\documentclass[11pt, francais]{smfart}
\usepackage{amsfonts, amssymb, amsmath, latexsym}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{textcomp}


\input xy
\xyoption{all}

\newcommand{\A}{\mathrm{A}}
\newcommand{\M}{\mathrm{M}}
\newcommand{\X}{\mathrm{X}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\Y}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\I}{\mathrm{I}}
\newcommand{\K}{\mathrm{K}}
\newcommand{\Zb}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Ir}{\mathrm{I}}
\newcommand{\J}{\mathrm{J}}
\newcommand{\T}{\mathrm{T}}
\newcommand{\N}{\mathrm{N}}
\newcommand{\Sr}{\mathrm{S}}
\newcommand{\B}{\mathrm{B}}
\newcommand{\V}{\mathrm{V}}
\newcommand{\Qb}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\R}{\mathrm{R}}
\newcommand{\F}{\mathrm{F}}
\newcommand{\G}{\mathrm{G}}
\newcommand{\C}{\mathrm{C}}
\newcommand{\U}{\mathrm{U}}
\newcommand{\Lr}{\mathrm{L}}
\newcommand{\Kr}{\mathrm{K}}

\addtolength{\hoffset}{-13mm}
%\addtolength{\voffset}{-5mm}
\addtolength{\topmargin}{-25mm} \addtolength{\headsep}{5mm}
\addtolength{\textwidth}{25mm} \addtolength{\textheight}{40mm}

\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre approfondie - Automne 2007} \hfill \textbf{ENS-Lyon}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
{\bfseries \scshape Alg\`ebre multilin\'eaire I}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\noindent \textbf{Exercice 1} --- 1) D\'emontrer que l'homomorphisme d'anneaux canonique $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ induit un isomorphisme de $\mathbb{Z}/\mathrm{pgcd}(m,n) \mathbb{Z}$ sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$.

\vspace{0.1cm}
2) D\'emontrer que l'homomorphisme d'anneaux canonique $\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$ est un isomorphisme.

\vspace{0.1cm}
3) D\'eterminer la structure de $\mathbb{C}$-alg\`ebre de l'anneau $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$.

\vspace{0.1cm}
4) Soient $\A$ un anneau et $\Ir, \J$ deux ensembles. D\'emontrer que l'on dispose d'un isomorphisme canonique de $\A$-alg\`ebres $$\A[(\T_i)_{i \in \Ir}] \otimes_{\A} \A[(\T_{j})_{j \in \J}] \tilde{\rightarrow} \A[(\T_{ij})_{(i,j) \in \I \cup \J}].$$ (\emph{Indication} : utiliser la propri\'et\'e universelle caract\'erisant un anneau de poly\^omes.)

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Exercice 2} --- Soient $\A$ un anneau et $\M$ un $\A$-module.

\vspace{0.1cm}
1) \'Etant donn\'e un id\'eal $\mathfrak{I}$ de $\A$, d\'emontrer que l'homomorphisme canonique $\M \rightarrow \M \otimes_{\A} \A/\mathfrak{I}$ induit un isomorphisme $\M/\mathfrak{I}M \tilde{\rightarrow} \M \otimes_{\A} \A/\mathfrak{I}$.

\vspace{0.1cm}
2) \'Etant donn\'ee une partie multiplicative $\Sr$ dans $\A$, d\'emontrer que l'homomorphisme canonique $\M \rightarrow \M \otimes_{\A} \Sr^{-1}\A$ induit un isomorphisme $\Sr^{-1}\M \tilde{\rightarrow} \M \otimes_{\A} \Sr^{-1}\A$ (voir le premier exercice de la fiche 2 pour la d\'efinition de $\Sr^{-1}\M$).

