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\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre approfondie - Automne 2007} \hfill \textbf{ENS-Lyon}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
{\bfseries \scshape Th\'eorie de Galois II - Corrig\'e}
\end{center}


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 1} --- 1. L'action du groupe $\mathrm{Gal}(\K(\mathcal{R})/\K)$ sur $\K(\mathcal{R})$ stabilise l'ensemble $\mathcal{R}$ et d\'efinit donc un homomorphisme $\mathrm{Gal}(\K(\mathcal{R}/\K) \rightarrow \mathfrak{S}(\mathcal{R})$, qui est injectif car un \'el\'ement de $\mathrm{Gal}(\K(\mathcal{R}/\K)$ op\`erant trivialement sur $\mathcal{R}$ est trivial.

2. L'\'el\'ement $\D = (-1)^{\frac{n(n-1}{2}}\prod_{x \neq y \in \mathcal{R}} (x-y)$ de $\K(\mathcal{R})$ est invariant par toute permutation de $\mathcal{R}$, donc par $\mathrm{Gal}(\K(\mathcal{R}/\K)$, et $\D$ appartient au corps $\K$.

Ayant choisi un ordre total sur $\mathcal{R}$, on peut \'ecrire $\D$ sous la forme $$\D = \prod_{x < y} (x-y)^2$$ et cela montre que $\D$ est un carr\'e dans $\K$. Quelle que soit la permutation $\sigma \in \mathfrak{S}(\mathcal{R})$, $$\sigma\left(\prod_{x < y} (x - y) \right) = \prod_{x < y} (\sigma(x) - \sigma(y)) = (-1)^r \prod_{x < y} (x - y)$$ o\`u $r$ est le nombre de couples $(x,y) \in \mathcal{R}^2$ tels que $x < y$ et $\sigma(x) > \sigma(y)$ ; lorsque le corps $\K$ est de caract\'eristique distincte de $2$, $(-1)^r$ est la signature $\varepsilon(\sigma)$ de la permutation $\sigma$ et nous en d\'eduisons qu'une permutation de $\mathcal{R}$ fixe chacune des deux racines carr\'ees de $\D$ dans $\K(\mathcal{R})$ si et seulement si elle est \emph{paire}. 

Vu ce que l'on vient de dire, le discriminant $\D$ est un carr\'e dans $\K$ (de caract\'eristique distincte de $2$) si et seulement si le groupe $\mathrm{Gal}(\K(\mathcal{R})/\K)$ est contenu dans le groupe altern\'e $\mathfrak{A}(\mathcal{R})$.

3. \'Ecrivant $\rP$ sous la forme $a\prod_{x \in \mathcal{R}}(\T-x)$, $\rP'=a\sum_{x \in \mathcal{R}} \prod_{y \neq x} (\T - y)$ et donc $$\prod_{x \neq y} (x-y) = \prod_{x \in \mathcal{R}} \prod_{y \neq x} (x-y) = \prod_{x \in \mathcal{R}} a^{-1}\rP'(x) = a^{-n}\prod_{x \in \mathcal{R}}\rP'(x),$$ soit $$a^n \D = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \prod_{x \in \mathcal{R}}\rP'(x).$$ Si l'on pose d'autre part $\rP' = a\prod_{\lambda \in \mathcal{R}'} (\T - \lambda)$, $$\prod_{x \in \mathcal{R}}\rP'(x) = a^n\prod_{x \in \mathcal{R}} \prod_{\lambda \in \mathcal{R}'}(x - \lambda) = (-1)^{n-1}a^n\prod_{\lambda \in \mathcal{R}'}\prod_{x \in \mathcal{R}} (\lambda - x) = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a^n\prod_{\lambda \in \mathcal{R}'}a^{-1}\rP(\lambda) = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a\prod_{\lambda \in \mathcal{R}'}\rP(\lambda),$$ c'est-\`a-dire $$a^{n-1}\D = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\prod_{\lambda \in \mathcal{R}'} \rP(\lambda).$$

\vspace{0.1cm} Si l'on note $x_1$ et $x_2$ les deux racines de $\T^2+a\T+b$, $\D = (x_1 - x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 -2x_1x_2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = a^2 - 4b.$

Pour calculer le discriminant du polyn\^ome $\T^3+p\T+q$, on peut utiliser la formule faisant intervenir les racines du polyn\^omes d\'eriv\'e : \begin{eqnarray*}\D & = & -27\left(\sqrt{\frac{-p}{3}}^3 + p\sqrt{\frac{-p}{3}} + q\right)\left(\sqrt{-\frac{-p}{3}}^3 - p\sqrt{\frac{-p}{3}} + q\right) = -27\left(\frac{2p}{3}\sqrt{\frac{-p}{3}} + q\right)\left(-\frac{2p}{3}\sqrt{\frac{-p}{3}} + q\right) \\ & = & -27\left(\frac{2p^3}{27} + q^2\right) = -4p^3-27q^2.\end{eqnarray*}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 2} --- 1. L'entier $n$ \'etant premier \`a la caract\'eristique du corps $\K$, les polyn\^omes $\T^n - 1$ et $n\T^{n-1}$ sont premiers entre eux ; le polyn\^ome $\T^n - 1$ est donc s\'eparable sur $\K$ et son corps de d\'ecomposition $\K(\mathbf{\mu}_n)$ (dans une cl\^oture alg\'ebrique de $\K$) est par cons\'equent une extension galoisienne de $\K$.

