Algèbre approfondie - Automne 2007 ENS-Lyon

Théorie de Galois II

Exercice 1 (Discriminant) — Soit K un corps et soit P ∈ K[T] un polynôme séparable sur K de degré n. On désigne par R l’ensemble des racines de P dans une clôture algébrique de K.

1. Justifier que le groupe de Galois de l’extension K[R]/K s’identifie à un sous-groupe du groupe symétrique 𝔖(R).

2. Soit

D = (−1)^{\frac{n(n−1)}{2}} ∏_{x≠y∈R} (x − y)

Vérifier que D est un élément de K puis démontrer que, lorsque K est de caractéristique différente de 2, l’image de Gal(K[R]/K) dans 𝔖(R) est contenue dans le groupe alterné 𝔄(R) si et seulement si D est un carré dans K. (Indication : numéroter les racines ξ_{1},...,ξ_{n} de P et considérer l’élément ∏ _{i<j} (ξ_{i}− ξ_{j}) de K[R].)

3. Soit a le coefficient dominant de P. Démontrer les identités

a^{n}D = (−1)^{\frac{n(n−1)}{2}} ∏_{x∈R} P′(x) et a^{n−1} D = (−1)^{\frac{n(n−1)}{2}} n^{n} ∏_{x′∈R′}P(x′),

où R′est l’ensemble des racines de P′dans une clôture algébrique de K. En déduire D lorsque P = T^{2} + aT + b et lorsque P = T^{3}+ pT + q.

Exercice 2 (Extensions cyclotomiques) — Soit K un corps et soit n ≥ 1 un entier naturel premier à la caractéristique de K. On désigne par K(μ_{n}) une extension de K engendrée par les racines n-èmes de l’unité.

1. Vérifier que l’extension K(μ_{n})/K est galoisienne.

2. Démontrer qu’il existe un homomorphisme injectif de groupes et un seul

χ : Gal(K(μ_{n})/K) → (ℤ/nℤ)^{×}

tel que, pour toute racine n-ème de l’unité ζ et tout σ ∈ Gal(K(μ_{n})/K),

σ(ζ) = ζ^{χ(σ)}.

3. Vérifier qu’il existe un unique polynôme unitaire et séparable Φ_{n} ∈ K[T] dont les racines dans toute clôture algébrique \overline{K}de K soient les racines primitives n-èmes de l’unité dans \overline{K}(c’est-à-dire les éléments d’ordre n dans \overline{K}^{×}) puis justifier que l’homomorphisme χ est un isomorphisme si et seulement si le polynôme Φ_{n} est irréductible sur K.

4. On suppose K = ℚ dans cette question. Soit ζ une racine n-ème primitive de l’unité, de polynôme minimal P ∈ ℚ[T], soit p un nombre premier ne divisant pas n et soit Q ∈ ℚ[X] le polynôme minimal de ζ^{p}.

(i) Démontrer que les polynômes P et Q sont à coefficients entiers.

(ii) Prouver que Q(T^{p}) divise P dans ℤ[T].

(iii) En déduire que les réductions modulo p de P et Q ont un facteur irréductible commun dans 𝔽_{p}[T], puis que l’on a P = Q.

(iv) En conclusion, démontrer que le polynôme Φ_{n} est irréductible sur ℚ et à coefficients entiers.

Exercice 3 (Extensions cycliques : théorie de Kummer) — Soit K un corps et soit n ≥ 2 un entier naturel. On suppose tout d’abord que le groupe μ_{n}(K) des racines n-èmes de l’unité dans K est d’ordre n.

1. Soit a ∈ K^{×} et soit α une racine du polynôme T^{n}− a dans une clôture algébrique de K.

Démontrer que l’extension K(α)/K est galoisienne et que l’application

Gal(K(α)/K) → μ_{n}(K), σ ↦ \frac{σ(α)}{α}

est un homomorphisme de groupes injectif, d’image le sous-groupe μ_{d}(K) où d est le plus petit entier ≥ 1 tel que α^{d} ∈ K.

2. Soit L/K une extension galoisienne finie dont le groupe de Galois G est cyclique et d’ordre n, engendré par un élément σ.

Étant donnés un élément α de L et une racine n-ème de l’unité ζ ∈ μ_{n}(K), on appelle résolvante de Lagrange de α et ζ l’élément (ζ,α) de L défini par

(ζ,α) = α + ζ^{−1} σ(α) + ζ^{−2} σ^{2}(α) + ...+ ζ^{1−n} σ^{n−1} (α).

