\documentclass[11pt, francais]{smfart}
\usepackage{amsfonts, amssymb, amsmath, latexsym}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{textcomp}


\input xy
\xyoption{all}

\addtolength{\hoffset}{-21mm}
%\addtolength{\voffset}{-5mm}
\addtolength{\topmargin}{-30mm} \addtolength{\headsep}{0mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm} \addtolength{\textheight}{50mm}

\newcommand{\A}{\mathrm{A}}
\newcommand{\M}{\mathrm{M}}
\newcommand{\X}{\mathrm{X}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\Y}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\I}{\mathrm{I}}
\newcommand{\K}{\mathrm{K}}
\newcommand{\Zb}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Ir}{\mathrm{I}}
\newcommand{\J}{\mathrm{J}}
\newcommand{\T}{\mathrm{T}}
\newcommand{\N}{\mathrm{N}}
\newcommand{\Sr}{\mathrm{S}}
\newcommand{\B}{\mathrm{B}}
\newcommand{\V}{\mathrm{V}}
\newcommand{\Qr}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\F}{\mathrm{F}}
\newcommand{\G}{\mathrm{G}}
\newcommand{\C}{\mathrm{C}}
\newcommand{\U}{\mathrm{U}}
\newcommand{\Lr}{\mathrm{L}}

\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre approfondie - Automne 2007} \hfill \textbf{ENS-Lyon}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
{\bfseries \scshape Alg\`ebre commutative III : corrig\'e}
\end{center}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 1} --- Soit $\A$ un anneau noeth\'erien. Notons que tout ensemble non vide d'id\'eaux de $\A$ admet n\'ecessairement un \'el\'ement maximal puisqu'il n'existe pas de cha\^{\i}ne strictement croissante d'id\'eaux dans $\A$...

1) Supposons qu'il existe un id\'eal de $\A$ ne contenant le produit d'aucune famille finie d'id\'eaux premiers et soit $\mathfrak{I}$ maximal pour cette condition. Comme $\mathfrak{I}$ n'est manifestement pas un id\'eal premier, il existe $x, y \in \A - \mathfrak{I}$ tels que $xy \in \mathfrak{I}$ et on obtient ainsi une contradiction puisque le produit des id\'eaux $(\mathfrak{I}+\A x)$ et $(\mathfrak{I}+ \A y)$ est contenu dans $\mathfrak{I}$ alors que chacun d'eux contient le produit d'un nombre fini d'id\'eaux premiers.
Tout id\'eal de $\A$ contient donc le produit d'un nombre fini d'id\'eaux premiers.

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{Remarque : il d\'ecoule imm\'ediatement de cette observation qu'un anneau noeth\'erien ne contient qu'un nombre \emph{fini} d'id\'eaux premiers minimaux. Il existe en effet des id\'eaux premiers $\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_n$ dont le produit est contenu (donc \'egal) \`a l'id\'eal nul ; tout id\'eal premier de $\A$ contient par cons\'equent ce produit, ce qui implique qu'il contient n\'ecessairement l'un des $\mathfrak{p}_i$ (sinon l'anneau $\A/\mathfrak{p}$ contiendrait des \'el\'ements non nuls $x_1, \ldots, x_n$ tels que $x_1 \ldots x_n = 0$ et ne serait donc pas int\`egre...) et tout id\'eal premier \emph{minimal} de $\A$ est donc l'un des $\mathfrak{p}_i$.}

\vspace{0.1cm} 2) (i) Soit $\M$ un $\A$-module non nul et soit $\mathfrak{p}$ un id\'eal de $\A$ de la forme $\mathrm{Ann}(x)$ avec $x \in \M - \{0\}$, maximal pour cette condition. Quels que soient $a, b \in \A$ tels que $ab \in \mathfrak{p}$, $abx=0$ ; si $a \notin \mathfrak{p}$, $ax \neq 0$ et $b \in \mathrm{Ann}(ax)$ ; comme $\mathrm{Ann}(x) \subset \mathrm{Ann}(ax)$, $\mathrm{Ann}(ax) = \mathrm{Ann}(x)$ par maximalit\'e et donc $b \in \mathfrak{p}$. L'ensemble $\mathrm{Ass}_{\A}(\M)$ des id\'eaux premiers associ\'es \`a un $\A$-module $\M$ non nul est donc non vide.
 
