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\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre approfondie - Automne 2007} \hfill \textbf{ENS-Lyon}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
{\bfseries \scshape Th\'eorie de Galois I - Corrig\'e}
\end{center}


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 1} --- 1. Par d\'efinition m\^eme, $\Sr(f)$ est un \'el\'ement du corps fini $\K$.

\vspace{0.1cm} Consid\'erons tout d'abord le cas d'une variable ($n=1$). \begin{itemize} \item On a $\Sr(1) = q = 0$.
\item Le groupe multiplicatif $\K^{\times}$ \'etant cyclique, il existe $\zeta \in \K^{\times}$ tel que $$\Sr(\T^{\nu}) = \sum_{x \in \K} x^{\nu} = \sum_{x \in \K^{\times}} x^{\nu} = \sum_{0 \leq i \leq q-2} \zeta^{\nu i}$$ pour tout entier naturel $\nu \geq 1$ ; on a donc $$\Sr(\T^{\nu}) = \left\{\begin{array}{llll} \frac{1 - \zeta^{\nu(q-1)}}{1 - \zeta^{\nu}} & = & 0 & \textrm{  si } q-1 \nmid \nu  \\ q-1 & = & -1 & \textrm{ si } q-1 | \nu. \end{array} \right.$$ \end{itemize}

\vspace{0.1cm} Le cas g\'en\'eral s'en d\'eduit imm\'ediatement :
\begin{eqnarray*}\Sr(\T_1^{\nu_1} \ldots \T_n^{\nu_n})  = \sum_{\mathbf{x} \in \K^n} x_1^{\nu_1} \ldots x_n^{\nu_n} = \left(\sum_{x_1 \in \K} x_1^{\nu_1} \right) \ldots \left(\sum_{x_n \in \K} x_n^{\nu_n} \right) & = & \Sr(\T^{\nu_1}) \ldots \Sr(\T^{\nu_n}) \\ & = &  \left\{ \begin{array}{ll} (-1)^n & \textrm{ si } \nu_i > 0 \textrm{ et } q-1 | \nu_i \textrm{ pour tout $i$} \\ 0 & \textrm{ sinon}.\end{array} \right.\end{eqnarray*}

2. Quel que soit $\mathbf{x} \in \K^n$, $$f(\mathbf{x}) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & \textrm{ si } \mathbf{x} \notin \V \\ 1 & \textrm{ si } \mathbf{x} \in \V\end{array} \right.$$ et donc $\Sr(f) = \mathrm{Card}(\V)$.

D'autre part, l'hypoth\`ese sur les degr\'es des polyn\^omes $f_i$ fournit l'in\'egalit\'e $$\operatorname{deg} (f) \leq \sum_{1 \leq i \leq m} (q-1) \operatorname{deg}(f_i) < (q-1) n$$ et donc, si l'on \'ecrit $f$ sous la forme $\sum_{\mathbf{\nu} \in \mathbb{N}^{n}} a_{\mathbf{\nu}} \mathbf{\T}^{\mathbf{\nu}}$, $a_{\mathbf{\nu}} = 0$ pour tout multi-indice $\mathbf{\nu}$ tel que, pour tout $i$, $\nu_i > 0$ et $q-1 | \nu_i$ ; vu la premi\`ere question, ceci implique $\Sr(f) = 0$. Nous obtenons ainsi la congruence $\mathrm{Card}(\V) \equiv 0 \ (\mathrm{mod} p).$

\vspace{0.1cm} Si les polyn\^omes $f_i$ sont sans termes constants, $\mathbf{0}$ est un z\'ero commun et $\V$ est donc non vide. On a alors $\mathrm{Card}(\V) \geq 2$ en vertu de ce qui pr\'ec\`ede, ce qui \'etablit l'existence d'un point $\mathbf{x}$ de $\K^n - \{\mathbf{0}\}$ dans $\V$. En particulier : si $f_1, \ldots,f_m$ sont des polyn\^omes \emph{homog\`enes} non constants tels que $\mathrm{deg}(f_1) + \ldots + \mathrm{deg}(f_m) < n$, ils poss\`edent un z\'ero commun non trivial dans $\K^n$ (ou de mani\`ere \'equivalente, le sous-ensemble de l'espace projectif $\mathbb{P}^n (\K)$ d\'efini par l'annulation simultan\'ee des $f_i$ est \emph{non vide}).

