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\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre approfondie - Automne 2007} \hfill \textbf{ENS-Lyon}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
{\bfseries \scshape Alg\`ebre multilin\'eaire I : corrig\'e}
\end{center}

\vspace{0.5cm} \textbf{Exercice 1} --- 1) Soit $d$ le pgcd des entiers $n$ et $m$. Le produit induit une application bilin\'eaire $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}, \ \ (x \ \mathrm{mod} \ n,y \ \mathrm{mod} \ m) \mapsto xy \ \mathrm{mod} \ d$$ se factorisant \`a travers la projection canonique $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ en une application lin\'eaire $\alpha : \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ qui est manifestement un homomorphisme d'anneaux.

Quel que soit $\mathbb{Z}$-module $\M$, l'application $$\{m \in \M \ | \ dm=0\} = \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}, \M) \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}, \M) = \mathrm{Bil}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m \mathbb{Z}, \M)$$ induite par $\alpha$ associe \`a un \'el\'ement $m$ de $\M$ tel que $dm=0$ l'application bilin\'eaire $\Phi$ sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m \mathbb{Z}$ \`a valeurs dans $\M$ d\'efinie par $\Phi(a\overline{1}, b\overline{1}) = abm$. Cette application est bijective car, pour toute forme bilin\'eaire $\Phi : \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/d\mathbb{Z} \rightarrow \M$, \begin{itemize} \item $d\Phi(\overline{1}, \overline{1}) = (un+vm)\Phi(\overline{1}, \overline{1}) = u\Phi(n\overline{1}, \overline{1}) + v\Phi(\overline{1},m\overline{1})=0$ en \'ecrivant $d$ sous la forme $un+vm$ ; \item $\Phi(0,\overline{1}) = n\Phi(\overline{1}, \overline{1})$ et $\Phi(\overline{1},0) = m\Phi(\overline{1},\overline{1})$.
\end{itemize}
L'application $\iota$ est ainsi un isomorphisme de $\mathbb{Z}$-modules et donc un isomorphisme d'anneaux.

\vspace{0.1cm} 2) L'homomorphisme canonique $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}, \ n \mapsto n(1 \otimes 1)$ se prolonge \`a $\mathbb{Q}$ car, pour tout entier $n \in \mathbb{Z} - \{0\}$, l'\'el\'ement $n(1 \otimes 1)$ de $\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$ est inversible en vertu de l'identit\'e $$n(1 \otimes 1)(\frac{1}{n} \otimes 1) = n(\frac{1}{n} \otimes 1) = 1 \otimes 1.$$ L'application obtenue envoie $r$ sur $r \otimes 1$ et est injective puisque $\mathbb{Q}$ est un corps.

Pour \'etablir sa surjectivit\'e, il suffit d'observer le fait suivant : comme $n(1 \otimes 1)(1 \otimes \frac{1}{n}) = n(1 \otimes \frac{1}{n}) = 1 \otimes 1$, $1 \otimes \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \otimes 1$ pour tout $n \in \mathbb{Z} - \{0\}$. Les \'el\'ements de $\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$ peuvent \emph{a priori} s'\'ecrire comme des combinaisons lin\'eaires \`a coefficients entiers de tenseurs \'el\'ementaires de la forme $\frac{1}{n} \otimes \frac{1}{m}$, $n, m \in \mathbb{Z} - \{0\}$ ; vu ce que nous venons d'observer, $\frac{1}{n} \otimes \frac{1}{m} = \frac{1}{nm} \otimes 1$ appartient \`a l'image de $\mathbb{Q}$ et l'application consid\'er\'ee est donc bijective.