\vspace{0.1cm} (ii) Si un id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$ est associ\'e \`a un $\A$-module $\M$, il existe par hypoth\`ese $x \in \M$ tel que $\mathfrak{p} = \mathrm{Ann}(x)$ ; l'image de $x$ dans $\A_{\mathfrak{p}}$ est alors non nulle et son annulateur est l'id\'eal premier (maximal) $\mathfrak{p}\A_{\mathfrak{p}}$ de $\A_{\mathfrak{p}}$.

Consid\'erons r\'eciproquement un id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$ tel que $\mathfrak{p}\A_{\mathfrak{p}}$ soit associ\'e \`a $\M_{\mathfrak{p}}$ et soient $x \in \A,\ s \in \A - \mathfrak{p}$ tels que $\mathfrak{p}\A_{\mathfrak{p}} = \mathrm{Ann}(s^{-1}x)$. On v\'erifie sans difficult\'e que l'annulateur de $tx$ dans $\A$ est contenu $\mathfrak{p}$ quel que soit $t \in \mathrm{A} - \mathfrak{p}$ et que chaque \'el\'ement de $\mathfrak{p}$ est contenu dans $\mathrm{Ann}(tx)$ pour un certain $t \in \mathrm{A} - \mathfrak{p}$ ; il existe donc $s' \in \A - \mathfrak{p}$ tel que $\mathfrak{p} \subset \mathrm{Ann}(tx)$ puisque l'id\'eal $\mathfrak{p}$ est de type fini et $\mathfrak{p} =\mathrm{Ann}(s'x)$ est ainsi un id\'eal premier associ\'e \`a $\M$.

\vspace{0.1cm} (iii) L'ensemble des \'el\'ements $a$ de $\A$ tels que l'homoth\'etie $\xymatrix{\M \ar@{->}[r]^{a \cdot} & \M}$ ne soit pas injective est pr\'ecis\'ement la r\'eunion des id\'eaux $\mathrm{Ann}(x)$ de $\A$ lorsque $x$ parcourt $\M - \{x\}$ ; ayant v\'erifi\'e \`a la question 1 que tout \'el\'ement maximal parmi ces id\'eaux est un id\'eal premier associ\'e \`a $\M$, il s'agit donc \'egalement de la r\'eunion des id\'eaux premiers associ\'es \`a $\M$.

\vspace{0.1cm} (iv) Si un \'el\'ement $a$ de $\A$ d\'efinit une homoth\'etie nilpotente sur $\M$, il existe un entier $n$ tel que $a^n$ appartienne \`a chacun des id\'eaux $\mathrm{Ann}(x)$, $x \in \M -\{0\}$, donc \`a chaque id\'eal premier associ\'e \`a $\M$, et $a$ appartient ainsi \`a l'intersection de ces derniers. 

Pour \'etablir que, r\'eciproquement, l'homoth\'etie $\xymatrix{\M \ar@{->}[r]^{a \cdot} & \M}$ induite par un \'el\'ement $a$ de $\A$ appartenant \`a l'intersection des id\'eaux premiers associ\'es de $\M$ est nilpotente, on peut utiliser la suite de sous-modules $(0) = \M_0 \subset \M_1 \subset \ldots \subset \M_n = \M$ construite ci-dessous \`a la question 4 : $a$ annule par hypoth\`ese chacun des quotients $\M_i/\M_{i-1}$ et sa puissance $n$-\`eme annule par cons\'equent $\M$.


\vspace{0.1cm} 3) Supposons $\A$ non nul et soit $\mathfrak{p}$ un id\'eal premier minimal de $\A$. L'anneau $\A_{\mathfrak{p}}$ \'etant non nul, il poss\`ede un id\'eal premier associ\'e et ce ne peut \^etre que $\mathfrak{p}\A_{\mathfrak{p}}$ puisque le spectre de $\A_{\mathfrak{p}}$ est r\'eduit \`a cet id\'eal premier ; vu la question 2 (ii), nous en d\'eduisons que $\mathfrak{p}$ est un id\'eal premier associ\'e \`a $\A$.