\vspace{0.1cm}
2. Le groupe $\mathrm{Gal}(\K(\mathbf{\mu}_n)/\K)$ op\`ere par permutation sur l'ensemble $\mathbf{\mu}_n$ des racines $n$-\`emes de l'unit\'e dans $\K(\mathbf{\mu}_n)$. \'Etant donn\'ee une racine \emph{primitive} $\zeta \in \mathbf{\mu}_n$ --- c'est-\`a-dire un g\'en\'erateur du groupe cyclique $\mathbf{\mu}_n$ --- $\sigma(\zeta)$ est encore une racine primitive pour tout automorphisme $\sigma \in \mathrm{Gal}(\K(\mathbf{\mu}_n)/\K)$ et il existe donc une application bien d\'efinie $\chi_\zeta : \mathrm{Gal}(\K(\mathbf{\mu}_n)/\K) \rightarrow \left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right)^{\times}$ telle que $\sigma(\zeta) = \zeta^{\chi_{\zeta}(\sigma)}$ pour tout $\sigma \in \mathrm{Gal}(\K(\mathbf{\mu}_n)/\K)$. \'Etant donn\'ees deux racines primitives $\zeta, \xi \in \mathbf{\mu}_n$, $\xi = \zeta^d$ avec $d \in \left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right)^{\times}$ donc $$\xi^{\chi_{\xi}(\sigma)} = \sigma(\xi) = \sigma(\zeta^d) = \sigma(\zeta)^d = \zeta^{d\chi_{\zeta}(\sigma)}$$ et $\chi_{\zeta}(\sigma) = \chi_{\xi}(\sigma)$ pour tout \'el\'ement $\sigma$ de $\mathrm{Gal}(\K(\mu_{n})/\K)$. Nous obtenons ainsi l'existence d'une application $$\chi : \mathrm{Gal}(\K(\mathbf{\mu}_n)/\K) \rightarrow \left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right)^{\times}$$ telle que $\sigma(\zeta) = \zeta^{\chi(\sigma)}$ pour toute racine \emph{primitive} $\zeta \in \mathbf{\mu}_n$ et tout $\sigma \in \mathrm{Gal}(\K(\mathbf{\mu}_n)/\K)$. La derni\`ere identit\'e est bien entendue valable sans restriction sur la racine de l'unit\'e : \'etant donn\'ee une racine primitve $\zeta \in \mathbf{\mu}_n$, tout \'el\'ement de $\mathbf{\mu}_n$ est de la forme $\zeta^d$ avec $d \in \mathbb{Z}$ et $\sigma(\zeta^d) = \sigma(\zeta)^d = \zeta^{d\chi(\sigma)} = (\zeta^d)^{\chi(\sigma)}$. Il est imm\'ediat de v\'erifier que l'application $\chi$ est un homomorphisme de groupes : quelle que soit la racine primitive $\zeta$, $$\tau \sigma(\zeta) = \tau(\zeta^{\chi(\sigma)}) = \zeta^{\chi(\tau)\chi(\sigma)}$$ et donc $\chi(\tau \sigma) = \chi(\tau)\chi(\sigma)$. Enfin, l'injectivit\'e de $\chi$ est claire puisque un \'el\'ement de $\mathrm{Gal}(\K(\mathbf{\mu}_n)/\K)$ est uniquement d\'etermin\'e par sa restriction \`a $\mathbf{\mu}_n$.

\vspace{0.1cm} 3. Soit $\mathbf{\mu}'_n$ le sous-ensemble de $\mathbf{\mu}_n$ form\'e des racines \emph{primitives}. Quelle que soit la racine primitive $\zeta \in \mathbf{\mu}'_n$, les conjugu\'es de $\zeta$ dans $\K(\mathbf{\mu}_n)$ sont les racines du polyn\^omes minimal $f_{\zeta}$ de $\zeta$ sur $\K$ ; le polyn\^ome $$\Phi_n = \prod_{\zeta \in \mathbf{\mu}_n'} (\T - \zeta) =  \prod_{\mathbf{\mu}'_n/\mathrm{Gal}(\K(\mathbf{\mu}_n)/\K)} f_{\zeta}$$ appartient par cons\'equent \`a $\K[\T]$.

L'homomorphisme $\chi$ est surjectif si et seulement si le groupe $\mathrm{Gal}(\K(\mathbf{\mu}_n)/\K)$ est d'ordre $\varphi(n)$ ; comme $\mathrm{deg}(\Phi_n) = \varphi(n)$, cela est le cas si et seulement si $\mathrm{Gal}(\K(\mathbf{\mu}_n)/\K)$ op\`ere transitivement sur $\mathbf{\mu}_n'$, ce qui \'equivaut \`a l'irr\'eductibilit\'e du polyn\^ome $\Phi_n$.