\vspace{0.1cm} 3) Ayant fix\'e $i \in \mathbb{C}$ une racine carr\'ee de $-1$, $\mathbb{C} = \mathbb{R} \oplus \mathbb{R}i$ et donc \begin{eqnarray*} \mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} & = & \left(\mathbb{R} \oplus \mathbb{R}i \right) \otimes_{\mathbb{R}} \left(\mathbb{R} \oplus \mathbb{R} i \right) \\ & = & \mathbb{R}1 \otimes 1 \oplus \mathbb{R} 1 \otimes i \oplus \mathbb{R} i \otimes 1 \oplus \mathbb{R} i \otimes i \end{eqnarray*} s'identifie \`a $\mathbb{R}^4$ muni de la structure de $\mathbb{R}$-alg\`ebre d\'efinie par $$1 = (1,0,0,0),$$  $$(a,b,c,d)(a',b',c',d') = (aa'+dd'-bb'-cc',ab'+a'b-cd'-c'd, ac'+a'c-bd'-b'd,ad'+a'd+bc'+b'c).$$

\vspace{0.1cm} Variante : en \'ecrivant $\mathbb{C}$ sous la forme $\mathbb{R}[\T]/(\T^2+1)$ (ce qui revient de nouveau \`a choisir une racine carr\'ee de $-1$ dans $\mathbb{C}$), l'anneau $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$ est isomorphe \`a $\mathbb{C}[\T]/(\T^2+1)$ via l'application envoyant $z \otimes z'$ sur $z'(\mathfrak{Re}(z) + \mathfrak{Im}(z)\T)$.

\vspace{0.1cm} 4) Quelle que soit la $\A$-alg\`ebre $\B$, $\mathrm{Hom}_{\A}(\A[(\T_i)_{i \in \I}] \otimes_{\A} \A[(\T_j)_{j \in \J}], \B)$ est l'ensemble des formes $\A$-bilin\'eaires $\Phi$ sur $\A[(\T_i)_{i \in \Ir}] \times \A[(\T_j)_{j \in \J}]$ \`a valeurs dans $\B$ telles que $\Phi(1,.)$ et $\Phi(.,1)$ soient des homomorphismes d'anneaux. Une telle forme bilin\'eaire est compl\`etement d\'etermin\'ee par la donn\'ee des \'el\'ements $\Phi(1, \T_j)$ et $\Phi(\T_i, 1)$ de $\B$, $i \in \Ir, \ j \in \J$ et l'application $$\mathrm{Hom}_{\A}(\A[(\T_i)_{i \in \Ir}] \otimes_{A} \A[(\T_j)_{j \in \J}], \B) \rightarrow \B^{\Ir \cup \J}, \ \ u \mapsto (i \mapsto u(\T_i \otimes 1), \ j \mapsto u(1 \otimes \T_j)$$ est donc bijective. Notant $\iota$ l'unique $\A$-homomorphisme de $\A[(\T_k)_{k \in \Ir \cup \J}]$ dans $\A[(\T_i)_{i \in \Ir}] \otimes_{\A} \A[(\T_j)_{j \in \J}]$ tel que $\iota(\T_i) = \T_i \otimes 1$ si $i \in \Ir$ et $\iota(\T_j) = 1 \otimes \T_j$ si $j \in \J$, il est \'equivalent de dire que l'application $$\mathrm{Hom}_{\A}(\A[(\T_i)_{i \in \Ir}] \otimes_{\A} \A[(\T_j)_{j \in \J}], \B) \rightarrow \mathrm{Hom}_{\A}(\A[(\T_k)_{k \in \Ir \cup \J}, \B) = \B^{\Ir \cup \J}$$ induite par $\iota$ est bijective et $\iota$ est donc un isomorphisme.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 2} --- 1) Soit $\iota : \M \rightarrow \M \otimes_{\A} \A/\mathfrak{I}$ l'homomorphisme envoyant $m$ sur $m \otimes 1$ ; comme $\iota(am) = am \otimes 1 = m \otimes a$ pour tout $a \in \A$, $\iota$ s'annule identiquement sur le sous-module $\mathfrak{I}\M$ et induit donc une application $\A/\mathfrak{I}$-lin\'eaire de $\M/\mathfrak{I}\M$ dans $\M \otimes_{\A} \A/\mathfrak{I}$. Quel que soit le $\A/\mathfrak{I}\M$ module $\N$, l'application $\iota$ induit une identification
$$\mathrm{Hom}_{\A/\mathfrak{I}}(\M/\mathfrak{I}\M, \N) = \mathrm{Hom}_{\A}(\M,\N) = \mathrm{Hom}_{\A/\mathfrak{I}}(\M \otimes_{\A} \A/\mathfrak{I}, \N)$$ (la derni\`ere identification est la propri\'et\'e universelle caract\'erisant l'\emph{extension des scalaires}) et il s'agit donc d'un isomorphisme.