\vspace{0.1cm} 4) (i) Si $\M$ est non nul, il poss\`ede un id\'eal premier associ\'e $\mathfrak{p}_1$ et, si $x \in \M - \{0\}$ est tel que $\mathrm{Ann}(x) = \mathfrak{p}_1$, le sous-module $\M_1 = \A x$ de $\M$ est isomorphe \`a $\A/\mathfrak{p}_1$. Si $\M_1 = \M$, il n'y a plus rien \`a faire ; sinon, le m\^eme argument appliqu\'e au $\A$-module non nul $\M/\M_1$ conduit \`a un sous-module $\M_2$ de $\M$ contenant $\M_1$ et tel que $\M_2/\M_1$ soit isomorphe \`a $A/\mathfrak{p}_2$, o\`u $\mathfrak{p}_2$ est un id\'eal premier associ\'e \`a $\M/\M_1$. En it\'erant cette construction, nous obtenons une suite croissante $(\M_i)_{i \geq 1}$ de sous-modules de $\M$ dont les quotients successifs sont isomorphes \`a $\A/\mathfrak{p}_1$, $\mathfrak{p}_{1} \in \mathrm{Spec}(\A)$. Cette suite est stationnaire car $\M$ est un $\A$-module noeth\'erien (il est de type fini sur un anneau noeth\'erien) et, si $\M_{n+1} = \M_n$, alors $\mathrm{Ass}(\M/\M_n)=\emptyset$ et donc $\M = \M_n$ en vertu de la question 1.

\vspace{0.1cm} (ii) Soit $\mathfrak{p}$ un id\'eal premier associ\'e \`a $\M$ et soit $x \in \M-\{0\}$ tel que $\mathfrak{p} = \mathrm{Ann}(x)$. Notant $r$ le plus petit entier naturel tel que $x \in \M_r$ et d\'esignant par $\overline{x}$ l'image de $x$ dans $\M_r/\M_{r-1}$, $\mathfrak{p}$ est contenu dans l'annulateur de $\overline{x}$. On v\'erifie imm\'ediatement que $\mathfrak{p}_r$ est l'annulateur de tout \'el\'ement non nul de $\A/\mathfrak{p}_r$ et $\mathfrak{p}$ est donc contenu dans $\mathfrak{p}_r$. 

\noindent \emph{Remarque : en particulier, tout $\A$-module noeth\'erien ne poss\`ede qu'un nombre \emph{fini} d'id\'eaux premiers associ\'es.}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 2} --- 1) \'Etant donn\'e un \'el\'ement $x$ de $\B$, on d\'esigne par $\A[x]$ la sous-$\A$-alg\`ebre de $\B$ engendr\'ee par $x$ ; c'est l'image de l'unique $\A$-homomorphisme $\A[\T] \rightarrow \B$ envoyant $\T$ sur $x$.

\vspace{0.1cm} (i) $\Rightarrow$ (ii). Si $x$ est entier sur $\A$, il existe $a_{n-1}, \ldots, a_0 \in \A$ tels que $$x^n + \varphi(a_{n-1})x^{n-1} + \ldots + \varphi(a_0) = 0$$ et il est clair que $\A[x]$ est engendr\'e par $1, x, \ldots, x^{n-1}$ en tant que $\A$-module.

\vspace{0.1cm} (ii) $\Rightarrow$ (iii). Cette implication est triviale.