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 2} --- 1. Les polyn\^omes cyclotomiques $\Phi_d \in \mathbb{Z}[\T]$ sont irr\'eductibles \footnote{Voir l'exercice 2 de la fiche \emph{Th\'eorie de Galois II}} et $$\T^n -1 = \prod_{d | n} \Phi_d$$ pour tout entier naturel $n \geq 1$. Dans tout ce qui suit, nous travaillons avec les r\'eductions modulo $p$ des polyn\^omes cyclotomiques et allons \'etudier leur r\'eductibilit\'e sur les extensions finies de $\mathbb{F}_p$.

\vspace{0.1cm} \'Etant donn\'e un entier $n \geq 2$ premier \`a $p$, le polyn\^ome $\T^n - 1$ de $\mathbb{F}_p[\T]$ est s\'eparable sur $\mathbb{F}_p$ puisqu'il est premier \`a son polyn\^ome d\'eriv\'e $n\T^{n-1} \neq 0$ dans $\mathbb{F}^p[\T]$ ; il poss\`ede donc $n$ racines distinctes dans une cl\^oture alg\'ebrique de $\mathbb{F}_p$ et les polyn\^omes cyclotomiques $\Phi_d$ et $\Phi_{d'}$ associ\'es \`a des diviseurs \emph{distincts} $d$ et $d'$ de $\N$ sont par cons\'equent premiers entre eux dans $\mathbb{F}_p[\T]$.

Vu l'identit\'e $\T^{p^r n} - 1 = (\T^n - 1)^{p^r}$ dans $\mathbb{F}_p[\T]$, les polyn\^omes $\Phi_{p^i d}$ et $\Phi_{d}$ ont les m\^emes racines dans une cl\^oture alg\'ebrique de $\mathbb{F}_p$ pour tout $d$ divisant $n$ et tous deux sont par cons\'equent premiers aux polyn\^omes $\Phi_{p^j d'}$ lorsque $d'$ est un diviseur de $n$ distinct de $d$. Vu cette observation, l'identit\'e $$\left(\prod_{d|n} \Phi_d \right)^{p^r} = \prod_{\delta | p^r n} \Phi_{\delta} = \prod_{d|n} \left(\prod_{i=0}^{r} \Phi_{p^i d}\right)$$ implique $$\prod_{i=0}^{r} \Phi_{p^i d} = \Phi_d^{p^r}$$ pour tout diviseur $d$ de $n$, d'o\`u l'on tire $\Phi_{p^i d} = \Phi_{d}^{p^{i-1}(p-1)}$ pour tout $i \in \{1,\ldots, r\}$ gr\^ace \`a un raisonnement par r\'ecurrence \'el\'ementaire : \begin{itemize} \item comme $\Phi_{pd}\Phi_d = \Phi_{d}^p$ (faire $r=1$), $\Phi_{pd} = \Phi_{d}^{p-1}$ et l'assertion est \'etablie pour $i = 1$ ; \item si $\Phi_{p^j d} = \Phi_{d}^{p^{j-1}(p-1)}$ pour $1 \leq j \leq i-1$, l'identit\'e $\Phi_{p^i d} \Phi_{p^{i-1} d} \ldots \Phi_{d} = \Phi_{d}^{p^i}$ implique $\Phi_{p^i d} \Phi_{d}^{(p^{i-1} -1)} = \Phi_{d}^{p^i}$ et donc $\Phi_{p^i d} = \Phi_{d}^{p^{i-1}(p-1)}.$\end{itemize}

\vspace{0.1cm} 2. Tout \'el\'ement $\alpha$ de $\overline{\K}^{\times}$ est contenu dans une extension finie de $\K$ et donc appartient au groupe multiplicatif d'un corps fini ; il existe ainsi un plus petit entier naturel $n \geq 1$ tel que $\alpha^n = 1$. Cet entier est \'evidemment premier \`a $p$ puisque le groupe multiplicatif d'un corps fini de caract\'eristique $p$ est d'ordre premier \`a $p$.

\'Etant donn\'ee une extension finie $\Lr$ de $\K$ dans $\overline{\K}$ contenant $\alpha$, le groupe de Galois $\mathrm{Gal}(\Lr|\K)$ est engendr\'e par l'automorphisme de Frobenius relatif $\Lr \rightarrow \Lr, \ x \mapsto x^q$. Le degr\'e de $\alpha$ sur $\K$ est l'indice du stabilisateur de $\alpha$ dans $\mathrm{Gal}(\Lr|\K)$ ; c'est donc le plus petit entier $d$ tel que $\alpha^{q^d}=\alpha$, soit de manit\`ere \'equivalente le plus petit entier $d$ tel que $n | q^d - 1$ ou encore l'ordre de $q$ dans le groupe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$.

