Algèbre approfondie - Automne 2007 ENS-Lyon

Algèbre multilinéaire I : corrigé

Exercice 1 — 1) Soit d le pgcd des entiers n et m. Le produit induit une application bilinéaire

ℤ/nℤ × ℤ/mℤ → ℤ/dℤ, (x modn,y modm) ↦ xy modd

se factorisant à travers la projection canonique ℤ/nℤ × ℤ/mℤ → ℤ/nℤ ⊗_{ℤ} ℤ/mℤ en une application linéaire α : ℤ/nℤ ⊗_{ℤ} ℤ/mℤ → ℤ/dℤ qui est manifestement un homomorphisme d’anneaux.

Quel que soit ℤ-module M, l’application

{m ∈ M | dm = 0} = Hom_{ℤ}(ℤ/dℤ,M) → Hom_{ℤ}(ℤ/nℤ ⊗_{ℤ} ℤ/mℤ,M) = Bil_{ℤ}(ℤ/nℤ × ℤ/mℤ,M)

induite par α associe à un élément m de M tel que dm = 0 l’application bilinéaire Φ sur ℤ/nℤ × ℤ/mℤ à valeurs dans M définie par Φ(a\overline{1},b\overline{1}) = abm. Cette application est bijective car, pour toute forme bilinéaire Φ : ℤ/nℤ × ℤ/mℤ → ℤ/dℤ → M,

– dΦ(\overline{1},\overline{1}) = (un + vm)Φ(\overline{1},\overline{1}) = uΦ(n\overline{1},\overline{1}) + vΦ(\overline{1},m\overline{1}) = 0 en écrivant d sous la forme un + vm;

– Φ(0,\overline{1}) = nΦ(\overline{1},\overline{1}) et Φ(\overline{1},0) = mΦ(\overline{1},\overline{1}). L’application ι est ainsi un isomorphisme de ℤ-modules et donc un isomorphisme d’anneaux.

2) L’homomorphisme canonique ℤ → ℚ ⊗_{ℤ} ℚ, n ↦ n(1 ⊗ 1) se prolonge à ℚ car, pour tout entier n ∈ ℤ − {0}, l’élément n(1 ⊗ 1) de ℚ ⊗_{ℤ} ℚ est inversible en vertu de l’identité

n(1 ⊗ 1)(\frac{1}{n}⊗ 1) = n(\frac{1}{n}⊗ 1) = 1 ⊗ 1.

L’application obtenue envoie r sur r ⊗ 1 et est injective puisque ℚ est un corps.

Pour établir sa surjectivité, il suffit d’observer le fait suivant : comme n(1 ⊗ 1)(1 ⊗ \frac{1}{n}) = n(1 ⊗ \frac{1}{n}) = 1 ⊗ 1, 1⊗ \frac{1}{n} = \frac{1}{n}⊗1 pour tout n ∈ ℤ−\{0\}. Les éléments de ℚ⊗_{ℤ} ℚ peuvent a priori s’écrire comme des combinaisons linéaires à coefficients entiers de tenseurs élémentaires de la forme \frac{1}{n} ⊗ \frac{1}{m}, n,m ∈ ℤ − \{0\}; vu ce que nous venons d’observer, \frac{1}{n} ⊗ \frac{1}{m} = \frac{1}{nm}⊗ 1 appartient à l’image de ℚ et l’application considérée est donc bijective.

3) Ayant fixé i ∈ ℂ une racine carrée de −1, ℂ = ℝ ⊕ ℝi et donc

ℂ ⊗_{ℝ} ℂ = (ℝ ⊕ ℝi) ⊗_{ℝ} (ℝ ⊕ ℝi)
= ℝ1 ⊗ 1 ⊕ ℝ1 ⊗ i ⊕ ℝi ⊗ 1 ⊕ ℝi ⊗ i

s’identifie à ℝ^{4} muni de la structure de ℝ-algèbre définie par

1 = (1,0,0,0),

(a,b,c,d)(a′,b′,c′,d′) = (aa′+dd′−bb′−cc′,ab′+a′b−cd′−c′d,ac′+a′c−bd′−b′d,ad′+a′d +bc′+b′c).

