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\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre approfondie - Automne 2007} \hfill \textbf{ENS-Lyon}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
{\bfseries \scshape Alg\`ebre multilin\'eaire II}
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Exercice 1} (\emph{Trace}) --- Soient $\A$ un anneau et $\M, \N$ deux $\A$-modules libres de rang fini. On pose $\M^{\vee} = \mathrm{Hom}_{\A}(\M, \A)$ et on note $\langle \varphi, x \rangle$ l'\'evaluation d'une forme lin\'eaire $\varphi \in \M^{\vee}$ sur un \'el\'ement $x$ de $\M$.

\vspace{0.1cm} 1) D\'emontrer que l'application $$\M^{\vee} \times \N \rightarrow \mathrm{Hom}_{\A}(\M, \N), \ (\varphi, \ y) \mapsto (x \mapsto \langle \varphi, x \rangle y)$$ induit un isomorphisme du $\A$-module $\M^{\vee} \otimes_{\A} \N$ sur le $\A$-module $\mathrm{Hom}_{\A}(\M, \N)$.


\vspace{0.1cm} 2) Soit $u$ un \'el\'ement de $\mathrm{Hom}_{\A}(\M, \M)$ et soit $u = \sum_{i \in \Ir} \varphi_i \otimes x_i$ une repr\'esentation de $u$ comme somme de tenseurs \'el\'ementaires dans $\M^{\vee} \otimes_{\A} \M$. D\'emontrer que l'\'el\'ement $\sum_{i \in \Ir} \langle \varphi_i, x_i \rangle$ de $\A$ ne d\'epend pas de la repr\'esentation de $u$ que l'on consid\`ere ; c'est par d\'efinition la \emph{trace} de l'endomorphisme $u$.

\vspace{0.1cm} 3) Soit $u \in \mathrm{Hom}_{\A}(\M, \M)$ un endomorphisme de $\M$. D\'emontrer l'identit\'e suivante : 
$$\mathrm{det}(\T\mathrm{id}_{\M} - u) = \T^n + \sum_{p = 1}^{n} (-1)^p \mathrm{tr}(\Lambda^p u) \T^{n-p},$$ o\`u $n = \mathrm{rg}(\M)$ et, pour tout $i$, $\Lambda^p$ est l'endomorphisme du $\A$-module libre $\Lambda^p \M$ induit par $u$. (\emph{Indication} : on pourra d\'evelopper $$\Lambda^n (\T \mathrm{id}_{\M} - u) = \mathrm{det}(\T \mathrm{id}_{\M} - u) \mathrm{id}_{\Lambda^n \M}$$ et observer que, si $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ est une base de $\M$ et $$\Lambda^p u = \sum_{\Ir, \J} u_{\J, \Ir} e_{\Ir}^* \otimes e_{\J}$$ est la d\'ecomposition de $\Lambda^p u$ relativement \`a la base $(e_{\Ir})$ de $\Lambda^p \E$ et \`a sa base duale ($\Ir \subset \{1, \ldots, n\}, \ \mathrm{Card}(\Ir) = p$, et, si $\Ir = \{i_1, \ldots i_p\}$ avec $i_1 < \ldots < i_p$, $e_{\Ir} = e_{i_1} \wedge \ldots \wedge e_{i_p}$), l'endomorphisme $\Lambda^p u \wedge \Lambda^{n-p} \mathrm{id}_{\M}$ de $\Lambda^n \M$ est l'homoth\'etie de rapport $u_{\{1, \ldots, p\}, \{1, \ldots, p\}}$.)

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Exercice 2} (\emph{Alg\`ebre sym\'etrique}) --- Soient $\A$ un anneau et $\M, \N$ deux $\A$-modules.

\vspace{0.1cm} 1) Si $\N \subset \M$, d\'emontrer que le noyau de l'homomorphisme canonique $\Sr^{\bullet}(\M) \rightarrow \Sr^{\bullet}(\M/\N)$ est l'id\'eal de $\Sr^{\bullet}(\M)$ engendr\'e par $\N$ vu comme sous-ensemble de $\Sr^{1}(\M) = \M$.