\vspace{0.1cm} 3. Le polyn\^ome $\Phi_n$ est s\'eparable sur $\mathbb{F}_p$ lorsque l'entier $n$ est premier car c'est un diviseur du polyn\^ome s\'eparable $\T^n - 1$. Deux racines du polyn\^ome $\Phi_n$ dans $\overline{\K}$ ont \'evidemment le m\^eme ordre dans le groupe $\overline{\K}^{\times}$ : en effet, le polyn\^ome $\T^n - 1$ \'etant s\'eparable, la situation est analogue \`a celle rencontr\'ee sur $\mathbb{Q}$ et la factorisation $\T^n -1 = \prod_{d | n} \Phi_d$ implique imm\'ediatement que les racines du polyn\^ome $\Phi_n$ dans $\overline{\K}$ sont les $\varphi(n)$ \'el\'ements d'ordre $n$ du groupe cyclique $\overline{\K}^{\times}$.

Le degr\'e d'un facteur irr\'eductible de $\Phi_n$ ayant une racine $\alpha$ dans $\overline{\K}$ est le degr\'e de l'extension $\K(\alpha)/\K$ ; d'apr\`es ce que l'on vient de dire, il d\'ecoule directement de la question pr\'ec\'edente que ce degr\'e est l'ordre de $q$ dans le groupe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ et c'est donc le m\^eme pour tout facteur irr\'eductible.

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{Conclusion : (i) Pour tout entier naturel $n \geq 1$ premier \`a $p$, le polyn\^ome cyclotomique $\Phi_n$ est irr\'eductible sur $\K$ si et seulement si $q$ engendre le groupe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ ; \emph{a contrario}, ce polyn\^ome est scind\'e sur $\mathbb{F}_p$ si et seulement si $q \equiv 1 \ (\mathrm{mod.} \ n)$. \\
(ii) Lorsque $p \geq 3$, $\Phi_{n}$ est r\'eductible sur $\mathbb{F}_p$ d\`es que $p$ divise $n$ en vertu de la question $1$. \\
(iii) Pour tout entier impair $n \geq 1$, $\Phi_{2n} = \Phi_n$ dans $\K[\T]$ si $p=2$.}

 Le premier r\'esultat permet de d\'emontrer un cas particulier du \emph{th\'eor\`eme de la progession arithm\'etique de Dirichlet} --- qui affirme que pour tous entiers $a, b \in \mathbb{Z} - \{0\}$ premiers entre eux, la suite arithm\'etique $a + b \mathbb{Z}$ contient une infinit\'e de nombres premiers : quel que soit l'entier $k \geq 1$, un nombre premier $p$ divisant $\Phi_n(k!)$ est \begin{itemize} \item congru \`a $1$ modulo $n$ car le polyn\^ome $\Phi_n$ poss\`ede une racine dans $\mathbb{F}_p$ et donc est scind\'e dans $\mathbb{F}_p[\T]$ ; \item sup\'erieur \`a $k+1$ car $p$ divise $(k!)^n - 1$.\end{itemize} Comme $\Phi_n(k!) \notin \{-1,0,1\}$ d\`es que l'entier $k$ est suffisamment grand, il existe donc une infinit\'e de nombres premiers congrus \`a $1$ modulo $n$.