\vspace{0.1cm} (iii) $\Rightarrow$ (i). Soient $t_1, \ldots, t_n$ des g\'en\'erateurs de $\C$ en tant que $\A$-module. Il existe par hypoth\`ese des \'el\'ements $a_{ij}$ de $\A$ tels que $xt_j = \sum_{i} \varphi(a_{ij})t_i$ ($1 \leq i \leq n$) ; les formules de Cramer fournissent dans ces conditions une matrice $\Qr \in \M_n(\A)$ telle que 
$$\Qr (x\Ir_n - (\varphi(a_{ij}))) = \mathrm{det} (x\Ir_n - (\varphi(a_{ij}))) \Ir_n$$ et l'\'el\'ement $\mathrm{det} (x\Ir_n - (\varphi(a_{ij})))$ de $\B$ annule donc le $\A$-module $\C$. On en d\'eduit $\mathrm{det} (x\Ir_n - (\varphi(a_{ij}))) = 0$ car $1 \in \C$ et il suffit de d\'evelopper ce d\'eterminant pour obtenir une relation de d\'ependance int\'egrale de $x$ sur $\A$.

\vspace{0.1cm} 2) Soient $x, y$ deux \'el\'ements de $\B$ entiers sur $\A$. La sous-$\A$-alg\`ebre $\A[x,y]$ de $\B$ engendr\'ee par $x$ et $y$ est un $\A$-module de type fini (si $x$ et $y$ sont annul\'es par des polyn\^omes unitaires de $\A[\T]$ de degr\'es respectifs $n$ et $m$, $\A[x,y]$ est engendr\'e en tant que $\A$-module par les $x^iy^j$, $0 \leq i \leq n-1$, $0 \leq j \leq m-1$). Comme les \'el\'ements $x+y$ et $xy$ de $\B$ appartiennent \`a $\A[x,y]$, ils sont entiers sur $\A$ en vertu du crit\`ere (iii) de la question pr\'ec\'edente.

L'ensemble $\A'$ des \'el\'ements de $\B$ entiers sur $\A$ est une sous-$\A$-alg\`ebre de $\B$ d'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede. \'Etant donn\'ee une $\B$-alg\`ebre $\C$, un \'el\'ement de $\C$ entier sur $\A$ est \emph{a fortiori} entier sur $\A'$ ; r\'eciproquement, si $x \in \C$ est entier sur $\A'$, il existe par hyptoh\`ese des \'el\'ements $a'_{n-1}, \ldots, a'_0$ de $\A'$ tels que $x^n + a'_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a'_0 = 0$ ; la sous-$\A$-alg\`ebre de $\C$ engendr\'ee par $x, a'_{n-1}, \ldots, a'_0$ est alors un $\A$-module de type fini et $x$ est donc entier sur $\A$.

\vspace{0.1cm} 3) Commen{\c c}ons par deux rappels.  \begin{itemize} \item Un \'el\'ement $r$ de $\mathbb{Q}$ est entier sur $\mathbb{Z}$ si et seulement si $r \in \mathbb{Z}$ (v\'erification : si $r^n + a_{n-1}r^{n-1} + \ldots + a_0 = 0$, \'ecrire $r$ sous la forme $a/b$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z} - \{0\}$ premiers entre eux et observer que multiplier la relation pr\'ec\'edente par $b^n$ permet d'obtenir que $b$ divise $a^n$, ce qui n'est possible que si $b = \pm 1$ puisque $a$ et $b$ sont premiers entre eux). 
\item  Soit $\D$ un entier naturel non nul sans facteur carr\'e. Si l'on d\'esigne par $\sqrt{\D}$ l'image de $\T$ dans l'anneau quotient $\K = \mathbb{Q}[\T]/(\T^2 - \D)$, il d\'ecoule directement de la division euclidienne que ce dernier est isomorphe \`a l'espace vectoriel $\mathbb{Q} \oplus \mathbb{Q}\sqrt{\D}$ muni de la structure d'anneau d\'efinie par $$(a+b\sqrt{\D})(a'+b'\sqrt{\D}) = (aa'+bb'\D) + (ab'+a'b)\sqrt{\D} \ ;$$ il s'agit d'un corps puisque $\D$ n'est pas un carr\'e dans $\mathbb{Q}$.\end{itemize}