\vspace{0.1cm} 2) D\'emontrer qu'il existe un isomorphisme canonique de $\A$-alg\`ebres $$\Sr^{\bullet}(\M) \otimes_{\A} \Sr^{\bullet}(\N) \tilde{\rightarrow} \Sr^{\bullet}(\M \oplus \N).$$

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Exercice 3} (\emph{Relations de Gra\ss mann}) --- Soient $k$ un corps et $\E$ un $k$-espace vectoriel de dimension finie $n$. On d\'esigne par $\E^{\vee}$ l'espace vectoriel dual $\mathrm{Hom}_{k}(\E,k)$ et par $\Lambda^{\bullet}\E$ l'alg\`ebre ext\'erieure de $\E$. Il sera commode de convenir que $\Lambda^{q} \E = 0$ pour tout entier $q <0$.

\vspace{0.1cm} 1) D\'emontrer qu'il existe un isomorphisme canonique $$\Lambda^{\bullet}(\E^{\vee}) \tilde{\rightarrow} \big(\Lambda^{\bullet}\E\big)^{\vee}$$ appliquant $\Lambda^p (\E^{\vee})$ sur $(\Lambda^p \E)^{\vee}$. On identifie dans ce qui suit les espaces vectoriels $\Lambda^{\bullet}(\E^\vee)$ et $\big(\Lambda^{\bullet} \E \big)^{\vee}$.

\vspace{0.1cm}
Un $p$-vecteur $x \in \Lambda^p \E$ est dit \emph{d\'ecomposable} s'il est de la forme $x_1 \wedge \ldots \wedge x_p$ avec $x_1, \ldots, x_p \in \E$ lin\'eairement ind\'ependants. Tout $p$-vecteur est \'evidemment une somme de $p$-vecteurs d\'ecomposables et l'objet de cet exercice est d'obtenir une caract\'erisation des $p$-vecteurs d\'ecomposables dans $\Lambda^p \E$ ; ce seront ceux satisfaisant aux \emph{relations de Gra\ss mann}. 

\vspace{0.1cm} 2) \'Etant donn\'e un $p$-vecteur $x \in \Lambda^p \E$, v\'erifier qu'il existe un plus petit sous-espace vectoriel $\E_x$ de $\E$ tel que $x \in \Lambda^p \E_x$ et justifier que $x$ est d\'ecomposable si et seulement si $\operatorname{dim}(\E_x) = p$. En d\'eduire que $x$ est d\'ecomposable si et seulement si $$\forall y \in \E_x, \ \ x \wedge y = 0.$$

\vspace{0.1cm} 3) Soit $\omega \in \Lambda^p(\E^{\vee})$. Le produit ext\'erieur par $\omega$ est l'endomorphisme de $\Lambda^{\bullet}(\E^{\vee})$ d\'efini par $\varphi \mapsto \varphi \wedge \omega$ ; il applique $\Lambda^{q}(\E^{\vee})$ dans $\Lambda^{p+q}(\E^{\vee})$. Ayant identifi\'e l'espace vectoriel $\E$ avec son bidual, on appelle \emph{produit int\'erieur} par $\omega$, et on note $x \mapsto \omega \ \lrcorner \ x$, l'endomorphisme de $\Lambda^{\bullet}\E$ transpos\'e du produit ext\'erieur par $\omega$. Notant $\langle . , \rangle$ le crochet de dualit\'e, on a donc
$$\langle \varphi, \omega \ \lrcorner x\rangle = \langle \varphi \wedge \omega, x \rangle$$ pour tous $x \in \Lambda^{\bullet} \E$, $\varphi \in \Lambda^{\bullet}(\E^{\vee})$.

\indent (i) V\'erifier que $\omega \ \lrcorner \ \cdot$ applique $\Lambda^{p+q}\E$ dans $\Lambda^{q}\E$.