\vspace{0.1cm} 4. D'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede, le polyn\^ome cyclotomique $\Phi_n$ est r\'eductible sur $\mathbb{F}_p$ pour tout nombre premier $p$ d\`es que le groupe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ n'est \emph{pas} cyclique, ce qui est le cas si et seulement si $n \notin \{1, 2, 4\}$ et si $n$ n'est pas de la forme $2^{\varepsilon}p^{\nu}$ avec $\varepsilon \in \{0,1\}$ et $\nu \geq 1$. Ceci fournit une infinit\'e de polyn\^omes irr\'eductibles dans $\mathbb{Z}[\T]$ devenant r\'eductibles dans $\mathbb{F}_p[\T]$ pour chaque nombre premier $p$ ; tel est le cas par exemple du polyn\^ome $\T^4+1 = \Phi_8$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 3} --- Si $[\Lr:\K] > n$, il existe une extension finie $\K'$ de $\K$ dans $\Lr$ telle que $[\K' : \K] > n$ ; comme $\Lr/\K$ est s\'eparable, il en est de m\^eme de $\K'/\K$ et le th\'eor\`eme de l'\'el\'ement primitif garantit alors l'existence d'un \'el\'ement $x$ de $\Lr$ tel que $\K'=\K(x)$ ; on aboutit ainsi \`a une contradiction puisque un tel $x$ est de degr\'e $[\K':\K] > n$ sur $\K$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 4} ---  1. On a $[\K:\mathbb{Q}] = [\K:\mathbb{Q}(\sqrt{2})][\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]$ et $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}] = 2$, $[\K:\mathbb{Q}(\sqrt{2}] = 2$ (le polyn\^ome $\T^2+1$ est irr\'eductible sur $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \subset \mathbb{R}$), donc $[\K:\mathbb{Q}]=4$. L'\'el\'ement $\sqrt{2} + i$ de $\K$ est primitif car il est annul\'e par le polyn\^ome $$(\T - (\sqrt{2}+i))(\T - (\sqrt{2}-i))(\T +(\sqrt{2}+i))(\T + (\sqrt{2}-i)) = \T^4 -8\T^2+9,$$ qui est irr\'eductible sur $\mathbb{Q}$ puisqu'aucun de ses facteurs de degr\'e $1$ ou $2$ sur $\K$ n'appartient \`a $\mathbb{Q}$.  

2. L'extension $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ est galoisienne et $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})$ est le groupe cyclique d'ordre $2$ engendr\'e par le $\mathbb{Q}$-automorphisme $$\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \rightarrow \mathbb{Q}(\sqrt{2}), \ \ a+b\sqrt{2} \mapsto a - b\sqrt{2}.$$
L'extension $\K/\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ \'etant s\'eparable de degr\'e $2$, il existe deux plongements distincts de $\K$ dans le corps alg\'ebriquement clos $\mathbb{C}$ prolongeant un plongement donn\'e de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ dans $\mathbb{C}$ ; on obtient ainsi quatre plongements distincts $\tau_\ell : \K \rightarrow \mathbb{C}$, $1 \leq \ell \leq 4$, avec $$\tau_1(\sqrt{2}) = \tau_2(\sqrt{2}) = \sqrt{2} \ \ \textrm{et} \ \ \tau_3(\sqrt{2}) = \tau_4 (\sqrt{2}) = -\sqrt{2}.$$
Chacun des plongements $\tau_\ell$ envoyant n\'ecessairement $i$ sur l'une des racines du polyn\^ome $\T^2 +1$ dans $\mathbb{C}$, $\tau_{\ell}(i) = \pm i$ pour tout $\ell$ et donc $\tau_{\ell}(\K) \subset \K$. Il existe ainsi $|\K:\mathbb{Q}]=4$ automorphismes distincts de $\K$ au-dessus de $\mathbb{Q}$ et l'extension $\K/\mathbb{Q}$ est par cons\'equent galoisienne. Tout $\mathbb{Q}$-automorphisme de $\K$ \'etant compl\`etement d\'etermin\'e par son action sur $\{\pm \sqrt{2}, \pm i\}$, nous pouvons supposer que l'on a $$\tau_1(\sqrt{2}) = \sqrt{2} \ \ \textrm{et} \ \ \tau_1(i)=i, \ \ \tau_2(\sqrt{2}) = \sqrt{2} \ \ \textrm{et} \ \ \tau_2(i)=-i,$$ $$\tau_3(\sqrt{2}) = -\sqrt{2} \ \ \textrm{et} \ \ \tau_3(i)=i, \ \ \tau_4(\sqrt{2}) = -\sqrt{2} \ \ \textrm{et} \ \ \tau_4(i)=-i.$$ La loi de groupe sur $\mathrm{Gal}(\K/\mathbb{Q}) = \{\tau_1, \tau_2, \tau_3, \tau_4\}$ est manifeste : c'est le produit des deux groupes cycliques $\{\tau_1, \tau_2\}$ et $\{\tau_1,\tau_3\}$.

3. Les sous-groupes de $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$ sont au nombre de cinq : outre $\{(0,0)\}$ et $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$, il y a les trois groupes cycliques d'ordre $2$ respectivement engendr\'es par $(1,0), \ (0,1)$ et $(1,1)$. Les sous-groupes de $\mathrm{Gal}(\K/\mathbb{Q})$ sont donc $$\{\tau_1\}, \ \mathrm{Gal}(\K/\mathbb{Q}), \ \{\tau_1, \tau_2\}, \ \{\tau_1, \tau_3\} \ \textrm{et} \ \{\tau_1, \tau_4\},$$ auquels correspondent respectivement les sous-corps $\K, \ \mathbb{Q}, \ \mathbb{Q}(\sqrt{2}), \ \mathbb{Q}(i)$ et $\mathbb{Q}(i\sqrt{2})$ de $\K$.
 