\vspace{0.1cm} 4. (i) De mani\`ere g\'en\'erale, tout polyn\^ome  unitaire $\rP \in \mathbb{Q}[\T]$ dont les racines sont des entiers alg\'ebriques est \`a coefficients entiers : en effet, l'expression des coefficients de $\rP$ comme fonctions sym\'etriques \'el\'ementaires de ses racines montre que ceux-ci sont \'egalement des entiers alg\'ebriques, et ce sont donc des entiers puisque l'anneau $\mathbb{Z}$ est int\'egralement clos. Cette observation s'applique dans le cas que l'on consid\`ere puisque les racines de l'unit\'e sont des entiers alg\'ebriques.

(ii) Par construction, le polyn\^ome $\rP$ divise $\Qr(\T^p)$ dans $\mathbb{Q}[\T]$ : $\Qr(\T^p) = \rP \R$ avec $\R \in \mathbb{Q}[\T]$. En outre, le polyn\^ome $\R$ est unitaire et ses racines, \'etant des racines de l'unit\'e, sont des entiers alg\'ebriques ; on a donc $\R \in \mathbb{Z}[\T]$ et $\rP$ divise ainsi $\Qr(\T^p)$ dans $\mathbb{Z}[\T]$.

(iii) Comme $\Qr(\T^p) = \Qr(\T)^p$ dans $\mathbb{F}_p[\T]$, la r\'eduction modulo $p$ de l'identit\'e pr\'ec\'edente montre que les polyn\^omes $\rP$ et $\Qr$ ont une racine commune dans toute cl\^oture alg\'ebrique de $\mathbb{F}_p$. Si $\rP$ et $\Qr$ \'etaient distincts, ces polyn\^omes seraient deux facteurs irr\'eductibles de $\Phi_n$ --- car $\zeta$ et $\zeta^p$ sont toutes deux des racines primitives de l'unit\'e --- et $\Phi_n$ serait par suite divisible par le produit $\rP \Qr$ dans $\mathbb{Z}[\T]$. En r\'eduisant modulo $p$, il d\'ecoulerait de ce que l'on vient de voir que le polyn\^ome $\Phi_n$ aurait une racine double dans toute cl\^oture alg\'ebrique de $\mathbb{F}_p$ et l'on aboutirait alors \`a une contradiction puisque, $p$ et $n$ \'etant premiers entre eux, le polyn\^ome $\Phi_n$ est s\'eparable sur $\mathbb{F}_p$ (c'est en effet un facteur du polyn\^ome s\'eparable $\T^n - 1$). Nous avons donc $\rP = \Qr$.

(iv) Nous venons de prouver que le polyn\^ome minimal $\rP$ de la racine primitive $\zeta$ s'annule en $\zeta^p$ pour tout nombre premier $p$ ne divisant pas $n$. Comme $\zeta^p$ est encore une racine primitive, un raisonnement par r\'ecurrence \'evident permet d'en d\'eduire que $\rP$ s'annule en $\zeta^m$ pour tout entier non nul $m$ premier \`a $n$ ; $\rP$ s'annule par cons\'equent en chaque racine primitive, ce qui implique $\rP = \Phi_n$ et prouve que le polyn\^ome $\Phi_n$ est irr\'eductible sur $\mathbb{Q}$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 3} --- 1. Dire que le groupe $\mathbf{\mu}_n(\K)$ est d'ordre $n$ revient \`a demander que le polyn\^ome $\T^ - 1$ soit scind\'e \`a racines simples sur $\K$, ce qui implique en particulier que l'entier $n$ soit premier \`a la caract\'eristique de $\K$.

Le polyn\^ome  $\T^n - a$ est scind\'e sur $\K(\alpha)$ : $$\T^n - a = \prod_{\zeta \in \mathbf{\mu}_n(\K)} (\T - \zeta \alpha)$$ et le corps $\K(\alpha)$, \'etant un corps de d\'ecomposition de $\T^n - a$, est une extension galoisienne de $\K$.

L'application $\mathrm{Gal}(\K(\alpha)/\K) \rightarrow \K(\alpha), \ \ \sigma \mapsto \frac{\sigma(\alpha)}{\alpha}$ est \`a valeurs dans le sous-groupe $\mathbf{\mu}_n(\K)$ de $\K^{\times}$. \'Etant donn\'es $\sigma, \ \tau \in \mathrm{Gal}(\K(\alpha)/\K)$, $$\frac{\tau \sigma(\alpha)}{\alpha} = \frac{\tau(\sigma(\alpha))}{\tau(\alpha)}\frac{\tau(\alpha)}{\alpha} = \tau\left(\frac{\sigma(\alpha)}{\alpha}\right)\frac{\tau(\alpha)}{\alpha} = \frac{\sigma(\alpha)}{\alpha}\frac{\tau(\alpha)}{\alpha}$$ car $\frac{\sigma(\alpha)}{\alpha} \in \K$ ; cette application est donc un homomorphisme de groupes. Il s'agit enfin manifestement d'une application injective.