(i) Vérifier que l’on a σ(ζ,α) = ζ(ζ,α) et en déduire que (ζ,α)^{n} appartient à K.

(ii) Supposons que ζ soit une racine primitive de l’unité et que l’on ait L = K(α). Démontrer qu’il existe un entier k ≥ 1 tel que (ζ,α^{k}) ≠ 0 (Indication : appliquer le lemme de Dedekind) et en déduire que L est le corps de décomposition du polynôme T^{n}− (ζ,α^{k})^{n}.

3) On ne suppose plus que le polynôme T^{n}− 1 soit scindé sur K mais on fait seulement l’hypothèse que n est premier à la caractéristique de K. Soit a ∈ K et soit L un corps de décomposition du polynôme T^{n}− a.

(i) Vérifier que le polynôme T^{n}− 1 est scindé sur L. On note K_{1} l’extension de K dans L engendrée par les racines n-èmes de l’unité.

(ii) Vérifier que les extensions L/K_{1} et K_{1}/K sont galoisiennes et démontrer que leurs groupes respectifs s’identifient à des sous-groupes de ℤ/nℤ et μ_{n}(L).

(iii) Décrire complètement le groupe de Galois de l’extension L/K.

Exercice 4 (Résolution par radicaux) — Soit K un corps de caractéristique 0 et soit L/K une extension finie galoisienne de groupe G.

On dit que l’extension L/K est résoluble par radicaux s’il existe une tour d’extensions de corps

K = K_{0} ⊂ K_{1} ⊂ ... ⊂ K_{r}

telle que – pour tout i ≥ 0, K_{i+1} s’obtienne à partir de K_{i} par adjonction d’une racine n-ème d’un élément de K_{i};

– L ⊂ K_{r}.

En utilisant l’exercice précédent, démontrer que l’extension L/K est résoluble par radicaux si et seulement si le groupe G est résoluble, c’est-à-dire si et seulement s’il existe une suite de sous-groupes

(1) = G_{r} ≤ G_{r−1} ≤ ... ≤ G_{1} ≤ G_{0} = G

telle que, pour tout i ≥ 0, G_{i+1} soit distingué dans G_{i} et le groupe quotient G_{i}/G_{i+1} soit abélien.

Exercice 5 (Résolution par radicaux réels) — Soit K un sous-corps de ℝ et soit L une extension galoisienne finie de K dans ℝ.

1. Considérons un nombre réel α ∈ ℝ et un entier naturel m ≥ 1 tel que α^{m} ∈ K. Notant d le plus petit entier strictement positif tel que β = α^{d} ∈ L, démontrer que l’extension K(β)/K est de degré au plus 2.

2. Déduire de ce qui précède que, si l’extension L/K peut s’obtenir par extraction successives de racines n-èmes réelles, alors [L : K] est une puissance de 2.

Exercice 6 (Résolution par radicaux des équations de degré inférieur à 3) — Soit K un corps de caractéristique distincte de 2 et 3.

1. Interpréter la résolution usuelle de l’équation x^{2}+ ax + b = 0 du point de vue de la théorie de Galois.

2. Soit P = T^{3} + pT + q ∈ K[T] ; on suppose que P est irréductible et on rappelle que son discriminant est D = −4p^{3}− 27q^{2}.

(i) Quelles sont les possibilités pour le groupe de Galois d’un corps de décomposition L de P au-dessus de K ?

Soit K′l’extension de K obtenue en adjoignant les racines cubiques de l’unité et soit L′un corps de décomposition de P au-dessus K′; on désigne par ρ une racine cubique primitive de l’unité dans K′et on note x_{1}, x_{2}, x_{3} les racines de P dans L′.

(ii) Justifier que le groupe Gal(L′/K′(\sqrt{D})) est cyclique. Ayant fixé un générateur σ, écrire les trois résolvantes de Lagrange (1,x_{1}), (ρ,x_{1}) et (ρ^{2},x_{1}) puis expliciter les éléments (1,x_{1})^{3}, (ρ,x_{1})^{3} et (ρ^{2},x_{1})^{3} de K′(\sqrt{D}). Expliciter également l’élément (ρ,x_{1})(ρ^{2},x_{1}) de K′.

(iii) Exprimer les racines x_{1}, x_{2} et x_{3} de P en fonction des résolvantes (1,x_{1}), (ρ,x_{1}) et (ρ^{2},x_{1}) puis en déduire l’expression de x_{1}, x_{2} et x_{3} en fonction des coefficients de P.