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\begin{document}
{\bf Universit\'e Claude Bernard -- Lyon 1 et \'Ecole Normale Sup\'erieure de Lyon

Ann\'ee 2007/2008

Unit\'e d'enseignement : alg\`ebre approfondie

Examen du 7 janvier 2008}

Enseignant responsable : Bertrand R\'EMY

\vskip10pt

{\it Dur\'ee}~: 3 heures.

{\it Appareils \'electroniques autoris\'es}~: aucun.

{\it Documents autoris\'es}~: aucun.

{\it La clart\'e et la pertinence des explications sont un \'el\'ement d'appr\'eciation significatif de la copie}.

\vskip10pt

Les exercices de ce sujet d'examen ne sont pas ind\'ependants, aussi vous est-il recommand\'e de lire tout ce qui pr\'ec\`ede une question que vous souhaitez traiter.
Vous pouvez admettre un point pour en prouver un autre, pourvu que vous fassiez explicitement r\'ef\'erence au r\'esultat que vous utilisez.

\vskip 3pt

Tous les corps intervenant dans ce sujet sont commutatifs ; certaines structures de ${\bf Z}$-modules (i.e. de groupes ab\'eliens) proviennent de la loi multiplicative sur un corps.

\vskip 10pt

{\bf Exercice A.}
Soit $\Gamma$ un groupe.
Rappelons qu'une structure de $\Gamma$-{\it module}~sur un ${\bf Z}$-module $M$ est la donn\'ee d'un homomorphisme d'anneaux 
${\bf Z}[\Gamma] \to {\rm End}_{\bf Z}(M)$.
Dans la suite de cet exercice, on suppose que $M$ est un $\Gamma$-module.

\vspace{0.1cm} 

On dit qu'une application $c : \Gamma \to M$, not\'ee $\gamma \mapsto c_\gamma$, est un {\it $1$-cocycle}~de $\Gamma$ \`a valeurs dans $M$ si elle v\'erifie $c_{\gamma\gamma'} = c_\gamma + \gamma.c_{\gamma'}$ pour tous $\gamma$ et $\gamma'$ dans $\Gamma$.
On note ${\rm Z}^1(\Gamma, M)$ l'ensemble des $1$-cocycles de $\Gamma$ \`a valeurs dans $M$.

\vspace{0.1cm} 

1) Que vaut un $1$-cocycle en $1_\Gamma$ ? Qu'est-ce qu'un $1$-cocycle de $\Gamma$ \`a valeurs dans $M$ si l'action de $\Gamma$ sur $M$ est triviale ?

\vspace{0.1cm}

On dit qu'une application $c : \Gamma \to M$, not\'ee $\gamma \mapsto c_\gamma$, est un {\it $1$-cobord}~de $\Gamma$ \`a valeurs dans $M$ s'il existe $m \in M$ tel que $c_\gamma = m - \gamma.m$ pour tout $\gamma \in \Gamma$.
On note ${\rm B}^1(\Gamma, M)$ l'ensemble des $1$-cobords de $\Gamma$ \`a valeurs dans $M$.

\vspace{0.1cm}

2) V\'erifier que tout $1$-cobord de $\Gamma$ \`a valeurs dans $M$ est un $1$-cocycle de $\Gamma$ \`a valeurs dans $M$.

\vspace{0.1cm}

Dans la suite de ce sujet, on appelle {\it $1$-cohomologie}~de $\Gamma$ \`a valeurs dans $M$ le ${\bf Z}$-module quotient :
${\rm H}^1(\Gamma, M) = {\rm Z}^1(\Gamma, M) / {\rm B}^1(\Gamma, M)$.

3) Justifier que si le groupe $\Gamma$ est cyclique, tout $1$-cocycle $(c_\gamma)_{\gamma \in \Gamma} \in {\rm Z}^1(\Gamma, M)$ est compl\`etement caract\'eris\'e par sa valeur en un g\'en\'erateur de $\Gamma$.