Soit $d$ le plus petit entier $\geq 1$ tel que $\alpha^d = 1$. Le polyn\^ome $\T^d - \alpha^d$ est irr\'eductible sur $\K$ : en effet, le terme constant de tout facteur de degr\'e $m \geq 1$ du polyn\^ome $$\T^d - \alpha^d = \prod_{\zeta \in \mathbf{\mu}_d(\K)}(\T - \zeta \alpha)$$ est de la forme $\left(\prod_{\zeta \in \E} \zeta \right)\alpha^m$ pour un certain sous-ensemble $\E$ de $\mathbf{\mu}_d(\K)$ de cardinal $m$ et, pour que ce facteur soit \`a coefficients dans $\K$, il est n\'ecessaire que l'on ait $\alpha^m \in \K$, soit $m = d$. Le groupe de Galois $\mathrm{Gal}(\K(\alpha)/\K)$ op\`ere par cons\'equent transitivement sur les racines de $\T^d - \alpha^d$, ce qui \'equivaut \`a dire que son image dans $\mathbf{\mu}_n(\K)$ est le sous-groupe $\mathbf{\mu}_d(\K)$.

\vspace{0.1cm} 2. Soit $\Lr/\K$ une extension galoisienne finie dont le groupe de Galois est cyclique et d'ordre $n$. Ayant fix\'e un g\'en\'erateur $\sigma$ de $\G$, on pose $$(\zeta, \alpha) = \sum_{i=0}^{n-1}\zeta^{-i}\sigma^i(\alpha)$$ pour toute racine $\zeta \in \mathbf{\mu}_n(\K)$.

(i) Il est imm\'ediat que $$\sigma(\zeta, \alpha) = \sum_{i=0}^{n-1}\sigma(\zeta^{-i}\sigma^i (\alpha)) = \sum_{i=0}^{n-1} \zeta^{-i} \sigma^{i+1}(\alpha) = \zeta \sum_{i=1}^{n} \zeta^{-i}\sigma^i(\alpha),$$ soit $\sigma(\zeta, \alpha) = \zeta(\zeta, \alpha)$ puisque $\zeta^{-n}\sigma^n(\alpha) = \alpha$. On en d\'eduit que $(\zeta, \alpha)^n$ est fix\'e par $\sigma$ et donc appartient \`a $\K$.

(ii) Cette question n'a pas lieu d'\^etre!

(iii) En vertu du lemme de Dedekind, les $n$ \'el\'ements $1, \sigma, \ldots, \sigma^{n-1}$ de $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ sont lin\'eairement ind\'ependants sur $\Lr$. Par suite, quelle que soit la racine de l'unit\'e $\zeta \in \mathbf{\mu}_n(\K)$, il existe un \'el\'ement $\alpha$ de $\Lr$ tel que $(\zeta, \alpha) \neq 0$. \'Etant donn\'e un \'el\'ement primitif $x$ de l'extension $\Lr/\K$, il est loisible de choisir $\alpha$ parmi les puissances $x^k$ de $x$, $0 \leq x \leq n-1$ puisque celles-ci forment une base de $\Lr$ comme $\K$-espace vectoriel.

Consid\'erons finalement une racine primitive $\zeta \in \mathbf{\mu}_n(\K)$ ainsi qu'un \'el\'ement $\alpha$ de $\Lr$ tel que $(\zeta, \alpha) \neq 0$. Puisque $\sigma(\zeta, \alpha) = \zeta(\zeta, \alpha)$, le groupe de Galois $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ op\`ere transitivement sur les racines du polyn\^ome $$\T^n - (\zeta, \alpha)^n = \prod_{i=0}^{n-1} (\T - \zeta^i(\zeta, \alpha))$$ et ce dernier est donc irr\'eductible. On en d\'eduit que l'\'el\'ement $(\zeta, \alpha)$ de $\Lr$ est de degr\'e $n = [\Lr:\K]$ sur $\K$, c'est-\`a-dire $\Lr = \K((\zeta, \alpha))$. 

\vspace{0.1cm} \emph{Nous venons de prouver que, lorsque le groupe $\mu_n(\K)$ est d'ordre $n$, les extensions galoisiennes $\Lr/\K$ telles que le groupe $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ soit cyclique et d'ordre $n$ sont exactement les extensions de la forme $\K(\alpha)/\K$ avec $\alpha^n \in \K^{\times}$ et $\alpha^d \notin \K$ pour tout diviseur strict $d$ de $n$.}

\vspace{0.1cm} 3. On se limite maintenant \`a supposer que l'entier $n$ soit premier \`a la caract\'eristique du corps $\K$, de sorte que le polyn\^ome $\T^n - 1$ soit s\'eparable, mais non n\'ecessairement scind\'e, sur $\K$. On consid\`ere de nouveau un \'el\'ement $a$ de $\K^{\times}$ et un corps de d\'ecomposition $\Lr$ du polyn\^ome $\T^n - a$ au-dessus de $\K$.