\vspace{0.1cm} 2) En vertu de la propri\'et\'e universelle caract\'erisant l'extension des scalaires, l'application $\A$-lin\'eaire $\iota : \M \rightarrow \M \otimes_{\A} \Sr^{-1}\A, \ m \mapsto m \otimes 1$ induit pour tout $\Sr^{-1}\A$-module $\N$ une bijection entre $\mathrm{Hom}_{\Sr^{-1}\A}(\M \otimes_{\A} \Sr^{-1}\A, \N)$ et $\mathrm{Hom}_{\A}(\M,\N)$. Le couple $(\M \otimes_{\A} \Sr^{-1}\A, \iota)$ v\'erifie ainsi la propri\'et\'e universelle d\'efinissant le $\Sr^{-1}\A$-module $\Sr^{-1}\M$ (cf. exercice 1) et l'homomorphisme $\iota : \M \rightarrow \M \otimes_{\A} \Sr^{-1}\A$ s'\'etend donc en un isomorphisme $\Sr^{-1}\M \tilde{\rightarrow} \M \otimes_{\A} \Sr^{-1}\A$.

\vspace{0.1cm} 3) En vertu de ce qui pr\'ec\`ede, le $\K$-module $\M \otimes_{\A} \K$ s'identifie au localis\'e de $\M$ par rapport \`a la partie multiplicative $\Sr = \A - \{0\}$ et l'application $\M \rightarrow \M \otimes_{\A} \K$ correspond \`a l'application canonique $\M \rightarrow \Sr^{-1}\M$. Son noyau est donc constitu\'e de l'ensemble des \'el\'ements $x$ de $\M$ tels qu'il existe $a \in \A - \{0\}$ avec $ax=0$, c'est-\`a-dire les \'el\'ements de torsion dans $\M$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 3} --- 1) Si $\M$ et $\N$ sont deux $k$-espaces vectoriels non nuls, il existe des applications lin\'eaires non nulles $\varphi : \M \rightarrow k$ et $\psi : \N \rightarrow k$ ; celles-ci donnent naturellement naissance \`a une forme $k$-bilin\'eaire non nulle $\M \times_k \N \rightarrow k$ envoyant $x \otimes y$ sur $\varphi(x)\psi(y$, donc \`a une forme lin\'eaire non nulle sur le $k$-vectoriel $\M \otimes_k \N$, et par cons\'equent $\M \otimes_k \N \neq 0$.

\vspace{0.1cm} 2) Soit $\A$ un anneau local d'id\'eal maximal $\mathfrak{m}$. Quels que soient les $\A$-modules $\M$ et $\N$, l'homomorphisme canonique $\iota : \M \otimes_{\A} \N \rightarrow \M/\mathfrak{m}\M \otimes_{\A/\mathfrak{m}} \N/\mathfrak{m}\N$ induit par les projections canoniques $\M \rightarrow \M/\mathfrak{m}\M$ et $\N \rightarrow \N/\mathfrak{m}\N$ donne lieu \`a une bijection $$\mathrm{Hom}_{\A/\mathfrak{m}}(\M/\mathfrak{m}\M \otimes_{\A/\mathfrak{m}} \N/\mathfrak{m}\N, \R) \rightarrow \mathrm{Hom}_{\A}(\M \otimes_{\A} \N, \R)$$ pour tout $\A/\mathfrak{m}$-module $\R$ car les applications $\A$-bilin\'eaires $\M \times \N \rightarrow \R$ et les applications $\A/\mathfrak{m}$-bilin\'eaires $\M/\mathfrak{m} \times \N/\mathfrak{m}\N \rightarrow \R$ sont une seule et m\^eme chose. En vertu de la propri\'et\'e universelle caract\'erisant l'extension des scalaires, il en d\'ecoule que $\iota$ induit un isomorphisme $$(\M \otimes_{\A} \N) \otimes_{\A} \A/\mathfrak{m} \tilde{\rightarrow} \M/\mathfrak{m}\M \otimes_{\A/\mathfrak{m}} \N/\mathfrak{m}\N.$$