\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 5} ---  Soit $\rP \in \K[\T]$ le polyn\^ome minimal de $x$ sur $\K$ et soit $\mathcal{R}$ l'ensemble des racines de $\rP$ dans $\Lr$. Le groupe de Galois $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ op\`ere \emph{transitivement} sur $\mathcal{R}$ car le polyn\^ome $\rP$ est irr\'eductible sur $\K$ tandis que le stabilisateur de $x$ dans $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ est un sous-groupe $\Hr$ d'indice $[\K(x):\K] = \deg(\rP)$ puisque $\K(x) = \Lr^{\Hr}$. On en d\'eduit que l'ensemble $\mathcal{R}$ est de cardinal $(\mathrm{Gal}(\Lr/\K):\Hr) = \deg(\rP)$ et donc que le polyn\^ome $\rP$ est scind\'e sur $\Lr$.

Les \'el\'ements $\sigma$ de $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ fixant $x$ constituent une classe \`a gauche modulo le fixateur $\Hr = \mathrm{Gal}(\Lr/\K(x))$ de $x$ dans $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ et il y a par cons\'equent $|\Hr|$ tels \'el\'ements.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 6} ---  La cl\^oture galoisienne de $\E$ dans $\overline{\K}$ est le sous-corps de $\overline{\K}$ engendr\'e par tous les conjugu\'es des \'el\'ements de $\E$ ou, de mani\`ere \'equivalente, par les images de $\E$ sous les diff\'erents $\K$-plongements de $\E$ dans $\overline{\K}$. L'extension $\Lr/\E$ \'etant s\'eparable, tout $\K$-plongement $\sigma$ de $\E$ dans $\overline{K}$ se prolonge en un $\K$-plongement $\tilde{\sigma}$ de $\Lr$ dans $\overline{\K}$ et $\tilde{\sigma}(\Lr) = \Lr$ puisque $\Lr$ est une extension galoisienne de $\K$. Cela prouve que la cl\^oture galoisienne de $\E$ dans $\overline{\K}$ est contenue dans $\Lr$ et peut donc \^etre d\'efinie de mani\`ere \'equivalente comme la plus petite extension galoisienne de $\K$ dans $\overline{\K}$ contenant $\E$.

La cl\^oture galoisienne $\E^g$ de $\E$ dans $\overline{\K}$ (ou, de mani\`ere \'equivalente, dans $\Lr$) est le plus petit sous-corps de $\Lr$ contenant $\E$ qui soit galoisien sur $\K$. Notant $\Hr$ le sous-groupe de $\G$ fixant $\E$, il d\'ecoule de la correspondance de Galois que $\E^g = \Lr^{\Hr'}$, o\`u $\Hr'$ est le plus grand sous-groupe distingu\'e de $\G$ contenu dans $\Hr$, soit $$ \Hr' = \bigcap_{g \in \G} g \Hr g^{-1}.$$ 

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 7} --- \emph{Rappel \footnote{Pour une d\'emonstration, voir par exemple N. Bourbaki, \emph{Alg\`ebre}, Chap. V, Appendice 1}. \'Etant donn\'e un anneau (commutatif) $A$, le groupe sym\'etrique $\mathfrak{S}_n$ op\`ere naturellement par $A$-automorphismes sur $A[\T_1, \ldots, \T_n]$ via $\sigma(\T_i) = \T_{\sigma(i)}$ et le sous-anneau $A[\T_1, \ldots, \T_n]^{\mathfrak{S}_n}$ des invariants est l'anneau $A[\Sigma_1, \ldots, \Sigma_n]$ des polyn\^omes en les fonctions sym\'etriques \'el\'ementaires $$\Sigma_\lambda = \sum_{1 \leq i_1 < \ldots < i_\lambda \leq n} T_{i_1} \ldots T_{i_{\lambda}}.$$}

1. On a manifestement $\K \subset \Lr^{\mathfrak{S}_n}$. R\'eciproquement, si $f \in k(\T_1, \ldots, \T_n)$ est une fraction rationnelle invariante sous l'action de $\mathfrak{S}_n$, \'ecrivons $f$ sous la forme d'un quotient de deux polyn\^omes $a$, $b$ premiers entre eux ; quelle que soit la permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, $\sigma(a)b = a \sigma(b)$, donc $\sigma(a) = a$, $\sigma(b)=b$ puisque l'anneau $k[\T_1, \ldots, \T_n]$ est factoriel et finalement $f \in \K$. Le corps $\K$ est par cons\'equent le sous-corps des invariants du groupe $\mathfrak{S}_n$ dans $\Lr$, ce qui implique que l'extension $\Lr/\K$ est galoisienne, de groupe de Galois $\mathfrak{S}_n$. 