Variante : en écrivant ℂ sous la forme ℝ[T]/(T^{2}+ 1) (ce qui revient de nouveau à choisir une racine carrée de −1 dans ℂ), l’anneau ℂ⊗_{ℝ} ℂ est isomorphe à ℂ[T]/(T^{2}+1) via l’application envoyant z⊗z′sur z′(ℜ𝔢(z)+ ℑ𝔪(z)T).

4) Quelle que soit la A-algèbre B, Hom_{A}(A[(T_{i})_{i∈I}] ⊗_{A} A[(T_{j})_{j∈J}],B) est l’ensemble des formes Abilinéaires Φ sur A[(T_{i})_{i∈I}] × A[(T_{j})_{j∈J}] à valeurs dans B telles que Φ(1,.) et Φ(.,1) soient des homomorphismes d’anneaux. Une telle forme bilinéaire est complètement déterminée par la donnée des éléments Φ(1,T_{j}) et Φ(T_{i},1) de B, i ∈ I, j ∈ J et l’application

Hom_{A}(A[(T_{i})_{i∈I}] ⊗_{A}A[(T_{j})_{j∈J}],B) → B^{I∪J}, u ↦ (i ↦ u(T_{i}⊗ 1), j ↦ u(1 ⊗ T_{j})

est donc bijective. Notant ι l’unique A-homomorphisme de A[(T_{k})_{k∈I∪J}] dans A[(T_{i})_{i∈I}] ⊗_{A}A[(T_{j})_{j∈J}] tel que ι(T_{i}) = T_{i}⊗ 1 si i ∈ I et ι(T_{j}) = 1 ⊗ T_{j} si j ∈ J, il est équivalent de dire que l’application

Hom_{A}(A[(T_{i})_{i∈I}] ⊗_{A}A[(T_{j})_{j∈J}],B) → Hom_{A}(A[(T_{k})_{k∈I∪J},B) = B^{I∪J}

induite par ι est bijective et ι est donc un isomorphisme.

Exercice 2 — 1) Soit ι : M → M ⊗_{A}A/ℑ l’homomorphisme envoyant m sur m ⊗ 1 ; comme ι(am) = am ⊗ 1 = m ⊗ a pour tout a ∈ A, ι s’annule identiquement sur le sous-module ℑM et induit donc une application A/ℑlinéaire de M/ℑM dans M ⊗_{A}A/ℑ. Quel que soit le A/ℑM module N, l’application ι induit une identification

Hom_{A/ℑ}(M/ℑM,N) = Hom_{A}(M,N) = Hom_{A/ℑ}(M ⊗_{A}A/ℑ,N)

(la dernière identification est la propriété universelle caractérisant l’extension des scalaires) et il s’agit donc d’un isomorphisme.

2) En vertu de la propriété universelle caractérisant l’extension des scalaires, l’application A-linéaire ι : M → M⊗_{A}S^{−1} A, m ↦ m⊗1 induit pour tout S^{−1} A-module N une bijection entre Hom_{S^{−1} A}(M⊗_{A}S^{−1} A,N) et Hom_{A}(M,N). Le couple (M⊗_{A}S^{−1} A,ι) vérifie ainsi la propriété universelle définissant le S^{−1} A-module S^{−1} M (cf. exercice 1) et l’homomorphisme ι : M → M ⊗_{A}S^{−1} A s’étend donc en un isomorphisme S^{−1} M ˜→ M ⊗_{A} S^{−1} A.

3) En vertu de ce qui précède, le K-module M ⊗_{A} K s’identifie au localisé de M par rapport à la partie multiplicative S = A − {0} et l’application M → M ⊗_{A}K correspond à l’application canonique M → S^{−1} M. Son noyau est donc constitué de l’ensemble des éléments x de M tels qu’il existe a ∈ A − {0} avec ax = 0, c’est-à-dire les éléments de torsion dans M.

