Algèbre approfondie - Automne 2007 ENS-Lyon

Théorie de Galois I - Corrigé

Exercice 1 — 1. Par définition même, S(f) est un élément du corps fini K.

Considérons tout d’abord le cas d’une variable (n = 1).

– On a S(1) = q = 0.

– Le groupe multiplicatif K^{×} étant cyclique, il existe ζ ∈ K^{×} tel que

S(T^{ν}) = ∑_{x∈K}x^{ν} = ∑_{x∈K^{×}} x^{ν} = ∑_{0≤i≤q−2} ζ^{νi}

pour tout entier naturel ν ≥ 1 ; on a donc

S(T^{ν}) = \{ \begin{matrix}\frac{1−ζ^{ν(q−1)}}{1−ζ^{ν}} & = & 0 & si q − 1 ∤ ν \\ q − 1 & = & −1 & si q − 1|ν. \end{matrix}

Le cas général s’en déduit immédiatement :

S(T_{1}^{ν_{1}} ...T_{n}^{ν_{n}}) = ∑_{x∈K^{n}} x_{1}^{ν_{1}} ...x_{n}^{ν_{n}} = ( ∑_{x_{1}∈K}x_{1}^{ν_{1}}) ...( ∑_{x_{n}∈K}x_{n}^{ν_{n}}) = S(T^{ν_{1}})...S(T^{ν_{n}})

= \{ \begin{matrix}(−1)^{n} & si ν_{i} > 0 et q − 1|ν_{i} pour tout i \\ 0 & sinon. \end{matrix}

2. Quel que soit x ∈ K^{n},

f(x) = \{ \begin{matrix}0 & si x ∉ V \\ 1 & si x ∈ V \end{matrix}

et donc S(f) = Card(V).

D’autre part, l’hypothèse sur les degrés des polynômes f_{i} fournit l’inégalité

deg(f) ≤ ∑_{1≤i≤m} (q − 1)deg(f_{i}) < (q − 1)n

et donc, si l’on écrit f sous la forme ∑_{ν∈ℕ^{n}} a_{ν}T^{ν}, a_{ν} = 0 pour tout multi-indice ν tel que, pour tout i, ν_{i} > 0 et q − 1|ν_{i}; vu la première question, ceci implique S(f) = 0. Nous obtenons ainsi la congruence Card(V) ≡ 0 (modp).

Si les polynômes f_{i} sont sans termes constants, 0 est un zéro commun et V est donc non vide. On a alors Card(V) ≥ 2 en vertu de ce qui précède, ce qui établit l’existence d’un point x de K^{n}− {0} dans V. En particulier : si f_{1},...,f_{m} sont des polynômes homogènes non constants tels que deg(f_{1}) + ...+ deg(f_{m}) < n, ils possèdent un zéro commun non trivial dans K^{n} (ou de manière équivalente, le sous-ensemble de l’espace projectif ℙ^{n}(K) défini par l’annulation simultanée des f_{i} est non vide).

Exercice 2 — 1. Les polynômes cyclotomiques Φ_{d} ∈ ℤ[T] sont irréductibles^{(1)} et

T^{n}− 1 = ∏_{d|n}Φ_{d}

pour tout entier naturel n ≥ 1. Dans tout ce qui suit, nous travaillons avec les réductions modulo p des polynômes cyclotomiques et allons étudier leur réductibilité sur les extensions finies de 𝔽_{p}.

Étant donné un entier n ≥ 2 premier à p, le polynôme T^{n}− 1 de 𝔽_{p}[T] est séparable sur 𝔽_{p} puisqu’il est premier à son polynôme dérivé nT^{n−1} ≠ 0 dans 𝔽^{p}[T] ; il possède donc n racines distinctes dans une clôture algébrique de 𝔽_{p} et les polynômes cyclotomiques Φ_{d} et Φ_{d′}associés à des diviseurs distincts d et d′de N sont par conséquent premiers entre eux dans 𝔽_{p}[T].