\vspace{0.1cm} 2. Lorsque le corps $\K$ est de caract\'eristique nulle (premi\`ere \`a $n!$ suffit), tous les conjugu\'es du polyn\^ome $\T_1 + 2 \T_2 + \ldots + n\T_n$ sont distincts ; le polyn\^ome $$\prod_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} (\T - (\T_\sigma(1)+2\T_{\sigma(2)}+ \ldots + n \T_{\sigma(n)}))$$de $\K[\T]$ est par cons\'equent irr\'eductible sur $\K$ et $\T_1 + 2\T_2 + \ldots + n\T_n$ est donc un \'el\'ement primitif de l'extension $\Lr/\K$.

\vspace{0.1cm} 3. L'inclusion $\K(f) \subset \Lr^{\Hr}$ est \'evidente. D'autre part, $\prod_{g \in \mathfrak{S}_n/\Hr}(\T - g(f))$ est le polyn\^ome minimal de $f$ sur $\K$ donc $$[\K(f):\K] = (\mathfrak{S}_n:\Hr) = [\Lr^{\Hr}:\K]$$ et $\K(f) = \Lr^{\Hr}$. L'extension $\Lr/\K(f)$ est par cons\'equent galoisienne et $\mathrm{Gal}(\Lr/\K(f)) = \Hr$.

\vspace{0.1cm} 4. Si $f, g \in \Lr$ sont deux fractions rationnelles ayant le m\^eme stabilisateur $\Hr$ dans $\mathfrak{S}_n$, $\K(f) = \Lr^{\Hr} = \K(g)$ et $g$ peut donc s'exprimer sous la forme d'une fraction rationnelle en $f$ \`a coefficients dans $\K$ ou, de mani\`ere \'equivalente, come une fraction rationnelle en $f$ et les fonctions sym\'etriques \'el\'ementaires \`a coefficients dans $k$.

\emph{Exemple explicite} -- Ici, $\Hr$ est le sous-groupe $\{1, (1,2)\}$ de $\mathfrak{S}_3$. Pour exprimer $g$ en fonction de $f$ et de $\Sigma_1$, $\Sigma_2$ et $\Sigma_3$, on peut observer que $(1, f, f^2)$ et $(1, g, g^2)$ sont deux bases du $\K$-espace vectoriel $\Lr^{\Hr}$ puis exprimer $f$ et $f^2$ en fonction de $g$ et $g^2$ --- ce qui est ais\'e --- et finalement inverser la matrice ainsi obtenue. Si l'on suit cette strat\'egie, il vient $$f = \T_1\T_2 + \T_3 = \Sigma_2 - \T_3(\T_1+\T_2) + \T_3 = \Sigma_2 - \T_3(\Sigma_1 - \T_3) + \T_3 = \Sigma_2 +(1-\Sigma_1)g + g^2$$ et $$f^2 = \Sigma_2^2 + 2\Sigma_2(1-\Sigma_1)g + \big((1-\Sigma_1)^2+2\Sigma_2\big)g^2 + 2(1-\Sigma_1)g^3 + g^4,$$ soit $$f^2 = \big(\Sigma_2^2 + 2(1-\Sigma_1)\Sigma_3 + \Sigma_1 \Sigma_2\big) + \big(\Sigma_3 - \Sigma_1\Sigma_2\big) g + (1+\Sigma_2)g^2 = \A + \B g + \C g^2$$ en utilisant l'identit\'e $g^3 -\Sigma_1 g^2 + \Sigma_2 g - \Sigma_3 = 0$. On en d\'eduit $$g = (\B - \C(1-\Sigma_1)^{-1}\big((\C \Sigma_2 - A) - \C f + f^2).$$

