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\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre approfondie - Automne 2008} \hfill \textbf{ENS-Lyon}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}

\begin{center} 
{\bfseries \scshape Th\'eorie de Galois I}
\end{center}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 1} (\emph{Le th\'eor\`eme de Chevalley-Warning})--- Soit $\K$ un corps fini de cardinal $q$ et de caract\'eristique $p$. \'Etant donn\'e un polyn\^ome $f \in \K[\T_1, \ldots, \T_n]$, on pose $\Sr(f) = \sum_{\mathbf{x} \in \K^n} f(\mathbf{x})$.

\vspace{0.1cm} \noindent 1. Calculer $\Sr(\T_1^{\nu_1} \ldots \T_n^{\nu_n})$ pour tout $n$-uplet $(\nu_1, \ldots, \nu_n) \in \mathbb{N}^{n}$.

\vspace{0.1cm} \noindent 2. Soient $f_1, \ldots, f_m$ des polyn\^omes dans $\K[\T_1, \ldots, \T_n]$ de degr\'es respectifs $d_1, \ldots, d_m$ et soit $\V$ l'ensemble de leurs z\'eros communs dans $\K^n$.

On pose $f = \prod_{i=1}^m (1-f_i^{q-1})$. Calculer $\Sr(f)$ en fonction de $\mathrm{Card}(\V)$ et en d\'eduire le th\'eor\`eme de Chevalley-Warning : \emph{si $d_1 + \ldots + d_m < n$, $\mathrm{Card}(\V)$ est divisible par $p$.} 

\vspace{0.1cm} 3. D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que, si $d_1 + \ldots + d_m < n$ et si les polyn\^omes $f_1, \ldots, f_m$ sont sans termes constants, alors $\V$ contient un point $\mathbf{x}$ de $\K^n$ distinct de $\mathbf{0} = (0, \ldots, 0)$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 2} (\emph{Polyn\^omes cyclotomiques sur les corps finis}) --- Soit $\K$ un corps fini de cardinal $q$ et de caract\'eristique $p$ et soit $\overline{\K}$ une cl\^oture alg\'ebrique de $\K$.

On rappelle que, pour tout entier naturel $n \geq 1$, $\Phi_n \in \mathbb{Z}[\T]$ d\'esigne le $n$-\`eme polyn\^ome cyclotomique. Ses racines dans une cl\^oture alg\'ebrique de $\mathbb{Q}$ sont les racines \emph{primitives} $n$-\`eme de l'unit\'e.
 
\vspace{0.1cm} 1. Soient $r \geq 0$ et $n \geq 1$ des entiers naturels. Si $n$ est premier \`a $p$, d\'emontrer que l'on a $\Phi_{np^r} = (\Phi_n)^{p^{r-1}(p-1)}$ dans $\mathbb{F}_p[\T]$.

\vspace{0.1cm} 2. Soit $\alpha$ un \'el\'ement de $\overline{\K}^{\times}$. D\'emontrer qu'il existe un plus petit entier naturel $n \geq 1$ tel que $\alpha^n = 1$, v\'erifier que $n$ est premier \`a $p$ et \'etablir que le degr\'e de $\alpha$ sur $\K$ est \'egal \`a l'ordre de $q$ dans le groupe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$.  

\vspace{0.1cm} 3. Soit $n \geq 2$ un entier premier \`a $p$. D\'emontrer que le polyn\^ome $\Phi_n$ est s\'eparable dans $\K[\T]$ puis d\'eduire de la question pr\'ec\'edente que tous les facteurs irr\'eductibles de $\Phi_n$ dans $\K[\T]$ ont le m\^eme degr\'e.

\vspace{0.1cm} 4. D\'emontrer que le polyn\^ome $\T^4 +1$ est irr\'eductible dans $\mathbb{Q}[\T]$ mais qu'il est r\'eductible dans $\mathbb{F}_p[\T]$ pour tout nombre premier $p$. Comment peut-on g\'en\'eraliser cette observation? 

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 3} --- Soient $\K$ un corps et $\Lr/\K$ une extension alg\'ebrique s\'eparable (ce qui signifie que tout \'el\'ement de $\Lr$ est racine d'un polyn\^ome s\'eparable dans $\K[\T]$).

\vspace{0.1cm} Supposons qu'il existe un entier naturel $n$ tel que tout \'el\'ement de $\Lr$ soit de degr\'e au plus $n$ sur $\K$ ; d\'emontrer que $\Lr$ est alors une extension finie de $\K$ de degr\'e au plus $n$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 4} --- Soit $\K$ le corps engendr\'e sur $\mathbb{Q}$ par les \'el\'ements $\sqrt{2}$ et $i$ de $\mathbb{C}$.

\vspace{0.1cm} 1. Montrer que $\K$ est de degr\'e $4$ sur $\mathbb{Q}$ et en donner un \'el\'ement primitif dont on pr\'ecisera le polyn\^ome minimal.

\vspace{0.1cm} 2. D\'emontrer que l'extension $\K/\mathbb{Q}$ est galoisienne et que le groupe de Galois $\mathrm{Gal}(\K/\mathbb{Q})$ est isomorphe \`a $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$. 

\vspace{0.1cm} 3. Dresser la liste des sous-corps de $\K$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 5} --- Soient $\K$ un corps, $\overline{\K}$ une cl\^oture alg\'ebrique de $\K$ et $\Lr/\K$ une extension finie galoisienne de $\K$ dans $\overline{\K}$.

