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\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\noindent \textbf{Alg\`ebre approfondie - Automne 2007} \hfill \textbf{ENS-Lyon}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
{\bfseries \scshape Th\'eorie de Galois II}
\end{center}


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 1} (\emph{Discriminant}) --- Soit $\K$ un corps et soit $\rP \in \K[\T]$ un polyn\^ome s\'eparable sur $\K$ de degr\'e $n$. On d\'esigne par $\mathbb{\mathcal{R}}$ l'ensemble des racines de $\rP$ dans une cl\^oture alg\'ebrique de $\K$.

\vspace{0.1cm} 1. Justifier que le groupe de Galois de l'extension $\K[\mathcal{R}]/\K$ s'identifie \`a un sous-groupe du groupe sym\'etrique $\mathfrak{S}(\mathcal{R})$.

\vspace{0.1cm} 2. Soit $$\D = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\prod_{x \neq y \in \mathcal{R}} (x - y)$$
V\'erifier que $\D$ est un \'el\'ement de $\K$ puis d\'emontrer que, lorsque $\K$ est de caract\'eristique diff\'erente de $2$, l'image de $\mathrm{Gal}(\K[\mathcal{R}]/\K)$ dans $\mathfrak{S}(\mathcal{R})$ est contenue dans le groupe altern\'e $\mathfrak{A}(\mathcal{R})$ si et seulement si $\D$ est un carr\'e dans $\K$. (\emph{Indication : num\'eroter les racines $\xi_1, \ldots, \xi_n$ de $P$ et consid\'erer l'\'el\'ement $\prod_{i<j} (\xi_i - \xi_j)$ de $K[\mathcal{R}]$.})

\vspace{0.1cm} 3. Soit $a$ le coefficient dominant de $\rP$. D\'emontrer les identit\'es $$a^{n}\D  = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\prod_{x \in \mathcal{R}}\rP'(x) \ \ \textrm{et} \ \ a^{n-1} \D = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} n^n\prod_{x' \in \mathcal{R}'} \rP(x'),$$ o\`u $\mathcal{R}'$ est l'ensemble des racines de $\rP'$ dans une cl\^oture alg\'ebrique de $\K$. En d\'eduire $\D$ lorsque $\rP = \T^2 + a\T + b$ et lorsque $\rP = \T^3 + p\T + q$.  

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 2} (\emph{Extensions cyclotomiques}) --- Soit $\K$ un corps et soit $n \geq 1$ un entier naturel premier \`a la caract\'eristique de $\K$. On d\'esigne par $\K(\mathbf{\mu}_n)$ une extension de $\K$ engendr\'ee par les racines $n$-\`emes de l'unit\'e.

\vspace{0.1cm} 1. V\'erifier que l'extension $\K(\mathbf{\mu}_n)/\K$ est galoisienne.

\vspace{0.1cm} 2. D\'emontrer qu'il existe un homomorphisme injectif de groupes et un seul $$\chi : \mathrm{Gal}(\K(\mathbf{\mu}_n)/\K) \rightarrow \left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right)^{\times}$$ tel que, pour toute racine $n$-\`eme de l'unit\'e $\zeta$ et tout $\sigma \in \mathrm{Gal}(\K(\mathbf{\mu}_n)/\K)$, $$\sigma(\zeta) = \zeta^{\chi(\sigma)}.$$

\vspace{0.1cm} 3. V\'erifier qu'il existe un unique polyn\^ome unitaire et s\'eparable $\Phi_n \in \K[\T]$ dont les racines dans toute cl\^oture alg\'ebrique $\overline{\K}$ de $\K$ soient les racines primitives $n$-\`emes de l'unit\'e dans $\overline{\K}$ (c'est-\`a-dire les \'el\'ements d'ordre $n$ dans $\overline{\K}^{\times}$) puis justifier que l'homomorphisme $\chi$ est un isomorphisme si et seulement si le polyn\^ome $\Phi_n$ est irr\'eductible sur $\K$.

