Algèbre approfondie - Automne 2008 ENS-Lyon

Théorie de Galois I

Exercice 1 (Le théorème de Chevalley-Warning)— Soit K un corps fini de cardinal q et de caractéristique p. Étant donné un polynôme f ∈ K[T_{1},...,T_{n}], on pose S(f) = ∑_{x∈K^{n}} f(x).

1. Calculer S(T_{1}^{ν_{1}} ...T_{n}^{ν_{n}}) pour tout n-uplet (ν_{1},...,ν_{n}) ∈ ℕ^{n}.

2. Soient f_{1},...,f_{m} des polynômes dans K[T_{1},...,T_{n}] de degrés respectifs d_{1},...,d_{m} et soit V l’ensemble de leurs zéros communs dans K^{n}.

On pose f = ∏ _{i=1}^{m} (1 − f_{i}^{q−1} ). Calculer S(f) en fonction de Card(V) et en déduire le théorème de Chevalley-Warning : si d_{1}+ ...+ d_{m}< n, Card(V) est divisible par p.

3. Déduire de ce qui précède que, si d_{1} + ...+ d_{m} < n et si les polynômes f_{1},...,f_{m} sont sans termes constants, alors V contient un point x de K^{n} distinct de 0 = (0,...,0).

Exercice 2 (Polynômes cyclotomiques sur les corps finis) — Soit K un corps fini de cardinal q et de caractéristique p et soit \overline{K}une clôture algébrique de K.

On rappelle que, pour tout entier naturel n ≥ 1, Φ_{n} ∈ ℤ[T] désigne le n-ème polynôme cyclotomique. Ses racines dans une clôture algébrique de ℚ sont les racines primitives n-ème de l’unité.

1. Soient r ≥ 0 et n ≥ 1 des entiers naturels. Si n est premier à p, démontrer que l’on a Φ_{np^{r}} = (Φ_{n})^{p^{r−1} (p−1)} dans 𝔽_{p}[T].

2. Soit α un élément de \overline{K}^{×}. Démontrer qu’il existe un plus petit entier naturel n ≥ 1 tel que α^{n}= 1, vérifier que n est premier à p et établir que le degré de α sur K est égal à l’ordre de q dans le groupe (ℤ/nℤ)^{×}.

3. Soit n ≥ 2 un entier premier à p. Démontrer que le polynôme Φ_{n} est séparable dans K[T] puis déduire de la question précédente que tous les facteurs irréductibles de Φ_{n} dans K[T] ont le même degré.

4. Démontrer que le polynôme T^{4} + 1 est irréductible dans ℚ[T] mais qu’il est réductible dans 𝔽_{p}[T] pour tout nombre premier p. Comment peut-on généraliser cette observation ?

Exercice 3 — Soient K un corps et L/K une extension algébrique séparable (ce qui signifie que tout élément de L est racine d’un polynôme séparable dans K[T]).

Supposons qu’il existe un entier naturel n tel que tout élément de L soit de degré au plus n sur K ; démontrer que L est alors une extension finie de K de degré au plus n.

Exercice 4 — Soit K le corps engendré sur ℚ par les éléments \sqrt{2} et i de ℂ.

1. Montrer que K est de degré 4 sur ℚ et en donner un élément primitif dont on précisera le polynôme minimal.

2. Démontrer que l’extension K/ℚ est galoisienne et que le groupe de Galois Gal(K/ℚ) est isomorphe à (ℤ/2ℤ)^{2}.

3. Dresser la liste des sous-corps de K.

Exercice 5 — Soient K un corps, \overline{K}une clôture algébrique de K et L/K une extension finie galoisienne de K dans \overline{K}.

Étant donnés un élément x de L et un conjugué y de x dans \overline{K}(c’est-à-dire une racine du polynôme minimal de x dans \overline{K}), démontrer que y appartient à L et qu’il existe un élément σ de Gal(L/K) tel que σ(x) = y. Combien y a-t-il de tels σ ?

Exercice 6 — Soient K un corps, \overline{K}une clôture algébrique de K et L/K une extension finie galoisienne de K dans \overline{K} de groupe G. Soit H un sous-groupe de G et soit E = L^{H} l’extension de K dans L fixée par H.

Démontrer que la clôture galoisienne de E dans \overline{K}est contenue dans L et déterminer le sous-groupe de G lui correspondant.

Exercice 7 — Soient k un corps, L = k(T_{1},...,T_{n}) le corps des fractions rationnelles en n variables à coefficients dans k et soit K le sous-corps de L engendré sur k par les fonctions symétriques élémentaires Σ_{1},...,Σ_{n}.

1. Démontrer que L est une extension galoisienne finie de K de groupe de Galois 𝔖_{n}.

2. Lorsque le corps k est de caractéristique 0, vérifier que T_{1}+ 2T_{2}+ ...+ nT_{n} engendre L sur K.

3. Soit f ∈ L et soit H ⊂ 𝔖_{n} le sous-groupe fixant f.Démontrer que l’extension L/K(f) est galoisienne de groupe H.

4. Déduire de ce qui précède que toute fraction rationnelle g ∈ L ayant le même stabilisateur que f peut s’exprimer comme une fraction rationnelle en f et en les Σ_{1},...,Σ_{n}. Étudier l’exemple explicite n = 3, f = T_{1}T_{2}+ T_{3} et g = T_{3}.

Exercice 8 (Lemme de Dedekind) — Soient G un groupe, k un corps et g_{1},...,g_{n} des homomorphismes distincts de G dans le groupe multiplicatif k^{×}.

1. Démontrer que g_{1},...,g_{n} sont linéairement indépendants sur k. (Indication : raisonner par l’absurde en considérant une relation de dépendance linéaire ne faisant intervenir aucun coefficient non nul.)

2. Soit K un corps et σ_{1},...,σ_{n} des homomorphismes distincts de k dans K. Déduire de ce qui précède que σ_{1},...,σ_{n} sont linéairement indépendants sur K, puis que k est de degré au moins n sur le sous-corps

k_{0} = {a ∈ k | σ_{1}(a) = ... = σ_{n}(a)}.

Exercice 9 (Le théorème de la base normale) — Soit L/K une extension galoisienne finie de groupe G. Nous allons démontrer qu’il existe un élément α de L tel que les [L : K]-éléments σ(α), σ ∈ G, forment une base de L sur K.

1. Démontrer directement cette assertion lorsque le corps K est fini.

2. Supposons maintenant que le corps K soit infini et soit x un élément primitif de L de polynôme minimal f ∈ K[T]. Quel que soit σ ∈ G, on pose

R_{σ} = \frac{f}{(T − σ(x))f′(σ(x))} .

(i) Vérifier que ∑_{σ∈G} R_{σ} = 1 puis en déduire que

R_{σ}^{2} ≡ R_{σ} (modf)

pour tout σ ∈ G.

(ii) Démontrer que le déterminant D de la matrice (R_{τσ}))_{(τ,σ)∈G^{2}} est un élément de L[T] tel que D^{2} ≡ 1 (modf).

(iii) Déduire de ce qui précède qu’il existe un élément y de K tel que, posant α = R_{1}(y), L soit linéairement engendré sur K par les σ(α), σ ∈ G.