Supposons que $\M$ et $\N$ soient de type fini. En vertu du lemme de Nakayama, $\M/\mathfrak{m}\M \neq 0$ et $\N/\mathfrak{m}\N \neq 0$ si $\M, \ \N \neq 0$, donc $(\M \otimes_{\A} \N) \otimes_{\A} \A/\mathfrak{m} \neq 0$ en vertu de ce qui pr\'ec\`ede et de la question 1 et, \emph{a fortiori}, $\M \otimes_{\A} \N \neq 0$.

\vspace{0.1cm} 3) (i) Soient $\varphi' : \A \rightarrow \K'$ et $\varphi'' : \A \rightarrow \K''$ deux homomorphismes de $\A$ dans des corps. S'il existe un corps $\K$ et des homomorphismes $\K' \rightarrow \K$, $\K'' \rightarrow \K$ s'ins\'erant dans un diagramme commutatif $$\xymatrix{ & \K' \ar@{->}[rd] & \\ \A \ar@{->}[ru]^{\varphi'} \ar@{->}[rd]_{\varphi''} & & \K ,\\ & \K'' \ar@{->}[ru] & }$$ $\mathrm{ker}(\varphi') = \mathrm{ker}(\varphi'')$ puisque tout homomorphisme entre corps est injectif.

Supposons que l'on ait r\'eciproquement $\mathrm{ker}(\varphi') = \mathrm{ker}(\varphi'')$. L'id\'eal $\mathfrak{p} = \mathrm{ker}(\varphi') = \mathrm{ker}(\varphi'')$ de $\A$ est premier et les homomorphisme $\varphi', \varphi''$ se factorisent tous deux \`a travers l'homomorphisme canonique de $\A$ dans le corps des fractions de $\A/\mathfrak{p}$. Notant $\K_0$ ce dernier, on dispose d'un homomorphisme naturel $\K' \otimes_{\A} \K'' \rightarrow \K' \otimes_{\K_0} \K''$ qui est un isomorphisme car, pour toute $\K_0$-alg\`ebre $\B$, toute forme $\A$-bilin\'eaire $\K' \times \K'' \rightarrow \B$ est automatiquement $\K_0$-bilin\'eaire. Vu la question 1, l'anneau $\K' \otimes_{\A} \K''$ est par cons\'equent non nul et poss\`ede donc un id\'eal maximal $\mathfrak{m}$, donnant naissance \`a un homorphisme de $\K' \otimes_{\A} \K''$ dans un corps $\K$. Le diagramme naturel $$\xymatrix{& \K' \ar@{->}[rd] & \\ \A \ar@{->}[ru]^{\varphi'} \ar@{->}[rd]_{\varphi''} & & \K' \otimes_{\A} \K'' \\ & \K'' \ar@{->}[ru] & }$$ \'etant commutatif par d\'efinition m\^eme du produit tensoriel, on obtient un diagramme commutatif de la forme voulue en composant les homomorphismes canoniques $\K', \ \K'' \rightarrow \K' \otimes_{\A} \K''$ par l'homomorphisme $\K' \otimes_{\A} \K'' \rightarrow \K$.

\vspace{0.1cm} (ii) D'apr\`es ce que nous venons de dire, l'application $\Sigma(\A) \rightarrow \mathrm{Spec}(\A), \ \varphi \mapsto \mathrm{ker}(\varphi)$ induit pr\'ecis\'ement sur $\Sigma(\A)$ la relation d'\'equivalence $\sim$ ; elle se donne donc naissance \`a une injection de $\Sigma(\A)/\sim$ dans $\mathrm{Spec}(\A)$, et il s'agit \'evidemment d'une bijection puisque tout id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$ est pr\'ecis\'ement le noyau de l'homomorphisme canonique de $\A$ dans l'anneau des fractions de $\A/\mathfrak{p}$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 4} (\emph{Platitude}) --- [...]

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 5} (\emph{Platitude, suite}) --- [...]

\end{document} 