur un anneau noethérien) et, si M_{n+1} = M_{n}, alors Ass(M/M_{n}) = ∅ et donc M = M_{n} en vertu de la question 1.

(ii) Soit 𝔭 un idéal premier associé à M et soit x ∈ M − {0} tel que 𝔭 = Ann(x). Notant r le plus petit entier naturel tel que x ∈ M_{r} et désignant par \overline{x}l’image de x dans M_{r}/M_{r−1} , 𝔭 est contenu dans l’annulateur de \overline{x}. On vérifie immédiatement que 𝔭_{r} est l’annulateur de tout élément non nul de A/𝔭_{r} et 𝔭 est donc contenu dans 𝔭_{r}. Remarque : en particulier, tout A-module noethérien ne possède qu’un nombre fini d’idéaux premiers associés.

Exercice 2 — 1) Étant donné un élément x de B, on désigne par A[x] la sous-A-algèbre de B engendrée par x; c’est l’image de l’unique A-homomorphisme A[T] → B envoyant T sur x.

(i) ⇒ (ii). Si x est entier sur A, il existe a_{n−1} ,...,a_{0} ∈ A tels que

x^{n}+ φ(a_{n−1} )x^{n−1} + ...+ φ(a_{0}) = 0

et il est clair que A[x] est engendré par 1,x,...,x^{n−1} en tant que A-module.

(ii) ⇒ (iii). Cette implication est triviale.

(iii) ⇒ (i). Soient t_{1},...,t_{n} des générateurs de C en tant que A-module. Il existe par hypothèse des éléments a_{ij} de A tels que xt_{j} = ∑_{i}φ(a_{ij})t_{i} (1 ≤ i ≤ n) ; les formules de Cramer fournissent dans ces conditions une matrice Q ∈ M_{n}(A) telle que

Q(xI_{n}− (φ(a_{ij}))) = det(xI_{n}− (φ(a_{ij})))I_{n}

et l’élément det(xI_{n}− (φ(a_{ij}))) de B annule donc le A-module C. On en déduit det(xI_{n}− (φ(a_{ij}))) = 0 car 1 ∈ C et il suffit de développer ce déterminant pour obtenir une relation de dépendance intégrale de x sur A.

2) Soient x,y deux éléments de B entiers sur A. La sous-A-algèbre A[x,y] de B engendrée par x et y est un A-module de type fini (si x et y sont annulés par des polynômes unitaires de A[T] de degrés respectifs n et m, A[x,y] est engendré en tant que A-module par les x^{i}y^{j}, 0 ≤ i ≤ n−1, 0 ≤ j ≤ m−1). Comme les éléments x+y et xy de B appartiennent à A[x,y], ils sont entiers sur A en vertu du critère (iii) de la question précédente.

L’ensemble A′des éléments de B entiers sur A est une sous-A-algèbre de B d’après ce qui précède. Étant donnée une B-algèbre C, un élément de C entier sur A est a fortiori entier sur A′; réciproquement, si x ∈ C est entier sur A′, il existe par hyptohèse des éléments a′_{n−1} ,...,a′_{0} de A′tels que x^{n}+ a′_{n−1} x^{n−1} + ...+ a′_{0} = 0 ; la sous-A-algèbre de C engendrée par x,a′_{n−1} ,...,a′_{0} est alors un A-module de type fini et x est donc entier sur A.

3) Commençons par deux rappels.

– Un élément r de ℚ est entier sur ℤ si et seulement si r ∈ ℤ (vérification : si r^{n}+ a_{n−1} r^{n−1} + ...+ a_{0} = 0, écrire r sous la forme a/b avec a ∈ ℤ et b ∈ ℤ − {0} premiers entre eux et observer que multiplier la relation précédente par b^{n} permet d’obtenir que b divise a^{n}, ce qui n’est possible que si b = ±1 puisque a et b sont premiers entre eux).

– Soit D un entier naturel non nul sans facteur carré. Si l’on désigne par \sqrt{D} l’image de T dans l’anneau quotient K = ℚ[T]/(T^{2}−D), il découle directement de la division euclidienne que ce dernier est isomorphe à l’espace vectoriel ℚ ⊕ ℚ\sqrt{D} muni de la structure d’anneau définie par

(a + b\sqrt{D})(a′+ b′\sqrt{D}) = (aa′+ bb′D) + (ab′+ a′b)\sqrt{D} ;

il s’agit d’un corps puisque D n’est pas un carré dans ℚ. Soit O_{K} le sous-anneau de K constitué des éléments entiers sur ℤ (c’est la fermeture intégrale de ℤ dans K).