(i) Soit $\alpha$ une racine de $\T^n - a$ dans $\Lr$. Le polyn\^ome $\T^n - a$ \'etant scind\'e sur $\Lr$, $\zeta \alpha \in \Lr$ et donc $\zeta \in \Lr$ pour toute racine $n$-\`eme de l'unit\'e dans une cl\^oture alg\'ebrique de $\Lr$. Le polyn\^ome $\T^n - 1$ est ainsi scind\'e sur $\Lr$ et ses racines engendrent une sous-extension $\K_1$ de $\K$ dans $\Lr$.

(ii) L'extension $\Lr/\K_1$ est galoisienne car l'extension $\Lr/\K$ l'est tandis que l'extension $\K_1/\K$ est galoisienne car $\K_1$ est le corps de d\'ecomposition de $\T^n-1$. En vertu de l'exercice 2, le groupe $\mathrm{Gal}(\K_1/\K)$ est canoniquement isomorphe \`a un sous-groupe de $\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right)^{\times}$ tandis que le choix d'une racine $\alpha$ de $\T^n - a$ dans $\Lr$ permet de d\'efinir un plongement du groupe $\mathrm{Gal}(\Lr/\K_1)$ dans $\mathbf{\mu}_n(\K_1)$.

(iii) On dispose d'une suite exacte de groupes $$\xymatrix{1 \ar@{->}[r] & \mathrm{Gal}(\Lr/\K_1) \ar@{->}[r] & \mathrm{Gal}(\Lr/\K) \ar@{->}[r] & \mathrm{Gal}(\K_1/\K) \ar@{->}[r] & 1}.$$ Si l'on fait op\'erer $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ sur lui-m\^eme par conjuguaison, on obtient un homomorphisme de $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ dans $\mathrm{Aut}(\mathrm{Gal}(\Lr/\K_1))$ qui se factorise \`a travers la projection de $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ sur $\mathrm{Gal}(\K_1/\K)$ en vertu de la commutativit\'e de $\mathrm{Gal}(\Lr/\K_1)$. Ce dernier groupe \'etant cyclique d'ordre $d$ \'egal au degr\'e des facteurs irr\'eductibles de $\T^n - a$ sur $\K_1$, nous obtenons finalement un homomorphisme canonique $$u : \mathrm{Gal}(\K_1/\K) \rightarrow \left(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}\right)^{\times}.$$

Le choix d'une racine $\alpha$ de $\T^n - a$ dans $\Lr$ permet de construire une \emph{section} $s_{\alpha}$ de la surjection $\mathrm{Gal}(\Lr/\K) \rightarrow \mathrm{Gal}(\K_1/\K)$ en associant \`a tout \'el\'ement $\sigma$ de $\mathrm{Gal}(\K_1/\K)$ son unique prolongement \`a $\Lr$ fixant $\alpha$ ; cette racine $\alpha$ permet par ailleurs d'identifier $\mathrm{Gal}(\Lr/\K_1)$ \`a un sous-groupe $\mathbf{\mu}_d(\K_1)$. Tout \'el\'ement de $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ s'\'ecrit de mani\`ere unique sous la forme $\tau s_{\alpha}(\sigma)$ avec $\tau \in \mathrm{Gal}(\Lr/\K_1)$ et $\sigma \in \mathrm{Gal}(\K_1/\K)$ et, vu ce qui pr\'ec\`ede, \begin{eqnarray*}(\tau' s_{\alpha}(\sigma'))(\tau s_{\alpha}(\sigma)) & = & \tau' s_{\alpha}(\sigma')\tau s_{\alpha}(\sigma')^{-1} s_{\alpha}(\sigma')s_{\alpha}(\sigma) \\ & = & \tau'\tau^{u(\sigma)} s_{\alpha}(\sigma' \sigma).\end{eqnarray*} Le groupe $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ s'identifie donc \`a l'ensemble $\mathrm{Gal}(\Lr/\K_1) \times \mathrm{Gal}(\K_1/\K)$ muni du produit \og tordu \fg \ par l'automorphisme $u$ : $$(\tau',\sigma') * (\tau, \sigma) = (\tau' \tau^{u(\sigma')}, \sigma' \sigma) \ ;$$ c'est le \emph{produit semi-direct} de $\mathrm{Gal}(\K_1/\K)$ par $\mathrm{Gal}(\Lr/\K_1)$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 4} --- Une extension de corps $\Lr/\K$ est dite \emph{radicale \'el\'ementaire} si $\Lr = \K(\alpha)$ avec $\alpha^n \in \K$ pour un certain entier $n \geq 1$ et elle est dite \emph{radicale} si elle l'aboutissement d'une tour d'extensions radicales \'el\'ementaires ; enfin, elle est dite \emph{r\'esoluble par radicaux} si elle est contenue dans une extension radicale de $\K$. Cette derni\`ere condition signifie pr\'ecis\'ement que tout \'el\'ement de $\Lr$ peut s'exprimer en termes de radicaux it\'er\'es construits \`a partir d'\'el\'ements de $\K$.

