Algèbre approfondie - Automne 2007 ENS-Lyon

Algèbre multilinéaire II

Exercice 1 (Trace) — Soient A un anneau et M,N deux A-modules libres de rang fini. On pose M^{∨} = Hom_{A}(M,A) et on note ⟨φ,x⟩ l’évaluation d’une forme linéaire φ ∈ M^{∨} sur un élément x de M.

1) Démontrer que l’application

M^{∨} × N → Hom_{A}(M,N), (φ, y) ↦ (x ↦ ⟨φ,x⟩y)

induit un isomorphisme du A-module M^{∨} ⊗_{A}N sur le A-module Hom_{A}(M,N).

2) Soit u un élément de Hom_{A}(M,M) et soit u = ∑_{i∈I} φ_{i}⊗x_{i} une représentation de u comme somme de tenseurs élémentaires dans M^{∨} ⊗_{A}M. Démontrer que l’élément ∑_{i∈I}⟨φ_{i},x_{i}⟩ de A ne dépend pas de la représentation de u que l’on considère ; c’est par définition la trace de l’endomorphisme u.

3) Soit u ∈ Hom_{A}(M,M) un endomorphisme de M. Démontrer l’identité suivante :

det(Tid_{M}− u) = T^{n}+ ∑_{p=1}^{n} (−1)^{p}tr(Λ^{p}u)T^{n−p} ,

où n = rg(M) et, pour tout i, Λ^{p} est l’endomorphisme du A-module libre Λ^{p}M induit par u. (Indication : on pourra développer

Λ^{n}(Tid_{M}− u) = det(Tid_{M}− u)id_{Λ^{n}M}

et observer que, si (e_{i})_{1≤i≤n} est une base de M et

Λ^{p}u = ∑_{I,J}u_{J,I}e_{I}^{∗}⊗ e_{J}

est la décomposition de Λ^{p}u relativement à la base (e_{I}) de Λ^{p}E et à sa base duale (I ⊂ {1,...,n}, Card(I) = p, et, si I = {i_{1},...i_{p}} avec i_{1} < ... < i_{p}, e_{I} = e_{i_{1}} ∧ ...∧ e_{i_{p}}), l’endomorphisme Λ^{p}u ∧ Λ^{n−p} id_{M} de Λ^{n}M est l’homothétie de rapport u_{{1,...,p},{1,...,p}}.)

Exercice 2 (Algèbre symétrique) — Soient A un anneau et M,N deux A-modules.

1) Si N ⊂ M, démontrer que le noyau de l’homomorphisme canonique S^{•}(M) → S^{•}(M/N) est l’idéal de S^{•}(M) engendré par N vu comme sous-ensemble de S^{1}(M) = M.

2) Démontrer qu’il existe un isomorphisme canonique de A-algèbres

S^{•}(M) ⊗_{A}S^{•}(N) ˜→ S^{•}(M ⊕ N).

Exercice 3 (Relations de Graßmann) — Soient k un corps et E un k-espace vectoriel de dimension finie n. On désigne par E^{∨} l’espace vectoriel dual Hom_{k}(E,k) et par Λ^{•}E l’algèbre extérieure de E. Il sera commode de convenir que Λ^{q}E = 0 pour tout entier q < 0.

1) Démontrer qu’il existe un isomorphisme canonique

Λ^{•}(E^{∨}) ˜→ (Λ^{•}E)^{∨}

appliquant Λ^{p}(E^{∨}) sur (Λ^{p}E)^{∨}. On identifie dans ce qui suit les espaces vectoriels Λ^{•}(E^{∨}) et (Λ^{•}E)^{∨}.

Un p-vecteur x ∈ Λ^{p}E est dit décomposable s’il est de la forme x_{1} ∧ ...∧ x_{p} avec x_{1},...,x_{p} ∈ E linéairement indépendants. Tout p-vecteur est évidemment une somme de p-vecteurs décomposables et l’objet de cet exercice est d’obtenir une caractérisation des p-vecteurs décomposables dans Λ^{p}E ; ce seront ceux satisfaisant aux relations de Graßmann.

2) Étant donné un p-vecteur x ∈ Λ^{p}E, vérifier qu’il existe un plus petit sous-espace vectoriel E_{x} de E tel que x ∈ Λ^{p}E_{x} et justifier que x est décomposable si et seulement si dim(E_{x}) = p. En déduire que x est décomposable si et seulement si

∀y ∈ E_{x}, x ∧ y = 0.

3) Soit ω ∈ Λ^{p}(E^{∨}). Le produit extérieur par ω est l’endomorphisme de Λ^{•}(E^{∨}) défini par φ ↦ φ ∧ ω; il applique Λ^{q}(E^{∨}) dans Λ^{p+q} (E^{∨}). Ayant identifié l’espace vectoriel E avec son bidual, on appelle produit intérieur par ω, et on note x ↦ ω ⌟ x, l’endomorphisme de Λ^{•}E transposé du produit extérieur par ω. Notant ⟨.,⟩ le crochet de dualité, on a donc

⟨φ,ω ⌟x⟩ = ⟨φ ∧ ω,x⟩

pour tous x ∈ Λ^{•}E, φ ∈ Λ^{•}(E^{∨}).

(i) Vérifier que ω ⌟ · applique Λ^{p+q} E dans Λ^{q}E.