Il est manifeste que O_{K} contient \sqrt{D}et donc l’anneau ℤ[\sqrt{D}] = ℤ⊕ℤ\sqrt{D}; en outre, si D ≡ 1 mod4, \frac{\sqrt{D}+1}{2} est également entier sur ℤ puisqu’il est annulé par le polynôme unitaire

T^{2}− T + \frac{1 − D}{4}

de ℤ[T] et O_{K} contient donc ℤ[\frac{\sqrt{D}+1}{2} ].

Soit réciproquement x = a + b\sqrt{D} un élément de K entier sur ℤ.

Si b = 0, x = a est un élément de ℚ entier sur ℤ et donc x ∈ ℤ.

Si b ≠ 0, le polynôme

(T − (a + b\sqrt{D}))(T − (a − b\sqrt{D})) = T^{2}− 2aT + (a^{2}− b^{2}D)

est irréductible sur ℚ et divise donc tout polynôme de ℚ[T] annulant a + b\sqrt{D}. Il en découle qu’un polynôme unitaire dans ℤ[T] annulant a + b\sqrt{D} annule également a − b\sqrt{D} et donc a − b\sqrt{D} ∈ O_{K}. Nous en déduisons que les nombres rationnels

2a = (a + b\sqrt{D}) + (a − b\sqrt{D}) et a^{2}− b^{2}D = (a + b\sqrt{D})(a − b\sqrt{D})

sont entiers sur ℤ et donc sont des entiers.

Les conditions 2a ∈ ℤ et a^{2} − b^{2}D ∈ ℤ impliquent immédiatement (2b)^{2}D ∈ ℤ; comme il est sans facteur carré, D ne peut compenser les facteurs premiers du dénominateurs de 2b et donc 2b ∈ ℤ. Si l’entier 2b est pair, b ∈ ℤ; cela entraîne a^{2} ∈ ℤ et donc a ∈ ℤ, de sorte que x ∈ ℤ[\sqrt{D}].

Si l’entier 2b est impair, (2b)^{2} est congru à 1 modulo 4 et D ≡ (2a)^{2} est donc un carré modulo 4, ce qui implique D ≡ 0 mod4 ou D ≡ 1 mod4. Comme 4 ne divise pas D, D ≡ 1 mod4 et

a + b\sqrt{D}= (a − b) + (2b)\frac{1 + \sqrt{D}}{2} ∈ ℤ[ \frac{1 + \sqrt{D}}{2} ]

car la condition (2a)^{2} ≡ 1 mod4 implique 2a ≡ 1, 3 mod4 et donc 2a − 2b ≡ 0 mod2.

Exercice 3 — Soient A un anneau et B une A-algèbre entière ; on note φ : A → B l’homomorphisme structural. 1) On suppose A et B intègres, φ injectif et on identifie A avec φ(A). Si A est un corps, B est un corps : tout élément x de B vérifie par hypothèse une relation de la forme

x^{n}+ a_{n−1} x^{n−1} + ...+ a_{0} = 0

avec a_{i} ∈ A ; si x est non nul, l’intégrité de B implique l’existence de p ∈ {0,...,n − 1} tel que a_{p} ≠ 0 et x(x^{n−p−1} + a_{n−1} x^{n−p−2} + ...+ a_{p+1} ) = −a_{p}; A étant un corps, a_{p} est inversible et il en est de même de x.

Si B est un corps, A est un corps : tout élément non nul a de A est inversible dans B et il existe une relation

(a^{−1} )^{n}+ a_{n−1} (a^{−1} )^{n−1} + ...+ a_{0} = 0

avec a_{i} ∈ A ; en multipliant cette dernière par a^{n−1} , on obtient a^{−1} ∈ A.

2) Soient 𝔭 et 𝔮 deux idéaux premiers de A tels que 𝔭 ⊂ 𝔮; on suppose qu’il existe un idéal premier 𝔭′de B tel que^{a}φ(𝔭′) = 𝔭 et il s’agit de prouver qu’il existe un idéal premier 𝔮′de B tel que^{a}φ(𝔮′) = 𝔮.