Exercice 3 — 1) Si M et N sont deux k-espaces vectoriels non nuls, il existe des applications linéaires non nulles φ : M → k et ψ : N → k; celles-ci donnent naturellement naissance à une forme k-bilinéaire non nulle M ×_{k}N → k envoyant x ⊗ y sur φ(x)ψ(y, donc à une forme linéaire non nulle sur le k-vectoriel M ⊗_{k}N, et par conséquent M ⊗_{k}N ≠ 0.

2) Soit A un anneau local d’idéal maximal 𝔪. Quels que soient les A-modules M et N, l’homomorphisme canonique ι : M⊗_{A}N → M/𝔪M⊗_{A/𝔪}N/𝔪N induit par les projections canoniques M → M/𝔪M et N → N/𝔪N donne lieu à une bijection

Hom_{A/𝔪}(M/𝔪M ⊗_{A/𝔪}N/𝔪N,R) → Hom_{A}(M ⊗_{A}N,R)

pour tout A/𝔪-module R car les applications A-bilinéaires M × N → R et les applications A/𝔪-bilinéaires M/𝔪×N/𝔪N → R sont une seule et même chose. En vertu de la propriété universelle caractérisant l’extension des scalaires, il en découle que ι induit un isomorphisme

(M ⊗_{A}N) ⊗_{A}A/𝔪 ˜→ M/𝔪M ⊗_{A/𝔪}N/𝔪N.

Supposons que M et N soient de type fini. En vertu du lemme de Nakayama, M/𝔪M ≠ 0 et N/𝔪N ≠ 0 si M, N ≠ 0, donc (M⊗_{A}N)⊗_{A}A/𝔪 ≠ 0 en vertu de ce qui précède et de la question 1 et, a fortiori, M⊗_{A}N ≠ 0.

3) (i) Soient φ′: A → K′et φ′′: A → K′′deux homomorphismes de A dans des corps. S’il existe un corps K et des homomorphismes K′→ K, K′′→ K s’insérant dans un diagramme commutatif

\xymatrix{ & K′ \ar[dr] \\ A \ar[ur]^{φ′} \ar[dr]_{φ′′} &  & K, \\  & K′′ \ar[ur]}

ker(φ′) = ker(φ′′) puisque tout homomorphisme entre corps est injectif.

Supposons que l’on ait réciproquement ker(φ′) = ker(φ′′). L’idéal 𝔭 = ker(φ′) = ker(φ′′) de A est premier et les homomorphisme φ′,φ′′se factorisent tous deux à travers l’homomorphisme canonique de A dans le corps des fractions de A/𝔭. Notant K_{0} ce dernier, on dispose d’un homomorphisme naturel K′⊗_{A}K′′→ K′⊗_{K_{0}}K′′qui est un isomorphisme car, pour toute K_{0}-algèbre B, toute forme A-bilinéaire K′× K′′→ B est automatiquement K_{0}-bilinéaire. Vu la question 1, l’anneau K′⊗_{A}K′′est par conséquent non nul et possède donc un idéal maximal 𝔪, donnant naissance à un homorphisme de K′⊗_{A}K′′dans un corps K. Le diagramme naturel

\xymatrix{ & K′ \ar[dr] \\ A \ar[ur]^{φ′} \ar[dr]_{φ′′} &  & K′⊗_{A}K′′ \\  & K′′ \ar[ur]}

étant commutatif par définition même du produit tensoriel, on obtient un diagramme commutatif de la forme voulue en composant les homomorphismes canoniques K′, K′′→ K′⊗_{A}K′′par l’homomorphisme K′⊗_{A}K′′→ K.

(ii) D’après ce que nous venons de dire, l’application Σ(A) → Spec(A), φ ↦ ker(φ) induit précisément sur Σ(A) la relation d’équivalence ∼; elle se donne donc naissance à une injection de Σ(A)/ ∼ dans Spec(A), et il s’agit évidemment d’une bijection puisque tout idéal premier 𝔭 de A est précisément le noyau de l’homomorphisme canonique de A dans l’anneau des fractions de A/𝔭.

Exercice 4 (Platitude) — [...]

Exercice 5 (Platitude, suite) — [...]