(1)Voir l’exercice 2 de la fiche Théorie de Galois II

Vu l’identité T^{p^{r}n}− 1 = (T^{n}− 1)^{p^{r}} dans 𝔽_{p}[T], les polynômes Φ_{p^{i}d} et Φ_{d} ont les mêmes racines dans une clôture algébrique de 𝔽_{p} pour tout d divisant n et tous deux sont par conséquent premiers aux polynômes Φ_{p^{j}d′} lorsque d′est un diviseur de n distinct de d. Vu cette observation, l’identité

( ∏_{d|n}Φ_{d}) ^{p^{r}} = ∏_{δ|p^{r}n}Φ_{δ} = ∏_{d|n}( ∏_{i=0}^{r} Φ_{p^{i}d})

implique

∏_{i=0}^{r} Φ_{p^{i}d} = Φ_{d}^{p^{r}}

pour tout diviseur d de n, d’où l’on tire Φ_{p^{i}d} = Φ_{d}^{p^{i−1} (p−1)} pour tout i ∈ {1,...,r} grâce à un raisonnement par récurrence élémentaire :

– comme Φ_{pd}Φ_{d} = Φ_{d}^{p} (faire r = 1), Φ_{pd} = Φ_{d}^{p−1} et l’assertion est établie pour i = 1 ;

– si Φ_{p^{j}d} = Φ_{d}^{p^{j−1} (p−1)} pour 1 ≤ j ≤ i − 1, l’identité Φ_{p^{i}d}Φ_{p^{i−1} d}...Φ_{d} = Φ_{d}^{p^{i}} implique Φ_{p^{i}d}Φ_{d}^{(p^{i−1} −1)} = Φ_{d}^{p^{i}}

et donc Φ_{p^{i}d} = Φ_{d}^{p^{i−1} (p−1)} .

2. Tout élément α de \overline{K}^{×} est contenu dans une extension finie de K et donc appartient au groupe multiplicatif d’un corps fini ; il existe ainsi un plus petit entier naturel n ≥ 1 tel que α^{n} = 1. Cet entier est évidemment premier à p puisque le groupe multiplicatif d’un corps fini de caractéristique p est d’ordre premier à p.

Étant donnée une extension finie L de K dans \overline{K} contenant α, le groupe de Galois Gal(L|K) est engendré par l’automorphisme de Frobenius relatif L → L, x ↦ x^{q}. Le degré de α sur K est l’indice du stabilisateur de α dans Gal(L|K) ; c’est donc le plus petit entier d tel que α^{q^{d}} = α, soit de manitère équivalente le plus petit entier d tel que n|q^{d}− 1 ou encore l’ordre de q dans le groupe (ℤ/nℤ)^{×}.

3. Le polynôme Φ_{n} est séparable sur 𝔽_{p} lorsque l’entier n est premier car c’est un diviseur du polynôme séparable T^{n}−1. Deux racines du polynôme Φ_{n} dans \overline{K}ont évidemment le même ordre dans le groupe \overline{K}^{×} : en effet, le polynôme T^{n}− 1 étant séparable, la situation est analogue à celle rencontrée sur ℚ et la factorisation T^{n}− 1 = ∏ _{d|n}Φ_{d} implique immédiatement que les racines du polynôme Φ_{n} dans \overline{K} sont les φ(n) éléments d’ordre n du groupe cyclique \overline{K}^{×}.

Le degré d’un facteur irréductible de Φ_{n} ayant une racine α dans \overline{K} est le degré de l’extension K(α)/K ; d’après ce que l’on vient de dire, il découle directement de la question précédente que ce degré est l’ordre de q dans le groupe (ℤ/nℤ)^{×} et c’est donc le même pour tout facteur irréductible. Conclusion : (i) Pour tout entier naturel n ≥ 1 premier à p, le polynôme cyclotomique Φ_{n} est irréductible sur K si et seulement si q engendre le groupe (ℤ/nℤ)^{×} ; a contrario, ce polynôme est scindé sur 𝔽_{p} si et seulement si q ≡ 1 (mod.n). (ii) Lorsque p ≥ 3, Φ_{n} est réductible sur 𝔽_{p} dès que p divise n en vertu de la question 1. (iii) Pour tout entier impair n ≥ 1, Φ_{2n} = Φ_{n} dans K[T] si p = 2.

Le premier résultat permet de démontrer un cas particulier du théorème de la progession arithmétique de Dirichlet — qui affirme que pour tous entiers a,b ∈ ℤ − {0} premiers entre eux, la suite arithmétique a + bℤ contient une infinité de nombres premiers : quel que soit l’entier k ≥ 1, un nombre premier p divisant Φ_{n}(k!) est

– congru à 1 modulo n car le polynôme Φ_{n} possède une racine dans 𝔽_{p} et donc est scindé dans 𝔽_{p}[T] ;

– supérieur à k + 1 car p divise (k!)^{n}− 1. Comme Φ_{n}(k!) ∉ {−1,0,1} dès que l’entier k est suffisamment grand, il existe donc une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo n.