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 8} --- 1. Soient $\G$ un groupe et $g_1, \ldots, g_n$ des homomorphismes distincts de $\G$ dans le groupe multiplicatif d'un corps $k$. Si $g_1, \ldots, g_n$ n'\'etaient pas lin\'eairement ind\'ependants sur $k$, il existerait une relation de d\'ependance lin\'eaire $$\lambda_1 g_1 + \ldots + \lambda_n g_n = 0$$ dont le nombre $r \geq 2$ de coefficients $\lambda_i$ non nuls serait minimal. Apr\`es avoir r\'eordonn\'e les $g_i$ de sorte que $\lambda_n \neq 0$ et avoir pos\'e $\mu_i = \lambda_n^{-1}\lambda_i$, on obtient $$\mu_1 g_1 + \ldots + \mu_{n-1}g_{n-1} + g_n = 0.$$ Quel que soit alors $a \in \G$, $g_n(a) \neq 0$ et la relation pr\'ec\'edente fournit $$g_n(a)^{-1}g_1(a)\mu_1 g_1 + \ldots + g_n(a)^{-1}g_{n-1}(a)\mu_{n-1}g_{n-1} + g_n = 0$$ en utilisant le fait que les $g_i$ sont des homomorphismes de $\G$ dans $k^{\times}$, donc $$\mu_1(1 - g_n(a)^{-1}g_1(a))g_1 + \ldots + \mu_{n-1}(1 - g_{n}(a)^{-1}g_{n-1}(a))g_{n-1} =0.$$ Puisque $g_1$ et $g_n$ sont, par hypoth\`ese, distincts, il existe $a \in \G$ tel que $g_n(a) \neq g_1(a)$ ; ayant choisi un tel $a$, la relation de d\'ependance lin\'eaire obtenue entre les $g_i$ est non triviale et contient au plus $r-1$ coefficients non nuls, en contradiction avec la minimalit\'e de $r$.

\vspace{0.1cm} 2. \'Etant donn\'es deux corps $k$, $\K$ et $n$ homomorphismes distincts $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$ de $k$ dans $\K$, le sous-ensemble $k_0$ est un sous-corps de $k$. Si $k$ \'etait de dimension $m<n$ en tant que $k_0$-espace vectoriel, une base $(e_1, \ldots, e_m)$ de $k$ sur $k_0$ donnerait naissance \`a un syst\`eme lin\'eaire sous-d\'etermin\'e $$\left\{\begin{array}{lllll} x_1 \sigma_1(e_1) & + \ldots + & x_n \sigma_n(e_1) & = & 0 \\   \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_1 \sigma_1(e_m) & + \ldots + & x_n \sigma_n(e_m) & = & 0 \end{array} \right.$$ et il existerait donc des \'el\'ements $x_1, \ldots, x_n$ de $\K$, non tous nuls, tels que $$x_1 \sigma_1(e_i) + \ldots + x_n \sigma_n(e_i) = 0$$ pour tout $i \in \{1, \ldots, m\}$, ce qui \'equivaut \`a $$x_1 \sigma_1(a) + \ldots + x_n \sigma_n(a)=0$$ pour tout $a \in k$ vu la d\'efinition de $k_0$. En observant que les $\sigma_i$ d\'efinissent des homomorphismes du groupe $k^{\times}$ dans $\K^{\times}$, ceci contredit l'ind\'ependance lin\'eaire des $\sigma_i$ \'etablie \`a la question pr\'ec\'edente. Nous avons donc $[k:k_0] \geq n$.  