(ii) Soit (e_{i})_{1≤i≤n} une base de E et soit (e_{i}^{∗})_{1≤i≤n} la base duale. Calculer e_{I}^{∗} ⌟ e_{J} pour toutes parties I, J de {1,...,n}.

4) Étant donné un p-vecteur x dans Λ^{p}E, démontrer que le sous-espace vectoriel E_{x}de E est l’image de l’application linéaire

Λ^{p−1} (E^{∨}) → Λ^{1}E = E, ω ↦ ω ⌟ x.

(Indication : introduire une base de E contenant une base de E_{x} et utiliser la question précédente.) 5) Déduire de ce qui précède qu’un p-vecteur x est décomposable si et seulement si

x ∧ (ω ⌟ x) = 0

pour tout ω ∈ Λ^{p−1} (E^{∨}). Ayant introduit une base (e_{i})_{1≤i≤n} de E, les dimΛ^{p}(E^{∨}) = \binom{n}{p−1} équations

x ∧ (e_{I}^{∗} ⌟ x) = 0, I ⊂ {1,...,n} et Card(I) = p − 1

caractérisant les p-vecteurs décomposables sont les relations de Graßmann.

6) Expliciter les relations de Graßmann pour n = 4,p = 2 et vérifier qu’elles se ramènent à l’unique équation quadratique

x_{12}x_{34}− x_{13}x_{24}+ x_{14}x_{23}0,

où (x_{12},x_{13},x_{14},x_{23},x_{24},x_{34}) sont les coordonnées d’un 2-vecteur x dans la base (e_{1}∧ e_{2},e_{1}∧ e_{3},e_{1}∧ e_{4},e_{2}∧ e_{3},e_{2}∧ e_{4},e_{3}∧ e_{4}) de Λ^{2}E.

7) Étant donné p ∈ {1,...,n}, on désigne par ℙ(Λ^{p}E) l’ensemble des droites vectorielles dans Λ^{p}E et par 𝔾r_{p}(E) l’ensemble des sous-espaces vectoriels de E de dimension p. Vérifier que l’application

π : 𝔾r_{p}(E) → ℙ(Λ^{p}E),

définie en associant à F = Vect(x_{1},...,x_{p}) la droite k(x_{1} ∧ ...∧ x_{p}) dans Λ^{p}E, réalise une bijection sur un sous-ensemble de ℙ(Λ^{p}E) défini par des équations homogènes quadratiques en tout système de coordonnées déduit d’une base de E.

Remarque : ce qui précède établit essentiellement que, si E est un espace vectoriel de dimension finie, l’ensemble 𝔾r_{p}(E) des sous-espaces vectoriels de E de dimension p ≤ dimE possède une structure naturelle de variété algébrique, obtenue en réalisant 𝔾r_{p}(E) comme une sous-variété algébrique de l’espace projectif ℙ(Λ^{p}E). L’ensemble 𝔾r_{p}(E) est la grassmannienne des p-plans de E et l’application π est classiquement appelée plongement de Plücker.

Exercice 4 (Déterminant) — Soit A un anneau noethérien. On rappelle que, pour tout idéal premier 𝔭 de A, κ(𝔭) désigne le corps des fractions de l’anneau A/𝔭.

1) Démontrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes pour tout A-module M de type fini :

– pour tout idéal premier 𝔭 de A, M_{𝔭} = M ⊗_{A}A_{𝔭} est un A_{𝔭}-module libre ; – il existe des éléments f_{1},...,f_{n} de A engendrant l’idéal unité et tels que M[f_{i}]^{−1} = M⊗_{A}A[f_{i}^{−1} ]

soit un A[f_{i}^{−1} ] pour tout i ∈ {1,...,n}. Un A-module M satisfaisant aux deux conditions précédentes est dit localement libre.

2) Soit M un A-module de type fini localement libre. Vérifier que M[𝔭] = M⊗_{A}κ(𝔭) est un espace vectoriel de dimension finie sur κ(𝔭) pour tout idéal premier 𝔭 de A et démontrer que la fonction 𝔭 ↦ dim_{κ(𝔭)}M[𝔭] est localement constante sur Spec(A) (voir l’exercice 4 de la fiche 2). Lorsque Spec(A) est connexe, cette fonction est donc constante et sa valeur est par définition le rang de M, noté rg(M).

3) On suppose que l’espace topologique Spec(A) est connexe. Étant donné un A-module M de type fini et localement libre de rang r, démontrer que Λ^{p}M = 0 si p ≥ r + 1 et que Λ^{r}M est un A-module localement libre de rang 1 ; on pose det(M) = Λ^{r}M.

4) On suppose toujours que Spec(A) est connexe. Étant donnée une suite exacte de A-modules de type fini et localement libres

E : \xymatrix{0 \ar[r] & M′ \ar[r]^{α} & M \ar[r]^{β} & M′′ \ar[r] & 0},

démontrer qu’il existe un isomorphisme canonique

φ_{E} : det(M′) ⊗_{A}det(M′′) ˜→ det(M)

tel que φ(m′_{1}∧...∧m′_{r′}∧m′′_{1}∧m′′_{r′′}) = α(m′_{1})∧...∧α(m′_{r′})∧m_{1}∧...∧m_{r′′}pour tous m′_{1},...,m′_{r′}∈ M′, m′′_{1},...,m′′_{r′′}∈ M′′et m_{1},...,m_{r′′}∈ M avec β(m_{i}) = m′′_{i}, où r′= rg(M′), r = rg(M) et r′′= log(M′′).