\vspace{0.1cm}
3) Supposons que l'anneau $\A$ soit int\`egre, de corps des fractions $\Kr$. En guise d'application du r\'esultat pr\'ec\'edent, d\'emontrer que le noyau de l'homomorphisme canonique $\M \rightarrow \M \otimes_{\A} \K$ est le sous-module de torsion $\T(\M)$ de $\M$ :
$$\T(\M) = \{x \in \M \ | \ \exists \ a \in \A - \{0\}, \ ax = 0\}.$$

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Exercice 3} --- 1) Soient $k$ un corps et $\M, \N$ deux $k$-modules. D\'emontrer l'\'equivalence
$$(\M \otimes_k \N = 0) \Longleftrightarrow (\M = 0 \ \textrm{ ou } \ \N =0).$$

\vspace{0.1cm} 2) Soient $\A$ un anneau local et $\M, \N$ deux $\A$-modules de type fini. D\'emontrer l'\'equivalence
$$(\M \otimes_k \N = 0) \Longleftrightarrow (\M = 0 \ \textrm{ ou } \ \N =0).$$
(\emph{Indication} : se ramener \`a la situation de la question pr\'ec\'edente et conclure en appliquant le lemme de Nakayama.)

\vspace{0.1cm} 3) Soit $\A$ un anneau.

\indent (i) \'Etant donn\'es des corps $\Kr'$, $\Kr''$ et des homomorphismes $\varphi' : \A \rightarrow \Kr'$, $\varphi'' : \A \rightarrow \Kr''$ tels que $\mathrm{Ker}(\varphi') = \mathrm{Ker}(\varphi'')$, d\'emontrer qu'il existe un corps $\Kr$ et des homomorphismes $\Kr' \rightarrow \Kr$, $\Kr'' \rightarrow \Kr$ donnant naissance \`a un diagramme commutatif $$\xymatrix{& \Kr' \ar@{->}[rd] & \\ \A \ar@{->}[ru]^{\varphi'} \ar@{->}[rd]_{\varphi''} & & \Kr \\ & \Kr'' \ar@{->}[ru] & }$$ (\emph{Indication} : consid\'erer l'anneau $\K' \otimes_{\A} \K''$ et utiliser la question 1).

Soit $\Sigma(\A)$ l'ensemble des homomorphismes de l'anneau $\A$ dans un corps (variable). V\'erifier que l'on d\'efinit une relation d'\'equivalence sur $\Sigma(\A)$ en convenant que deux homomorphismes $\varphi', \ \varphi'' \in \Sigma(\A)$ sont \'equivalents s'il existe $\varphi \in \Sigma(\A)$ se factorisant \`a travers $\varphi'$ et $\varphi''$ puis prouver que l'application $\varphi \mapsto \mathrm{Ker}(\varphi)$ induit une bijection de l'ensemble quotient $\Sigma(\A)/\sim$ sur $\mathrm{Spec}(\A)$.

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Exercice 4} (\emph{Platitude}) --- Soit $\A$ un anneau. Un $\A$-module $\M$ est dit \emph{plat} si le foncteur $. \otimes_{\A} \M$ est exact, c'est-\`a-dire si pour toute suite exacte courte de $\A$-modules $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & \N' \ar@{->}[r] & \N \ar@{->}[r] & \N'' \ar@{->}[r] & 0,}$$ la suite de $\A$-modules $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & \N' \otimes_{\A} \M \ar@{->}[r] & \N \otimes_{\A} \M \ar@{->}[r] & \N'' \otimes_{\A} \M \ar@{->}[r] & 0}$$ est exacte.

\vspace{0.1cm} 1) D\'emontrer qu'un $\A$-module $\M$ est plat si et seulement si, pour tous $\A$-modules $\N, \ \N'$ et tout homomorphisme injectif $\alpha : \N' \rightarrow \N$, l'homomorphisme $\alpha \otimes \mathrm{id}_{\M} : \N' \otimes_{\A} \M \rightarrow \N \otimes_{\A} \M$ est injectif.