4. D’après ce qui précède, le polynôme cyclotomique Φ_{n} est réductible sur 𝔽_{p} pour tout nombre premier p dès que le groupe (ℤ/nℤ)^{×} n’est pas cyclique, ce qui est le cas si et seulement si n ∉ {1,2,4} et si n n’est pas de la forme 2^{ε}p^{ν} avec ε ∈ {0,1} et ν ≥ 1. Ceci fournit une infinité de polynômes irréductibles dans ℤ[T] devenant réductibles dans 𝔽_{p}[T] pour chaque nombre premier p; tel est le cas par exemple du polynôme T^{4}+ 1 = Φ_{8}.

Exercice 3 — Si [L : K] > n, il existe une extension finie K′de K dans L telle que [K′: K] > n; comme L/K est séparable, il en est de même de K′/K et le théorème de l’élément primitif garantit alors l’existence d’un élément x de L tel que K′= K(x) ; on aboutit ainsi à une contradiction puisque un tel x est de degré [K′: K] > n sur K.

Exercice 4 — 1. On a [K : ℚ] = [K : ℚ(\sqrt{2})][ℚ(\sqrt{2}) : ℚ] et [ℚ(\sqrt{2}) : ℚ] = 2, [K : ℚ(\sqrt{2}] = 2 (le polynôme T^{2}+ 1 est irréductible sur ℚ(\sqrt{2}) ⊂ ℝ), donc [K : ℚ] = 4. L’élément \sqrt{2}+ i de K est primitif car il est annulé par le polynôme

(T − (\sqrt{2}+ i))(T − (\sqrt{2}− i))(T + (\sqrt{2}+ i))(T + (\sqrt{2}− i)) = T^{4}− 8T^{2}+ 9,

qui est irréductible sur ℚ puisqu’aucun de ses facteurs de degré 1 ou 2 sur K n’appartient à ℚ.

2. L’extension ℚ(\sqrt{2})/ℚ est galoisienne et Gal(ℚ(\sqrt{2})/ℚ) est le groupe cyclique d’ordre 2 engendré par le ℚ-automorphisme

ℚ(\sqrt{2}) → ℚ(\sqrt{2}), a + b\sqrt{2} ↦ a − b\sqrt{2}.

L’extension K/ℚ(\sqrt{2}) étant séparable de degré 2, il existe deux plongements distincts de K dans le corps algébriquement clos ℂ prolongeant un plongement donné de ℚ(\sqrt{2}) dans ℂ; on obtient ainsi quatre plongements distincts τ_{ℓ}: K → ℂ, 1 ≤ ℓ ≤ 4, avec

τ_{1}(\sqrt{2}) = τ_{2}(\sqrt{2}) = \sqrt{2} et τ_{3}(\sqrt{2}) = τ_{4}(\sqrt{2}) = −\sqrt{2}.

Chacun des plongements τ_{ℓ} envoyant nécessairement i sur l’une des racines du polynôme T^{2} + 1 dans ℂ, τ_{ℓ}(i) = ±i pour tout ℓ et donc τ_{ℓ}(K) ⊂ K. Il existe ainsi |K : ℚ] = 4 automorphismes distincts de K au-dessus de ℚ et l’extension K/ℚ est par conséquent galoisienne. Tout ℚ-automorphisme de K étant complètement déterminé par son action sur \{±\sqrt{2},±i\}, nous pouvons supposer que l’on a

τ_{1}(\sqrt{2}) = \sqrt{2} et τ_{1}(i) = i, τ_{2}(\sqrt{2}) = \sqrt{2} et τ_{2}(i) = −i,
τ_{3}(\sqrt{2}) = −\sqrt{2} et τ_{3}(i) = i, τ_{4}(\sqrt{2}) = −\sqrt{2} et τ_{4}(i) = −i.

La loi de groupe sur Gal(K/ℚ) = {τ_{1},τ_{2},τ_{3},τ_{4}} est manifeste : c’est le produit des deux groupes cycliques {τ_{1},τ_{2}} et {τ_{1},τ_{3}}.

3. Les sous-groupes de (ℤ/2ℤ)^{2} sont au nombre de cinq : outre {(0,0)} et (ℤ/2ℤ)^{2}, il y a les trois groupes cycliques d’ordre 2 respectivement engendrés par (1,0), (0,1) et (1,1). Les sous-groupes de Gal(K/ℚ) sont donc

{τ_{1}}, Gal(K/ℚ), {τ_{1},τ_{2}}, {τ_{1},τ_{3}} et {τ_{1},τ_{4}},

auquels correspondent respectivement les sous-corps K, ℚ, ℚ(\sqrt{2}), ℚ(i) et ℚ(i\sqrt{2}) de K.