\vspace{0.1cm} Supposons que le corps $\K$ soit de caract\'eristique nulle et fixons-en une cl\^oture alg\'ebrique $\overline{\K}$.

(i) Soit $n \geq 1$ un entier et soit $\K_1$ le corps de d\'ecomposition du polyn\^ome $\T^n - 1$ dans $\overline{\K}$. Si l'extension compos\'ee $\Lr \K' /\K$ est r\'esoluble par radicaux, l'extension $\Lr/\K$ est bien \'evidemment r\'esoluble par radicaux. R\'eciproquement, si $\Lr/\K$ est une extension r\'esoluble par radicaux et si $\Lr'/\K$ est une extension radicale contenant $\Lr$, l'extension compos\'ee $\Lr' \K'/\K$ est radicale puisqu'elle s'obtient \`a partir de $\Lr'$ par adjonction de racines de l'unit\'e et, comme $\Lr \K' \subset \Lr'\K'$, l'extension $\Lr\K'/\K$ est r\'esoluble par radicaux. En conclusion, une extension $\Lr/\K$ est r\'esoluble par radicaux si et seulement si tel est le cas de l'extension compos\'ee $\Lr\K'/\K$.


(ii) Quelle que soit l'extension galoisienne $\Lr/\K$, l'extension compos\'ee $\Lr\K'/\K$ est galoisienne et $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ est le quotient de $\mathrm{Gal}(\Lr\K'/\K)$ par le sous-groupe ab\'elien et distingu\'e $\mathrm{Gal}(\K'/\K)$ tandis que le groupe $\mathrm{Gal}(\Lr\K'/\K')$ s'identifie \`a un sous-groupe de $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$. Il en d\'ecoule que le groupe $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ est r\'esoluble si et seulement si tel est le cas du groupe $\mathrm{Gal}(\Lr\K'/\K')$.

(iii) Consid\'erons finalement une extension galoisienne finie $\Lr$ de $\K$ dans $\overline{\K}$. \begin{itemize} \item Si l'extension $\Lr/\K$ est r\'esoluble par radicaux, consid\'erons une extension radicale $\Lr'$ de $\K$ dans $\overline{\K}$ contenant $\Lr$ et d\'esignons par $\K'$ le corps de d\'ecomposition du polyn\^ome $\T^{[\Lr':\K]} - 1$ dans $\overline{\K}$. Vu ce que l'on a \'etabli au cours de l'exercice 3, toute extension radicale \'el\'ementaire de $\K'$ est galoisienne de groupe de Galois cyclique et toute extension radicale est galoisienne, de groupe de Galois r\'esoluble ; appliquant cela \`a l'extension $\Lr'\K'/\K'$, nous en d\'eduisons que le groupe $\mathrm{Gal}(\Lr'\K'/\K')$ est r\'esoluble. Ceci prouve que le groupe $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$. \item Si r\'eciproquement le groupe $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ est r\'esoluble, d\'esignons par $\K'$ le corps de d\'ecomposition du polyn\^ome $\T^{|\mathrm{Gal}(\Lr/\K)|} - 1$ dans $\overline{\K}$. En s'appuyant de nouveau sur l'exercice 3, la tour d'extensions de $\K'$ d\'eduite d'une suite de composition de $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ \`a quotients cycliques est une tour d'extensions radicales \'el\'ementaires ; l'extension $\Lr\K'/\K'$ est donc radicale. Il en est alors de m\^eme de l'extension $\Lr\K'/\K$, ce qui prouve que l'extension $\Lr/\K$ est r\'esoluble par radicaux.
\end{itemize}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 6} --- Soit $\K$ un sous-corps de $\mathbb{R}$.

1. [...]

\vspace{0.1cm}
2. Soit $\Lr$ une extension galoisienne finie de $\K$ contenue dans $\mathbb{R}$. \'Etant donn\'es un \'el\'ement $a$ de $\K$, un entier $n \geq 1$ et une racine $\alpha$ du polyn\^ome $\T^n - a$ dans $\mathbb{R}$, tout $\K$-automorphisme $\sigma \in \mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ envoie $\alpha$ sur une autre racine du polyn\^ome $\T^n - a$ et donc $$\sigma(\alpha) = \left\{\begin{array}{ll}\alpha & \textrm{ si } n \textrm{ est impair} \ ;  \\ \pm \alpha & \textrm{ si } n \textrm{ est pair}. \end{array} \right. $$ Dans tous les cas, $\sigma(\alpha) \in \K(\alpha)$ et le sous-groupe $\Hr$ de $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ fixant le corps $\Lr \cap \K(\alpha)$ est d'indice $1$ ou $2$, de sorte que $[\Lr \cap \K(\alpha) : \K] \in \{1, 2\}$.