\'Etant donn\'es un \'el\'ement $x$ de $\Lr$ et un conjugu\'e $y$ de $x$ dans $\overline{\K}$ (c'est-\`a-dire une racine du polyn\^ome minimal de $x$ dans $\overline{\K}$), d\'emontrer que $y$ appartient \`a $\Lr$ et qu'il existe un \'el\'ement $\sigma$ de $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ tel que $\sigma(x)=y$. Combien y a-t-il de tels $\sigma$?

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 6} --- Soient $\K$ un corps, $\overline{\K}$ une cl\^oture alg\'ebrique de $\K$ et $\Lr/\K$ une extension finie galoisienne de $\K$ dans $\overline{\K}$ de groupe $\G$. Soit $\Hr$ un sous-groupe de $\G$ et soit $\E=\Lr^{\Hr}$ l'extension de $\K$ dans $\Lr$ fix\'ee par $\Hr$.

D\'emontrer que la cl\^oture galoisienne de $\E$ dans $\overline{\K}$ est contenue dans $\Lr$ et d\'eterminer le sous-groupe de $\G$ lui correspondant.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 7} --- Soient $k$ un corps, $\Lr=k(\T_1, \ldots, \T_n)$ le corps des fractions rationnelles en $n$ variables \`a coefficients dans $k$ et soit $\K$ le sous-corps de $\Lr$ engendr\'e sur $k$ par les fonctions sym\'etriques \'el\'ementaires $\Sigma_1, \ldots, \Sigma_n$.

\vspace{0.1cm} 1. D\'emontrer que $\Lr$ est une extension galoisienne finie de $\K$ de groupe de Galois $\mathfrak{S}_n$.

\vspace{0.1cm} 2. Lorsque le corps $k$ est de caract\'eristique $0$, v\'erifier que $\T_1 + 2\T_2 + \ldots + n\T_n$ engendre $\Lr$ sur $\K$.

\vspace{0.1cm} 3. Soit $f \in \Lr$ et soit $\Hr \subset \mathfrak{S}_n$ le sous-groupe fixant $f$.D\'emontrer que l'extension $\Lr/\K(f)$ est galoisienne de groupe $\Hr$.

\vspace{0.1cm} 4. D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que toute fraction rationnelle $g \in \Lr$ ayant le m\^eme stabilisateur que $f$ peut s'exprimer comme une fraction rationnelle en $f$ et en les $\Sigma_1, \ldots, \Sigma_n$. \'Etudier l'exemple explicite $n=3, \ f=\T_1\T_2 + \T_3$ et $g=\T_3$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 8} (\emph{Lemme de Dedekind}) --- Soient $\G$ un groupe, $k$ un corps et $g_1, \ldots, g_n$ des homomorphismes distincts de $\G$ dans le groupe multiplicatif $k^{\times}$.

\vspace{0.1cm} 1. D\'emontrer que $g_1, \ldots, g_n$ sont lin\'eairement ind\'ependants sur $k$.

\noindent \emph{(Indication : raisonner par l'absurde en consid\'erant une relation de d\'ependance lin\'eaire ne faisant intervenir aucun coefficient non nul.})

\vspace{0.1cm} 2. Soit $\K$ un corps et $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$ des homomorphismes distincts de $k$ dans $\K$. D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$ sont lin\'eairement ind\'ependants sur $\K$, puis que $k$ est de degr\'e au moins $n$ sur le sous-corps $$k_0 = \{a \in k \ | \ \sigma_1(a) = \ldots = \sigma_n(a)\}.$$  

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 9} (\emph{Le th\'eor\`eme de la base normale}) --- Soit $\Lr/\K$ une extension galoisienne finie de groupe $\G$. Nous allons d\'emontrer qu'il existe un \'el\'ement $\alpha$ de $\Lr$ tel que les $[\Lr:\K]$-\'el\'ements $\sigma(\alpha)$, $\sigma \in \G$, forment une base de $\Lr$ sur $\K$.

\vspace{0.1cm} 1. D\'emontrer directement cette assertion lorsque le corps $\K$ est fini.

\vspace{0.1cm} 2. Supposons maintenant que le corps $\K$ soit infini et soit $x$ un \'el\'ement primitif de $\Lr$ de polyn\^ome minimal $f \in \K[\T]$. Quel que soit $\sigma \in \G$, on pose $$\R_\sigma = \frac{f}{(\T-\sigma(x))f'(\sigma(x))}.$$

\indent (i) V\'erifier que $\sum_{\sigma \in \G} \R_\sigma = 1$ puis en d\'eduire que $${\R_\sigma}^2 \equiv \R_\sigma \ (\mathrm{mod} \ f)$$ pour tout $\sigma \in \G$.

\indent (ii) D\'emontrer que le d\'eterminant $\D$ de la matrice $(R_{\tau \sigma}))_{(\tau, \sigma) \in \G^2}$ est un \'el\'ement de $\Lr[\T]$ tel que $\D^2 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ f)$. 

\indent (iii) D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede qu'il existe un \'el\'ement $y$ de $\K$ tel que, posant $\alpha = \R_1(y)$, $\Lr$ soit lin\'eairement engendr\'e sur $\K$ par les $\sigma(\alpha)$, $\sigma \in \G$.  



\end{document}