Exercice 5 — Soit P ∈ K[T] le polynôme minimal de x sur K et soit R l’ensemble des racines de P dans L. Le groupe de Galois Gal(L/K) opère transitivement sur R car le polynôme P est irréductible sur K tandis que le stabilisateur de x dans Gal(L/K) est un sous-groupe H d’indice [K(x) : K] = deg(P) puisque K(x) = L^{H}. On en déduit que l’ensemble R est de cardinal (Gal(L/K) : H) = deg(P) et donc que le polynôme P est scindé sur L.

Les éléments σ de Gal(L/K) fixant x constituent une classe à gauche modulo le fixateur H = Gal(L/K(x)) de x dans Gal(L/K) et il y a par conséquent |H| tels éléments.

Exercice 6 — La clôture galoisienne de E dans \overline{K} est le sous-corps de \overline{K} engendré par tous les conjugués des éléments de E ou, de manière équivalente, par les images de E sous les différents K-plongements de E dans \overline{K}. L’extension L/E étant séparable, tout K-plongement σ de E dans \overline{K} se prolonge en un K-plongement σ̃ de L dans \overline{K} et σ̃(L) = L puisque L est une extension galoisienne de K. Cela prouve que la clôture galoisienne de E dans \overline{K} est contenue dans L et peut donc être définie de manière équivalente comme la plus petite extension galoisienne de K dans \overline{K}contenant E.

La clôture galoisienne E^{g} de E dans \overline{K}(ou, de manière équivalente, dans L) est le plus petit sous-corps de L contenant E qui soit galoisien sur K. Notant H le sous-groupe de G fixant E, il découle de la correspondance de Galois que E^{g} = L^{H′}, où H′est le plus grand sous-groupe distingué de G contenu dans H, soit

H′= ⋂_{g∈G}gHg^{−1} .

Exercice 7 — Rappel^{(2)}. Étant donné un anneau (commutatif) A, le groupe symétrique 𝔖_{n} opère naturellement par A-automorphismes sur A[T_{1},...,T_{n}] via σ(T_{i}) = T_{σ(i)} et le sous-anneau A[T_{1},...,T_{n}]^{𝔖_{n}} des invariants est l’anneau A[Σ_{1},...,Σ_{n}] des polynômes en les fonctions symétriques élémentaires

(2)Pour une démonstration, voir par exemple N. Bourbaki, Algèbre, Chap. V, Appendice 1

Σ_{λ} = ∑_{1≤i_{1}<...<i_{λ}≤n} T_{i_{1}} ...T_{i_{λ}}.

1. On a manifestement K ⊂ L^{𝔖_{n}}. Réciproquement, si f ∈ k(T_{1},...,T_{n}) est une fraction rationnelle invariante sous l’action de 𝔖_{n}, écrivons f sous la forme d’un quotient de deux polynômes a, b premiers entre eux ; quelle que soit la permutation σ ∈ 𝔖_{n}, σ(a)b = aσ(b), donc σ(a) = a, σ(b) = b puisque l’anneau k[T_{1},...,T_{n}] est factoriel et finalement f ∈ K. Le corps K est par conséquent le sous-corps des invariants du groupe 𝔖_{n} dans L, ce qui implique que l’extension L/K est galoisienne, de groupe de Galois 𝔖_{n}.

2. Lorsque le corps K est de caractéristique nulle (première à n! suffit), tous les conjugués du polynôme T_{1}+ 2T_{2}+ ...+ nT_{n} sont distincts ; le polynôme

∏_{σ∈𝔖_{n}} (T − (T_{σ}(1) + 2T_{σ(2)} + ...+ nT_{σ(n)}))

de K[T] est par conséquent irréductible sur K et T_{1}+2T_{2}+...+nT_{n} est donc un élément primitif de l’extension L/K.

3. L’inclusion K(f) ⊂ L^{H} est évidente. D’autre part, ∏ _{g∈𝔖_{n}/H}(T − g(f)) est le polynôme minimal de f sur K donc

[K(f) : K] = (𝔖_{n}: H) = [L^{H} : K]

et K(f) = L^{H}. L’extension L/K(f) est par conséquent galoisienne et Gal(L/K(f)) = H.