Soit $\mathcal{O}_{\K}$ le sous-anneau de $\K$ constitu\'e des \'el\'ements entiers sur $\mathbb{Z}$ (c'est la \emph{fermeture int\'egrale} de $\mathbb{Z}$ dans $\K$). Il est manifeste que $\mathcal{O}_{\K}$ contient $\sqrt{\D}$ et donc l'anneau $\mathbb{Z}[\sqrt{\D}] = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\sqrt{\D}$ ; en outre, si $\D \equiv 1 \ \mathrm{mod} \ 4$, $\frac{\sqrt{\D}+1}{2}$ est \'egalement entier sur $\mathbb{Z}$ puisqu'il est annul\'e par le polyn\^ome unitaire $$\T^2 - \T + \frac{1 - \D}{4}$$ de $\mathbb{Z}[\T]$ et $\mathcal{O}_{\K}$ contient donc $\mathbb{Z}[\frac{\sqrt{\D}+1}{2}]$.

\vspace{0.1cm} Soit r\'eciproquement $x = a+b\sqrt{\D}$ un \'el\'ement de $\K$ entier sur $\mathbb{Z}$. 

Si $b=0$, $x = a$ est un \'el\'ement de $\mathbb{Q}$ entier sur $\mathbb{Z}$ et donc $x \in \mathbb{Z}$.

Si $b \neq 0$, le polyn\^ome $$(\T - (a+b\sqrt{\D}))(\T - (a-b\sqrt{\D})) = \T^2 - 2a \T + (a^2 - b^2\D)$$ est irr\'eductible sur $\mathbb{Q}$ et divise donc tout polyn\^ome de $\mathbb{Q}[\T]$ annulant $a+b\sqrt{\D}$. Il en d\'ecoule qu'un polyn\^ome unitaire dans $\mathbb{Z}[\T]$ annulant $a+b\sqrt{\D}$ annule \'egalement $a-b\sqrt{\D}$ et donc $a-b\sqrt{\D} \in \mathcal{O}_{\K}$. Nous en d\'eduisons que les nombres rationnels $$2a = (a+b\sqrt{\D}) + (a - b\sqrt{\D}) \ \ \textrm{et} \ \ a^2 - b^2\D = (a+b\sqrt{\D})(a-b\sqrt{\D})$$ sont entiers sur $\mathbb{Z}$ et donc sont des entiers.

Les conditions $2a \in \mathbb{Z}$ et $a^2 - b^2\D \in \mathbb{Z}$ impliquent imm\'ediatement $(2b)^2\D \in \mathbb{Z}$ ; comme il est sans facteur carr\'e, $\D$ ne peut compenser les facteurs premiers du d\'enominateurs de $2b$ et donc $2b \in \mathbb{Z}$. Si l'entier $2b$ est pair, $b \in \mathbb{Z}$ ; cela entra\^{\i}ne $a^2 \in \mathbb{Z}$ et donc $a \in \mathbb{Z}$, de sorte que $x \in \mathbb{Z}[\sqrt{\D}]$.

Si l'entier $2b$ est impair, $(2b)^2$ est congru \`a $1$ modulo $4$ et $\D \equiv (2a)^2$ est donc un carr\'e modulo $4$, ce qui implique $\D \equiv 0 \ \mathrm{mod} \ 4$ ou $\D \equiv 1 \ \mathrm{mod} \ 4$. Comme $4$ ne divise pas $\D$, $\D \equiv 1 \ \mathrm{mod} \ 4$ et $$a+b\sqrt{\D} = (a-b) + (2b)\frac{1+\sqrt{\D}}{2} \in \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{D}}{2}\right]$$ car la condition $(2a)^2 \equiv 1 \ \mathrm{mod} \ 4$ implique $2a \equiv 1, \ 3 \ \mathrm{mod} \ 4$ et donc $2a - 2b \equiv 0 \ \mathrm{mod} \ 2$.
  
\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 3} --- Soient $\A$ un anneau et $\B$ une $\A$-alg\`ebre enti\`ere ; on note $\varphi : \A \rightarrow \B$ l'homomorphisme structural.

\vspace{0.1cm} 1) On suppose $\A$ et $\B$ int\`egres, $\varphi$ injectif et on identifie $\A$ avec $\varphi(\A)$.