4) On suppose que $\Gamma$ est fini cyclique de g\'en\'erateur $\sigma$.
On note ${\rm T} : M \to M$ l'application d\'efinie par ${\rm T}(m)=\sum_{\gamma\in\Gamma}Ê\gamma.m$ et on note $e_\sigma : {\rm Z}^1(\Gamma, M) \to M$ l'application d\'efinie par 
$e_\sigma(c) = c_\sigma$.
D\'emontrer que la suite 
$0 \to {\rm Z}^1(\Gamma, M) \, {\buildrel e_\sigma \over \longrightarrow}Ê\, M \, {\buildrel {\rm T} \over \longrightarrow} \, M$
est exacte.

5) On revient au cas d'un groupe $\Gamma$ quelconque et on se donne en outre un corps commutatif $K$.
D\'emontrer qu'un ensemble fini d'homomorphismes de groupes $\Gamma \to K^\times$ forme une partie libre du $K$-espace vectoriel des applications de $\Gamma$ dans $K$.

\vskip5pt

{\bf Exercice B.}
Soit $k$ un corps commutatif et soit $K/k$ une extension galoisienne finie de groupe de Galois $G={\rm Gal}(K/k)$.
On voit $K$, par loi additive de sa structure de corps, ainsi que $K^\times$, par sa loi multiplicative,  comme des $G$-modules au sens de l'exercice pr\'ec\'edent.

\vspace{0.1cm} 

1) Rappeler la d\'efinition de ${\rm Tr}_{K\mid k}$ et expliquer pourquoi on peut trouver un \'el\'ement $z \in K$ tel que ${\rm Tr}_{K\mid k}(z) \neq 0$.

2) Soit $c=(c_g)_{g \in G} \in {\rm Z}^1(G, K)$.
En consid\'erant $\displaystyle y = {1 \over {\rm Tr}_{K\mid k}(z)} \sum_{h\in G} c_h h(z)$, d\'emontrer que $c$ est un $1$-cobord de $G$ \`a valeurs dans $K$. 

3) Soit $c=(c_g)_{g \in G} \in {\rm Z}^1(G, K^\times) {\bf  -}Ê\{Ê0 \}$.
Justifier qu'il existe $z \in K^\times$ tel que $\displaystyle \sum_{h \in G} c_h h(z) \in K^\times$.
On pourra utiliser l'exercice pr\'ec\'edent avec un groupe $\Gamma$ judicieux.

4) D\'emontrer que ${\rm H}^1(G,K^\times) = \{ 0 \}$.

\vspace{0.1cm} 

Une reformulation de 2) et 4) est que l'on a les annulations de cohomologie 
${\rm H}^1(G,K) = \{ 0 \}$ et ${\rm H}^1(G,K^\times) = \{ 0 \}$ : c'est l'\'enonc\'e de ce qu'on appelle le {\it th\'eor\`eme 90 de Hilbert}. 

\vspace{0.1cm} 

On suppose d\'esormais que $K/k$ est une extension cyclique et on note $\sigma$ un g\'en\'erateur de $G$.

\vspace{0.1cm} 

5) D\'emontrer que pour tout $x \in K$, on a ${\rm Tr}_{K\mid k}(x) = 0$ si, et seulement si, il existe $y \in K$ tel que $x = y - \sigma(y)$.

6) D\'emontrer que pour tout $x \in K^\times$, on a ${\rm N}_{K\mid k}(x) = 1$ si, et seulement si, il existe $y \in K^\times$ tel que $\displaystyle x = {y\over \sigma(y)}$.

\vskip5pt

{\bf Exercice C.} Soit $n$ un nombre entier naturel $\geqslant 1$.
Soit $k$ un corps commutatif de caract\'eristique $p \geqslant 0$ ne divisant pas $n$ et de cl\^oture alg\'ebrique $\overline k$.
On d\'esigne par $\mu_n(\overline k)$ l'ensemble des racines $n$-i\`emes de l'unit\'e de $\overline k$ et on suppose que $\mu_n(\overline k) \subset k$.

\vspace{0.1cm} 

Dans les trois premi\`eres questions, on se donne $a \in k$ et on note $K$ l'extension de d\'ecomposition de $X^n-a$ dans $\overline k$ et $G={\rm Gal}(K/k)$.