4. Si f,g ∈ L sont deux fractions rationnelles ayant le même stabilisateur H dans 𝔖_{n}, K(f) = L^{H} = K(g) et g peut donc s’exprimer sous la forme d’une fraction rationnelle en f à coefficients dans K ou, de manière équivalente, come une fraction rationnelle en f et les fonctions symétriques élémentaires à coefficients dans k.

Exemple explicite – Ici, H est le sous-groupe {1,(1,2)} de 𝔖_{3}. Pour exprimer g en fonction de f et de Σ_{1}, Σ_{2} et Σ_{3}, on peut observer que (1,f,f^{2}) et (1,g,g^{2}) sont deux bases du K-espace vectoriel L^{H} puis exprimer f et f^{2} en fonction de g et g^{2} — ce qui est aisé — et finalement inverser la matrice ainsi obtenue. Si l’on suit cette stratégie, il vient

f = T_{1}T_{2}+ T_{3} = Σ_{2}− T_{3}(T_{1}+ T_{2}) + T_{3} = Σ_{2}− T_{3}(Σ_{1}− T_{3}) + T_{3} = Σ_{2}+ (1 − Σ_{1})g + g^{2}

et

f^{2} = Σ_{2}^{2}+ 2Σ_{2}(1 − Σ_{1})g + ((1 − Σ_{1})^{2}+ 2Σ_{2})g^{2}+ 2(1 − Σ_{1})g^{3}+ g^{4},

soit

f^{2} = (Σ_{2}^{2}+ 2(1 − Σ_{1})Σ_{3}+ Σ_{1}Σ_{2}) + (Σ_{3}− Σ_{1}Σ_{2})g + (1 + Σ_{2})g^{2} = A + Bg + Cg^{2}

en utilisant l’identité g^{3}− Σ_{1}g^{2}+ Σ_{2}g − Σ_{3} = 0. On en déduit

g = (B − C(1 − Σ_{1})^{−1} ((CΣ_{2}− A) − Cf + f^{2}).

Exercice 8 — 1. Soient G un groupe et g_{1},...,g_{n} des homomorphismes distincts de G dans le groupe multiplicatif d’un corps k. Si g_{1},...,g_{n} n’étaient pas linéairement indépendants sur k, il existerait une relation de dépendance linéaire

λ_{1}g_{1}+ ...+ λ_{n}g_{n} = 0

dont le nombre r ≥ 2 de coefficients λ_{i} non nuls serait minimal. Après avoir réordonné les g_{i} de sorte que λ_{n} ≠ 0 et avoir posé μ_{i} = λ_{n}^{−1} λ_{i}, on obtient

μ_{1}g_{1}+ ...+ μ_{n−1} g_{n−1} + g_{n} = 0.

Quel que soit alors a ∈ G, g_{n}(a) ≠ 0 et la relation précédente fournit

g_{n}(a)^{−1} g_{1}(a)μ_{1}g_{1}+ ...+ g_{n}(a)^{−1} g_{n−1} (a)μ_{n−1} g_{n−1} + g_{n} = 0

en utilisant le fait que les g_{i} sont des homomorphismes de G dans k^{×}, donc

μ_{1}(1 − g_{n}(a)^{−1} g_{1}(a))g_{1}+ ...+ μ_{n−1} (1 − g_{n}(a)^{−1} g_{n−1} (a))g_{n−1} = 0.

Puisque g_{1} et g_{n} sont, par hypothèse, distincts, il existe a ∈ G tel que g_{n}(a) ≠ g_{1}(a) ; ayant choisi un tel a, la relation de dépendance linéaire obtenue entre les g_{i} est non triviale et contient au plus r − 1 coefficients non nuls, en contradiction avec la minimalité de r.

2. Étant donnés deux corps k, K et n homomorphismes distincts σ_{1},...,σ_{n} de k dans K, le sous-ensemble k_{0} est un sous-corps de k. Si k était de dimension m < n en tant que k_{0}-espace vectoriel, une base (e_{1},...,e_{m}) de k sur k_{0} donnerait naissance à un système linéaire sous-déterminé

\{ \begin{matrix}x_{1}σ_{1}(e_{1}) & +...+ & x_{n}σ_{n}(e_{1}) & = & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ x_{1}σ_{1}(e_{m}) & +...+ & x_{n}σ_{n}(e_{m}) & = & 0 \end{matrix}

et il existerait donc des éléments x_{1},...,x_{n} de K, non tous nuls, tels que

x_{1}σ_{1}(e_{i}) + ...+ x_{n}σ_{n}(e_{i}) = 0

pour tout i ∈ {1,...,m}, ce qui équivaut à

x_{1}σ_{1}(a) + ...+ x_{n}σ_{n}(a) = 0

pour tout a ∈ k vu la définition de k_{0}. En observant que les σ_{i} définissent des homomorphismes du groupe k^{×} dans K^{×}, ceci contredit l’indépendance linéaire des σ_{i} établie à la question précédente. Nous avons donc [k: k_{0}] ≥ n.