\indent (ii) Soit $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ une base de $\E$ et soit $(e_i^{*})_{1 \leq i \leq n}$ la base duale. Calculer $e^*_{\Ir} \ \lrcorner \ e_{\J}$ pour toutes parties $\Ir, \ \J$ de $\{1, \ldots, n\}$.

\vspace{0.1cm} 4) \'Etant donn\'e un $p$-vecteur $x$ dans $\Lambda^p \E$, d\'emontrer que le sous-espace vectoriel $\E_x$ de $\E$ est l'image de l'application lin\'eaire $$\Lambda^{p-1} (\E^{\vee}) \rightarrow \Lambda^1 \E = \E, \ \ \omega \mapsto \omega \ \lrcorner \ x.$$
(\emph{Indication} : introduire une base de $\E$ contenant une base de $\E_x$ et utiliser la question pr\'ec\'edente.)
    
\vspace{0.1cm} 5) D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede qu'un $p$-vecteur $x$ est d\'ecomposable si et seulement si $$x \wedge (\omega \ \lrcorner \ x) = 0$$ pour tout $\omega \in \Lambda^{p-1}(\E^{\vee})$. Ayant introduit une base $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ de $\E$, les $\operatorname{dim} \Lambda^p (\E^{\vee}) = \binom{n}{p-1}$ \'equations $$x \wedge (e_{\Ir}^* \ \lrcorner \ x) = 0, \ \ \Ir \subset \{1, \ldots, n\} \ \textrm{ et } \ \mathrm{Card}(\Ir) = p-1$$ caract\'erisant les $p$-vecteurs d\'ecomposables sont les \emph{relations de Gra\ss mann}.

\vspace{0.1cm} 6) Expliciter les relations de Gra\ss mann pour $n = 4, p = 2$ et v\'erifier qu'elles se ram\`enent \`a l'unique \'equation quadratique $$x_{12}x_{34} - x_{13}x_{24} + x_{14}x_{23} 0,$$ o\`u $(x_{12}, x_{13}, x_{14}, x_{23}, x_{24}, x_{34})$ sont les coordonn\'ees d'un $2$-vecteur $x$ dans la base $(e_{1} \wedge e_{2}, e_{1} \wedge e_3, e_1 \wedge e_4, e_2 \wedge e_3, e_2 \wedge e_4, e_3 \wedge e_4)$ de $\Lambda^{2} \E$.

\vspace{0.1cm} 7) \'Etant donn\'e $p \in \{1, \ldots, n\}$, on d\'esigne par $\mathbb{P}(\Lambda^p \E)$ l'ensemble des droites vectorielles dans $\Lambda^p \E$ et par $\mathbb{G}\mathrm{r}_{p}(\E)$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de $\E$ de dimension $p$. V\'erifier que l'application
$$\pi : \mathbb{G}\mathrm{r}_p(\E) \rightarrow  \mathbb{P}(\Lambda^p \E),$$ d\'efinie en associant \`a $\F = \mathrm{Vect}(x_1, \ldots, x_p)$ la droite $k (x_1 \wedge \ldots \wedge x_p)$ dans $\Lambda^p \E$, r\'ealise une bijection sur un sous-ensemble de $\mathbb{P}(\Lambda^p \E)$ d\'efini par des \'equations homog\`enes quadratiques en tout syst\`eme de coordonn\'ees d\'eduit d'une base de $\E$.
 
\vspace{0.2cm} \emph{Remarque} : \emph{ce qui pr\'ec\`ede \'etablit essentiellement que, si $\E$ est un espace vectoriel de dimension finie, l'ensemble $\mathbb{G}\mathrm{r}_p (\E)$ des sous-espaces vectoriels de $\E$ de dimension $p \leq \operatorname{dim} \E$ poss\`ede une structure naturelle de vari\'et\'e alg\'ebrique, obtenue en r\'ealisant $\mathbb{G}\mathrm{r}_p (\E)$ comme une sous-vari\'et\'e alg\'ebrique de l'espace projectif $\mathbb{P}(\Lambda^p \E)$. L'ensemble $\mathbb{G}\mathrm{r}_p (\E)$ est la \emph{grassmannienne} des $p$-plans de $\E$ et l'application $\pi$ est classiquement appel\'ee \emph{plongement de Pl\"ucker}.} 

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Exercice 4} (\emph{D\'eterminant}) --- Soit $\A$ un anneau noeth\'erien. On rappelle que, pour tout id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$, $\kappa(\mathfrak{p})$ d\'esigne le corps des fractions de l'anneau $\A/\mathfrak{p}$.