Si $\A$ est un corps, $\B$ est un corps : tout \'el\'ement $x$ de $\B$ v\'erifie par hypoth\`ese une relation de la forme $$x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_0 = 0$$ avec $a_i \in \A$ ; si $x$ est non nul, l'int\'egrit\'e de $\B$ implique l'existence de $p \in \{0, \ldots, n-1\}$ tel que $a_p \neq 0$ et $x(x^{n-p-1} + a_{n-1}x^{n-p-2} + \ldots + a_{p+1}) = - a_p$ ; $\A$ \'etant un corps, $a_{p}$ est inversible et il en est de m\^eme de $x$.

Si $\B$ est un corps, $\A$ est un corps : tout \'el\'ement non nul $a$ de $\A$ est inversible dans $\B$ et il existe une relation $$(a^{-1})^n + a_{n-1}(a^{-1})^{n-1} + \ldots + a_0 = 0$$ avec $a_i \in \A$ ; en multipliant cette derni\`ere par $a^{n-1}$, on obtient $a^{-1} \in \A$.

\vspace{0.1cm} 2) Soient $\mathfrak{p}$ et $\mathfrak{q}$ deux id\'eaux premiers de $\A$ tels que $\mathfrak{p} \subset \mathfrak{q}$ ; on suppose qu'il existe un id\'eal premier $\mathfrak{p}'$ de $\B$ tel que $^{a}\varphi(\mathfrak{p}') = \mathfrak{p}$ et il s'agit de prouver qu'il existe un id\'eal premier $\mathfrak{q}'$ de $\B$ tel que $^{a}\varphi(\mathfrak{q}') = \mathfrak{q}$. 

On v\'erifie imm\'ediatement que l'anneau $\B_{\mathfrak{q}}$ est entier sur l'anneau $\A_{\mathfrak{q}}$ et, le spectre de l'anneau $\B_{\mathfrak{q}}$ s'identifiant \`a l'ensemble des id\'eaux premiers $\mathfrak{q}'$ de $\B$ tels que $^{a}\varphi(\mathfrak{q}') \subset \mathfrak{q}$, il est loisible de supposer que l'anneau $\A$ est local, d'id\'eal maximal $\mathfrak{q}$ ; c'est ce que nous faisons. 

L'homomorphisme structural $\varphi : \A \rightarrow \B$ induit un homomorphisme injectif $\A/\mathfrak{p} \rightarrow \B/\mathfrak{p}'$ faisant de $\B/\mathfrak{p}'$ une alg\`ebre enti\`ere sur $\A/\mathfrak{p}$ (la v\'erification est imm\'ediate). L'anneau local $\A/\mathfrak{p}$ n'est par hypoth\`ese pas un corps ; en vertu de la question pr\'ec\'edente, $\B/\mathfrak{p}'$ n'en est pas un non plus et il existe donc un id\'eal premier $\mathfrak{q}'$ de $\B$ contenant $\mathfrak{p}'$ et tel que $^{a}\varphi(\mathfrak{q}') \subset \mathfrak{q}$.

La conclusion d\'ecoule maintenant d'une application du lemme de Zorn. L'ensemble des id\'eaux premiers $\mathfrak{b}$ de $\B$ tels que $\mathfrak{p} \subset ^{a}\varphi(\mathfrak{b}) \subset \mathfrak{q}$ est non vide et inductif : la r\'eunion d'une famille strictement ordonn\'ee de tels id\'eaux satisfait encore \`a cette condition ; cet ensemble admet donc un \'el\'ement maximal $\mathfrak{b}$ et on d\'eduit de la discussion qui pr\'ec\`ede que n\'ecessairement $^{a}\varphi(\mathfrak{b}) = \mathfrak{q}$.

\vspace{0.1cm} 3) Prouvons enfin que l'image de l'application $^{a}\varphi : \mathrm{Spec}(\B) \rightarrow \mathrm{Spec}(\A)$ est une partie ferm\'ee de $\mathrm{Spec}(\A)$ et qu'il s'agit de tout $\mathrm{Spec}(\A)$ lorsque $\varphi$ est injectif.