\vspace{0.1cm} 4. On suppose $\K = \mathbb{Q}$ dans cette question. Soit $\zeta$ une racine $n$-\`eme primitive de l'unit\'e, de polyn\^ome minimal $\rP \in \mathbb{Q}[\T]$, soit $p$ un nombre premier ne divisant pas $n$ et soit $\Qr \in \mathbb{Q}[\X]$ le polyn\^ome minimal de $\zeta^p$. \\
\indent (i)  D\'emontrer que les polyn\^omes $\rP$ et $\Qr$ sont \`a coefficients entiers. \\
\indent (ii) Prouver que $\Qr(\T^p)$ divise $\rP$ dans $\mathbb{Z}[\T]$. \\
\indent (iii) En d\'eduire que les r\'eductions modulo $p$ de $\rP$ et $\Qr$ ont un facteur irr\'eductible commun dans $\mathbb{F}_p[\T]$, puis que l'on a $\rP = \Qr$. \\
\indent (iv) En conclusion, d\'emontrer que le polyn\^ome $\Phi_n$ est irr\'eductible sur $\mathbb{Q}$ et \`a coefficients entiers.


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 3} (\emph{Extensions cycliques : th\'eorie de Kummer})  --- Soit $\K$ un corps et soit $n \geq 2$ un entier naturel. On suppose tout d'abord que le groupe $\mathbf{\mu}_n(\K)$ des racines $n$-\`emes de l'unit\'e dans $\K$ est d'ordre $n$.

\vspace{0.1cm} 1. Soit $a \in \K^{\times}$ et soit $\alpha$ une racine du polyn\^ome $\T^n - a$ dans une cl\^oture alg\'ebrique de $\K$.

D\'emontrer que l'extension $\K(\alpha)/\K$ est galoisienne et que l'application $$\mathrm{Gal}(\K(\alpha)/\K) \rightarrow \mathbf{\mu_n}(\K), \ \ \sigma \mapsto \frac{\sigma(\alpha)}{\alpha}$$
est un homomorphisme de groupes injectif, d'image le sous-groupe $\mathbf{\mu}_d(\K)$ o\`u $d$ est le plus petit entier $\geq 1$ tel que $\alpha^d \in \K$.

\vspace{0.1cm} 2. Soit $\Lr/\K$ une extension galoisienne finie dont le groupe de Galois $\G$ est cyclique et d'ordre $n$, engendr\'e par un \'el\'ement $\sigma$.

\'Etant donn\'es un \'el\'ement $\alpha$ de $\Lr$ et une racine $n$-\`eme de l'unit\'e $\zeta \in \mathbf{\mu}_n(\K)$, on appelle \emph{r\'esolvante de Lagrange} de $\alpha$ et $\zeta$ l'\'el\'ement $(\zeta, \alpha)$ de $\Lr$ d\'efini par  $$(\zeta, \alpha) = \alpha + \zeta^{-1}\sigma(\alpha) + \zeta^{-2} \sigma^2(\alpha) + \ldots + \zeta^{1-n}\sigma^{n-1}(\alpha).$$
\indent (i) V\'erifier que l'on a $\sigma(\zeta, \alpha) = \zeta(\zeta,\alpha)$ et en d\'eduire que $(\zeta, \alpha)^n$ appartient \`a $\K$. \\
\indent (ii) Supposons que $\zeta$ soit une racine primitive de l'unit\'e et que l'on ait $\Lr = \K(\alpha)$. D\'emontrer qu'il existe un entier $k \geq 1$ tel que $(\zeta, \alpha^k) \neq 0$ (\emph{Indication : appliquer le lemme de Dedekind}) et en d\'eduire que $\Lr$ est le corps de d\'ecomposition du polyn\^ome  $\T^n - (\zeta, \alpha^k)^n$.

\vspace{0.1cm} 3) On ne suppose plus que le polyn\^ome $\T^n -1$ soit scind\'e sur $\K$ mais on fait seulement l'hypoth\`ese que $n$ est premier \`a la caract\'eristique de $\K$. Soit $a \in \K$ et soit $\Lr$ un corps de d\'ecomposition du polyn\^ome $\T^n - a$. \\
\indent (i) V\'erifier que le polyn\^ome $\T^n - 1$ est scind\'e sur $\Lr$. On note $\K_1$ l'extension de $\K$ dans $\Lr$ engendr\'ee par les racines $n$-\`emes de l'unit\'e. \\
\indent (ii) V\'erifier que les extensions $\Lr/\K_1$ et $\K_1/\K$ sont galoisiennes et d\'emontrer que leurs groupes respectifs s'identifient \`a des sous-groupes de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et $\mathbf{\mu}_n(\Lr)$. \\
\indent (iii) D\'ecrire compl\`etement le groupe de Galois de l'extension $\Lr/\K$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 4} (\emph{R\'esolution par radicaux}) --- Soit $\K$ un corps de caract\'eristique $0$ et soit $\Lr/\K$ une extension finie galoisienne de groupe $\G$.