On vérifie immédiatement que l’anneau B_{𝔮} est entier sur l’anneau A_{𝔮} et, le spectre de l’anneau B_{𝔮} s’identifiant à l’ensemble des idéaux premiers 𝔮′de B tels que ^{a}φ(𝔮′) ⊂ 𝔮, il est loisible de supposer que l’anneau A est local, d’idéal maximal 𝔮; c’est ce que nous faisons.

L’homomorphisme structural φ : A → B induit un homomorphisme injectif A/𝔭 → B/𝔭′faisant de B/𝔭′une algèbre entière sur A/𝔭 (la vérification est immédiate). L’anneau local A/𝔭 n’est par hypothèse pas un corps ; en vertu de la question précédente, B/𝔭′ n’en est pas un non plus et il existe donc un idéal premier 𝔮′ de B contenant 𝔭′et tel que^{a}φ(𝔮′) ⊂ 𝔮.

La conclusion découle maintenant d’une application du lemme de Zorn. L’ensemble des idéaux premiers 𝔟 de B tels que 𝔭 ⊂^{a} φ(𝔟) ⊂ 𝔮 est non vide et inductif : la réunion d’une famille strictement ordonnée de tels idéaux satisfait encore à cette condition ; cet ensemble admet donc un élément maximal 𝔟 et on déduit de la discussion qui précède que nécessairement^{a}φ(𝔟) = 𝔮.

3) Prouvons enfin que l’image de l’application ^{a}φ : Spec(B) → Spec(A) est une partie fermée de Spec(A) et qu’il s’agit de tout Spec(A) lorsque φ est injectif.

Traitons pour commencer le cas d’un morphisme structural φ injectif. Il n’y a rien à démontrer lorsque A = 0 car alors 0 = 1 dans B, donc B = 0 et les deux ensembles Spec(A), Spec(B) sont vides ; nous supposons A ≠ 0 dans ce qui suit. Quel que soit l’idéal premier 𝔭 de A, l’anneau est non nul A_{𝔭} et se plonge dans l’anneau B_{𝔭}; ce dernier est donc également non nul et possède ainsi un idéal premier, ce qui fournit un idéal premier 𝔭′de B tel que ^{a}φ(𝔭′) ⊂ 𝔭. En particulier, nous obtenons ainsi que la fibre de l’application ^{a}φ est non vide au-dessus de tout idéal premier minimal de A, et il découle alors de la question précédente qu’elle est non vide au-dessus de tout point de Spec(A) puisque tout idéal premier de A contient un idéal premier minimal.

Passons maintenant au cas général. Désignant par 𝔞 le noyau de φ, il est immédiat de vérifier que B est une algèbre entière sur A/𝔞 et, la projection canonique p: A → A/𝔞 induisant un homéomorphisme de Spec(A/𝔞) sur le fermé V(𝔞) de Spec(A), on tire du diagramme commutatif

\xymatrix{ & Spec(B) \ar[dl] \ar[d]^{^{a}φ} \\ Spec(A/𝔞) \ar[r]^{^{a}p} & Spec(A)}

que l’application^{a}φ envoie Spec(B) sur V(𝔞).

Exercice 4 — L’assertion (i) revient à dire que l’anneau B^{G} est une A-algèbre de type fini et, si tel est le cas, l’assertion (ii) découle directement du théorème de stabilité de Hibert : toute algèbre de type fini sur un anneau noethérien est un anneau noethérien.

L’anneau B est entier sur la A-algèbre B^{G} des éléments de B invariants sous G : quel que soit en effet b ∈ B, le polynôme ∏ _{g∈G}(T − g(b)) est unitaire, annule B et est à coefficients dans B^{G} puisqu’il est manifestement invariant sous l’action de G ; comme ce polynôme annule b, b est entier sur B^{G}. Soient x_{1},...,x_{n} des générateurs de B comme A-algèbre ; notant B_{0} la sous-A-algèbre de B^{G} engendrée par les coefficients de polynômes unitaires annulant x_{1},...,x_{n}, il est immédiat que B est un module de type fini sur B_{0}. L’anneau A étant noethérien, il en est de même de la A-algèbre de type fini B_{0} en vertu du théorème de Hilbert et tout sous-B_{0}-module de B est donc de type fini ; comme B_{0} ⊂ B^{G}, cela s’applique en particulier à B^{G} et cet anneau est donc finalement une algèbre de type fini sur A, engendrée par des générateurs de la A-algèbre B_{0} et un nombre fini de générateurs de B^{G} en tant que B_{0}-module.