Algèbre approfondie - Automne 2007 ENS-Lyon

Algèbre multilinéaire I

Exercice 1 — 1) Démontrer que l’homomorphisme d’anneaux canonique ℤ → ℤ/nℤ⊗_{ℤ} ℤ/mℤ induit un isomorphisme de ℤ/pgcd(m,n)ℤ sur ℤ/nℤ ⊗_{ℤ} ℤ/mℤ.

2) Démontrer que l’homomorphisme d’anneaux canonique ℚ → ℚ ⊗_{ℤ} ℚ est un isomorphisme.

3) Déterminer la structure de ℂ-algèbre de l’anneau ℂ ⊗_{ℝ} ℂ.

4) Soient A un anneau et I,J deux ensembles. Démontrer que l’on dispose d’un isomorphisme canonique de A-algèbres

A[(T_{i})_{i∈I}] ⊗_{A}A[(T_{j})_{j∈J}] ˜→ A[(T_{ij})_{(i,j)∈I∪J} ].

(Indication : utiliser la propriété universelle caractérisant un anneau de polyômes.)

Exercice 2 — Soient A un anneau et M un A-module.

1) Étant donné un idéal ℑ de A, démontrer que l’homomorphisme canonique M → M ⊗_{A} A/ℑ induit un isomorphisme M/ℑM ˜→ M ⊗_{A}A/ℑ.

2) Étant donnée une partie multiplicative S dans A, démontrer que l’homomorphisme canonique M → M⊗_{A}S^{−1} A induit un isomorphisme S^{−1} M ˜→ M⊗_{A}S^{−1} A (voir le premier exercice de la fiche 2 pour la définition de S^{−1} M).

3) Supposons que l’anneau A soit intègre, de corps des fractions K. En guise d’application du résultat précédent, démontrer que le noyau de l’homomorphisme canonique M → M ⊗_{A} K est le sous-module de torsion T(M) de M :

T(M) = {x ∈ M | ∃ a ∈ A − {0}, ax = 0}.

Exercice 3 — 1) Soient k un corps et M,N deux k-modules. Démontrer l’équivalence

(M ⊗_{k}N = 0) ⟺ (M = 0 ou N = 0).

2) Soient A un anneau local et M,N deux A-modules de type fini. Démontrer l’équivalence

(M ⊗_{k}N = 0) ⟺ (M = 0 ou N = 0).

(Indication : se ramener à la situation de la question précédente et conclure en appliquant le lemme de Nakayama.)

3) Soit A un anneau.

(i) Étant donnés des corps K′, K′′et des homomorphismes φ′: A → K′, φ′′: A → K′′tels que Ker(φ′) = Ker(φ′′), démontrer qu’il existe un corps K et des homomorphismes K′→ K, K′′→ K donnant naissance à un diagramme commutatif

\xymatrix{ & K′ \ar[dr] \\ A \ar[ur]^{φ′} \ar[dr]_{φ′′} &  & K \\  & K′′ \ar[ur]}

(Indication : considérer l’anneau K′⊗_{A}K′′et utiliser la question 1).

Soit Σ(A) l’ensemble des homomorphismes de l’anneau A dans un corps (variable). Vérifier que l’on définit une relation d’équivalence sur Σ(A) en convenant que deux homomorphismes φ′, φ′′∈ Σ(A) sont équivalents s’il existe φ ∈ Σ(A) se factorisant à travers φ′et φ′′puis prouver que l’application φ ↦ Ker(φ) induit une bijection de l’ensemble quotient Σ(A)/ ∼ sur Spec(A).

Exercice 4 (Platitude) — Soit A un anneau. Un A-module M est dit plat si le foncteur . ⊗_{A}M est exact, c’est-à-dire si pour toute suite exacte courte de A-modules

\xymatrix{0 \ar[r] & N′ \ar[r] & N \ar[r] & N′′ \ar[r] & 0,}

la suite de A-modules

\xymatrix{0 \ar[r] & N′⊗_{A}M \ar[r] & N ⊗_{A}M \ar[r] & N′′⊗_{A}M \ar[r] & 0}

est exacte.

1) Démontrer qu’un A-module M est plat si et seulement si, pour tous A-modules N, N′ et tout homomorphisme injectif α : N′→ N, l’homomorphisme α ⊗ id_{M} : N′⊗_{A}M → N ⊗_{A}M est injectif.

2) Démontrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes pour tout A-module M :

– M est plat ;

– quel que soit l’idéal de type fini 𝔞 de A, l’homomorphisme canonique 𝔞 ⊗_{A}M → M est injectif ;

– quels que soient le A-module N de type fini et l’élément x de N, l’injection canonique i: Ax → N

induit un homomorphisme injectif i ⊗ id_{M} : (Ax) ⊗_{A}M → N ⊗_{A}M. (Indication : pour établir que la deuxième assertion implique la troisième, raisonner par récurrence sur le nombre de générateurs de N et observer que le cas d’un A-module monogène, c’est-à-dire engendré par un élément, découle directement de la deuxième assertion.)

2) Vérifier qu’un A-module libre est plat et démontrer que, si l’anneau A est principal, un Amodule de type fini est plat si et seulement s’il est libre. (Indication : si A est principal et M est sans torsion, démontrer que l’homomorphisme canonique 𝔞 ⊗_{A}M → M est injectif pour tout idéal 𝔞 de A puis en déduire que M est plat.)

3) Si l’anneau A est local et noethérien, un A-module M est plat si et seulement s’il est libre. On note 𝔪 l’idéal maximal de A et k le corps A/𝔪.

(i) Démontrer qu’il existe une suite exacte de A-modules

\xymatrix{0 \ar[r] & R \ar[r] & L \ar[r] & M \ar[r] & 0}

avec L libre de rang dim_{k}(M ⊗_{A}k) et R de type fini. (Indication : utiliser le lemme de Nakayama.)

(ii) Nous supposons maintenant que M est un A-module plat. En considérant le diagramme commutatif

\xymatrix{ & 𝔪 ⊗_{A}R \ar[r] \ar[d] & R \ar[r] \ar[d] & R ⊗_{A}k \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & 𝔪 ⊗_{A}L \ar[r] \ar[d] & L \ar[r] \ar[d] & L ⊗_{A}k \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & 𝔪 ⊗_{A}M \ar[r] \ar[d] & M \ar[r] \ar[d] & M ⊗_{A}k \ar[r] \ar[d] & 0 \\  & 0 & 0 & 0}

dont les lignes sont exactes en vertu de la platitude de M et L, démontrer que la suite

\xymatrix{0 \ar[r] & R ⊗_{A}k \ar[r] & L ⊗_{A}k \ar[r] & M ⊗_{A}k \ar[r] & 0}

est exacte.

(iii) Conclure que l’homomorphisme L → M est un isomorphisme.

(iv) On suppose en outre que l’anneau local A est intègre, de corps des fractions K. Démontrer qu’un A-module de type fini M est plat si et seulement si

dim_{K}(M ⊗_{A}K) = dim_{k}(M ⊗_{A}k).

Exercice 5 (Platitude, suite) — 1) Soient (A,𝔪), (B,𝔫) deux anneaux locaux et φ : A → B un homomorphisme tel que φ^{−1} (𝔫) = 𝔪 (on dit que φ est local). On suppose que φ fait de B une A-algèbre plate et on va prouver que l’application^{a}φ : Spec(B) → Spec(A) est surjective.

Soit 𝔭 un idéal premier de A.

(i) Justifier que l’anneau B/𝔭B est non nul.

(ii) En déduire que l’anneau B ⊗_{A}κ(𝔭) est non nul, puis qu’il existe un idéal premier 𝔮 de B tel que^{a}φ(𝔮) = 𝔭.

2) Soient A un anneau et B une A-algèbre plate. Démontrer que l’application f =^{a} φ : Spec(B) → Spec(A) associée à l’homomorphisme structural φ : A → B satisfait à la condition suivante : étant donnés un point x ∈ Spec(B) et un point z ∈ Spec(A) tel que f(y) ∈ \overline{\{z\}}, il existe un point z′∈ Spec(B) tel que x ∈ \overline{\{z′\}}et f(z′) = z.

Remarque : le point z (resp. z′) est une générisation du point y dans Spec(A) (resp. du point x dans Spec(B)) et le résultat que l’on vient d’établir peut donc s’énoncer sous la forme suivante : si un homomorphisme d’anneaux φ : A → B fait de B une A-algèbre plate, l’image de l’application associée ^{a}φ : Spec(B) → Spec(A) est stable par générisation. Les parties ouvertes de Spec(A) sont bien évidemment stables par générisation et on pourrait démontrer avec un peu plus de travail le théorème important suivant ^{(1)} : si A est un anneau noethérien et φ : A → B est un homomorphisme d’anneaux faisant de B une A-algèbre de type fini et plate, l’application associée ^{a}φ : Spec(B) → Spec(A) est ouverte. C’est là une illustration du rôle fondamental que joue le concept de platitude en Géométrie algébrique.

(1)Voir par exemple M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Chapitre 7, exercice 25