\vspace{0.1cm} 2) D\'emontrer que les trois conditions suivantes sont \'equivalentes pour tout $\A$-module $\M$ :
\begin{itemize}
\item $\M$ est plat ;
\item quel que soit l'id\'eal de type fini $\mathfrak{a}$ de $\A$, l'homomorphisme canonique $\mathfrak{a} \otimes_{\A} \M \rightarrow \M$ est injectif ;
\item quels que soient le $\A$-module $\N$ de type fini et l'\'el\'ement $x$ de $\N$, l'injection canonique $i : \A x \rightarrow \N$ induit un homomorphisme injectif $i \otimes \mathrm{id}_{\M} : (\A x) \otimes_{\A} \M \rightarrow \N \otimes_{\A} \M$.
\end{itemize}
(\emph{Indication} : pour \'etablir que la deuxi\`eme assertion implique la troisi\`eme, raisonner par r\'ecurrence sur le nombre de g\'en\'erateurs de $\N$ et observer que le cas d'un $\A$-module monog\`ene, c'est-\`a-dire engendr\'e par un \'el\'ement, d\'ecoule directement de la deuxi\`eme assertion.)

\vspace{0.1cm} 2) V\'erifier qu'un $\A$-module libre est plat et d\'emontrer que, si l'anneau $\A$ est principal, un $\A$-module de type fini est plat si et seulement s'il est libre. (\emph{Indication} : si $\A$ est principal et $\M$ est sans torsion, d\'emontrer que l'homomorphisme canonique $\mathfrak{a} \otimes_{\A} \M \rightarrow \M$ est injectif pour tout id\'eal $\mathfrak{a}$ de $\A$ puis en d\'eduire que $\M$ est plat.)

\vspace{0.1cm} 3) Si l'anneau $\A$ est local et noeth\'erien, un $\A$-module $\M$ est plat si et seulement s'il est libre. On note $\mathfrak{m}$ l'id\'eal maximal de $\A$ et $k$ le corps $\A/\mathfrak{m}$.

\indent (i) D\'emontrer qu'il existe une suite exacte de $\A$-modules $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & \R \ar@{->}[r] & \Lr \ar@{->}[r] & \M \ar@{->}[r] & 0}$$  avec $\Lr$ libre de rang $\mathrm{dim}_{k} (\M \otimes_{\A} k)$ et $\R$ de type fini. (\emph{Indication} : utiliser le lemme de Nakayama.)

\indent (ii) Nous supposons maintenant que $\M$ est un $\A$-module plat. En consid\'erant le diagramme commutatif $$\xymatrix{ & \mathfrak{m} \otimes_{\A} \R \ar@{->}[r] \ar@{->}[d] & \R \ar@{->}[r] \ar@{->}[d] & \R \otimes_{\A} k \ar@{->}[r] \ar@{->}[d] & 0 \\ 0 \ar@{->}[r] & \mathfrak{m} \otimes_{\A} \Lr \ar@{->}[r] \ar@{->}[d] & \Lr \ar@{->}[r] \ar@{->}[d] & \Lr \otimes_{\A} k \ar@{->}[r] \ar@{->}[d] & 0 \\ 0 \ar@{->}[r] & \mathfrak{m} \otimes_{\A} \M \ar@{->}[r] \ar@{->}[d] & \M \ar@{->}[r] \ar@{->}[d] & \M \otimes_{\A} k \ar@{->}[r] \ar@{->}[d] & 0 \\ & 0 & 0 & 0 &}$$ dont les lignes sont exactes en vertu de la platitude de $\M$ et $\Lr$, d\'emontrer que la suite 
$$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & \R \otimes_{\A} k \ar@{->}[r] & \Lr \otimes_{\A} k \ar@{->}[r] & \M \otimes_{\A} k \ar@{->}[r] & 0}$$ est exacte.

\indent (iii) Conclure que l'homomorphisme $\Lr \rightarrow \M$ est un isomorphisme.