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 9} --- 1. Supposons tout d'abord que le corps $\K$ soit fini, auquel cas le groupe $\G$ est cyclique et engendr\'e par l'automorphisme de Frobenius relatif $\Lr \rightarrow \Lr, \ \ x \mapsto x^q$, o\`u $q = \mathrm{Card}(\K)$. L'existence d'une base normale pour l'extension $\Lr/\K$ est \'equivalente \`a l'existence d'un vecteur \emph{cyclique} pour l'endomorphisme $\sigma$ du $\K$-espace vectoriel $\Lr$, c'est-\`a-dire d'un vecteur $x \in \Lr$ tel que la famille $(x, \sigma(x), \ldots, \sigma^{d-1}(x))$ constitue une base de $\Lr$ sur $\K$, o\`u l'on a pos\'e $d = [\Lr:\K]$. Cette question rel\`eve de l'alg\`ebre lin\'eaire \'el\'ementaire et admet une r\'eponse bien connue : un tel vecteur cyclique existe si et seulement si les polyn\^omes minimal et caract\'eristique de l'endomorphisme $\sigma$ co\"{\i}ncident \footnote{Si l'on fait de $\Lr$ un $\K[\T]$-module en posant $\T x = \sigma(x)$, l'existence d'un vecteur cyclique \'equivaut au fait que $\Lr$ soit un $\A = \K[\T]/(m_{\sigma})$-module monog\`ene, o\`u $m_{\sigma}$ d\'esigne le polyn\^ome minimal de $\sigma$. Pour cela, il est clairement n\'ecessaire que $m_u$ soit le polyn\^ome caract\'eristique de $\sigma$ pour des raison de dimension ; c'est \'egalement suffisant, car alors, pour chaque facteur irr\'eductible $p$ de $m_{\sigma}$, la composante $p$-primaire de $\Lr$ est monog\`ene puisque de longueur \'egale \`a la multiplicit\'e de $p$ dans $m_{\sigma}$ et il en est donc de m\^eme du $\A$-module $\Lr$ en vertu du th\'eor\`eme chinois des restes.} Le polyn\^ome caract\'eristique de $\sigma$ est $\T^q - \T$. Si un polyn\^ome $\Qr = \sum_{n} a_n \T^n \in \K[\T]$ annule $\sigma$, alors le polyn\^ome $\sum_n a_n \T^{q^n}$ s'annule identiquement sur $\Lr$ et donc $q^{\mathrm{deg}(\Qr)} \geq q^d$ ; on a par cons\'equent $\mathrm{deg}(\Qr) \geq d$ et $\T^q - \T$ est donc bien le polyn\^ome minimal de $\sigma$. Le th\'eor\`eme est ainsi d\'emontr\'e lorsque le corps $\K$ est fini.

\vspace{0.1cm} 2. (i) On a $f = \prod_{\sigma \in \G} (\T - \sigma(x))$, donc $$\frac{1}{f} = \sum_{\sigma \in \G} \frac{1}{(\T - \sigma(x))f'(\sigma(x))}$$ et $\sum_{\sigma \in \G} \R_{\sigma} = 1$. Comme $\R_\sigma \R_{\tau} \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ f)$ pour tous $\sigma, \tau \in \G$ distincts, on obtient $\R_{\sigma}^2 \equiv \R_{\sigma} (\mathrm{mod} \ f)$ en multipliant les deux membres de l'identit\'e pr\'ec\'edente par $\R_{\sigma}$.

(ii) Le d\'eterminant $\D$ de la matrice $(\R_{\tau \sigma})_{(\tau, \sigma) \in \G^2} \in \M_{[\Lr:\K]}(\Lr[\T])$ est un \'el\'ement de $\Lr[\T]$. Vu la question pr\'ec\'edente, la matrice $(\R_{\tau \sigma})^2$ est congrue \`a la matrice $\mathrm{diag}(\sum_{\sigma}\R_{\sigma}^2)_{\sigma \in \G} = \Ir_{[\Lr:\K]}$ modulo $f$ et donc $$\D^2 \equiv 1 (\mathrm{mod} \ f).$$
 
(iii) Par construction, $\R_{\tau \sigma} = \tau(\R_{\sigma})$ pour tous $\sigma, \tau \in \G$ ; en particulier, $\R_{\sigma} = \sigma(\R_1)$. \'Etant donn\'e un \'el\'ement $y$ de $\Lr$, toute relation lin\'eaire non triviale entre les $\sigma(\R_1(y))$ \`a coefficients dans $\K$ fournit une relation lin\'eaire non triviale entre les colonnes de la matrice $(\R_{\tau \sigma}(y))_{(\sigma, \tau) \in \G^2}$ puisque $$\sum_{\sigma \in \G} \lambda_{\sigma} \R_{\tau \sigma}(y) = \sum_{\sigma \in \G} \lambda_{\sigma} \tau(\R_{\sigma}(y)) = \tau \left( \sum_{\sigma \in \G} \lambda_{\sigma} \R_{\sigma}(y)\right)$$ pour tout $(\lambda_\sigma) \in \K^{\G}$. Le polyn\^ome $\D$ \'etant non nul d'apr\`es la question pr\'ec\'edente et le corps $\K$ \'etant infini, il existe un \'el\'ement $y$ de $\K$ tel que $\R_1(y) \neq 0$ et, d'apr\`es ce que l'on vient de dire, la famille $(\sigma(\R_1(y)))_{\sigma \in \G}$ est une base de $\Lr$ en tant que $\K$-espace vectoriel.

\end{document} 