\vspace{0.1cm} 1) D\'emontrer que les deux conditions suivantes sont \'equivalentes pour tout $\A$-module $\M$ de type fini :
\begin{itemize}
\item pour tout id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$, $\M_{\mathfrak{p}} = \M \otimes_{\A} \A_{\mathfrak{p}}$ est un $\A_{\mathfrak{p}}$-module libre ;
\item il existe des \'el\'ements $f_1, \ldots, f_n$ de $\A$ engendrant l'id\'eal unit\'e et tels que $\M[f_i]^{-1} = \M \otimes_{\A} \A[f_i^{-1}]$ soit un $\A[f_i^{-1}]$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$.
\end{itemize}
Un $\A$-module $\M$ satisfaisant aux deux conditions pr\'ec\'edentes est dit \emph{localement libre}.

\vspace{0.1cm} 2) Soit $\M$ un $\A$-module de type fini localement libre. V\'erifier que $\M[\mathfrak{p}] = \M \otimes_{\A} \kappa(\mathfrak{p})$ est un espace vectoriel de dimension finie sur $\kappa(\mathfrak{p})$ pour tout id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$ et d\'emontrer que la fonction $\mathfrak{p} \mapsto \mathrm{dim}_{\kappa(\mathfrak{p})} \M[\mathfrak{p}]$ est localement constante sur $\mathrm{Spec}(\A)$ (voir l'exercice 4 de la fiche 2). Lorsque $\mathrm{Spec}(\A)$ est connexe, cette fonction est donc constante et sa valeur est par d\'efinition le \emph{rang} de $\M$, not\'e $\operatorname{rg}(\M)$.

\vspace{0.1cm} 3) On suppose que l'espace topologique $\mathrm{Spec}(\A)$ est connexe. \'Etant donn\'e un $\A$-module $\M$ de type fini et localement libre de rang $r$, d\'emontrer que $\Lambda^{p} \M = 0$ si $p \geq r+1$ et que $\Lambda^{r} \M$ est un $\A$-module localement libre de rang $1$ ; on pose $\operatorname{det}(\M) = \Lambda^r \M$.

\vspace{0.1cm} 4) On suppose toujours que $\mathrm{Spec}(\A)$ est connexe. \'Etant donn\'ee une suite exacte de $\A$-modules de type fini et localement libres
$$\mathcal{E} \ : \ \ \xymatrix{0 \ar@{->}[r] & \M' \ar@{->}[r]^{\alpha} & \M \ar@{->}[r]^{\beta} & \M'' \ar@{->}[r] & 0},$$ d\'emontrer qu'il existe un isomorphisme canonique $$\varphi_{\mathcal{E}} : \operatorname{det}(\M') \otimes_{\A} \operatorname{det}(\M'') \tilde{\rightarrow} \operatorname{det}(\M)$$ tel que $\varphi(m'_1 \wedge \ldots \wedge m'_{r'} \wedge m_1'' \wedge m''_{r''}) = \alpha(m'_1) \wedge \ldots \wedge \alpha(m'_{r'}) \wedge m_1 \wedge \ldots \wedge m_{r''}$ pour tous $m'_1, \ldots, m'_{r'} \in \M'$, $m''_1, \ldots, m''_{r''} \in \M''$ et $m_1, \ldots, m_{r''} \in \M$ avec $\beta(m_i) = m''_i$, o\`u $r'=\operatorname{rg}(\M'), \ r = \operatorname{rg}(\M)$ et $r'' = \operatorname{log}(\M'')$.

\end{document} 