Exercice 9 — 1. Supposons tout d’abord que le corps K soit fini, auquel cas le groupe G est cyclique et engendré par l’automorphisme de Frobenius relatif L → L, x ↦ x^{q}, où q = Card(K). L’existence d’une base normale pour l’extension L/K est équivalente à l’existence d’un vecteur cyclique pour l’endomorphisme σ du K-espace vectoriel L, c’est-à-dire d’un vecteur x ∈ L tel que la famille (x,σ(x),...,σ^{d−1} (x)) constitue une base de L sur K, où l’on a posé d = [L : K]. Cette question relève de l’algèbre linéaire élémentaire et admet une réponse bien connue : un tel vecteur cyclique existe si et seulement si les polynômes minimal et caractéristique de l’endomorphisme σ coïncident ^{(3)} Le polynôme caractéristique de σ est T^{q} − T. Si un polynôme Q = ∑_{n}a_{n}T^{n} ∈ K[T] annule σ, alors le polynôme ∑_{n}a_{n}T^{q^{n}} s’annule identiquement sur L et donc q^{deg(Q)} ≥ q^{d}; on a par conséquent deg(Q) ≥ d et T^{q}−T est donc bien le polynôme minimal de σ. Le théorème est ainsi démontré lorsque le corps K est fini.

2. (i) On a f = ∏ _{σ∈G}(T − σ(x)), donc

\frac{1}{f} = ∑_{σ∈G} \frac{1}{(T − σ(x))f′(σ(x))}

et ∑_{σ∈G} R_{σ} = 1. Comme R_{σ}R_{τ} ≡ 0 (mod f) pour tous σ,τ ∈ G distincts, on obtient R_{σ}^{2} ≡ R_{σ}(mod f) en multipliant les deux membres de l’identité précédente par R_{σ}.

(ii) Le déterminant D de la matrice (R_{τσ})_{(τ,σ)∈G^{2}} ∈ M_{[L:K]}(L[T]) est un élément de L[T]. Vu la question précédente, la matrice (R_{τσ})^{2} est congrue à la matrice diag(∑_{σ} R_{σ}^{2})_{σ∈G} = I_{[L:K]}modulo f et donc

D^{2} ≡ 1(modf).

(iii) Par construction, R_{τσ} = τ(R_{σ}) pour tous σ,τ ∈ G ; en particulier, R_{σ} = σ(R_{1}). Étant donné un élément y de L, toute relation linéaire non triviale entre les σ(R_{1}(y)) à coefficients dans K fournit une relation linéaire non triviale entre les colonnes de la matrice (R_{τσ}(y))_{(σ,τ)∈G^{2}} puisque

∑_{σ∈G} λ_{σ}R_{τσ}(y) = ∑_{σ∈G} λ_{σ}τ(R_{σ}(y)) = τ ( ∑_{σ∈G} λ_{σ}R_{σ}(y))

pour tout (λ_{σ}) ∈ K^{G}. Le polynôme D étant non nul d’après la question précédente et le corps K étant infini, il existe un élément y de K tel que R_{1}(y) ≠ 0 et, d’après ce que l’on vient de dire, la famille (σ(R_{1}(y)))_{σ∈G} est une base de L en tant que K-espace vectoriel.

(3)Si l’on fait de L un K[T]-module en posant Tx = σ(x), l’existence d’un vecteur cyclique équivaut au fait que L soit un A = K[T]/(m_{σ})-module monogène, où m_{σ} désigne le polynôme minimal de σ. Pour cela, il est clairement nécessaire que m_{u} soit le polynôme caractéristique de σ pour des raison de dimension ; c’est également suffisant, car alors, pour chaque facteur irréductible p de m_{σ}, la composante p-primaire de L est monogène puisque de longueur égale à la multiplicité de p dans m_{σ} et il en est donc de même du A-module L en vertu du théorème chinois des restes.