\vspace{0.1cm} Supposons que l'extension galoisienne $\Lr/\K$ soit r\'esoluble par radicaux \emph{r\'eels}, c'est-\`a-dire qu'il existe une tour d'extensions radicales \'el\'ementaires $\K = \K_0 \subset \K_1 \subset \ldots \subset \K_r \subset \mathbb{R}$ telle que $\Lr \subset \K_r$. D'apr\`es ce que l'on vient de dire, $[\Lr \cap \K_{i+1} : \Lr \cap \K_i] \in \{1, 2\}$ pour tout $i \in \{0, \ldots, r-1\}$ et donc $$[\Lr : \K] = \prod_{i=0}^{r-1} [\Lr \cap \K_{i+1} : \Lr \cap \K_i]$$ est une puissance de $2$. Nous avons ainsi prouv\'e que, si l'extension galoisienne $\Lr/\K$ est r\'esoluble par radicaux r\'eels, alors son degr\'e est une puissance de $2$. L'assertion r\'eciproque est vraie : toute extension de degr\'e $2$ entre deux sous-corps de $\mathbb{R}$ est \'el\'ementairement radicale en vertu de l'exercice 3 et l'extension $\Lr/\K$ est donc r\'esoluble par radicaux r\'eels si elle est r\'esoluble par radicaux et si son degr\'e est une puissance de $2$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 7} --- 1. Soient $x_1$ et $x_2$ les deux racines du polyn\^ome $\T^2 +a\T +b$ dans une cl\^oture alg\'ebrique de $\K$. Le groupe de Galois $\G$ du corps de d\'ecomposition $\Lr$ de ce polyn\^ome est un sous-groupe du groupe sym\'etrique $\mathfrak{S}(\{x_1,x_2\})$. Le groupe altern\'e $\mathfrak{A}(\{x_1,x_2\})$ \'etant trivial, il d\'ecoule de l'exercice 1 que $\G$ est trivial si le discriminant $\D = a^2 - 4b$ est un carr\'e dans $\K$ et que $\G = \{1, (x_1,x_2)\}$ sinon. Dans ce second cas, l'extension $\Lr/\K(\sqrt{\D})$ est triviale et les deux racines $x_1, \ x_2$ s'expriment donc en fonction d'une racine carr\'ee du discriminant.

\vspace{0.1cm} 2. Rappelons tout d'abord que tout polyn\^ome cubique $\Sr^3 + a\Sr^2 + b\Sr +c$ peut s'\'ecrire sous la forme $\rP = \T^3 + p\T + q$ : il suffit de faire le changement de variable $\Sr = \T - \frac{a}{3}$. Cette op\'eration a pour vertu de simplifier l'expression du discriminant $\D$ du polyn\^ome et de fournir la relation $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ entre les trois racines $x_1, \ x_2$ et $x_3$ de $\rP$ dans une cl\^oture alg\'ebrique de $\K$. On rappelle que $\D = -4p^3 - 27q^2$.

Soit $\Lr = \K(x_1,x_2,x_3)$ le corps de d\'ecomposition du polyn\^ome $\rP$ et soit $\G$ son groupe de Galois, que l'on identifie \`a un sous-groupe du groupe sym\'etrique $\mathfrak{S}(\{x_1,x_2,x_3\})$. En vertu de l'exercice 1, $\G \cap \mathfrak{A}(\{x_1,x_2,x_3\})$ est sous-groupe de $\G$ fixant le corps $\K(\sqrt{\D})$ et, comme $\mathfrak{A}(\{x_1,x_2,x_3\})$ est un groupe cyclique d'ordre $3$, les quatre cas de figure possibles sont les suivants : \begin{itemize} \item $\G = \{1\}$ ;\item $\G \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ fixe l'une des racines de $\rP$ et permute les deux autres ; \item $\G = \mathfrak{A}(\{x_1, x_2, x_3\})$ ; \item $\G = \mathfrak{S}(\{x_1, x_2, x_3\})$. \end{itemize} Le premier cas se produit si $\rP$ est scind\'e sur $\K$, le deuxi\`eme si $\rP$ poss\`ede exactement une racine dans $\K$, le troisi\`eme si $\rP$ est irr\'eductible sur $\K$ et si $\D$ est un carr\'e dans $\K$, le quatri\`eme enfin si $\rP$ est irr\'eductible sur $\K$ et si $\D$ n'est pas un carr\'e dans $\K$.

\emph{Remarque : il convient d'observer que, dans le deuxi\`eme cas de figure, $\rP$ est scind\'e sur le corps $\K(\sqrt{\D})$. Cela peut \'egalement se voir en v\'erifiant que le discriminant du facteur irr\'eductible quadratique de $\rP$ est un carr\'e dans $\K(\sqrt{\D})$.}