\vspace{0.1cm} 

1) Au moyen d'une racine de $X^n-a$, disons $x$, d\'efinir un homomorphisme de groupes injectif $G \hookrightarrow \mu_n(\overline k)$.
En d\'eduire que $G$ est isomorphe \`a un groupe ${\bf Z}/r{\bf Z}$ o\`u $r \mid n$.
Cet homomorphisme d\'epend-il de $x$ ?

2) D\'emontrer que $X^r-x^r$ est le polyn\^ome minimal de $x$ sur $k$.

3) En d\'eduire que $r$ est le plus petit nombre entier naturel $s \geqslant 1$ tel que $x^s \in k$ et que $X^n-a$ est irr\'eductible sur $k$ si, et seulement si, 
$G \simeq {\bf Z}/n{\bf Z}$.

\vspace{0.1cm} 

Maintenant, on suppose que $K/k$ est une extension cyclique de degr\'e $n$ et on note $\zeta$ une racine primitive $n$-i\`eme de l'unit\'e dans $\overline k$ et $\sigma$ un g\'en\'erateur de $G={\rm Gal}(K/k)$.

\vspace{0.1cm} 

4) Justifier qu'il existe $y \in K^\times$ tel que $\displaystyle \zeta^{-1} = {y \over \sigma(y)}$.

5) D\'emontrer que $k(y) = K$.

6) D\'emontrer qu'il existe $a \in k$ tel que le polyn\^ome $X^n-a$ soit irr\'eductible sur $k$ et que $K$ en soit le corps de d\'ecomposition et de rupture sur $k$.

\vskip5pt

{\bf Exercice D.} 
Soit $k$ un corps commutatif de caract\'eristique $p>0$ et de cl\^oture alg\'ebrique $\overline k$.
On note ${\rm F}$ l'endomorphisme de Frobenius de $\overline k$.

\vspace{0.1cm} 

Dans les trois premi\`eres questions, on se donne $a \in k$ tel que $X^p-X-a$ n'ait pas de racine dans $k$ ; on note $K$ l'extension de d\'ecomposition de $X^p-X-a$ dans $\overline k$ et $G={\rm Gal}(K/k)$.

\vspace{0.1cm} 

1) Justifier que le polyn\^ome $X^p-X-a$ est s\'eparable sur $k$ et d\'ecrire le noyau de ${\mathfrak p}={\rm F}-{\rm id}_{\overline k}$.

2) Soit $x$ une racine de $X^p-X-a$ dans $\overline k$.
D\'emontrer que $g(x)-x \in {\rm Ker}({\mathfrak p})$ pour tout $g \in G$ et d\'efinir un homomorphisme de groupes injectif $G \hookrightarrow {\cal S}_p$, o\`u ${\cal S}_p$ d\'esigne le groupe sym\'etrique de l'ensemble $\{ 1; 2; ... \, ; p \}$

3) D\'emontrer que $G$ est ab\'elien et en d\'eduire que $K/k$ est une extension cyclique de groupe de Galois isomorphe \`a ${\bf Z}/p{\bf Z}$.


\vspace{0.1cm} 

Maintenant, on suppose que $K/k$ est une extension cyclique de degr\'e $p$ et on note $\sigma$ un g\'en\'erateur de $G={\rm Gal}(K/k)$.

\vspace{0.1cm} 

4) En utilisant ${\rm Tr}_{K\mid k}$ justifier qu'il existe $y \in K$ tel que $\sigma(y) = y+1$.

5) D\'emontrer que $k(y) = K$.

6) D\'emontrer qu'il existe $a \in k$ tel que le polyn\^ome $X^p-X-a$ soit irr\'eductible sur $k$ et que $K$ en soit le corps de d\'ecomposition et de rupture sur $k$.

\vskip5pt

{\bf Exercice E.} 
Soit $p$ un nombre premier et soit $a \in {\bf Z}$ non multiple de $p$.
D\'emontrer que le polyn\^ome $X^p-X-a$ est irr\'eductible sur ${\bf Z}$.

\end{document}