Algèbre approfondie - Automne 2007 ENS-Lyon

Théorie de Galois III

Exercice 1 (Extensions cycliques : théorie d’Artin-Schreier) — Soit K un corps de caractéristique p > 0.

1. Soit a un élément de K et soit L un corps de décomposition du polynôme T^{p}−T+a au-dessus de K. Démontrer que l’application

𝔽_{p}× L → L, (u,x) ↦ x + u

induit un homomorphisme injectif du groupe de Galois de l’extension L/K dans le groupe additif de 𝔽_{p}. En déduire que le polynôme T^{p}− T + a est soit irréductible, soit scindé sur K.

2. Soit réciproquement L/K une extension finie galoisienne de groupe isomorphe à ℤ/pℤ et soit σ un générateur de Gal(L/K).

(i) Démontrer qu’il existe un élément x de L tel que ∑ _{n=0}^{p−1} σ^{n}(x) = 1.

(ii) Soit α = ∑ _{n=0}^{p−1} nσ^{n}(x). Vérifier que α ∉ K et a = α^{p} − α ∈ K puis en déduire que L est un corps de décomposition du polynôme irréductible T^{p}− T + a.

Exercice 2 (Un théorème de Galois) — Galois a démontré qu’une équation est résoluble par radicaux si et seulement si toute racine s’exprime K-rationnellement en fonction de deux quelconques d’entre-elles.

1. Vérifier que l’ensemble 𝔅_{p} des permutations de ℤ/pℤ de la forme x ↦ ax + b, a,b ∈ ℤ/pℤ, est un sous-groupe transitif et résoluble de 𝔖(ℤ/pℤ) d’ordre p(p − 1). Vérifier également qu’un élément x ↦ ax + b de 𝔅_{p} est d’ordre p si et seulement si a = 1 et b ≠ 0.

2. Soit réciproquement G un sous-groupe transitif et résoluble du groupe symétrique 𝔖(ℤ/pℤ). On considère une suite de composition

(1) = G_{0}⊲ G_{1}⊲ ...⊲ G_{r} = G

de G à quotients cycliques d’ordre premier.

(i) Démontrer que chacun des groupes G_{1},...,G_{r} opère transitivement sur ℤ/pℤ; en déduire que G_{1} est engendré par une permutation circulaire τ.

(ii) Vérifier qu’il existe une permutation σ ∈ 𝔖(ℤ/pℤ) telle que σG_{2}σ^{−1} ⊂ 𝔊_{p}.

(iii) En raisonnant par récurrence sur r, démontrer que G_{1} est un sous-groupe distingué de G et en déduire que σGσ^{−1} est un sous-groupe de 𝔅_{p}.

Soit K un corps, soit P ∈ K[T] un polynôme irréductible de degré premier p et soit L un corps de décomposition de P ; on identifie le groupe de Galois de l’extension L/K à un sous-groupe du groupe des permutations de l’ensemble des racines de P dans L.

3. Supposons qu’il existe deux racines distinctes α, β de P dans L telles que L = K(α,β).

(i) Vérifier que [L : K] ≤ p(p − 1).

(ii) Vérifier que le groupe Gal(L/K) contient une permutation circulaire d’ordre p puis que deux telles permutations engendrent le même sous-groupe.

(iii) Démontrer que le groupe Gal(L/K) est résoluble.

4. Supposons réciproquement que le groupe Gal(L/K) soit résoluble. Démontrer que l’on a L = K(α,β) pour toutes racines distinctes α, β de P dans L.

Exercice 3 (Spécialisation du groupe de Galois) — I. Soient K un corps, f ∈ K[T] un polynôme et K′ un corps de décomposition de f au-dessus de K ; on note R l’ensemble des racines de f dans K′ et on identifie le groupe Gal(K′/K) à un sous-groupe du groupe symétrique 𝔖(R).

On introduit des indéterminées Y_{ξ}, ξ ∈ R, et on pose

L_{σ} = ∑_{ξ∈R} ξY_{σ^{−1} (ξ)}

pour toute permutation σ ∈ 𝔖(R).

1. Vérifier que les polynômes

Π_{f} = ∏_{σ∈𝔖(R)} (Y − L_{σ}) et Θ_{f} = ∏_{σ∈Gal(K′/K)}(Y − L_{σ})

appartiennent tous deux à l’anneau K[Y,(Y_{ξ})_{ξ∈R} ] et que Θ_{f} est un facteur irréductible de Π_{f}. Quels sont tous les facteurs irréductibles de Π_{f} dans K[Y,(Y_{ξ})_{ξ∈R} ] ?