\vspace{0.1cm} On dit que l'extension $\Lr/\K$ est \emph{r\'esoluble par radicaux} s'il existe une tour d'extensions de corps $$\K = \K_0 \subset \K_1 \subset \ldots \subset \K_r$$ telle que \begin{itemize} \item pour tout $i \geq 0$, $\K_{i+1}$ s'obtienne \`a partir de $\K_i$ par adjonction d'une racine $n$-\`eme d'un \'el\'ement de $\K_i$ ; \item $\Lr \subset \K_r.$\end{itemize}

\vspace{0.1cm} En utilisant l'exercice pr\'ec\'edent, d\'emontrer que l'extension $\Lr/\K$ est r\'esoluble par radicaux si et seulement si le groupe $\G$ est \emph{r\'esoluble}, c'est-\`a-dire si et seulement s'il existe une suite de sous-groupes $$(1) = \G_r \leq \G_{r-1} \leq \ldots \leq \G_1 \leq \G_0 = \G$$ telle que, pour tout $i \geq 0$, $\G_{i+1}$ soit distingu\'e dans $\G_{i}$ et le groupe quotient $\G_{i}/\G_{i+1}$ soit ab\'elien.
 
\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 5} (\emph{R\'esolution par radicaux r\'eels}) --- Soit $\K$ un sous-corps de $\mathbb{R}$ et soit $\Lr$ une extension galoisienne finie de $\K$ dans $\mathbb{R}$.

\vspace{0.1cm} 1. Consid\'erons un nombre r\'eel $\alpha \in \mathbb{R}$ et un entier naturel $m \geq 1$ tel que $\alpha^m \in \K$. Notant $d$ le plus petit entier strictement positif tel que $\beta = \alpha^d \in \Lr$, d\'emontrer que l'extension $\K(\beta)/\K$ est de degr\'e au plus $2$.

\vspace{0.1cm} 2. D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que, si l'extension $\Lr/\K$ peut s'obtenir par extraction successives de racines $n$-\`emes r\'eelles, alors $[\Lr:\K]$ est une puissance de $2$. 

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 6} (\emph{R\'esolution par radicaux des \'equations de degr\'e inf\'erieur \`a 3}) --- Soit $\K$ un corps de caract\'eristique distincte de $2$ et $3$.

\vspace{0.1cm} 1. Interpr\'eter la r\'esolution usuelle de l'\'equation $x^2 +ax +b = 0$ du point de vue de la th\'eorie de Galois.

\vspace{0.1cm} 2. Soit $\rP = \T^3 + p\T + q \in \K[\T]$ ; on suppose que $\rP$ est irr\'eductible et on rappelle que son discriminant est $\D = -4p^3-27q^2$. \\
\indent (i) Quelles sont les possibilit\'es pour le groupe de Galois d'un corps de d\'ecomposition $\Lr$ de $\rP$ au-dessus de $\K$? 

\vspace{0.1cm} Soit $\K'$ l'extension de $\K$ obtenue en adjoignant les racines cubiques de l'unit\'e et soit $\Lr'$ un corps de d\'ecomposition de $\rP$ au-dessus $\K'$ ; on d\'esigne par $\rho$ une racine cubique primitive de l'unit\'e dans $\K'$ et on note $x_1, \ x_2, \ x_3$ les racines de $\rP$ dans $\Lr'$. 

\vspace{0.1cm} (ii) Justifier que le groupe $\mathrm{Gal}(\Lr'/\K'(\sqrt{\D}))$ est cyclique. Ayant fix\'e un g\'en\'erateur $\sigma$, \'ecrire les trois r\'esolvantes de Lagrange $(1,x_1)$, $(\rho,x_1)$ et $(\rho^2,x_1)$ puis expliciter les \'el\'ements $(1,x_1)^3$, $(\rho,x_1)^3$ et $(\rho^2,x_1)^3$ de $\K'(\sqrt{\D})$. Expliciter \'egalement l'\'el\'ement $(\rho,x_1)(\rho^2,x_1)$ de $\K'$.

\vspace{0.1cm} (iii) Exprimer les racines $x_1, \ x_2$ et $x_3$ de $\rP$ en fonction des r\'esolvantes $(1,x_1), \ (\rho,x_1)$ et $(\rho^2,x_1)$ puis en d\'eduire l'expression de $x_1, \ x_2$ et $x_3$ en fonction des coefficients de $\rP$.



\end{document} 