Traitons pour commencer le cas d'un morphisme structural $\varphi$ injectif. Il n'y a rien \`a d\'emontrer lorsque $\A = 0$ car alors $0=1$ dans $\B$, donc $\B = 0$ et les deux ensembles $\mathrm{Spec}(\A)$, $\mathrm{Spec}(\B)$ sont vides ; nous supposons $\A \neq 0$ dans ce qui suit. Quel que soit l'id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$, l'anneau est non nul $\A_{\mathfrak{p}}$ et se plonge dans l'anneau $\B_{\mathfrak{p}}$ ; ce dernier est donc \'egalement non nul et poss\`ede ainsi un id\'eal premier, ce qui fournit un id\'eal premier $\mathfrak{p}'$ de $\B$ tel que $^{a}\varphi(\mathfrak{p}') \subset \mathfrak{p}$. En particulier, nous obtenons ainsi que la fibre de l'application $^{a}\varphi$ est non vide au-dessus de tout id\'eal premier \emph{minimal} de $\A$, et il d\'ecoule alors de la question pr\'ec\'edente qu'elle est non vide au-dessus de \emph{tout} point de $\mathrm{Spec}(\A)$ puisque tout id\'eal premier de $\A$ contient un id\'eal premier minimal.

Passons maintenant au cas g\'en\'eral. D\'esignant par $\mathfrak{a}$ le noyau de $\varphi$, il est imm\'ediat de v\'erifier que $\B$ est une alg\`ebre enti\`ere sur $\A/\mathfrak{a}$ et, la projection canonique $p : \A \rightarrow \A/\mathfrak{a}$ induisant un hom\'eomorphisme de $\mathrm{Spec}(\A/\mathfrak{a})$ sur le ferm\'e $\V(\mathfrak{a})$ de $\mathrm{Spec}(\A)$, on tire du diagramme commutatif  $$\xymatrix{& \mathrm{Spec}(\B) \ar@{->}[ld] \ar@{->}[d]^{^{a}\varphi} \\ \mathrm{Spec}(\A/\mathfrak{a}) \ar@{->}[r]^{{^a}p} & \mathrm{Spec}(\A)}$$ que l'application $^{a}\varphi$ envoie $\mathrm{Spec}(\B)$ sur $\V(\mathfrak{a})$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 4} --- L'assertion (i) revient \`a dire que l'anneau $\B^{\G}$ est une $\A$-alg\`ebre de type fini et, si tel est le cas, l'assertion (ii) d\'ecoule directement du th\'eor\`eme de stabilit\'e de Hibert : toute alg\`ebre de type fini sur un anneau noeth\'erien est un anneau noeth\'erien.

\vspace{0.1cm} L'anneau $\B$ est entier sur la $\A$-alg\`ebre $\B^{\G}$ des \'el\'ements de $\B$ invariants sous $\G$ : quel que soit en effet $b \in \B$, le polyn\^ome $\prod_{g \in \G}(\T - g(b))$ est unitaire, annule $\B$ et est \`a coefficients dans $\B^{\G}$ puisqu'il est manifestement invariant sous l'action de $\G$ ; comme ce polyn\^ome annule $b$, $b$ est entier sur $\B^{\G}$. Soient $x_1, \ldots, x_n$ des g\'en\'erateurs de $\B$ comme $\A$-alg\`ebre ; notant $\B_0$ la sous-$\A$-alg\`ebre de $\B^{\G}$ engendr\'ee par les coefficients de polyn\^omes unitaires annulant $x_1, \ldots, x_n$, il est imm\'ediat que $\B$ est un module de type fini sur $\B_0$. L'anneau $\A$ \'etant noeth\'erien, il en est de m\^eme de la $\A$-alg\`ebre de type fini $\B_0$ en vertu du th\'eor\`eme de Hilbert et tout sous-$\B_0$-module de $\B$ est donc de type fini ; comme $\B_0 \subset \B^{\G}$, cela s'applique en particulier \`a $\B^{\G}$ et cet anneau est donc finalement une alg\`ebre de type fini sur $\A$, engendr\'ee par des g\'en\'erateurs de la $\A$-alg\`ebre $\B_0$ et un nombre fini de g\'en\'erateurs de $\B^{\G}$ en tant que $\B_0$-module.

\end{document} 