2. Vérifier que l’action naturelle du groupe 𝔖(R) sur K[Y,(Y_{ξ})_{ξ∈R} ] définie par τ(Y) = Y et τ(L_{σ}) = L_{τσ} permute les différents facteurs irréductibles de Π_{f} et démontrer qu’une permutation σ ∈ 𝔖(R) appartient au sous-groupe Gal(K′/K) si et seulement si σ(Θ_{f}) = Θ_{f}.

II. Supposons que K soit le corps ℚ des nombres rationnels et que le polynôme f soit unitaire et à coefficients entiers.

1. Vérifier que les polynômes Π_{f} et Θ_{f} sont à coefficients entiers.

2. Soit p un nombre premier ne divisant pas pgcd(P,P′) ∈ ℤ. On désigne par R_{p} l’ensemble des racines du polynôme séparable \overline{f} = f (modp) ∈ 𝔽_{p}[T] dans une clôture algébrique de 𝔽_{p}.

(i) Démontrer que, pour toute bijection φ : R → R_{p}, la réduction modulo p du polynôme Π_{f} (Y,(Y_{φ(ξ)})) est polynôme Π\overline{f}. Vérifier également que tout élément de 𝔖(R_{p}) permute les réductions des facteurs irréductibles de Π_{f}.

(ii) Une bijection φ : R → R_{p} sera dite admissible si l’homomorphisme de groupes 𝔖(R_{p}) → 𝔖(R), σ ↦ φ^{−1} σφ envoie le groupe de Galois de l’extension 𝔽_{p}(R_{p})/𝔽_{p} sur un sous-groupe de Gal(L/K). Démontrer qu’il existe des bijections admissibles de R sur R_{p} et que deux quelconques d’entre-elles envoient le sous-groupe Gal(𝔽_{p}(R_{p})/𝔽_{p}) de 𝔖(R_{p}) sur des sous-groupes conjugués de Gal(L/K).

III. 1. Soit f ∈ ℤ[T] un polynôme unitaire de degré n. On suppose qu’il existe trois nombres premiers p_{1}, p_{2} et p_{3} tels que

– le polynôme f (modp_{1}) soit irréductible ;

– le polynôme f (modp_{2}) soit le produit d’un facteur irréductible de degré 2 et d’un ou de deux facteur(s) irréductible(s) de degré impair dans 𝔽_{p_{2}}[T] ;

– le polynôme f (modp_{3}) soit le produit d’un facteur linéaire et d’un facteur irréductible dans 𝔽_{p_{3}}[T].

Démontrer que le groupe de Galois G d’un corps de décomposition de f au-dessus de ℚ est un sous-groupe transitif de 𝔖_{n} contenant une transposition et un cycle de longueurs n − 1 ; en déduire que G = 𝔖_{n}.

2. Déterminer les groupes de Galois des polynômes T^{5}− T − 1 et T^{7}− T − 1.

Exercice 4 (L’ubiquité des groupes symétriques comme groupes de Galois sur ℚ) — Soit n ≥ 1 un entier naturel. Étant donné un entier naturel N ≥ 1, on note σ_{n}(N) le nombre des polynômes unitaires f ∈ ℤ[T] de degré n dont les coefficients sont majorés par N en valeur absolue et dont le groupe de Galois est 𝔖_{n}.

Suivant B.L. van der Waerden (Die Seltenheit der Gleichungen mit Affekt, Mathematische Annalen 139 (1933)), cet exercice a pour objet d’établir que la proportion (2N + 1)^{−n} σ_{n}(N) de ces polynômes tend vers 1 lorsque N tend vers +∞.

1. Étant donné un nombre premier p ≥ 3, dénombrer les polynômes unitaires de degré n dans 𝔽_{p}[T] qui sont soit irréductibles (type 1), soit le produit d’un facteur irréductible de degré 2 et d’un ou de deux facteur(s) irréductible(s) de degré impair (type 2), soit le produit d’un facteur linéaire et d’un facteur irréductible (type 3) ; vérifier qu’il y en a au moins p^{n}/k(n), où k(n) = max(8(n − 2),2n).

2. On ordonne les nombres premiers (p_{i})_{i≥1} par ordre croissant et on note r(N) le plus grand entier r tel que P = p_{1}...p_{r} ≤ N. Quel que soit i ∈ {1,2}, vérifier qu’il y a au plus

( 1 − \frac{1}{k(n)}) ^{r}P^{n}

polynômes unitaires et de degré n dans ℤ/Pℤ[T] dont la réduction modulo chacun des nombres premiers p_{1},...,p_{r} ne soit pas de type i.

3. Déduire de ce qui précède que l’on a

\frac{σ_{n}(N)}{(2N + 1)^{n}} ≥ 1 − 3( 1 − \frac{1}{k(n)}) ^{r(N)} et donc lim_{N} \frac{σ_{n}(N)}{(2N + 1)^{n}} = 1.