\indent (iv) On suppose en outre que l'anneau local $\A$ est int\`egre, de corps des fractions $\K$. D\'emontrer qu'un $\A$-module de type fini $\M$ est plat si et seulement si $$\operatorname{dim}_{\K}(\M \otimes_{\A} \K) = \operatorname{dim}_{k}(\M \otimes_{\A} k).$$

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Exercice 5} (\emph{Platitude, suite}) --- 1) Soient $(\A, \mathfrak{m})$, $(\B, \mathfrak{n})$ deux anneaux locaux et $\varphi : \A \rightarrow \B$ un homomorphisme tel que $\varphi^{-1}(\mathfrak{n}) = \mathfrak{m}$ (on dit que $\varphi$ est \emph{local}). On suppose que $\varphi$ fait de $\B$ une $\A$-alg\`ebre plate et on va prouver que l'application $^{a} \varphi : \mathrm{Spec}(\B) \rightarrow \mathrm{Spec}(\A)$ est surjective.

Soit $\mathfrak{p}$ un id\'eal premier de $\A$. \\
\indent (i) Justifier que l'anneau $\B/\mathfrak{p}\B$ est non nul.

\indent (ii) En d\'eduire que l'anneau $\B \otimes_{\A} \kappa(\mathfrak{p})$ est non nul, puis qu'il existe un id\'eal premier $\mathfrak{q}$ de $\B$ tel que $^{a}\varphi(\mathfrak{q}) = \mathfrak{p}$.

\vspace{0.1cm} 2) Soient $\A$ un anneau et $\B$ une $\A$-alg\`ebre plate. D\'emontrer que l'application $f =  ^{a}\varphi : \mathrm{Spec}(\B) \rightarrow \mathrm{Spec}(\A)$ associ\'ee \`a l'homomorphisme structural $\varphi : \A \rightarrow \B$ satisfait \`a la condition suivante : \'etant donn\'es un point $x \in \mathrm{Spec}(\B)$ et un point $z \in \mathrm{Spec}(\A)$ tel que $f(y) \in \overline{\{z\}}$, il existe un point $z' \in \mathrm{Spec}(\B)$ tel que $x \in \overline{\{z'\}}$ et $f(z')=z$.

\vspace{0.3cm} \emph{Remarque} : \emph{le point $z$ (resp. $z'$) est une \emph{g\'en\'erisation} du point $y$ dans $\mathrm{Spec}(\A)$ (resp. du point $x$ dans $\mathrm{Spec}(\B)$) et le r\'esultat que l'on vient d'\'etablir peut donc s'\'enoncer sous la forme suivante : si un homomorphisme d'anneaux $\varphi : \A \rightarrow \B$ fait de $\B$ une $\A$-alg\`ebre plate, l'image de l'application associ\'ee $^{a} \varphi : \mathrm{Spec}(\B) \rightarrow \mathrm{Spec}(\A)$ est stable par g\'en\'erisation. Les parties ouvertes de $\mathrm{Spec}(\A)$ sont bien \'evidemment stables par g\'en\'erisation et on pourrait d\'emontrer avec un peu plus de travail le th\'eor\`eme important suivant \footnote{Voir par exemple M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, \emph{Introduction to Commutative Algebra}, Chapitre 7, exercice 25} : \emph{si $\A$ est un anneau noeth\'erien et $\varphi : \A \rightarrow \B$ est un homomorphisme d'anneaux faisant de $\B$ une $\A$-alg\`ebre de type fini et plate, l'application associ\'ee $^{a} \varphi : \mathrm{Spec}(\B) \rightarrow \mathrm{Spec}(\A)$ est \emph{ouverte}}. C'est l\`a une illustration du r\^ole fondamental que joue le concept de platitude en G\'eom\'etrie alg\'ebrique.}

\newpage
\thispagestyle{empty}

\end{document} 