 \vspace{0.1cm} Nous supposons dans ce qui suit que le polyn\^ome $\rP$ est irr\'eductible sur $\K$ ; l'extension $\Lr/\K(\sqrt{\D})$ est alors cyclique de degr\'e $3$ et nous allons appliquer la th\'eorie de Kummer expos\'ee \`a l'exercice 3. Cela suppose de disposer des racines cubiques de l'unit\'e dans le corps de base ; notant $\K'$ un corps de d\'ecomposition de $\T^3 -1$, nous allons travailler dans l'extension compos\'ee $\Lr' = \Lr\K' = \K(x_1, x_2, x_3, \rho),$ o\`u $\rho$ est une racine cubique primitive de $1$. L'extension $\Lr'/\K'(\sqrt{\D})$ est non triviale puisque $[\Lr':\K]$ est un multiple de $3$ tandis que $[\K'(\sqrt{\D}):\K]$ est une puissance de $2$, donc $\mathrm{Gal}(\Lr'/\K'(\sqrt{\D})$ est le groupe cyclique $\mathfrak{A}(\{x_1, x_2, x_3\})$. Soit $\sigma$ le $3$-cycle $(x_1,x_2,x_3)$ et consid\'erons les trois r\'esolvantes de Lagrange $$(1,x_1) = x_1 + \sigma(x_1)+\sigma^2(x_1) = x_1 + x_2 +x_3 = 0,$$ $$(\rho, x_1) = x_1 + \rho^{-1}\sigma(x_1) + \rho^{-2}\sigma^2(x_1)  = x_1 + \rho^2x_2 + \rho x_3$$ et $$(\rho^2, x_1) =  x_1 + \rho x_2 + \rho^2 x_3.$$ Les trois racines $x_1, x_2$ et $x_3$ s'expriment en fonction des r\'esolvantes : $$x_1 = \frac{1}{3}\big((\rho,x_1)+(\rho^2,x_1)\big), \ \ x_2 = \frac{1}{3}\big(\rho(\rho, x_1) + \rho^2(\rho^2,x_1)\big) \ \ \textrm{et} \ \ x_3 = \frac{1}{3}\big(\rho^2(\rho, x_1)+\rho(\rho^2,x_1)\big).$$ On a par ailleurs $\sigma(\rho,x_1) = \rho(\rho,x_1)$ et $\sigma(\rho^2,x_1) = \rho^2(\rho^2,x_1)$, donc $(\rho, x_1)^3, \ (\rho^2,x_1)^3 \in \K'(\sqrt{\D})$ ; il reste par cons\'equent \`a calculer explicitement ces deux derniers cubes dans $\K'(\sqrt{\D})$ pour obtenir une expression des trois racines de $\rP$ en termes de radicaux quadratiques et cubiques faisant intervenir les coefficients de $\rP$ et le trois racines cubiques de l'unit\'e.

\vspace{0.1cm} On a : \begin{eqnarray*}(\rho,x_1)^3 & = & (x_1 + \rho^2x_2 + \rho x_3)^3   \\ & = & x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + 6x_1x_2x_3 + 3(x_1^2x_3 + x_2^2x_1 + x_3^2x_2)\rho + 3(x_1x_3^2+x_2x_1^2 + x_3x_2^2)\rho^2 \\ & = & \A + 3\B\rho + 3C\rho^2 \end{eqnarray*} o\`u \begin{eqnarray*} \A & = & (x_1+x_2+x_3)^3 - 3(\B + \C) \\ & = & -3(\B+\C) \\ & = & -3(x_1x_2(x_1+x_2)+x_2x_3(x_2+x_3)+x_1x_3(x_1x_3)) \\ & = & -3(-x_1x_2x_3 -x_1x_2x_3 - x_1x_2x_3) \\ & = & 9x_1x_2x_3 \\ & = & -9q, \end{eqnarray*}
$$\B+\C = 3q$$ et $$\B - \C = (x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_1-x_3)$$ est une racine carr\'ee de $\D$ que l'on note $\sqrt{\D}$ ; on en d\'eduit finalement $$(\rho,x_1)^3 = -9q + \frac{3}{2}(3q+\sqrt{D})\rho + \frac{3}{2}(3q-\sqrt{\D})\rho^2 = -\frac{27}{2}q + \frac{3}{2}\sqrt{D}\sqrt{-3}$$ o\`u l'on a pos\'e $\sqrt{-3} = \rho - \rho^2$ puisque $(\rho - \rho^2)^2 = \rho^2 +\rho - 2 = -3$.

Il suffit de permuter $\rho$ et $\rho^2$ pour obtenir $(\rho^2,x_1)$ \`a partir de $(\rho,x_1)$ donc $$(\rho^2,x_1) =  -\frac{27}{2}q - \frac{3}{2}\sqrt{D}\sqrt{-3}.$$

\vspace{0.1cm} \emph{Remarque : on peut observer que $(\rho,x_1)(\rho^2,x_1)$ est invariant par $\sigma$ et appartient donc \`a $\K'(\sqrt{\D})$. Un calcul imm\'ediat fournit en fait la relation $(\rho,x_1)(\rho^2,x_1) = -3p$, d'o\`u l'on tire $(\rho,x_1)^3 + (\rho^2,x_1)^3 = -q$. Cela montre que $(\rho,x_1)^3$ et $(\rho^2,x_1)^3$ sont les deux racines du polyn\^ome $\T^2+q\T-27p^3$.}   

\end{document} 